Post on 13-Jan-2020
®® Gabriel Cano GGabriel Cano Góómez, 2007/08 mez, 2007/08 Dpto. FDpto. Fíísica Aplicada III (U. Sevilla)sica Aplicada III (U. Sevilla)
Campos ElectromagnCampos ElectromagnééticosticosIngeniero de TelecomunicaciIngeniero de Telecomunicacióónn
II. ElectrostII. Electrostáática tica en el vacen el vacííoo
Dipolo elDipolo elééctrico.ctrico.Desarrollo multipolar Desarrollo multipolar
2Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) II.n) II. ElectrostElectrostáática en el vactica en el vacííoo
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Sistema de cargas puntuales opuestasSistema de cargas puntuales opuestas“+q” en P1 y “−q” en P2 forman un dipolo:
• el sistema tiene carga total nula• tomando origen en el punto medio…
campos electrostáticos:• potencial:
• campo eléctrico:
AproximaciAproximacióón en puntos alejados n en puntos alejados desarrollo en serie para
valor aproximado del potencial…
Δd
1 1 2 22OP P O= = Δ = − =r r r
0
1 12 24πε
( ) q−
− Δ + Δ
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
=φr r r r
r
2 321 1 cosθ 3cos θ 1 (θ)12 2 8 2
fd d dr r rr
⎧ ⎫−Δ Δ Δ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ± + ± +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭r r…
∓
φ=0
φ(P)=V0
φ=−V0
ε0
P1
P2
Δr/2r
−Lφ(P)=E(P)
/ 1d rΔ
3
0
cosθ (θ)4πε
( ) d d fr r
qr
⎧ ⎫Δ Δ⎪ ⎪⎛ ⎞+⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭
−=φ r …2
0
cosθ4πεrd
q drΔ
Δ0
31
4πεq
r= Δ ⋅r r
O
θ
E(r)
P+q
−q
Dipolo elDipolo elééctrico: definicictrico: definicióón y propiedadesn y propiedades
φ(P)
( ) ( )= −∇φE r r
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Momento Momento dipolardipolar elelééctricoctricocaracterística del dipolo eléctrico:
Dipolo elDipolo elééctrico idealctrico idealdipolo de cargas infinitamente próximas
• |Δr|→0: ente puntual de carga Q=0…pero con momento dipolar no nulo:
Campos de un dipolo idealCampos de un dipolo idealpotencial electrostático:
campo eléctrico del dipolo ideal:
Dipolo elDipolo elééctrico idealctrico ideal
ε0
O
+q
Δr
P r
−q
30
14πε
( )Δ
⋅⇒ φr r r
p rrq= Δp r
33
0
;14πε
P∀ ∈⋅=r
p r
dip dip( ) ( )= −∇φE r r ( ) 23
50
3;
4πε1 P
−= ∀ ∈
⋅p r r p rr
dip 0( ) lim ( )
qΔ →
→∞
= φφr
r r
φdip(P)=V0
−Lφdip(P)=Edip(P)
p
Edip(r)
φ=0
0 (cte.)q Δ →Δ ⎯⎯⎯→ ≠rp = r p 0q → ∞
φ(P)
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Sistema de fuerzasSistema de fuerzasdipolo eléctrico en un campo E(r)
• cargas próximas: • momento dipolar: p=qΔr
fuerzas sobre las cargas• debidas al campo externo:
• “internas”, tales que |Δr|=cte.Acciones de Acciones de EE((rr)) sobre el dipolosobre el dipolo
par de fuerzas (respecto de P):
fuerza resultante:
energía potencial:
AcciAccióón de un campo eln de un campo elééctrico sobre un dipoloctrico sobre un dipolo
ε0+q
−q
p
E(P1)
E(P2)
F+
F−
E(r)
E(P)
P
1 22PP P P= Δ =r
1( );Pq=+F E 2( )Pq−= −F E
[ ]1 2( ) ( )2P q P PΔ= × +rM E E
[ ]1 2( ) ( )q P P= −F E E
( ; ) ( )P = ×M p r p E r
( ) ( ); ( )= ⋅p rF p E r∇
[ ]1 2
( ) ( )e P PU q −= φ φ
( )q PΔ ×r E dipoloideal
( ) ( )q PΔ ⋅r E∇ dipoloideal
( ; ) ( )eU = − ⋅p r p E r( )PqΔ ⋅ φr ∇ dip.ideal
provoca un giro de p en torno a P
provoca un desplazamiento de p
PMF
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ExpresiExpresióón multipolar del potencial n multipolar del potencial potencial electrostático de cargas puntuales
{q1,…,qN} situadas en {P1,…,PN}:
•desarrollo del inverso de la distancia de P a Pi
expresión del potencial como serie infinita de términos φn ∼ r−n (n ≥ 1)
•cada término es el potencial creado por un ente puntual distinto: carga, dipolo, “cuadrupolo”,…
•alcance de los términos decrece con el orden n
Desarrollo multipolar (I)Desarrollo multipolar (I)
01
14πε
( ) ;ii i
i
Ni
q OP=
=−
=φ ∑ rr r
r
( )2 2
1 1 10 2 3
cos 3cos 1
2
14πε
( )N N N
i i i i i i ii i i
q q r q r
r r r= = =
⎧ ⎫⎪ − ⎪⎨ ⎬+ + +⎪ ⎪⎩ ⎭
= ∑ ∑ ∑φ r…
θ θ3 5
0
14πε
OOQr r r
⎧ ⎫⋅ ⋅ ⋅⎨ ⎬+ + +⎩ ⎭
= p r r r …Q
qi
Pi
ε0P
θi2 23cos θ 11 1 1 cosθ ;2
i ii i ii
i
rr rr r rr
⎧ ⎫ =−⎪ ⎪⎛ ⎞= + + +⎨ ⎬⎜ ⎟ =− ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭
rrr r
…
φ (r)
r
φ(P)
|r−ri|
ri
Q
pO
OQO=
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““MomentosMomentos”” de la distribucide la distribucióónnla distribución de carga es equivalente a
la superposición de entes puntuales en O•momento monopolar
•momento dipolar
•momento cuadrupolar
Centro de la distribuciCentro de la distribucióónnpunto arbitrario donde se ubican los entes
puntuales equivalentes a la distribución•en general, los momentos dependen del centro:
Desarrollo multipolar (II)Desarrollo multipolar (II)
1
N
i iqQ=
=∑
1
NO i ii
q=
= ∑p r
1( )N
iO i iiq
== ∑ T rQ
dqQ ′= ∫F
O dq′ ′= ∫p rF
( )O dq ′′= ∫ rTQF
AQ = ;
OQ= A=pdq′∫F dq′ ′∫
Fr ;O AQ= −p r …
ε0
30
14πε
OQr r
⋅⎧ ⎫+ +⎨ ⎬⎩ ⎭
= p r …
≡ carga puntual
≡ dipolo ideal
≡ cuadrupolo idealqiPi
ri O
P′dq′
F
r′
rA
r′
r
φ(P)
Q
pO QO=
r
φ(r)
AQ
pA
QA=
3 50
14πε
( ) AAQ⎧ ⎫⎪ ⎪+ +⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
= ⋅ ⋅ ⋅φ p…Qr r rr r r r
0
14πε
dq′′−
= ∫ r rF
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Ejemplo: Ejemplo: sistema de 5 cargas puntuales:sistema de 5 cargas puntuales:
potencial electrostático:
Momentos de la distribución:• M. monopolar:
• M. dipolar:
• M. cuadrupolar:
Utilidad del desarrollo multipolar (I)Utilidad del desarrollo multipolar (I)
ε0
φ (r)
Or1
r2
r3r4
r5
d=⟨|ri|⟩
Y
X
1 1; ( 2) yq q d= =r u
2 22; ( 2) xq q d= − = −r u
3 32 ; (3 8) (1 2)x yq q d ⎡ ⎤= = − +⎣ ⎦r u u
5 5; (3 8) xq q d= − =r u[ ]4 42; (3 8) (1 2)x xq q d= = −r u u
0 1 2 3 4 5
1 1 2 2 1 2 14πε
( ) q− −
− − − − −
⎛ ⎞+ +⎜ ⎟
⎝ ⎠=φ
r r r r r r r r r rr
r
φ(P)
2Q q=
(11 16) (3 4)O x yqd += − ⎡ ⎤⎣ ⎦p u u
−q/2 −q
q
q/22q
( ) ( ) ( ) ( ) ]2 45 128 27 16 213 256 123 256O xx xy yy zzqd ⎡= − + + −⎣ u u u uQ
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Utilidad del desarrollo multipolar (II)Utilidad del desarrollo multipolar (II)
0
14πε
( ) Qr
≈φ r2 2
0
214πε
qx y
=+
Q
AproximaciAproximacióón del potencial (en el n del potencial (en el plano plano OXYOXY))
en puntos muy alejados: •|r| > 50d >>>> ⟨|ri|⟩•el primer término del desarrollo proporciona una buena aproxi-mación del potencial
•es el potencial electrostático del momento monopolar (carga total del sistema)
φ(P)
r00
3 50
...14πε
( ) Q⎧ ⎫⋅ ⋅ ⋅⎪ ⎪+ + +⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
=φ p r r rr r r
r Q
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Utilidad del desarrollo multipolar (II)Utilidad del desarrollo multipolar (II)
0
14πε
( ) Qr
≈φ r2 2
0
214πε
qx y
=+
AproximaciAproximacióón del potencial (n del potencial (OXYOXY))
en puntos muy alejados: •|r| > 50d >>>> ⟨|ri|⟩
en puntos relativamente alejados: •|r| > 6d >> ⟨|ri|⟩•la carga Q no proporciona buena aproximación del potencial; hay que añadir el término de pO
{ }03
0
14πε
( ) Qr r
⋅+≈φ p rr
( ) ( )1/ 22 2 3/ 22 20
2 11 12
=
164πε x y
x y
x y
dq+
+−
+
⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
r
φ(P)
Q
pO
003 5
0
...14πε
( ) Q⎧ ⎫⋅ ⋅ ⋅⎪ ⎪+ + +⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
=φ p r r rr r r
r Q
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Utilidad del desarrollo multipolar (II)Utilidad del desarrollo multipolar (II)
0
14πε
( ) Qr
≈φ r
003 5
0
14πε
( ) Qr r r
⎧ ⎫⋅ ⋅ ⋅⎨ ⎬+ +⎩ ⎭
≈φ p r r rr Q
2 20
214πε
qx y
=+
AproximaciAproximacióón del potencial (n del potencial (OXYOXY))
en puntos muy alejados: •|r| > 50d >>>> ⟨|ri|⟩
en puntos relativamente alejados: •|r| > 6d >> ⟨|ri|⟩
en puntos próximos: |r|∼⟨|ri|⟩
{ }03
0
14πε
( ) Qr r
⋅+≈φ p rr
( ) ( )1/ 22 2 3/ 22 20
2 11 12
=
164πε x y
x y
x y
dq+
+−
+
⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
r
φ(P)
Q
pO QO=
003 5
0
...14πε
( ) Q⎧ ⎫⋅ ⋅ ⋅⎪ ⎪+ + +⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
=φ p r r rr r r
r Q