Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden – Guía de Ejercicios 1

1. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales

2. En las siguientes ecuaciones diferenciales, encuentre la solución del problema

dado de valores iniciales. Indicar el intervalo en el cual la solución es válida.

3. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales

Sugerencia: Intercambie los papeles de x e y (es decir, trate a x como la variable

dependiente).

4. Halle una solución continua para cada problema de valores iniciales dado

a)

Donde

b) ,

Donde

c)

Donde

5. Demuestre que la ecuación diferencial puede resolverse

haciendo ln y = v.

Resuelva .

6. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales

a)

b)

c)

d)

e)

7. Considere el método siguiente de resolver la ecuación lineal de primer orden

(1)

Si g(x) es idénticamente cero, vimos que la solución es

a) Si g(x) no es idénticamente cero, suponer que la solución es de la

forma (2)

Sustituyendo esta expresión para y en la ecuación diferencial dada, mostrar que

c(x) debe satisfacer la condición

(3)

b) Encontrar c(x) a partir de la ecuación (3). Sustituir entonces c(x) en la

ecuación (2) y determinar y(x); verificar que la solución obtenida de esta forma

coincide con la obtenida en clase. Esta técnica se conoce como el método de

variación de parámetros.

8. Use el método del problema 11 para resolver las siguientes ecuaciones

diferenciales

a)

b)

9. Sea

Demuestre que es una solución de la ecuación .

Use este hecho para resolver .

10. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales separables

11. Una ecuación diferencial de la forma puede

reducirse siempre a una ecuación de variables separables por medio de la

sustitución u = a x + b y + c. Use este procedimiento para resolver las siguientes

ecuaciones diferenciales:

12. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales homogéneas:

13. Una ecuación diferencial de la forma (I) siempre puede

ser reducida a una ecuación homogénea mediante las sustituciones x = X + h, y =

Y + k.

Si entonces (h, k) es el punto de intersección de las

rectas , .

Mostrar que en este caso la ecuación (I) puede ser reducida a la

ecuación .

Resolver la ecuación (I) en el caso especial en que .

14. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales usando el problema 17.

15. Determine si las siguientes ecuaciones diferenciales son exactas. Si son

exactas, resuélvalas.

16. En las siguientes ecuaciones diferenciales halle el valor de k de modo que la

ecuación diferencial dada sea exacta.

17. a) Obtenga una función M(x, y) de modo que la ecuación

diferencial

Sea exacta.

b) Determine una función N(x, y) de modo que la ecuación

diferencial

Sea exacta.

18. Hallar todas las funciones f(x) tales que la ecuación

diferencial sea exacta.

Resolver la ecuación diferencial para esas f(x).

19. Demostrar que la ecuación racional lineal es

exacta si y sólo si b + c = 0.

Hallar la solución de esta ecuación cuando es exacta.

20. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales por medio de un factor

integrante.