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II Coloquio Internacional sobre Enseñanza de las Matemáticas (7, 8 y 9 de febrero de 2007 Lima-Perú)

Construcciones Geométricas en tres dimensiones empleando Cabri 3D Mariano González Ulloa1

mgonzal@pucp.edu.pe …… …….. Roy Sánchez Gutiérrez2

rwsanche@pucp.edu.pe

Introducción

Actualmente en los programas educativos de nuestro país, se desarrollan muy pocos temas de

geometría tridimensional; los alumnos que terminan la educación secundaria saben muy poco o

casi nada de Geometría del Espacio. En muchos casos se debe a que los profesores tratan de

“evitar” la enseñanza de estos temas. Una de las razones principales para que esto ocurra es que

también ellos, durante sus estudios profesionales, no tuvieron la oportunidad de desarrollar

dichos temas. La formación académica en Matemáticas en las instituciones de donde egresan

profesores, sean institutos pedagógicos, universidades u otras no es rigurosa ni formal en los

cursos del área. Por ello, creemos que esta es una buena oportunidad para repasar los aspectos

básicos de geometría del espacio; conceptos que debemos trasmitir a los jóvenes estudiantes en

su formación. Vivimos en un mundo tridimensional y por ende debemos comprender, visualizar

y distribuir adecuadamente el espacio en el que nos desarrollamos.

Es imposible que en un taller de tan corta duración, como el que proponemos, se puedan cubrir

muchos temas de la geometría tridimensional, sin embargo este encuentro resulta ser un espacio

de reflexión y análisis de las actividades que desarrollamos en el aula en lo que concierne a

geometría.

Usaremos como herramienta de Geometría Dinámica el software Cabri para la construcción de

los polígonos, poliedros, desarrollos planos de los poliedros y la solución de muchos problemas

no solamente de geometría sino de otras áreas, como optimización, por ejemplo. Gracias a las

bondades que ofrece el software (en sus versiones para dos y tres dimensiones, Cabri II Plus y

Cabri 3D respectivamente) y a las transformaciones geométricas, se pueden simular

construcciones con regla y compás en forma dinámica en el plano, representar figuras

geométricas en movimiento en el espacio tridimensional tales como poliedros, cilindros, conos,

esferas, etc; y realizar construcciones de diversas figuras en el espacio usando puntos, rectas,

curvas y planos.

1, 2Pontificia Universidad Católica del Perú IREM-PUCP

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Resumen

En el taller proponemos una breve discusión sobre polígonos y sus propiedades, las

transformaciones en el plano: traslaciones, homotecias, simetrías y rotaciones. También, la

discusión de aspectos básicos de los poliedros regulares, la construcción en Cabri 3D de un

poliedro a partir de su desarrollo plano, el estudio de sus propiedades y otros temas

relacionados con los poliedros.

Se enuncia el principio de Cavalieri y se hace un desarrollo detallado del procedimiento para

hallar el volumen de una esfera, aplicando precisamente, dicho principio. Finalmente

proponemos un conjunto de actividades que se desarrollarán usando Cabri II Plus y Cabri 3D,

aplicando la geometría dinámica. Con lo cual se muestra la gran utilidad de esta herramienta en

el proceso enseñanza - aprendizaje de la geometría.

Objetivos

Los principales objetivos del taller son:

- Reconocer que los temas de geometría son de vital importancia en el desarrollo

del pensamiento geométrico de los estudiantes de todos los niveles educativos.

- Revisar la construcción y propiedades de los poliedros regulares.

- Realizar el desarrollo plano de los poliedros regulares.

- Proporcionar a los asistentes al taller herramientas y medios útiles para diseñar

actividades que les permitan explicar los temas de geometría tridimensional.

- Reconocer que el software Cabri es una herramienta que ayuda a entender los

conceptos de Geometría.

Desarrollo

1. Polígonos regulares. Descripción.

Un polígono es la unión de segmentos en un mismo plano de tal manera que cada segmento interseca exactamente a otros dos en sus puntos extremos.

Figura 1

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Los segmentos que forman un polígono se denominan lados del polígono y los puntos extremos de los segmentos se denominan vértices del polígono. Los vértices de un polígono se denotan con letras mayúsculas y éstas sirven para nombrar al polígono. Por ejemplo en la figura 2, se tiene el polígono ABCDEF, (recorriendo los vértices en sentido antihorario)

Figura 2 El segmento que une dos vértices no consecutivos en un polígono se denomina diagonal del polígono. En el polígono ABCDEF tanto el segmento BF como el segmento AD son diagonales del polígono. Los polígonos se nombran de acuerdo al número de sus lados, el que tiene menor número de lados es el triángulo. Complete la siguiente tabla

No. de lados Nombre No. de lados Nombre3 triángulo 9 4 10 5 12 6 20 7 30 8 N

La unión de un polígono con su interior se denomina región poligonal.

Figura 3

Ángulos de un polígono Cada vértice de un polígono es el vértice de un ángulo formado por los lados adyacentes del polígono cuyo punto común es dicho vértice.

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Figura 4

Los lados AB y AE son los lados del ángulo ∠BAE en el polígono ABCDE y los lados YZ y ZU son lados del ángulo ∠YZU en el polígono XYZUV. Un polígono es convexo si no puede ser interceptado más que en dos puntos por cualquier recta que no contenga a un lado del polígono. En la figura 4, el polígono ABCDE es convexo, mientras que el polígono XYZUV no es convexo. Observar que el interior de los ángulos de un polígono no siempre está en el interior del polígono (polígono XYZUV). Si el polígono es convexo, el interior de cada uno de sus ángulos está en el interior del polígono.

Dos polígonos con el mismo número de lados son congruentes cuando se establece una correspondencia entre los elementos de uno de ellos: lados, ángulos y vértices, con los elementos del otro polígono de manera que los lados y los ángulos correspondientes son congruentes.

Intuitivamente, dos polígonos congruentes tienen formas iguales y tamaños iguales. Son semejantes si conservan la forma pero no el tamaño.

Polígono regular

Un polígono es regular cuando sus lados y ángulos son, respectivamente congruentes.

Un polígono inscrito en una circunferencia es aquel que tiene todos sus vértices sobre la circunferencia. Un polígono circunscrito a una circunferencia es aquel que tiene todos sus lados tangentes a la circunferencia.

Todo polígono regular puede ser inscrito y circunscrito a dos circunferencias que tienen el mismo centro. El centro de dichas circunferencias es el centro del polígono.

La apotema de un polígono regular es el segmento perpendicular a uno cualquiera de sus lados trazado desde el centro del polígono.

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2. Transformaciones en el plano: traslaciones, homotecias, simetrías y

rotaciones

2.1 Traslaciones.

Una traslación en el plano es una transformación que hace que todos los puntos del plano se desplacen una cierta distancia en la misma dirección. La dirección está dada por un vector determinado y la distancia por su longitud. Esto significa que una traslación queda determinada especificando el vector de traslación.

Figura 5

En la figura 5 se muestra que el segmento AB ha sido trasladado en la dirección

del vector →

OV una distancia igual a la longitud del vector →

OV obteniéndose el segmento A´B´. El segmento trasladado A’B’ no pierde ninguna de sus propiedades por esta transformación, es decir, tiene la misma longitud y la misma orientación que AB.

Figura 6

En la figura 6 el cuadrilátero ABCD se ha trasladado según el vector →

V para obtener el cuadrilátero A´B´C´D´. Estos cuadriláteros son congruentes.

2.2 Homotecias: Dilataciones (ampliaciones) y contracciones (reducciones) Considere un punto O del plano y un número real positivo k. Una homotecia con centro O y factor k es una transformación que asigna a cada punto P del plano, diferente de O, un punto P´ ubicado en la semirrecta OP de tal manera que OP´ es proporcional a OP’, es decir, OP’ = k OP.

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Si k > 1 la homotecia se denomina dilatación OP’ > OP y si k < 1 la transformación se denomina contracción OP’ < OP. Si k=1 la trasformación no origina ningún efecto. Una figura F es la homotecia de una figura G si cada punto de F es el resultado de una homotecia (del mismo factor) de cada punto de G. Si el factor k > 1 el tamaño de la figura F es mayor que el tamaño de la figura G, en cambio si k < 1 el tamaño de F será menor que el de G.

Figura 7 En la figura 7 se muestra una dilatación (k > 1), el triángulo ABC se trasforma en el triángulo A´B´C´, y una contracción (k < 1) donde el pentágono ABCDE se transforma en el pentágono A´B´C´D´E´. El triángulo ABC es semejante al triángulo A´B´C´, es decir, los ángulos correspondientes A con A’, B con B’ y C con C’ son congruentes y los lados correspondientes, AB con A’B’, AC con A’C’ y BC con B’C’ son proporcionales con un factor de proporcionalidad k, precisamente el factor de homotecia. En ambas transformaciones, los polígonos resultantes son semejantes a los polígonos originales.

2.3 Simetría: central y axial Simetría central Dos puntos P y P´ son simétricos respecto de un punto O si y sólo si el punto O es punto medio del segmento PP´.

Figura 8

El punto P´ es simétrico del punto P y recíprocamente. Una figura es simétrica respecto a un punto O si y sólo sí cada punto P de la figura tiene un punto simétrico P´ respecto del punto O.

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Figura 9 En la figura 9 el cuadrilátero A´B´C´D´ es simétrico con el cuadrilátero ABCD respecto al punto O. Simetría Axial Un punto P es simétrico con un punto P´ respecto de una recta L si y sólo si la recta es la mediatriz del segmento PP´. La recta L se denomina eje de simetría.

Figura 10

Dos figuras son simétricas respecto de una recta L si y sólo si cada punto de la primera figura tiene un punto simétrico respecto de la recta L en la segunda figura.

Figura 11 En la figura 11, cada cuadrilátero es simétrico con el otro cuadrilátero respecto de la recta L. Una figura geométrica tiene un eje de simetría cuando todos sus puntos, considerados dos a dos, son simétricos con relación a dicho eje. Por ejemplo, un

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cuadrado tiene 5 ejes de simetría, todos ellos pasan por el punto de intersección de sus diagonales. Dos ejes contienen a las diagonales, otros dos ejes pasan por los puntos medios de dos lados opuestos y el quinto es perpendicular al plano que contiene al cuadrado.

En la figura 12, la recta L divide a la figura en dos partes, una parte es simétrica a la otra parte respecto a la recta L:

Figura 12

¿L es el único eje de simetría en cada caso? Explique. En caso contrario trace todos los ejes de simetría para cada forma. Considere además como eje, aquella recta perpendicular al plano que contiene a la figura. Simetría respecto a un plano Dos puntos A y A’ son simétricos respecto a un plano P, si dicho plano es perpendicular, en su punto medio, al segmento AA’. Una figura tiene un plano de simetría P, cuando todos sus puntos, considerados dos a dos, son simétricos respecto al plano P. Dos figuras son simétricas respecto de un plano P si y sólo si cada punto de la primera figura tiene un punto simétrico respecto del plano P en la segunda figura.

Figura 13

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2.4 Rotaciones Una rotación o giro en el plano es una transformación que consiste en girar, un cierto ángulo, todos los puntos del plano alrededor de un punto fijo. El punto fijo se denomina centro de rotación y el ángulo se denomina ángulo de rotación. Cada punto conserva sus distancias respecto al centro de rotación. Si O es el centro de rotación, A el punto que se va girar entonces A’ se encuentra sobre la circunferencia de centro O y radio OA=OA’.

Figura 14 En la figura 14 el punto A se ha girado 60° alrededor del punto O, en sentido contrario a las agujas del reloj (antihorario), obteniéndose el punto A´.

Figura 15 En la figura 15 se muestra la rotación del triángulo ∆ABC, 90° alrededor del punto O, en sentido antihorario, obteniéndose el triángulo A´B´C´.

3. Poliedros

Un poliedro es un cuerpo geométrico que está limitado por regiones poligonales que

se denominan caras. Los lados de las caras se llaman aristas y los puntos donde se

cortan las aristas se denominan vértices. En cada vértice de un poliedro concurren

tres o más caras.

Un poliedro es convexo si todo el poliedro está contenido en el mismo semiespacio

respecto al plano de cada una de sus caras.

Poliedro cóncavo es el que tiene alguna cara cuyo plano atraviesa a la figura.

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4. Poliedros Regulares

Se dice que un poliedro es regular cuando sus caras son polígonos regulares iguales y sus

ángulos poliedros tienen el mismo número de caras.

Poliedros Conjugados. Se denominan poliedros conjugados porque cada uno de ellos se

obtiene del otro uniendo mediante segmentos los puntos medios de cada dos caras

contiguas. Así, el tetraedro es conjugado de sí mismo, el dodecaedro es conjugado del

icosaedro y el cubo lo es del octaedro como se muestra en la figura 16.

Figura 16

Existen solamente cinco poliedros regulares, ellos son:

Tetraedro

Poliedro limitado por cuatro triángulos equiláteros. Concurren

tres caras en cada vértice. Tiene 4 vértices y 6 aristas. Si la

longitud de su arista es a entonces su altura es 63ah = , su área

es A= 3 a2 y su volumen es 212

3aV = .

Cubo

Poliedro regular formado por seis caras cuadradas que concurren

tres en cada vértice. Tiene 8 vértices y 12 aristas.

Si a es la longitud de su arista entonces el área total es A = 6 2a ,

su volumen V = 3a y su diagonal 3a .

Al cubo también se le llama hexaedro regular o, simplemente,

hexaedro.

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Octaedro

Poliedro regular formado por ocho triángulos equiláteros

idénticos que concurren cuatro en cada vértice. Tiene 6 vértices y

12 aristas. Si la longitud de su arista es a entonces su área es

A=2 3 a2 y su volumen es 23

3aV = .

Dodecaedro

Poliedro regular formado por doce caras pentagonales que

concurren tres en cada vértice. Tiene 20 vértices y 30 aristas.

Si la longitud de su arista es a entonces su área

es )525(53 2 += aA y su volumen es 4

)5715(3 +=

aV .

Icosaedro

Poliedro regular formado por veinte caras triangulares que

concurren cinco en cada vértice. Tiene 12 vértices y 30 aristas. Si

la longitud de su arista es a entonces su área es A=5 3 a2 y su

volumen es 12

)5515(3 +=

aV .

4. Principio de Cavalieri.

4.1 Introducción

Con 45 fichas de forma cilíndrica e iguales y una cinta de cartulina cuyo ancho sea mayor

que el diámetro de las fichas, ordene las fichas en 3 pilas de modo que sólo una sea recta y

las otras dos sean oblicuas o curvadas y a continuación pasa la cinta entre las fichas a la

misma altura en las tres pilas como muestra la figura 17.

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Figura 17

Las áreas de las fichas que tocan la cinta son iguales para las tres pilas y si se pasa la

cinta a cualquier otra altura, las áreas de las fichas siguen siendo iguales. El Pricipio de

Cavalieri asegura que si esto ocurre para cualquier altura entonces las tres pilas tienen

el mismo volumen.

4.2 Volumen de una esfera El volumen de una esfera de radio r se obtiene mediante la expresión

3

34 rV π=

Vamos a explicar la forma como Arquímides ideó un método simple para determinar el volumen de la esfera.

Figura 18

Imaginó una semiesfera, junto a un cono y a un cilindro. Consideró que el radio R de la esfera sea igual al radio del cono e igual al del cilindro. También supuso que las alturas del cono y del cilindro sean R como se muestra en la figura 19.

Figura 19

El volumen del cilindro de radio R y altura R es V=π R3.

El volumen del cono de radio R y altura R es V=3π

R3.

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Luego, cortó las tres figuras con un plano paralelo a la base del cilindro a una distancia d de la parte superior de las figuras. Se preguntó cómo serían las secciones transversales determinadas por este plano en la semiesfera, el cono y el cilindro.

Figura 20

En el cilindro, la sección que determina el plano es claramente un círculo de radio R y su área es

2. RA cilindroSecc π=

En la semiesfera, la sección circular que determina el plano que corta a la semiesfera, tiene un radio r (menor a R ) que depende de la distancia d.

Figura 21

El área del círculo de radio r, es 2

. rA SemiesferaSecc π= . Además, usando el Teorema de Pitágoras, en el triángulo rectángulo de lados R , d y r se cumple que 222 drR += . En el cono la altura y radio es R, el triángulo formado por el radio, la altura y la pared del cono es rectángulo e isósceles. Por semejanza de triángulos, el circulo que determina el plano que corta al cono tiene radio d. En el mismo cono, la sección que determina el

plano es un círculo de radio d, de área 2

. dA ConoSecc π= .

Figura 22

La suma de las áreas de las secciones del cono y la semiesfera es igual al área de la sección del cilindro.

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Esto ocurre para cualquier valor de d, por lo tanto, si consideramos las secciones (que forma el plano al cortar las figuras) como “rebanadas” finas, para cada trío de rebanadas tendríamos que: Rebanada del cilindro = Rebanada de la semiesfera + Rebanada del cono. De la relación anterior podríamos suponer entonces por el principio de Cavalieri: Volumen del cilindro = Volumen de la semiesfera + Volumen del cono

3)(

33 RVR Semiesfera

ππ += ,

luego,

32 3RVSemiesferaπ

=

y finalmente,

34 3RVEsferaπ

= .

El Principio de Cavalieri también se aplica en el cálculo de volúmenes de sólidos que tienen formas de pirámides, prismas y en general de cualquier figura geométrica. 4.3 Toro

Dadas una circunferencia y una recta, que no se cortan, contenidas en un plano; el toro es una superficie que se obtiene haciendo girar la circunferencia al rededor de la recta.. .

Figura 23

Los neumáticos de los autos y las donas (donut) tienen la forma de un toro.

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Figura 24

En la figura apreciamos las vistas transversal y superior del toro. Si cortamos transversalmente el toro a una cierta altura z, línea entrecortada, la sección será una

corona circular de los siguientes radios, Rmayor = 22 zrR −+ y

Rmenor = 22 zrR −− .

El área de la corona circular está dada por

( )( ) ( )

22

222222

2menor

2mayor

4 zrR

zrRzrR

RRA

−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−−−+=

−=

π

π

π

.

También representa al área transversal que se obtiene seccionando el toro con un plano a una altura z. Por el principio de Cavalieri, para obtener el volumen del toro se debe integrar estas áreas transversales entre el mínimo z, -r y el máximo z, r. El volumen 222 RrV π= .

RR + rR - r

R R + rR - r

22 zrR −−

22 zrR −+

22 zrR −−

22 zrR −+

x

x

z

z

y

rr

-r

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5. Actividades

A. Sobre Cabri II Plus

i. Construcciones elementales

Polígonos regulares e irregulares

Usando las opciones polígono y polígono regular construir diferentes polígonos.

Hallando su perímetro y área.

Lugares geométricos

Construya un polígono arbitrario. Elija un punto P sobre el polígono, halle su simétrico

respecto a uno de los lados del polígono y llámele Q. Active la traza sobre Q y anime el

punto P.

ii. Aplicaciones

Construcciones con regla y compás

Construya las rectas tangentes a dos circunferencias dadas:

1. Si una circunferencia está contenida en la otra.

Figura 25

En este caso no existe recta alguna que sea tangente a ambas circunferencias.

2. Si las circunferencias son secantes.

3. Si las circunferencias son tangentes internas

4. Si las circunferencias son tangentes externas

5. Si las circunferencias no tienen puntos comunes.

Los casos 2, 3 y 4 se obtienen a partir del caso 5 como una aplicación de la geometría

dinámica, por ello solamente se tratará el caso 5.

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Figura 26

En la figura 26 se muestra una de las tangentes en cada caso (interna y externa). Para

tener los casos 2, 3 y 4 basta mover la circunferencia C2 hacia la circunferencia C1

hasta que sean tangentes o secantes.

Lugar geométrico

Construya una elipse conociendo las longitudes de sus ejes.

Figura 27

Problema de optimización

Considere una hoja de papel rectangular ABCD de lados a y b, 0<a<b .

Figura 28

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Doble la hoja de manera que el vértice B “caiga” sobre el lado opuesto AD en el punto B´ formando el triángulo rectángulo PAB´ (P es el punto de doblez del lado AB). Halle las longitudes de los catetos del triángulo rectángulo PAB´ para que su área sea máxima.

B. Sobre Cabri 3D

i. Construcciones elementales

a) Construya tres planos mutuamente ortogonales (planos coordenados).

b) Construya la proyección ortogonal de un punto sobre los planos

coordenados.

c) Construya un segmento en el primer octante y construya la proyección

ortogonal de tal segmento sobre cada uno de los planos coordenados.

d) Construya una circunferencia contenida en un plano que no sea paralelo a ninguno

de los planos coordenados.

ii. Poliedros

El programa dispone de opciones para la construcción de poliedros regulares. Construya

los cinco poliedros regulares.

Figura 29

iii. Desarrollo plano de los poliedros regulares

La figura en un plano, formada por todas las caras del poliedro de modo que cada cara

permanece unida a otra contigua mediante la misma arista en la que estaba en el

poliedro se denomina desarrollo plano del poliedro.

Construya el desarrollo plano de cada uno de los poliedros regulares. En cada poliedro

regular, las regiones sombreadas representan al desarrollo plano del poliedro.

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Tetraedro Cubo

Octaedro Dodecaedro

Figura 30

iv. Lugares geométricos

1. Construir un elipsoide circular.

2. Construir el toro.

6. Problemas

Problema 1

En la figura 30 se muestra un cubo donde M y N son los puntos medios de las aristas AB y

BC respectivamente.

Figura 31

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1. Hallar la mínima distancia entre las rectas que contienen a MN y CH respectivamente.

2. Hallar la mínima distancia entre las rectas que contienen a BD y CH respectivamente.

Solución

1. Considere el plano ACH, en este plano se encuentran las rectas que contienen a AC y a

CH.

Como MN es paralelo a la diagonal AC entonces MN es paralelo al plano ACH.

Cualquier perpendicular a MN es perpendicular al plano ACH. La otra diagonal de la

cara ABCD, BD es perpendicular al plano ACH.

La distancia de MN al plano ACH es igual a la distancia de MN a CH. Como la

distancia de MN a AC es un cuarto de la diagonal, entonces la distancia entre MN y CH

es 4

2a.

2. Ejercicio

Problema 2

Hallar la mínima distancia entre dos aristas opuestas de un tetraedro regular, si la longitud

de las aristas es L.

Figura 32

Solución

Sean AC y BD las aristas. ¿Cuál es la distancia entre las aristas AC y BD?

Por definición de distancia, tiene que ser aquel segmento perpendicular a ambas aristas.

1. Trazamos en la cara ADC, la altura relativa al vértice D. Sea E el pie de dicha altura.

La longitud de la altura DE es 32L

.

2. Trazamos en la cara ABC, la altura respecto al vértice B. En este caso el pie de esa

altura también es E. Mide 32L

. Las alturas son iguales DE=BE.

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3. Aplicando el Teorema de Pitágoras en el triángulo isósceles DEB se obtiene EF=2

L

siendo F el punto medio de la arista BD.

Problema 3

En un octaedro regular de arista a, hallar la distancia entre los baricentros de dos caras:

1. Adyacentes

2. No adyacentes

Figura 33

Solución

Caso de Caras Adyacentes.

Las caras sombreadas ADE y DEC son adyacentes.

Sean R el baricentro de ADE y G el de DEC, M en AD y N en DC los pies de las

perpendiculares bajadas desde E hacia AD y DC, respectivamente.

Los triángulos MNE y RGE son semejantes. Además, por la propiedad de baricentro, la

distancia entre las caras ADE y DEC es 3

2a.

Caso caras no Adyacentes.

Si unimos los baricentros de DEC y DCF, la distancia entre sus baricentros también es

32a

. Repitiendo este proceso entre caras adyacentes se halla la distancia entre dos caras

adyacentes.

Al unir mediante segmentos los baricentros del octaedro se obtiene un cubo, parecido al

dual del poliedro.

Problema 4

Pruebe la imposibilidad de construir más de cinco poliedros regulares.

Problema 5

Dado un triángulo cualquiera construir un triángulo isósceles que tenga la misma área.

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7. Bibliografía

Billstein, R.; Libeskind, S.; Lott, J. (2004). A problem solving approach to Mathematics

for elementary school teachers. Unites States of America. Pearson Addison Wesley

Cabri II Plus. Manual de usuario. http://www.cabri.com/v2/pages/es/index.php Cabri 3D. Manual de usuario. http://www.cabri.com/v2/pages/es/index.php Carrillo de Albornoz, A. y Llamas, I. (2005). Cabri Géométre II Plus: Una aventura en el mundo de la Geometría. Madrid: RA-MA.