Homotecias
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1 HomoteciasEn la vida cotidiana estamos familiarizados con las homotecias solo que muchas veces no le ponemos
atención, por ejemplo, la sombra que produce alguna persona u objeto, la proyección de una pelicula en lapantalla, el zoom en las pantallas de los celulares o computadoras.
Definición 1.1 HomoteciasUna homotecia es una transformación de una figura en otra figura con la misma forma. Puede cambiarsu tamaño, u orientación. La homotecia se genera a partir de un punto O.
Ejemplo 1.1. La siguiente figura es una homotecia del triángulo ABC en el triángulo A�B�C �.
En la figura anterior, existe una relación entre los segmentos del triángulo ABC y los segmentos deltriángulo A�B�C �, veamos,
A�B�
AB�
25,
B�C �
BC�
25, y
C �A�
CA�
25
Esta relación se llama razón y usualmente se utiliza la letra k. Por lo que decimos que en el ejemplo anterior
k �
25, esto significa que el triángulo A�B�C �es
25más pequeño que el triángulo ABC.
Notese que en toda homotecia P � de P con centro en O, se tiene que
OP �� k �OP (1.1)
Además,
Si k A 0 entonce P y P � están del mismo lado de O y se dice que la homotecia es directa. En elejeplo anterior teniamos una homotecia directa.
Si k @ 0 entonces P y P � están en lados opuestos de O, y se dice que es una homotecia inversa.
Ejemplo 1.2. La siguiente figura corresponde a una homotecia inversa con k � �
25
Efrén Chaves 1
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1.1 Ejercicios
Si 0 @ TkT @ 1 entonces, la homotecia se encoje, este fenómeno se llama disminución o contracción.En los ejemplos 1.1 y 1.2, se tenía que 0 @ TkT @ 1, por lo que la homotecia se hacía más pequeñaque la figura original.
Si TkT A 1 entonces la homotecia se alarga, y se llama ampliación o dilatación.
Ejemplo 1.3. La siguiente figura representa una homotecia con TkT A 1, en este caso particular, k �
� 32
Notese que en las homotecias las medidas de los ángulos homólogos permanecen invariantes.
1.1 Ejercicios
1.1. De acuerdo a la siguiente figura en la cual se representa una homotecia, determine lo que se le solicita:
1. Cuál o cuales de las siguientes proposiciones es verdadara
a) k A 0
b) k @ 0
c) 0 @ TkT @ 1
d) TkT A 0
2. El lado homólogo a AB corresponde a
3. El ángulo homólogo a �AED corresponde a
4. ¿Cuáles elementos permanecen invariantes en esta homotecia?
1.2. En la siguiente figura se muestra una homotecia de razón k �
� 32,
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1.1 Ejercicios
Determine lo que se le solicita:
1. Si OC �� 12cm, entonces OC �
2. Si OB � 4cm, entonces BB��
3. Si AA�� 35cm, entonces AO �
4. Si AB � 8cm, entonces A�B��
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1.2 Soluciones
1.2 Soluciones
Soluciones sección 1
1.1 1. a) y c)
2. A�B�
3. �A�E�D�
4. Los ámgulos permanecen invariantes.
1.2 1. OC � 8cm
2. BB�� 10cm
3. AO � 14cm
4. A�B�� 12cm
Efrén Chaves 4