Investigación Operativa Introducción Unidad 1. Tema 1 INTRODUCCIÓN 1.Concepto y delimitación de...

Investigación Operativa Introducción

Unidad 1

Tema 1 INTRODUCCIÓN

1. Concepto y delimitación de la Investigación Operativa

2. Referencias Históricas

3. Fases en la aplicación de una técnica de I.O. Papel de los usuarios y de los expertos

4. Estructura/contenido de los Modelos de I.O.

5. La I.O. en la práctica habitual

1. Concepto y delimitación de la I.O.•Antecedentes:

Surge durante la segunda Guerra Mundial,

luego y con motivo de la revolución industrial, ha ido teniendo cada vez más importancia dado el crecimiento y complejidad de las nuevas organizaciones. Actualmente está cobrando especial importancia con el desarrollo de la informática.

•Definición

Aplicación del método científico por un grupo multidisciplinario personas a la resolución de un problema.

•Objetivo

Decidir mediante métodos científicos el diseño que optimiza el funcionamiento del proceso analizado, generalmente bajo condiciones que implican la utilización de recursos escasos.

Métodos en Investigación Operativa•Métodos determinísticos: Programación lineal, programación entera, probabilidad de transporte, teoría de la localización o redes, programación multicriterio, teoría de inventarios, etc.

•Métodos probabilísticos: Cadenas de markov, teoría de juegos, líneas de espera, teoría de inventarios, etc.

•Métodos híbridos: Conjugan métodos determinísticos y probabilísticos.

•Métodos heurísticos: soluciones basadas en la experiencia.

DIAGNOSTICO

Planeación de la

Producción

Distribución Asignación de recursos limitados

Inventarios Programación de Actividades

Pronósticos de

Demanda

Medio Ambiente

Análisis de Líneas de

Espera

Analisis de Sistemas de Producción

Información Cuantitativa y Cualitativa del Sistema bajo estudio

Seleccionar el Modelo

Modelos Deterministicos Modelos Estocásticos

Programación Lineal

SolucionesReales

Programación Lineal Entera

Soluciones Entereas

Programación Lineal por metas

Soluciones en orden de prioridad

Programación Dinámica

Soluciones en Etapas continuas

Optimización de Redes

Soluciones orientadas a la

distribución óptima

Control de Inventarios

Soluciones por etapas (n+1)

Pronósticos

Comportamiento futuro sistema

basado en datos históricos

Teoría de Colas

Determinación de tiempos de

espera y longitud de la cola promedio

Simulación de Sistemas

Estimación de las medidas de desempeño del sistema modelado

HERRAMIENTAS DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

TIPOS DE PROBLEMAS

Mapa conceptual del área de Operaciones

Características de la IO

•Examen de las Relaciones Funcionales de un Sistema•Utilización de del Grupo Interdisiplinario•Adopción del Enfoque Planeado (Método Cientifico)•Descubrimientos de Nuevos Problemas para su estudio

Definición de Ia Investigación de Operaciones.El Comité de investigación de Operaciones del Consejo Nacional de Investigaciónpresentó la siguiente definición: “La Investigación de Operaciones es la aplicación del método científico al estudio de las operaciones de las grandes y complejas organizaciones o actividades”.

Modelos IO

Tipos de Modelos UsadosDefinición de Modelos:El modelo es una representación o abstracción de una situación u objeto reales, quemuestra las relaciones (directas e indirectas) y las interrelaciones de la acción y lareacción en términos de causa y efecto.

•Modelos Iconicos.•Modelos Analógicos.•Modelos Simbólicos (o Matemáticos)

•Cuantitativos•Cualitativos•Estándares y hechos a medida•Probabilisticos (estocasticos) o Deterministicos•Descriptivo y de optimización•Estáticos y Dinámicos•Simulación y No simulación

Etapas de un ejercicio de I.O.

Básicamente la I.O. sigue los siguientes pasos:

•La observación del problema

•La construcción de un modelo matemático que contenga los elementos esenciales del problema

•La obtención en general, con al ayuda de algorítmos implementados informáticamente, de las mejores soluciones posibles.

•La calibración e interpretación de la solución y su comparación con otros métodos de toma de decisiones.

Fases de un

estudio

FORMULACIÓN DEL

PROBLEMA

CONSTRUCCIÓN DEL

MODELO

NECESIDAD DE

REORGANIZACIÓN

MODELO DEL SISTEMA REAL

SISTEMA DE INTERÉS

OBTENCIÓN DE DATOS

TOMA DE DECISIONES IMPLEMENTACIÓN Y

CONTROL

SOLUCIÓN DEL MODELO

INTERPRETACIÓN DE

RESULTADOS E IMPLICACIONES

VALIDACIÓN DEL MODELO ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD

Modelos a Estudiar

Investigación Operativa Programación Lineal

Unidad 2

Investigación Operativa

Método Simplex

El Problema de P.L. Consiste

El Problema

Construcción del Modelo de P.L.

Tabla del Método Simplex

C1 C2 C3 C4 C5

C Xj B X1 X2 X3 X4 X5

C2 X2 b'1 0 1 a13 a14 0C1 X1 b'2 1 0 a23 a15 0C5 X5 b'3 0 0 a33 a16 1

Zj-Cj Z z1-c1 z2-c2 z3-c3 z4-c4 z5-c5

Resolución del P.L. Mediante el Método Simplex

Cajas A Cajas BSobrantes

B. LicorSobrantes

B. NuezSobrantes B Frutas

0 X3 100 0,3 0,4 1 0 00 X4 120 0,5 0,2 0 1 00 X5 100 0,2 0,4 0 0 1

Zj-Cj 0 -120 -90 0 0 0

B. LicorSobrantes

0 X3 28 0 0,28 1 -0,6 0120 X1 240 1 0,4 0 2 00 X5 52 0 0,32 0 -0,4 1

Zj-Cj 28800 0 -42 0 240 0

Cajas A Cajas BSobrantes B.

LicorSobrantes

90 X2 100 0 0 3,571 -2,14 0120 X1 200 1 1 -1,428 2,856 00 X5 20 0 0 -1,142 0,285 1

Zj-Cj 33000 0 0 150 150 0

Calculo Metodo Simplex

Pivote

A´= – ((c x b) / Pivote)

Primer PasoDe la Fila Zj-Cj Tomar el valor mas negativo

Segundo PasoDividir el valor existente en la columna elegidaPor el valor de la columna B.El resultado mayor indica el “Pivote” que seráUtilizado en los calculos

Cuarto PasoEjecutar la siguiente operación.Por ejemplo:

Pivote

B. LicorSobrantes

0 X3 100 0,3 0,4 1 0 00 X4 120 0,5 0,2 0 1 00 X5 100 0,2 0,4 0 0 1

Zj-Cj 0 -120 -90 0 0 0

B. LicorSobrantes

0 X3 28 0 0,28 1 -0,6 0120 X1 240 1 0,4 0 2 00 X5 52 0 0,32 0 -0,4 1

Zj-Cj 28800 0 -42 0 240 0

LicorSobrantes

90 X2 100 0 0 3,571 -2,14 0120 X1 200 1 1 -1,428 2,856 00 X5 20 0 0 -1,142 0,285 1

Zj-Cj 33000 0 0 150 150 0

Pivote

Segundo PasoDividir el valor existente en la columna elegidaPor el valor de la columna B.El resultado mayor indica el “Pivote” que seráUtilizado en los calculosTerecer PasoDividir la fila del pivote por el pivote y remplazar los valores existentes

Pivote

LicorSobrantes

90 X2 100 0 1 3.571 -2.14 0120 X1 200 1 0 -1.428 2.856 00 X5 20 0 0 -1.142 0.285 1

Zj-Cj 33000 0 0 150 150 0

Problema de fabrica de bombonesProblema de fabrica de bombonesFabricante de bombonesUn fabricante de bombones entrega sus productos en cajas de 1 kg compuesto de 2 maneras diferentes.La caja tipo A contiene 300 gr de bombones de licor, 500 gr de bombones de nuez y 200 gr de bombones de fruta. El beneficio es de $ 120La caja tipo B contiene 400 gr de bombones de licor, 200 gr de bombones de nuez y 200 gr de bombones de fruta. El beneficio es de $ 90El fabricante se encuentra en cierto momento que tiene disponivilidad de 100 kg de licor, 120 kg de nuez y 100 kg de fruta.¿Cuántas cajas typo A y tipo B se necesitan para el beneficio maximo?

CAJA A CAJA B InsumoDisp en

Kg0,3 0,4 Licor 1000,5 0,2 Nuez 1200,2 0,4 Fruta 100

Beneficio 120 90

Problema de Alimento de MascotasProblema de Alimento de MascotasUn fabricante de alimentos para mascotas entrega sus productos en bolsas de 10 kg compuesto de 2 maneras diferentes.

Las bolsas Premium contiene 3kg de compuesto de Verdura, 5kg de compuestos de Carne y 2kg de Compuesto de Vitaminas. El beneficio es de u$s 12

Las bolsas standard contiene 4Kg Compuesto de verdura, 2Kg de Compuesto de Carne y 4 kg. De Compuesto de Vitaminas. El beneficio es de $ 90

El fabrcante se encuentra en cierto momento que tiene disponibilidad de 1000 kg Compuesto de Verdura, 1200 kg de Compuesto de carne y 1000 kg de Compuesto de Vitaminas.

¿Cuántas Bolsas Premium y Standard se necesitan generar para alcanzar el beneficio maximo?

CAJA A CAJA B InsumoDisp en

Kg3 4 CV 10005 2 CC 12002 4 Cvi 1000

Beneficio 12 9

C1 C2 C3 C4 C5

C2 X2 b'1 0 1 a13 a14 0C1 X1 b'2 1 0 a23 a15 0C5 X5 b'3 0 0 a33 a16 1

Zj-Cj Z z1-c1 z2-c2 z3-c3 z4-c4 z5-c5

B. LicorSobrantes

0 X3 100 0,3 0,4 1 0 00 X4 120 0,5 0,2 0 1 00 X5 100 0,2 0,4 0 0 1

Zj-Cj 0 -120 -90 0 0 0

B. LicorSobrantes

0 X3 28 0 0,28 1 -0,6 0120 X1 240 1 0,4 0 2 00 X5 52 0 0,32 0 -0,4 1

Zj-Cj 28800 0 -42 0 240 0

LicorSobrantes

90 X2 100 0 0 3,571 -2,14 0120 X1 200 1 1 -1,428 2,856 00 X5 20 0 0 -1,142 0,285 1

Zj-Cj 33000 0 0 150 150 0

Pivote

Segundo PasoDividir el valor existente en la columna elegidaPor el valor de la columna B.El resultado mayor indica el “Pivote” que seráUtilizado en los calculos

Pivote

B. LicorSobrantes

0 X3 100 0,3 0,4 1 0 00 X4 120 0,5 0,2 0 1 00 X5 100 0,2 0,4 0 0 1

Zj-Cj 0 -120 -90 0 0 0

B. LicorSobrantes

0 X3 28 0 0,28 1 -0,6 0120 X1 240 1 0,4 0 2 00 X5 52 0 0,32 0 -0,4 1

Zj-Cj 28800 0 -42 0 240 0

LicorSobrantes

90 X2 100 0 0 3,571 -2,14 0120 X1 200 1 1 -1,428 2,856 00 X5 20 0 0 -1,142 0,285 1

Zj-Cj 33000 0 0 150 150 0

Pivote

Segundo PasoDividir el valor existente en la columna elegidaPor el valor de la columna B.El resultado mayor indica el “Pivote” que seráUtilizado en los calculosTerecer PasoDividir la fila del pivote por el pivote y remplazar los valores existentes

Pivote

LicorSobrantes

90 X2 100 0 1 3.571 -2.14 0120 X1 200 1 0 -1.428 2.856 00 X5 20 0 0 -1.142 0.285 1

Zj-Cj 33000 0 0 150 150 0

Tabla Optima del Problema Tabla Optima del Problema

Problema Dual de la fabrica de BombonesMin Z = 100 Y1 + 120 Y2 + 100 Y30,3 Y1 + 0,5 Y2 + 0,2 Y3 >= 1200,4 Y1 + 0,2 Y2 + 0,4 Y3 >= 90

Min Z = 100 Y1 + 120 Y2 + 100 Y3 + M Y4 + M Y5 + M Y6 + M Y7 0,3 Y1 + 0,5 Y2 + 0,2 Y3 + Y4 -Y5 = 1200,4 Y1 + 0,2 Y2 + 0,4 Y3 + Y6 -Y7 = 90

Licor Nuez Fruta Cajas A Cajas B Slack 1 Slack 2

Bk Yk C Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 Y7M Y6 120 0,3 0,5 0,2 -1 0 1 0M Y7 90 0,4 0,2 0,4 0 -1 0 1

Zi-Bi 210 M 0,7 M -100 0,7 M -120 0,6M - 100 ´-M ´-M 0 0

DualidadDualidad

DualidadDualidadCajas A Cajas B

Sobrantes B. Licor

Sobrantes B. Nuez

Sobrantes B Frutas

90 X2 100 0 1 3.571 -2.14 0120 X1 200 1 0 -1.428 2.856 00 X5 20 0 0 -1.142 0.285 1

Zj-Cj 33000 0 0 150 150 0

Bk Yk C Y1 Y2 Y3 Y4 Y5

120 Y2 150 0 1 -0,285 -2,856 2,142

100 Y1 150 1 0 1,142 1,428 -3,571

Zi-Bi 33000 0 0 -20 -200 -100Valores Marginales Cajas A Cajas B

Directo Directo (Unidades) (Unidades) ∑∑ AAijij [ [UR / UPUR / UP] . ] . XXjj [ [UPUP] = ] = BBii [ [URUR]]

Dual Dual (Unidades) (Unidades) ∑∑ AAijij [ [UR / UPUR / UP] . ] . YYjj [ [UB / URUB / UR] = ] = CCjj [ [UB / UPUB / UP]]

Directo Directo (Unidades) (Unidades) ∑∑ AAijij [ [UR / UPUR / UP] . ] . XXjj [ [UPUP] = ] = BBii [ [URUR]]

Dual Dual (Unidades) (Unidades) ∑∑ AAijij [ [UR / UPUR / UP] . ] . YYjj [ [UB / URUB / UR] = ] = CCjj [ [UB / UPUB / UP]]

EjercitaciónEjercitaciónEjercicio.Una empresa manufacturera paralizó la producción de ciertos productos por bajas utilidades.Una empresa manufacturera paralizó la producción de ciertos productos por bajas utilidades.Esto generó una capacidad ociosa de producción. Se planteó entonces la necesidad de asignarEsto generó una capacidad ociosa de producción. Se planteó entonces la necesidad de asignaresa nueva capacidad disponible a la elaboración de hasta 3 productos (1, 2, 3). La información elaborada es la esa nueva capacidad disponible a la elaboración de hasta 3 productos (1, 2, 3). La información elaborada es la siguiente:siguiente:

Marketing informa que el potencial de ventas para los 3 productos supera la máxima producciónMarketing informa que el potencial de ventas para los 3 productos supera la máxima producciónposible, o sea que la demanda del mercado es superior a la producción factible, lo que posibilita que todo lo posible, o sea que la demanda del mercado es superior a la producción factible, lo que posibilita que todo lo producido pueda ser vendido. Los beneficios son $ 20, $ 6, $ 8 para los productos 1, 2 y 3 respectivamente.producido pueda ser vendido. Los beneficios son $ 20, $ 6, $ 8 para los productos 1, 2 y 3 respectivamente.Fijar la producción de cada producto para maximizar los beneficios.Fijar la producción de cada producto para maximizar los beneficios.

Una empresa fabrica dos clases de máquinas, cada una requiere de una técnica diferente de Una empresa fabrica dos clases de máquinas, cada una requiere de una técnica diferente de fabricación.fabricación.

La máquina de lujo requiere de 18 hs. de mano de obra, 9 horas de prueba y produce una La máquina de lujo requiere de 18 hs. de mano de obra, 9 horas de prueba y produce una utilidad de u$s 400.-utilidad de u$s 400.-

La máquina estándard requiere 3 hs. de mano de obra, 4 hs. de pruebas y produce una La máquina estándard requiere 3 hs. de mano de obra, 4 hs. de pruebas y produce una utilidad de u$s 200.-utilidad de u$s 200.-

Se dispone de 800 hs. de mano de obra 600 hs. para pruebas cada mes.Se dispone de 800 hs. de mano de obra 600 hs. para pruebas cada mes.

Se pronostica que la demanda mensual para el modelo de lujo es no mas de 80 unidades/mes Se pronostica que la demanda mensual para el modelo de lujo es no mas de 80 unidades/mes y las maquinas estándar no mas de 150 unidades/mes.y las maquinas estándar no mas de 150 unidades/mes.

La gerencia desea maximizar la utilidad total. Formular el P.L La gerencia desea maximizar la utilidad total. Formular el P.L

EjercitaciónEjercitación

Utilizando el método simplex resuelva el siguiente modelo de PL.Utilizando el método simplex resuelva el siguiente modelo de PL.

Maximizar Z = 9 XMaximizar Z = 9 X11 + 5 X + 5 X22

Sujeto a Sujeto a

2 X2 X11 + 2 X + 2 X22 =< 12 =< 12

XX11 + 2 X + 2 X22 =< 8 =< 8

XX11 – 4 X – 4 X22 => 4 => 4

EjercitaciónEjercitación

INVENTARIOS

CEP Cantidad Económica de CEP Cantidad Económica de PedidoPedido

Sin AgotamientoSin Agotamiento

1.- MODELO CLÁSICO DE CANTIDAD ECONÓMICA DE PEDIDO (CEP)

Mantenimiento del StockMantenimiento del Stock

Costo de PedirCosto de Pedir

Costo Incremental TotalCosto Incremental Total

Cantidad Optima de PedidoCantidad Optima de Pedido

Cantidad de veces que se compra en un ejercicioCantidad de veces que se compra en un ejercicio

Tiempo entre pedidosTiempo entre pedidos

Cuadro de Resultados

Formulas del Modelo

Ejercicio CEP sin AgotamientoEjercicio CEP sin Agotamiento

CEP Cantidad Económica de CEP Cantidad Económica de PedidoPedido

Con AgotamientoCon Agotamiento

2.- MODELO CEP CUANDO SE PERMITEN FALTANTES

1. Árbol de expansión mínima (situación 1)

2. Algoritmo de la ruta más corta (situación 2)

3. Algoritmo del flujo máximo (situación 3)

4. Algoritmo de redes capacitadas de costo mínimo (situación 4)

5. Algoritmo de la ruta critica (CPM) (situación 5)

Definir una Red

1. Árbol de expansión mínima (situación 1)Política: El objetivo es conectar TODOS los nodos iniciando siempre el trayecto por el camino mas económico.

2. Algoritmo de la ruta más corta (situación 2)

Modelo de Flujo Restringido

Modelo del Problema de Flujo Restringido de CostoModelo del Problema de Flujo Restringido de CostoModelo del Problema de Flujo Restringido de CostoModelo del Problema de Flujo Restringido de Costo

4. Algoritmo de redes capacitadas de costo mínimo (situación 4)

Proveedor Proveedor Materia PrimaMateria Prima

Plantas del Plantas del Compuesto BásicoCompuesto Básico

TransporteTransporte TransporteTransporte

DistribuciónDistribuciónFuenteFuente

$ 210 / Tn

$ 10$ 10

$ 13$ 13

$ 9$ 9

$ 12$ 12

+ 500+ 500

+ 750+ 750

Planta APlanta A(400-800)(400-800)

Planta BPlanta B(450-900)(450-900)

$ 25$ 25

$ 28$ 28

$ 3$ 3

$ 2$ 2

$ 5$ 5

$ 4$ 4

660660

800800

Modelo del Problema de Flujo Restringido de CostoModelo del Problema de Flujo Restringido de CostoModelo del Problema de Flujo Restringido de CostoModelo del Problema de Flujo Restringido de Costo

1460 Ton.1460 Ton.

5. Algoritmo de la ruta critica (CPM) (situación 5)

Programación Dinámica

1 2 3 4 5 6

CalculosEstado 0S(a)= Min { 1 + S(c) ; 0 + S(d) } 13 12 14

Estado 1S(c)= Min { 5 + S(e) ; 4 + S(f) } 12 9 8S(d)= Min { 7 + S(f) ; 3 + S(g) } 14 8 11

Estado 2S(e)= Min { 2 + S(h) ; 1 + S(i) } 9 10 8S(f)= Min { 1 + S(i) ; 2 + S(j) } 8 8 6S(g)= Min { 5 + S(j) ; 4 + S(k)} 11 6 7

Estado 3S(h)= Min { 3 + S(l) } 10 7S(i)= Min { 3 + S(l) ; 4 + S(m) } 8 7 4S(j)= Min { 2 + S(m) ; 2 + S(n) } 6 4 5S(k)= Min { 2 + S(n) } 7 5

Estado 4S(l) = Min { 5 + S(o) } 7 2S(m)= Min { 2 + S(0) ; 8 + S(p) } 4 2 1S(n)= Min { 4 + S(p) } 5 1

Estado 5S(o)= Min { 2 + S(b) } 2 0S(p)= Min { 1 + S(b) } 1 0

Formalización del Modelo1.- Definir las Variables de Estado y Etapa

– X = Variable de etapa (toma los valores 0 a 6)– Y = Variable de estado

2.- Definir los Parámetros del Modelo (costos ó beneficios asociados a cada estado del modelo)– A0(x,y) = Costo asociado al camino que va de (x,y), hasta (x+1, y+1)– A1(x,y) = Costo asociado al camino que va de (x,y), hasta (x+1, y-1)

3.- Definir el FuncionalS(x,y) = Costo mínimo para ir desde el punto (x,y) hasta el punto (6,0) (NODO B)

4.- Expresión RecursivaAplicando el teorema de optimalidad de manera que el funcional pueda ser determinado usando el valor del funcional hasta la

etapa anterior. A(0) (x,y) + S(X+1, Y+1) Con X= 6………..0S(X,Y)= Min Y perteneciente al conjunto U(x) A(1) (x,y) + S(X+1, Y-1) U(0)=U(6)= {0}; U(1)=U(5)= {1,-1}; U(2)=U(4)= {2,0,-2}; U(3)= {3,1,-1-3}5.- Definir condiciones iniciales y de borde

Inicial (6,0) = 0Borde A(0) (3,3) = A(0) (4,2) = A(0) (5,1) = infinito A(1) (3,-3) = A(1) (4,-2) = A(1) (5,-1) = infinito

6.- Objetivo del modelo S(0,0)

1.- Definir las Variables de Estado y Etapa– X = Variable de etapa (toma los valores 0 a 6)– Y = Variable de estado

2.- Definir los Parámetros del Modelo (costos ó beneficios asociados a cada estado del modelo)– A0(x,y) = Costo asociado al camino que va de (x,y), hasta (x+1, y+1)– A1(x,y) = Costo asociado al camino que va de (x,y), hasta (x+1, y-1)

3.- Definir el FuncionalS(x,y) = Costo mínimo para ir desde el punto (x,y) hasta el punto (6,0) (NODO B)

4.- Expresión RecursivaAplicando el teorema de optimalidad de manera que el funcional pueda ser determinado usando el valor del funcional hasta la

etapa anterior. A(0) (x,y) + S(X+1, Y+1) Con X= 6………..0S(X,Y)= Min Y perteneciente al conjunto U(x) A(1) (x,y) + S(X+1, Y-1) U(0)=U(6)= {0}; U(1)=U(5)= {1,-1}; U(2)=U(4)= {2,0,-2}; U(3)= {3,1,-1-3}5.- Definir condiciones iniciales y de borde

Inicial (6,0) = 0Borde A(0) (3,3) = A(0) (4,2) = A(0) (5,1) = infinito A(1) (3,-3) = A(1) (4,-2) = A(1) (5,-1) = infinito

6.- Objetivo del modelo S(0,0)

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