REPRESENTAR FIGURAS Y BUSCAR SIMILITUDES.

ACTIVIDAD Nº 1 : 1. Recorta 6 triángulos equiláteros de 6 cm por lado.

2. Combina 2 triángulos, para encontrar nuevas formas geométricas, de acuerdo a la siguiente regla :

“DOS TRIÁNGULOS ESTÁN UNIDOS POR UN LADO COMPLETO”

Ejemplo :Esto es permitido Esto no está permitido

3. Encuentra todas las formas posibles usando 3 triángulos. Dibújalas en la hoja correspondiente.

Encuentra el perímetro de las figuras formadas.

4. Encuentra todas las formas posibles usando 4 triángulos. Dibújalas en la hoja correspondiente.

Encuentra el perímetro de las figuras formadas.

5. Encuentra todas las formas posibles usando 5 triángulos.Dibújalas en la hoja correspondienteEncuentra el perímetro de las figuras formadas.

6. Encuentra todas las formas posibles usando 6 triángulos.Dibújalas en la hoja triangulada.Encuentra el perímetro de las figuras formadas.

Descubre un procedimiento sistemático para encontrar las formas diferentes que se obtienen al aumentar cada vez el número de triángulos

ACTIVIDAD Nº 2   :

1. Recorta 5 cuadrados de 6 cm por lado.2. Combina 2 cuadrados, para encontrar nuevas formas geométricas, de acuerdo a la misma

regla anterior :Deben unirse por un lado completo. No deben unirse por un vértice.

Ejemplo :Esto es permitido Esto no está permitido

3. Encuentra todas las formas posibles usando 3 cuadrados.

Dibújalas en la hoja cuadriculada de tu cuaderno.

4. Encuentra todas las formas posibles usando 4 cuadrados.Dibújalas en la hoja de tu cuaderno.

5. Encuentra todas las formas posibles usando 5 cuadrados.Dibújalas en la hoja de tu cuaderno.

Estas figuras las llamaremos PENTOMINOS.¿ Cuántos pentominos hay ?

ACTIVIDAD Nº 3.

Tu quieres embaldosar un patio, es decir, de una superficie plana con figuras geométricas y no pueden quedar espacios en blanco.( éstas pueden ser triángulos, cuadriláteros, figuras compuestas etc. )Dibuja diversas posibilidades. No te des por vencido tan luego.Estruja tu imaginación.Colorea.Intenta ser un artista de fama.DIBÚJALO EN TU CUADERNO.

TESELACIONES

Análisis de la posibilidad de embaldosar el plano con algunos polígono.

Constata la posibilidad de embaldosar una superficie plana haciendo coincidir los lados de

“baldosas” triangulares y sin que queden intersticios entre ellos .Hace este trabajo en tu cuaderno.

Ahora considera otras formas geométricas :Cuadriláteros ( cóncavos y convexos )PentágonosHexágonosCírculos,etc. ¿ Con qué polígonos se puede embaldosar una superficie plana y en cuales no? ¿ Qué característica debe tener la figura para que sea posible? Averigua con tus compañeros los embaldosamientos que ellos hicieron

Te desafío ahora a construir un embaldosamiento utilizando diferentes figuras geométricas, por ejemplo. Utilizando dos polígonos regulares.

TRASLACIONES Y SIMETRÍAS AXIAL..

CONCEPTO DE TRANSFORMACIÓN : Cambio de posición, tamaño o forma que puede experimentar una figura o un cuerpo geométrico.

TIPOS DE TRANSFORMACIONES :

Existen las siguientes transformaciones :a) traslación,b) simetría axialc) simetría centrald) rotacióne) homotecia

SIMETRÍA AXIAL.

Dobla una hoja de papel. Hazle tres perforaciones con un alfiler, marcando éstas con las letras A, B y C y vuelve a desdoblarla :

Primer paso : Segundo paso :

A

línea de doblez línea de doblez

Une A con A’ ( con línea punteada y fina ) ;( A’ es el punto imagen de A resultante de la perforación del alfiler ) ; B con B’ y C con C’.

Une A con B y C. Éstas con línea entera. También une A´ con B´ y con C´. Resultan dos triángulos. Colorea los triángulos resultantes.

Mide el segmento desde A hasta la línea de doblez y desde ésta hasta A’. Igual con B y C. ¿ que sucede ?

¿ Qué se puede decir del segmento AA´ con respecto al doblez?

Siguiendo el mismo proceso que descubriste , intenta realizar las siguientes construcciones :

a)

Eje de simetría

b)

c)

d)

f) Eje de simetría

EJE DE SIMETRÍA PROPIO es aquel que divide la figura en dos partes congruentes exactamente iguales.

En la figura determina cuantos ejes de simetría propios puedes encontrar :

En los siguientes casos, determina el eje de simetría

a) b)

Construye un friso ( imágenes sucesivas )

¿ Cuál de las siguientes figuras tiene simetría axial ? y en caso positivo ¿ cuántos ejes tiene cada una ?

SIMETRÍAS CENTRAL

En las guías anteriores, para dibujar la imagen de una figura lo hicimos frente a un eje de simetría.

Ahora, nuestro esfuerzo va dirigido a construir la imagen de una figura colocada frente a un punto que servirá como centro de simetría.

Ejemplo C

O B

A

¿ Que crees tú que debe pasar con las distancias AO, BO y CO al proyectarlas mas allá de O ? ¿ Qué sucede con la figura ABC ?

Encuentra las imágenes de las siguientes figuras :

x

x

x

Ahora trata de encontrar la composición de simetrías a través de :a) los ejes ortogonalesb) puntos cualesquiera de simetría central

En el cuadriculado, dibuja una figura cuyos vértices son : A(1,1) ; B(12,-1) ; C(8,8) D(2,10).

Dibuja su imagen simétrica considerando el centro de simetría el origen (0,0). Trata de ser lo más exacto posible .

Dibuja su imagen simétrica considerando el eje de simetría Y en la forma más exacta posible .

De acuerdo a la figura obtenida al considerar el centro de simetría (0,0), puedes definir que el punto simétrico de A es A = (__,__)

el punto simétrico de B es B = (__,__)

el punto simétrico de C es C = (__,__)el punto simétrico de D es D = (__,__)De acuerdo a lo obtenido, podrías generalizar un principio que permita construir las

imágenes de figuras con simetría central a través del origen, sin hacer uso de compás ni regla,

PRINCIPIO :

EJERCICIOS :

1. En tu cuaderno dibuja en un sistema de ejes cartesianos y en él , construye un pentágono y luego su imagen a través del origen (0,0) si los vértices de la figura son (2,2) ; B(-2,8) ; C(-10,0) ; D(-4,-4) ; E(0,-2).

2. Con otro color construye la imagen del mismo polígono tomando como centro de simetría el punto (4,2)

3. El “ indio malo” ( tiene que ser del Colo Colo ) ubicado en el cuarto cuadrante se ve “reflejado” en cada eje de coordenadas.

Dibuja sus imágenes sin trazar segmentos auxiliares.

TRASLACIÓNOtro

tipo de

transformaciones isométrica de una figura en el plano es la traslación, producida al desplazarse dicha figura a través de paralelas en una dirección dada. La figura mantiene su forma y tamaño.

Para trasladar una figura debemos de considerar lo siguiente :

a) trazar una recta por uno de los vértices de la figura en la dirección deseada.

b) posteriormente se trazan paralelas a la recta dibujada anteriormente, por cada uno de los vértices de la figura,

c) se elige una distancia d cualquiera para trasladar la figura. Esa misma distancia se aplica en cada una de las paralelas dibujadas. Uniendo los puntos obtenidos se obtiene la imagen de la figura dada.

primer paso D

A C

segundo paso D

A C B

tercer paso D

A C B

cuarto paso D

A C B

EJERCICIO.

1. Construye la imagen del barquito, de acuerdo a la dirección dada :

B

2. También se puede trasladar una figura en el plano cartesiano

1º) dibuja el polígono A(-5,2) ; B(-2,3) ; C(-3,6) ; D(-6,7) y E(-8,4)2º) cada vértice lo deberás trasladar 8 cuadritos hacia la derecha y 3 hacia arriba.

3º) Por lo tanto las posiciones, luego de dibujar, son :para A’( , ) ; para B’( , ) ; para C’ ( , ) ; para D’( , ) y para E’ ( , )

Eso, lo anotaremos así :

A(-5,2) T(8,3) A’( , )

Otra vez aparece, el “ indio malulo “, ahora harás una composición de traslaciones , es decir, una traslación . Se obtiene una imagen, de ésta se aplica una nueva traslación.Primero, harás una traslación T(-18,-4 )

Oh, ¿ qué sucede ?

Luego, realizas una nueva traslación desde la imagen, ahora T( 15,-11)También harás una traslación del “temible animal” con T(27,-15)

Al obtener la nueva imagen, escribirás la historia que

se te ocurra con relación a las diferentes posiciones que

toma el “indio malulo “

HISTORIA DEL INDIO MALULO :

ROTACIÓN.

Otra transformación isométrica en el plano es la ROTACIÓN, que permite girar una figura cualquiera del plano obteniendo una figura congruente con ella.

La rotación hace corresponder a cada punto de una figura, otro punto que pertenece a un mismo arco de circunferencia de centro dado, radio dado y con un ángulo dado.

EJEMPLO Q’

30º

Q

GIRO POSITIVO Tendremos que considerar que existe un giro positivo al realizarlo en sentido contrario al movimiento de los punteros del reloj.

(+)

GIRO NEGATIVO, si se realiza en el mismo sentido de los punteros del reloj.

(-)

Es decir, para realizar una rotación debemos de considerar :

1. CENTRO DE ROTACIÓN (P) que es un punto del plano elegido en forma convencional.

2. MEDIDA DEL ÁNGULO ( ) es el giro en que se efectuará la rotación.

3. SENTIDO DE LA ROTACIÓN que puede ser positivo o negativo.

Para designar una rotación, usaremos el siguiente símbolo R( P ; ).

EJERCICIO

1. Rotar la figura del plano en un ángulo de 55º con centro en el punto P.

2. Ahora rota el pentágono ABCDE con un ángulo de -65º.

P

ANGULOS ESPECIALES.Rota el cuadrilátero ABCD, A(2,1) ; B(8,2) ; C( 12,11) ; D( 5,5).con centro en el origen y un ángulo de 90º, luego uno de 180º, después uno de 270º y por último uno de 360º

D C

E

A

B

P

Al girar la figura con respecto al origen en 90º , se obtiene la figura A’B’C’D’ con las siguientes coordenadas :

Si A( 2,1) A’ ( , ) Si B( 8,2) B’ ( , )Si C( 12,11) C’ ( , ) Si D( 5,5) D’ ( , )

Luego, al rotarla en 180º (tomados desde el principio) , se obtienen las siguientes coordenadas :

Si A( 2,1) A’ ( , ) Si B( 8,2) B’ ( , )Si C( 12,11) C’ ( , ) Si D( 5,5) D’ ( , )

Luego, rellenas el siguiente cuadro

FIGURA R(0,90º) R(0,180º) R(0,270º) R(0,360º)

A( 2,1)

B( 8,2)

C( 12,11)

D( 5,5)

Luego de realizar el trabajo de búsqueda de lasa coordenadas, ¿ cuál es tu deducción ?

Si es así, ¿ cuáles serían las coordenadas de la figura ABC si A(-7,3) ; B(-2,6) ; C( -10,8) al girar en 90º con respecto al origen ?

A(-7,3) A’( , )B(-2,6) B’( , )C(-10,8) C’( , )

COMPOSICIÓN DE ROTACIONES.Una rotación a continuación de la otra.

Tomemos las figuras siguientes y realizamos las siguientes rotaciones del triángulo:R ( M , -35º ) y R( P, 75º )

M

NM1: TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS

Danny Perich C.

1.

2.

P

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

ACTIVIDADES DE HOMOTECIA Y SEMEJANZA

Indica el centro y la razón de las dos homotecias (una positiva y otra negativa) que transforman el cuadrado pequeño en el grande.

                                                   

Halla, en cada caso, la razón de la homotecia que transforma P en P':

Sean A=(0,2); B=(2,1) y C(1,4) tres puntos del plano. Halla las coordenadas del triángulo homólogo de ABC mediante la homotecia:

de centro (4,4) y razón -2, de centro (1,3) y razón 3.

¿Cuál es el centro y la razón de la homotecia que transforma el anterior triángulo

            en el A'B'C'; con A'=(1,1); B'=(5,-1) y C'=(5,6)?

Abajo a la izquierda está el cuadro "adición" del afamado pintor abstracto Antonio Tapia.

            Un aficionado, que visitó el museo donde se expone, realizó una copia y olvidó pintar el signo +.

            ¿Sabrías ayudarle a pintarlo en su lugar exacto?

Construye una figura semejante que ocupe un área cuatro veces mayor y que esté girada 90º respecto de la que se muestra.

El primer dibujo representa a un dinosaurio y está a escala 1:200. Averigua a qué escala está representado en el segundo dibujo y halla su altura real.

En un plano a escala 1:100 un dormitorio cuadrado ocupa un área de 16 cm2. ¿Como son sus dimensiones reales?

Un entrenador de baloncesto dispone de una pizarra de 35 cm por 50 cm para dibujar la posición de sus jugadores en la zona. Pregunta en el Departamento de Educación Física las dimensiones del campo e indica con que escala se puede realizar una representación razonable.

Unos observadores, con la ayuda de aparatos de medición, comprueban desde la costa las siguientes medidas: OA=15 m, OB=3 m y OC=80 m.

Calcula la distancia del velero a la playa.

Hallar las dimensiones de los triángulos de la figura.

Se desea prolongar el alero de un tejado para construir un porche que cubra 370 cm desde la pared. Hallar la longitud de la prolongación.

El rectángulo ABCD, de 210 cm de altura representa la parte habitable del desván. Si la casa tiene un ancho de 10 m, ¿Qué altura habrá de tener el tejado para conseguir que AD sea de 5'5 m?

Se desea construir un canal semejante al de la figura, de forma que admita una cantidad de agua 9 veces superior. 

¿Qué dimensiones habrá de tener?

Las superficies de dos calderas semejantes son 80 y 93 m2, Calcula el volumen de la primera sabiendo que la segunda tiene un volumen de 3400 m3. Nota: la relación entre el volumen de dos cuerpos semejantes es el cubo de la razón de semejanza.

Se midió un terreno con una cinta métrica trucada de 50 m, dando un área de 90 Ha. Posteriormente, el comprador comprueba que la medida real de la cinta era de 49 m. ¿Será necesario volver a medir el terreno?. Si el precio de la Ha era de 400000 ptas, ¿en cuánto se pretendía engañar al comprador?

Un depósito esférico tiene un volumen 10 veces mayor que otro. ¿Cuántas veces es mayor su superficie?

Hallar a.

Demuestra que los tres triángulos rectángulos son semejantes. Basándote en ello, demuestra que h2=m·n (Como recordarás este resultado se conoce como teorema de la altura). Intenta demostrar que a2 = n · c y que b2 = m · c (que eran los teoremas del cateto)

Demuestra que BNC es semejante a NMB y, basándote en ello, calcula las dimensiones del último triángulo. Aplica el teorema del cateto en ANB y el teorema de Pitágoras en ABC para las dimensiones de éste.

Reordenando los pedazos de la figura se puede construir un cuadrado. Calcula su perímetro.

 

Halla la longitud de los segmentos MP y PN.

Demuestra que los triángulos ACB y BMN son semejantes y calcula el área del cuadrilátero AMNC.

Expresa las dimensiones y el área del triángulo ABC en función de x.

Expresa el perímetro y el área del rectángulo en función de x.

Calcula x de manera que divida al triángulo en dos piezas de igual área.

 

Los extremos de dos palillos, de 20 y 50 cm respectivamente, están unidos por sendos hilos y se disponen de la manera que indica el dibujo:

Calcular la altura a la que se encuentran los hilos. Si los hilos fuesen gomas y se saparasen aún más los palillos, ¿variaría la altura a la que se cruzarían las gomas?

Sabiendo que las figuras A, B y C son semejantes:

¿Cuánto valen A/C y B/C?

Demuestra que la suma de las áreas de las dos primeras coincide con el área de la tercera.

 

AMPLIANDO Y REDUCIENDO

1. Dibuja en tu cuaderno un cuadrado de 3 cuadritos de lado.

Amplia el cuadrado que dibujaste al doble.

Hemos ampliado el cuadrado en la razón _________

2. Dibuja un rectángulo de 4 cuadrito de largo y 2 cuadritos de ancho.

Amplia el rectángulo dibujado al triple.

Hemos ampliado el rectángulo en la razón _________

3. Dibuja un hexágono cuyos lados midan 4 cuadritos. ¿Será fácil?

Reduce el hexágono de modo que sus lados midan 2 cuadritos.

Hemos reducido el cuadrado en la razón _________

4. ¿Que puedes decir con respecto a los ángulos de todas estas figuras cuando fueron ampliadas o reducidas?

Estos pares de figuras hechas son figuras SEMEJANTES.

Dos figuras son semejantes si

____________________________________________________________________________

5. Dibuja dos rectángulo que no sean semejantes, indicando por qué no lo son.

6. Dibuja 2 triángulos equiláteros semejantes.

7. Dibuja un triángulo rectángulo de catetos 6 cm. y 8 cm. Amplia estos catetos en 3 cm. ¿En qué razón están estos triángulos?, ¿Cuánto mide la hipotenusa de cada triángulo? (Pitágoras)

8. En un mapa a escala 1:100.000, la distancia entre dos ciudades es 24 cm. Determina la distancia real en Km. entre ambas ciudades.

9. En un plano de una casa a escala 1:50, el comedor mide 12 cm. por 15 cm. Determina las dimensiones reales del comedor.

APLICANDO SEMEJANZA

1. A la misma hora, un árbol proyecta una sombra de 10 metros, mientras que una vara de 6 metros de altura proyecta una sombra de 4 metros. Determina la altura del árbol.

2. 5 kilos de papas valen $ 750, ¿Cuánto valen 8 kilos?

¿Qué opinas de este procedimiento que inventó un alumno, aplicando el teorema de Thales?

Resuelve con el mismo método: Si una docena de huevos vale $72, ¿cuánto valen 4 huevos?

Actividades a realizar:

1. Mide tu sala de clases y todos los elementos contenidos en ella y luego haz un plano con escala 1:100.

2. Haz el plano de tu casa con la escala adecuada para que pueda ser dibujada en una hoja de cuadernillo.

3. Visita junto a tus compañeros una plaza.

Mide todos los elementos que contiene: bancas, monumentos, áreas verdes, etc.

Haz un plano aplicando una escala adecuada.

¿Qué remodelaciones le harías?

Dibuja el nuevo plano de acuerdo a los cambios que efectuarías.

4. Mide la altura de algún árbol con el método del espejo.

CONSTRUYENDO FIGURAS SEMEJANTES

1. Construye un pantógrafo y utilizarlo para trazar figuras semejantes.

Sugerencia para la construcción de un pantógrafo:

2. Considerar una situación del tipo siguiente. Una empresa ha diseñado un juego para niños que permite armar figuras como la del dibujo.

Las piezas y sus medidas son las siguientes:

Por diversas razones, la empresa decide agrandar estas piezas con el siguiente criterio:

lo que mide 5 cm pasará a medir 8 cm; el resto de las medidas se deben ajustar a ese criterio para mantener la proporción.

Diseñar en cartulina las piezas del juego ya ampliado. Analizar y comentar los procedimientos utilizados: ¿cuál fue la pieza que ofreció mayor (o menor) dificultad para rehacerla?

3. Se organiza al curso en grupos; cada grupo recorta 10 o más rectángulos considerando dos o tres razones diferentes entre sus lados; se pasan estos rectángulos a otro grupo para que los clasifique por semejanza.

4. Construir por homotecia figuras semejantes. En los dibujos siguientes se proponen dos construcciones. En la primera, O es el centro de homotecia, ABCD es la figura original y la razón de homotecia es 1/2

En el segundo dibujo, ABCD es la figura original, O es el centro de homotecia y la razón de homotecia es –3.

Teorema de thalesPROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS. TEOREMA DE THALES.

1. Teorema de Thales.

1.1. Segmentos proporcionales entre paralelas. [1]

Observa que las rectas paralelas a, b, c y d cortan a las dos rectas secantes r y t.Considera los segmentos AB y CD de la recta r. Se observa que CD = 2 · AB.¿Qué relacion hay entre los segmentos correspondientes A’B’ y C’D’?Observa que C’D’ es también doble de A’B’:C’D’ = 2 · A’B’.Observa también que con estos segmentos se puede escribir esta proporción:

CD / C’D’ = (2 · AB) / (2 · A’B’) = A’B’ / AB.

Esta proporcionalidad existente entre todos los segmentos de la recta r y sus correspondientes de la recta t:

AB / A'B' = AC / A'C' = BC / B'C'=CD / C'D'=k.

Si varias paralelas son cortadas por dos rectas secantes, los segmentos que determinan en una de las secantes son proporcionales a los segmentos que determinan en la otra secante.

1.2. División de un segmento en partes iguales.

Vamos a dividir el segmento AB en tres segmentos iguales.1. Para ello se traza una semirrecta

cualquiera con origen en A que forme con el segmento AB un ángulo menor de 180º.2. Se elige un segmento u arbitrario se lleva

sobre la semirrecta que antes hemos trazado tres veces y el punto P, correspondiente a la última división, se une con el punto B.3. Finalmente se trazan paralelas a PB por

los puntos de división M y N y se obtienen los puntos M' y N', que dividen el segmento AB en tres partes iguales.

1.3. Segmento cuarto proporcional.

Dados tres segmentos a, b y c se llama segmento cuarto proporcional de a, b y c a otro segmento x que cumple la siguiente proporción:

a / b = c / x.Observa los segmentos a, b y c. Numéricamente podemos calcular el

cuarto proporcional de la siguiente manera:a / b = c / x; 5 / 4 = 2,5 / x; 5·x = 4 · 2,5; 5x = 10; x = 10 / 5 = 2. El

cuarto proporcional es 2.

Observa cómo se determina gráficamente el segmento cuarto proporcional.

1. Se trazan dos semirrectas de origen O y sobre ellas se llevan los segmentos a, b y c como indica la figura.

2. Se unen los extremos no comunes P y Q de a y b y por el extremo M de c se traza una paralela a PQ; el segmento QN = x es el segmento buscado.

1.4. Segmento tercero proporcional.

Dados dos segmentos a y b, se llama segmento tercero proporcional de a y b a otro segmento x que cumple la siguiente proporción:

a / b = b / x.Observa los segmentos a y b.

Numéricamente podemos calcular el tercero proporcional de la siguiente manera:

a / b = b / x; 1 / 2 = 2 / x; x = 4. El tercero

proporcional es 4 cm.La construcción gráfica del tercero proporcional se hace como en el caso

del cuarto proporcional.

2. Triángulos en posición de Thales.

1. Dibuja en tu cuaderno un triángulo como el triángulo ABC.

2. Traza una paralela A'B' al lado AB. Así se forma un nuevo triángulo CA'B'.

Los triángulos CAB y CA'B' se dice que están en posición de Thales o que son triángulos de Thales.

Veamos que dos triángulos en posición de Thales tienen los ángulos iguales y los lados proporcionales:

Los ángulos de dos triángulos de Thales son iguales. El ángulo C es el mismo para los dos triángulos:

A = A'B = B'

3. Los lados de dos triángulos de Thales son proporcionales.

Para ver la proporcionalidad de los lados tracemos por el punto B' una paralela B'D al lado CA. Entonces A'B' = AD por ser lados opuestos de un paralelogramo.

· Aplicando el teorema de Thales a las paralelas AB A'B', cortadas por CA y CB, resulta la proporción a):

a) CA / CA' = CB / CB'.· Aplicando el teorema de Thales a las paralelas AC B'D. cortadas por CB

y AB, resulta:AB / A'B' = CB / CB'.

y como AD = A'B' resulta la proporción b): las proporciones a) y b) resulta: AB / A'B' = CB / C'B'.

De las proporciones a) y b) resulta:CA / CA' = CB / CB' = AB / A'B'.

Si dos triángulos están en posición de Thales, entonces sus ángulos son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales.