I.E. “ESTHER CÁCERES SALGADOI.E. “ESTHER CÁCERES SALGADO””

CUARTO GRADO DE SECUNDARIA

ACTIVIDADEVALUACIÓN

¿Cómo inciden el estudio de las ¿Cómo inciden el estudio de las funciones en nuestras vidasfunciones en nuestras vidas??

• A mayor consumo de A mayor consumo de los de los Kilowat-los de los Kilowat-hora , mayor será el hora , mayor será el costo mensual de la costo mensual de la energía eléctricaenergía eléctrica

4 8 12 16 20 24 28 32 36

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

x

y

Costo(S/.)

Energía(Kw-h)

1. Nos hace reflexionar y tomar conciencia1. Nos hace reflexionar y tomar conciencia

Debemos escuchar, ver , hablar o utilizar menos

2. Nos permite modelar y comprender 2. Nos permite modelar y comprender distintos hechos o fenómenosdistintos hechos o fenómenos

Caída de los cuerpos.Caída de los cuerpos. Movimiento (MRU, Movimiento (MRU,

MRUA).MRUA). Gravitación universal.Gravitación universal. El comportamiento en El comportamiento en

el mercado (La Oferta el mercado (La Oferta y la demanda.y la demanda.

El interés compuestoEl interés compuesto El crecimiento de la El crecimiento de la

poblaciónpoblación

¿Por qué es importante el estudio de ¿Por qué es importante el estudio de las funciones las funciones ??

• Nos permite modelar y comprender Nos permite modelar y comprender distintos hechos o fenómenosdistintos hechos o fenómenos

• Nos hace reflexionar y tomar Nos hace reflexionar y tomar conciencia de los hechos.conciencia de los hechos.

En nuestra vida real ocurren variadas situaciones donde una magnitud depende de la otra( funciones) y su estudio es importante porque:

¿En qué situaciones prácticas de ¿En qué situaciones prácticas de nuestra vida están presente las nuestra vida están presente las

funciones?funciones?

La tarifa mensual del agua potable y de la La tarifa mensual del agua potable y de la energía eléctrica están en función del consumo.energía eléctrica están en función del consumo.

El número de objetos que podemos comprar El número de objetos que podemos comprar dependen del dinero que dispongamosdependen del dinero que dispongamos

El salario de un vendedor está en dependencia El salario de un vendedor está en dependencia del número de ventas que realice del número de ventas que realice

La masa de un objeto varía según la gravedadLa masa de un objeto varía según la gravedad Si la velocidad de un móvil es constante, la Si la velocidad de un móvil es constante, la

distancia recorrida por él depende del tiempo distancia recorrida por él depende del tiempo empleadoempleado

..otras ..otras

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95

10

20

30

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50

60

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90

100

110

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130

140

x

y

Salario(S/.)

Clientes

SALARIO SEMANAL

El salario que percibe un mozo es es S, soles , este salario es el resultado de una asignación fija de S/.60 más 50 céntimos por cada uno de los n clientes que atiende

El salario esta en función del númerumero de clientes que atiende el mozo S= 60+ 0.50n

SUPERFICIE DE UN CUADRADO

La superficie S de un cuadrado está en función de su lado (l) al cuadrado

S =l2

l

f(x)=x*x

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2

4

6

8

10

12

14

16

18

x

y

Superficie(m2 )

longitud (m)

MOVIMIENTO UNIFORME ACELERADOMOVIMIENTO UNIFORME ACELERADO

El espacio (s) recorrido est-a en función del tiempo (t) empleadoEjemplo:Un móvil que parte con una velocidad inicial de 4 m/s y decelera uniformemente a razón de 2m/s2.

S= 4t - t2

INTERES BANCARIO

Los intereses I que produce un capital inicial de 1000 000 de soles depositado en un banco al 6% durante t años viene dado por :

I= 60 000t

Objetivos de aprendizajes previstos:Objetivos de aprendizajes previstos:

Que el alumno tenga bien claro el Que el alumno tenga bien claro el concepto de funciónconcepto de función

Que el estudiante abstraiga Que el estudiante abstraiga situaciones donde esté presente la situaciones donde esté presente la funciones lineales, cuadráticasfunciones lineales, cuadráticas

Que el alumno identifique las Que el alumno identifique las distintas funcionesdistintas funciones

Que el estudiante pueda predecir y Que el estudiante pueda predecir y evaluar una función en la vida diaria evaluar una función en la vida diaria

¿ Qué son las funciones ?

María fue de compras a una librería y compró cuadernos al precio unitario de S/.3.00

N. cuadernos 1 2 3 4 5 ... 40 ..... x

Pago S/. 3 6 9 15 y =3x

Distinguimos los siguientes elementos:

1.- Constante : Precio de cada cuaderno ( S/.3)

2.-Variables:

a) Independiente : número de cuadernos ‘’x’’ b) Dependiente : pago efectuado por los cuadernos “y”

c) Regla de correspondencia : y= 3x También podemos utilizar f(x) , en lugar de “y”

Es decir : y = f(x) =3x

Una función, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades

FUNCIÓN LINEAL

Es aquella función cuyo dominio y rango es el conjunto de los números reales y está definido por :

f: R ----------R x y= f(x) = ax + b , donde :a y b constantes reales y a ,diferente de ceroa , es la pendiente y b es el punto del eje y por donde pasa la la gráficaLa gráfica es una línea recta

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

b

y=ax +b

GRÁFICAS DE LA FUNCIÓN LINEALObserva

¿Cómo uso las computadoras en el ¿Cómo uso las computadoras en el aula?aula?

Para motivar a los alumnos a través Para motivar a los alumnos a través de una presentación agradable de una presentación agradable multimedia del tema a tratar multimedia del tema a tratar (animaciones)(animaciones)

Para reforzar un contenido Para reforzar un contenido (simulaciones)(simulaciones)

Para evaluar los aprendizajes de los Para evaluar los aprendizajes de los alumnosalumnos

Me gustaría aprenderMe gustaría aprender

Situaciones de la vida real donde se Situaciones de la vida real donde se pueda aplicar las funciones pueda aplicar las funciones matemáticas.matemáticas.

Actividades que motiven a los Actividades que motiven a los estudiantes en los diferentes tema estudiantes en los diferentes tema de matemáticade matemática

Crear animaciones interactivasCrear animaciones interactivas

Funciones reales de Funciones reales de variable realvariable real

José Manuel Reyes José Manuel Reyes BritoBrito

I.E.S. ‘Albert Einstein’I.E.S. ‘Albert Einstein’

SevillaSevilla

y = f(x)

x f(x)

x

Elementos básicos en el estudio de una función.

DOMINIO o CAMPO DE EXISTENCIA

RECORRIDO o IMAGEN

GRÁFICA o GRAFO

DOMINIO o CAMPO DE EXISTENCIA

Df = {x / f(x) }

Es el conjunto de valores que puede tomar x, de manera que f(x) sea un número real: Valores para los que se puede calcular f(x)

RECORRIDO o IMAGEN

Rf = {y / y = f(x), x Df}

Es el conjunto de valores que puede tomar y, como transformados mediante f(x) de los valores del dominio.

GRÁFICA o GRAFO

{(x, y) 2/ x Df, y Rf}

Es el conjunto de puntos del plano de manera que la segunda coordenada sea transformada de la primera mediante f(x). Representados estos puntos en un sistema de ejes cartesianos, nos proporcionarán información gráfica de la función.

Clasificación de las funciones de variable real

F. Lineal: y = mx + nF. Cuadrática: y = ax2+bx+cOtras funciones polinómicas

Enteras o Polinómicas

Pn(x)Qm(x)

Racionales fraccionarias

Irracionales o radicales: x aparece bajo una raíz

ALGEBRAICAS

TRASCENDENTES

ExponencialLogarítmicaTrigonométricas··· ··· ···

Funciones Lineales: y = Funciones Lineales: y = mx + nmx + n

Funciones algebraicas enteras o polinómicas

Todas las funciones polinómicas tienen dominio

3ª) y = x - 21ª) y = x2ª) y = x + 3

3ª) y = (1/3)x +1

1ª) y = 2x +1

2ª) y = 5x +1D f =

A mayor pendiente, mayor ángulo con la horizontal

Ordenada en el origen no cambia

D f = 1ª) y = -3x + 1

2ª) y = -3x + 5

3ª) y = -3x + 2

Igual pendiente: paralelas

Obsérvese el efecto de la ordenada en el origen

RESUMEN:

Funciones lineales: y = mx + n

D f =

Gráfica: RECTA

R f =

D f =

R f =

¡Ojo! Si m=0, R f = {n}

R f = {-2}

Ejemplos de aplicaciones de la función lineal:

A) Movimiento uniforme: e = e0 + vt

B) 2ª Ley de Newton: F = ma (m constante)

C) Dilatación: L = L0(1 + kt)

D) Potencia de un salto de agua: P = Caudal·Altura

E) Ley de Ohm: V = IR

F) Cambio de escala termométrica: C = 5/9·(F-32)

Funciones cuadráticasFunciones cuadráticas

y = axy = ax22 + bx + c + bx + c

Funciones algebraicas enteras o polinómicas

Como todas las funciones polinómicas

D f =

5

36x

5

32x

5

4y 2

Apreciamos un aspecto de la gráfica que no es

significativo y que puede llamar a

confusiones

Cambiamos el rango de representación y observamos las

variaciones que se producen

Ahora observamos la gráfica con toda su

significación

Las claves están en los siguientes

elementos:

Cortes con el eje OX

Vértice

Funciones cuadráticas D f =

y = ax2 + bx + c

Es aconsejable seguir las siguientes pautas en el estudio de una función cuadrática:

1. Hallar los puntos de corte con el eje OX

ax2 + bx + c = 0 x1 y x2 (x1, 0) y (x2, 0)

2. Hallar las coordenadas del vértice V(xv, yv)

3. Completar, si es necesario, con una tabla

Sólo 1 ó 2 valores. (Corte con el eje OY)

Ejemplos de funciones cuadráticas D f =

1) y = x2 -8x - 9

Vértice (4, -25)

R f = [-25, +)

Ejemplos de funciones cuadráticas D f =

Tres parábolas que cortan en los mismos puntos al eje OX

Obsérvense los coeficientes de x2

9

100x

9

80x

9

20y

9

25x

9

20x

9

5y

5x4xy

2

2

2

V(2, -9) R f = [-9, +)

V(2, -5) R f = [-5, +)

V(2, -20) R f = [-20, +)

Ejemplos de funciones cuadráticas D f =

y = x2 - 3x + 2

y = 3x2 + 2x +1

y = 20x2 - 20x + 5

Ejemplos de funciones cuadráticas D f =

Si el coeficiente del término de mayor grado es negativo, las ramas infinitas de la parábola se dirigen hacia abajo:

y = - 3x2 + x - 2

y = - 3x2 – x + 2

y = - x2 + 7x - 10

¡Ojo! En este caso:

Rf = (-∞, xv]

Ejemplos de aplicaciones de la

función cuadrática:

A) Movimiento uniformemente acelerado

s = s0 + v0t + ½·at2

B) Teorema de Torricelli

v2 = 2gh

ACTIVIDAD