1 HomoteciasEn la vida cotidiana estamos familiarizados con las homotecias solo que muchas veces no le ponemos

atención, por ejemplo, la sombra que produce alguna persona u objeto, la proyección de una pelicula en lapantalla, el zoom en las pantallas de los celulares o computadoras.

Definición 1.1 HomoteciasUna homotecia es una transformación de una figura en otra figura con la misma forma. Puede cambiarsu tamaño, u orientación. La homotecia se genera a partir de un punto O.

Ejemplo 1.1. La siguiente figura es una homotecia del triángulo ABC en el triángulo A�B�C �.

En la figura anterior, existe una relación entre los segmentos del triángulo ABC y los segmentos deltriángulo A�B�C �, veamos,

A�B�

AB�

25,

B�C �

BC�

25, y

C �A�

CA�

25

Esta relación se llama razón y usualmente se utiliza la letra k. Por lo que decimos que en el ejemplo anterior

k �

25, esto significa que el triángulo A�B�C �es

25más pequeño que el triángulo ABC.

Notese que en toda homotecia P � de P con centro en O, se tiene que

OP �� k �OP (1.1)

Además,

Si k A 0 entonce P y P � están del mismo lado de O y se dice que la homotecia es directa. En elejeplo anterior teniamos una homotecia directa.

Si k @ 0 entonces P y P � están en lados opuestos de O, y se dice que es una homotecia inversa.

Ejemplo 1.2. La siguiente figura corresponde a una homotecia inversa con k � �

25

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1.1 Ejercicios

Si 0 @ TkT @ 1 entonces, la homotecia se encoje, este fenómeno se llama disminución o contracción.En los ejemplos 1.1 y 1.2, se tenía que 0 @ TkT @ 1, por lo que la homotecia se hacía más pequeñaque la figura original.

Si TkT A 1 entonces la homotecia se alarga, y se llama ampliación o dilatación.

Ejemplo 1.3. La siguiente figura representa una homotecia con TkT A 1, en este caso particular, k �

� 32

Notese que en las homotecias las medidas de los ángulos homólogos permanecen invariantes.

1.1 Ejercicios

1.1. De acuerdo a la siguiente figura en la cual se representa una homotecia, determine lo que se le solicita:

1. Cuál o cuales de las siguientes proposiciones es verdadara

a) k A 0

b) k @ 0

c) 0 @ TkT @ 1

d) TkT A 0

2. El lado homólogo a AB corresponde a

3. El ángulo homólogo a �AED corresponde a

4. ¿Cuáles elementos permanecen invariantes en esta homotecia?

1.2. En la siguiente figura se muestra una homotecia de razón k �

� 32,

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1.1 Ejercicios

Determine lo que se le solicita:

1. Si OC �� 12cm, entonces OC �

2. Si OB � 4cm, entonces BB��

3. Si AA�� 35cm, entonces AO �

4. Si AB � 8cm, entonces A�B��

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1.2 Soluciones

1.2 Soluciones

Soluciones sección 1

1.1 1. a) y c)

2. A�B�

3. �A�E�D�

4. Los ámgulos permanecen invariantes.

1.2 1. OC � 8cm

2. BB�� 10cm

3. AO � 14cm

4. A�B�� 12cm

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