Post on 25-Jun-2015
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
ES LA PARTE DE LAS MATEMÁTICAS QUE TIENE POR OBJETO REPRESENTAR EN UN PLANO LAS FORMAS DEL ESPACIO Y RESOLVER SUS PROBLEMAS, Y LOS DE LA GEOMETRÍA DEL ESPACIO POR MEDIO DE CONSTRUCCIONES GOMÉTRICAS REALIZADAS EN DICHO PLANO
Ing. Fernando Valdez Galdos
Sistema de Proyecciones
V
H
x
y
z
IW(H)
(V)
(W)
(V)
(W)
(H)
(V)
(H)
-x
-y
-z
II
III
IV
(W)
V
VI
VIII
VII
Sistema de Proyección Octogonal
Sistema V,H,W en los 8 cuadrantes girados
V(H)(W)
x
H(V)(W)
W(V)(H)
z
y
y1
(H)(W)(V)
PROYECCIÓN DE UN PUNTO EN EL SISTEMA V, H
V
H
xA
y
z
IW(H)
(V)
(W)
(V)
(W)
(H)
(V)
(H)
-x
-y
-z
II
III
IV
(W)
V
VI
VIII
VII
Sistema de Proyección Ortogonal
V
H90º
VH
x
”A”
I
Sistema Octante de Proyecciones
V
H90º
VH
x
”A”
I
Sistema Octante de Proyecciones
V
H90º
VH
x
a
”A”
I
Sistema Octante de Proyecciones
V
H90º
VH
x
a
”A”
I
Sistema Octante de Proyecciones
V
H90º
VH
x
a
”A”
I
Sistema Octante de Proyecciones
V
H90º
VH
x
a
”A”
I
Sistema Octante de Proyecciones
V
H90º
VH
x
a´
a
”A”
I
Sistema Octante de Proyecciones
V
H
x
Sistema V, H
V
H
x
a´
Sistema V, H
V
H
x
a´
Sistema V, H
V
H
x
a´
a
Sistema V, H
V
H
x
Altura,línea recta perpendicular al eje x.
Distancia,Alejamiento del eje “x”
a´
a
Sistema V, H
V
H
x
Altura,línea recta perpendicular al eje x.
Distancia,Alejamiento del eje “x”
a´
a´
a´
a
aa
Sistema V, H
a´
a
a´
a
a
a´
a
a´a´
a
a´
a´
a
a´
a
a
a´
a
a´
a
a´
a´
a
a
I II III IV V VI VII VIII
PROYECCIÓN DE UN PUNTO EN EL SISTEMA V, H, W
V
H
xA
y
z
IW(H)
(V)
(W)
(V)
(W)
(H)
(V)
(H)
-x
-y
-z
II
III
IV
(W)
V
VI
VIII
VII
Sistema de Proyección Ortogonal
V
H90º
xA
90º
y
z
Sistema Octante de Proyecciones
W
I CUADRANTE
V
H90º
xA
90º
y
z
Sistema Octante de Proyecciones
W
I CUADRANTE
V
H90º
x
a
A
90º
y
z
Sistema Octante de Proyecciones
W
I CUADRANTE
V
H90º
x
a
A
90º
y
z
Sistema Octante de Proyecciones
W
I CUADRANTE
V
H90º
x
a’
a
A
90º
y
z
Sistema Octante de Proyecciones
W
I CUADRANTE
V
H90º
x
a’
a
A
90º
y
z
Sistema Octante de Proyecciones
W
I CUADRANTE
V
H90º
x
a’
a
A
90º
y
z
Sistema Octante de Proyecciones
W
I CUADRANTE
V
H90º
x
a’
a
A
90º
y
z
Sistema Octante de Proyecciones
W
I CUADRANTE
V
H90º
x
a’
a
A
90º
y
z
Sistema Octante de Proyecciones
W
I CUADRANTE
V
H90º
x
a’
a
A
a’’
90º
y
z
Sistema Octante de Proyecciones
W
I CUADRANTE
V
x
H
a’ a’’
a
W
z
y
y1
Sistema V, H, W
45º
V
x
H
a’ a’’
a
W
z
y
y1
2
2
Sistema V, H, W
La distancia (2) de la proyección horizontal (H), es igual a la distancia (2) de la proyección de perfil (W).
45º
V
x
H
a’ a’’
a
W
z
y
y1
1 1
2
2La altura (1) de la proyección frontal (V), es la misma altura (1) de la proyección de perfil (W).
Sistema V, H, W
La distancia (2) de la proyección horizontal (H), es igual a la distancia (2) de la proyección de perfil (W).
45º
Sistema V,H,W en los 8 cuadrantes girados
V(H)(W)
x
H(V)(W)
a’
a
W(V)(H)
z
y
y1
(H)(W)(V)
Sistema V,H,W en los 8 cuadrantes girados
V(H)(W)
x
H(V)(W)
a’
a
W(V)(H)
z
y
y1
(H)(W)(V)
Sistema V,H,W en los 8 cuadrantes girados
V(H)(W)
x
H(V)(W)
a’
a
W(V)(H)
z
y
y1
(H)(W)(V)
Sistema V,H,W en los 8 cuadrantes girados
V(H)(W)
x
H(V)(W)
a’
a
W(V)(H)
z
y
y1
(H)(W)(V)
Sistema V,H,W en los 8 cuadrantes girados
V(H)(W)
x
H(V)(W)
a’
a
W(V)(H)
z
y
y1
(H)(W)(V)
Sistema V,H,W en los 8 cuadrantes girados
V(H)(W)
x
H(V)(W)
a’ a’’
a
W(V)(H)
z
y
y1
(H)(W)(V)
V
H
xA
y
z
IW(H)
(V)
(W)
(V)
(W)
(H)
(V)
(H)
-x
-y
-z
II
III
IV
(W)
V
VI
VIII
VII
Sistema de Proyección Ortogonal
V
H
xA
y
z
IW(H)
(V)
(W)
(V)
(W)
(H)
(V)
(H)
-x
-y
-z
II
III
IV
(W)
V
VI
VIII
VII
Sistema de Proyección Ortogonal
V
H
x
a
A
y
z
IW(H)
(V)
(W)
(V)
(W)
(H)
(V)
(H)
-x
-y
-z
II
III
IV
(W)
V
VI
VIII
VII
Sistema de Proyección Ortogonal
V
H
x
a
A
y
z
IW(H)
(V)
(W)
(V)
(W)
(H)
(V)
(H)
-x
-y
-z
II
III
IV
(W)
V
VI
VIII
VII
Sistema de Proyección Ortogonal
V
H
x
a
A
y
z
IW(H)
(V)
(W)
(V)
(W)
(H)
(V)
(H)
-x
-y
-z
II
III
IV
(W)
V
VI
VIII
VII
Sistema de Proyección Ortogonal
V
H
x
a
A
y
z
IW(H)
(V)
(W)
(V)
(W)
(H)
(V)
(H)
-x
-y
-z
II
III
IV
(W)
V
VI
VIII
VII
Sistema de Proyección Ortogonal
V
H
x
a’
a
A
y
z
IW(H)
(V)
(W)
(V)
(W)
(H)
(V)
(H)
-x
-y
-z
II
III
IV
(W)
V
VI
VIII
VII
Sistema de Proyección Ortogonal
V
H
x
a’
a
A
y
z
IW(H)
(V)
(W)
(V)
(W)
(H)
(V)
(H)
-x
-y
-z
II
III
IV
(W)
V
VI
VIII
VII
Sistema de Proyección Ortogonal
V
H
x
a’
a
A
y
z
IW(H)
(V)
(W)
(V)
(W)
(H)
(V)
(H)
-x
-y
-z
II
III
IV
(W)
V
VI
VIII
VII
Sistema de Proyección Ortogonal
V
H
x
a’
a
A
y
z
IW(H)
(V)
(W)
(V)
(W)
(H)
(V)
(H)
-x
-y
-z
II
III
IV
(W)
V
VI
VIII
VII
Sistema de Proyección Ortogonal
V
H
x
a’
a
A
y
z
IW(H)
(V)
(W)
(V)
(W)
(H)
(V)
(H)
-x
-y
-z
II
III
IV
(W)
V
VI
VIII
VII
Sistema de Proyección Ortogonal
V
H
x
a’
a
A
y
z
IW(H)
(V)
(W)
(V)
(W)
(H)
(V)
(H)
-x
-y
-z
II
III
IV
(W)
V
VI
VIII
VII
Sistema de Proyección Ortogonal
V
H
x
a’
a
A a’’
y
z
IW(H)
(V)
(W)
(V)
(W)
(H)
(V)
(H)
-x
-y
-z
II
III
IV
(W)
V
VI
VIII
VII
Sistema de Proyección Ortogonal
Sistema V,H,W en los 8 cuadrantes girados
V(H)(W)
x
H(V)(W)
a’ a’’
a
W(V)(H)
z
y
y1
(H)(W)(V)
II CUADRANTE
V
(H)
x
A
-y
z
Sistema Octante de Proyecciones
(W)
II CUADRANTE
V
(H)
x
a
A
-y
z
Sistema Octante de Proyecciones
(W)
II CUADRANTE
V
(H)
x
a
A
-y
z
Sistema Octante de Proyecciones
(W)
II CUADRANTE
V
(H)
x
a
A
-y
z
Sistema Octante de Proyecciones
(W)
II CUADRANTE
V
(H)
x
a
A
-y
z
Sistema Octante de Proyecciones
(W)
II CUADRANTE
V
(H)
x
a’
a
A
-y
z
Sistema Octante de Proyecciones
(W)
II CUADRANTE
V
(H)
x
a’
a
A
-y
z
Sistema Octante de Proyecciones
(W)
II CUADRANTE
V
(H)
x
a’
a
A
-y
z
Sistema Octante de Proyecciones
(W)
II CUADRANTE
V
(H)
x
a’
a
A
-y
z
Sistema Octante de Proyecciones
(W)
II CUADRANTE
V
(H)
x
a’
a
A
-y
z
Sistema Octante de Proyecciones
(W)
II CUADRANTE
V
(H)
x
a’
a
A
-y
z
Sistema Octante de Proyecciones
(W)
II CUADRANTE
V
(H)
x
a’
a
Aa’’
-y
z
Sistema Octante de Proyecciones
(W)
Sistema V, H, W
V
x
(H)
a’a’’
a(W)
y
11
2
2
La altura (1) de la proyección frontal (V), es la misma altura (1) de la proyección de perfil (W).
La distancia (2) de la proyección horizontal (H), es igual a la distancia (2) de la proyección de perfil (W).
45º
y1-y1
z-y
Sistema V, H, W
V
x
(H)(W)
y
y1-y1
z-y
Sistema V, H, W
V
x
(H)
a’
(W)
y
y1-y1
z-y
Sistema V, H, W
V
x
(H)
a’
(W)
y
y1-y1
z-y
Sistema V, H, W
V
x
(H)
a’
(W)
y
y1-y1
z-y
Sistema V, H, W
V
x
(H)
a’
a(W)
y
y1-y1
z-y
Sistema V, H, W
V
x
(H)
a’
a(W)
y
y1-y1
z-y
Sistema V, H, W
V
x
(H)
a’
a(W)
y
45º
y1-y1
z-y
Sistema V, H, W
V
x
(H)
a’
a(W)
y
45º
y1-y1
z-y
Sistema V, H, W
V
x
(H)
a’
a(W)
y
45º
y1-y1
z-y
Sistema V, H, W
V
x
(H)
a’
a(W)
y
45º
y1-y1
z-y
Sistema V, H, W
V
x
(H)
a’a’’
a(W)
y
45º
y1-y1
z-y
Sistema V, H, W
V
x
(H)
a’a’’
a(W)
y
11
2
2
La altura (1) de la proyección frontal (V), es la misma altura (1) de la proyección de perfil (W).
La distancia (2) de la proyección horizontal (H), es igual a la distancia (2) de la proyección de perfil (W).
45º
y1-y1
z-y
V
(H)
x
a’
a
A a’’
-y
-x
Sistema Octante de Proyecciones
(W)
III CUADRANTE
-z
Sistema V, H, W
V
x
(H)
a’a’’
a(W)
y
1
2
2
La altura (1) de la proyección frontal (V), es la misma altura (1) de la proyección de perfil (W).
La distancia (2) de la proyección horizontal (H), es igual a la distancia (2) de la proyección de perfil (W).
45º
y1-y1
z-y
1
V
H
a’
a
Aa’’
-z
z
Sistema Octante de Proyecciones
(W)
IV CUADRANTE
x
y
Sistema V, H, W
H
x
(V)
a’a’’
a
(W)
y
1
2
2
La altura (1) de la proyección frontal (V), es la misma altura (1) de la proyección de perfil (W).
La distancia (2) de la proyección horizontal (H), es igual a la distancia (2) de la proyección de perfil (W).
45º
y1-y1
z-y
1
z (-y)
y (-z)
y1 (-x)
x (-y1)
1. Hallar la proyección de perfil del punto A.
a’
a
a. Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyección del punto A.
Ejemplos ilustrativos:
z (-y)
y (-z)
y1 (-x)
x (-y1)
1. Hallar la proyección de perfil del punto A.
a’
I
b. Segundo paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyección de perfil.
a. Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyección del punto A.
Ejemplos ilustrativos:
a
z (-y)
y (-z)
y1 (-x)
x (-y1)
1. Hallar la proyección de perfil del punto A.
a’
I
b. Segundo paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyección de perfil.
a. Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyección del punto A.
Ejemplos ilustrativos:
a
z (-y)
y (-z)
y1 (-x)
x (-y1)
1. Hallar la proyección de perfil del punto A.
a’
I
b. Segundo paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyección de perfil.
a. Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyección del punto A.
Ejemplos ilustrativos:
a
z (-y)
y (-z)
y1 (-x)
x (-y1)
1. Hallar la proyección de perfil del punto A.
a’
I
b. Segundo paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyección de perfil.
a. Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyección del punto A.
Ejemplos ilustrativos:
a
z (-y)
y (-z)
y1 (-x)
x (-y1)
1. Hallar la proyección de perfil del punto A.
a’
a
I
b. Segundo paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyección de perfil.
a. Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyección del punto A.
Ejemplos ilustrativos:
z (-y)
y (-z)
y1 (-x)
x (-y1)
1. Hallar la proyección de perfil del punto A.
a’’a’
a
I
b. Segundo paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyección de perfil.
a. Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyección del punto A.
Ejemplos ilustrativos:
z (-y)
y (-z)
y1 (-x)
x (-y1)
1. Hallar la proyección de perfil del punto A.
a’’a’
a
I
b. Segundo paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyección de perfil.
a. Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyección del punto A.
Ejemplos ilustrativos:
Ejemplos ilustrativos:
z (-y)
y (-z)
y1 (-x)
x (-y1)
2. Hallar la proyección de perfil del punto A.
a’
a
a. Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyección del punto A.
Ejemplos ilustrativos:
z (-y)
y (-z)
y1 (-x)
x (-y1)
2. Hallar la proyección de perfil del punto A.
a’
a
b. Segundo paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyección de perfil.
II
a. Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyección del punto A.
Ejemplos ilustrativos:
z (-y)
y (-z)
y1 (-x)
x (-y1)
2. Hallar la proyección de perfil del punto A.
a’
a
b. Segundo paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyección de perfil.
II
a. Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyección del punto A.
Ejemplos ilustrativos:
z (-y)
y (-z)
y1 (-x)
x (-y1)
2. Hallar la proyección de perfil del punto A.
a’
a
b. Segundo paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyección de perfil.
II
a. Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyección del punto A.
Ejemplos ilustrativos:
z (-y)
y (-z)
y1 (-x)
x (-y1)
2. Hallar la proyección de perfil del punto A.
a’
a
b. Segundo paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyección de perfil.
II
a. Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyección del punto A.
Ejemplos ilustrativos:
z (-y)
y (-z)
y1 (-x)
x (-y1)
2. Hallar la proyección de perfil del punto A.
a’
a
b. Segundo paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyección de perfil.
II
a. Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyección del punto A.
Ejemplos ilustrativos:
z (-y)
y (-z)
y1 (-x)
x (-y1)
2. Hallar la proyección de perfil del punto A.
a’’a’
b. Segundo paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyección de perfil.
II
a. Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyección del punto A.
Ejemplos ilustrativos:
z (-y)
y (-z)
y1 (-x)
x (-y1)
2. Hallar la proyección de perfil del punto A.
a’’a’
a
b. Segundo paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyección de perfil.
II
a. Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyección del punto A.
z (-y)
y (-z)
y1 (-x)
x (-y1)
3. Hallar la proyección de perfil del punto A.
a’
a
a. Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyección del punto A.
Ejemplos ilustrativos:
z (-y)
y (-z)
y1 (-x)
x (-y1)
3. Hallar la proyección de perfil del punto A.
a’
a
VII
b. Segundo paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyección de perfil.
a. Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyección del punto A.
Ejemplos ilustrativos:
z (-y)
y (-z)
y1 (-x)
x (-y1)
3. Hallar la proyección de perfil del punto A.
a’’ a’
a
VII
b. Segundo paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyección de perfil.
a. Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyección del punto A.
Ejemplos ilustrativos:
z (-y)
y (-z)
y1 (-x)
x (-y1)
4. Hallar la proyección de perfil del punto A.
a’
a
a. Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyección del punto A.
Ejemplos ilustrativos:
z (-y)
y (-z)
y1 (-x)
x (-y1)
4. Hallar la proyección de perfil del punto A.
IV - VIII
b. Segundo paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyección de perfil.
a. Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyección del punto A.
Ejemplos ilustrativos:
a’
a
z (-y)
y (-z)
y1 (-x)
x (-y1)
4. Hallar la proyección de perfil del punto A.
a’’a’
a
IV - VIII
b. Segundo paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyección de perfil.
a. Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyección del punto A.
Ejemplos ilustrativos:
PROYECCIÓN DE UNA RECTA EN EL SISTEMA V, H, W
1. Rectas de posición general, es una recta que no es paralela ni perpendicular a ningún plano de proyección.
2. Rectas de posición particular,
1. Rectas proyectantes (perpendicular)
RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR
a. Proyectante frontal: es perpendicular al plano frontal de proyecciones.
a
a’b’
b
a’’ b’’
VM = verdadera magnitud
Nota: una recta representa su verdadera magnitud cuando es paralela al plano de proyección.
z (-y)
y (-z)
y1 (-x)
x (-y1)
VM
x
y
z
a
A
a’’
B
b
b’’
a’ b’
1. Rectas proyectantes (perpendicular)
RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR
a. Proyectante frontal: es perpendicular al plano frontal de proyecciones.
x
y
z
A
B
1. Rectas proyectantes (perpendicular)
RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR
a. Proyectante frontal: es perpendicular al plano frontal de proyecciones.
x
y
z
A
B
a’ b’
1. Rectas proyectantes (perpendicular)
RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR
a. Proyectante frontal: es perpendicular al plano frontal de proyecciones.
x
y
z
A
B
a’ b’
1. Rectas proyectantes (perpendicular)
RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR
a. Proyectante frontal: es perpendicular al plano frontal de proyecciones.
x
y
z
A
B
a’ b’
1. Rectas proyectantes (perpendicular)
RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR
a. Proyectante frontal: es perpendicular al plano frontal de proyecciones.
x
y
z
a
A
B
b
a’ b’
1. Rectas proyectantes (perpendicular)
RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR
a. Proyectante frontal: es perpendicular al plano frontal de proyecciones.
x
y
z
a
A
B
b
a’ b’
1. Rectas proyectantes (perpendicular)
RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR
a. Proyectante frontal: es perpendicular al plano frontal de proyecciones.
x
y
z
a
A
B
b
a’ b’
1. Rectas proyectantes (perpendicular)
RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR
a. Proyectante frontal: es perpendicular al plano frontal de proyecciones.
x
y
z
a
A
B
b
a’ b’
1. Rectas proyectantes (perpendicular)
RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR
a. Proyectante frontal: es perpendicular al plano frontal de proyecciones.
x
y
z
a
A
a’’
B
b
b’’
a’ b’
1. Rectas proyectantes (perpendicular)
RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR
a. Proyectante frontal: es perpendicular al plano frontal de proyecciones.
a
a’b’
b
a’’ b’’
VM = verdadera magnitud
Nota: una recta representa su verdadera magnitud cuando es paralela al plano de proyección.
z (-y)
y (-z)
y1 (-x)
x (-y1)
VM
x
y
z
a
A
a’’
B
b
b’’
a’ b’
b. Proyectante horizontal: es perpendicular al plano horizontal de proyecciones.
a
a’
b’
b
a’’
b’’
VM
Nota: una recta representa su verdadera magnitud cuando es paralela al plano de proyección.
VM
z (-y)
y (-z)
y1 (-x)
x (-y1)
RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR
x
y
z
a’
A a’’
B
b’
b’’
a b
c. Proyectante de perfil: es perpendicular al plano de perfil de proyecciones.
a
a’ b’
b
a’’
b’’
VMNota: una recta representa su verdadera magnitud cuando es paralela al plano de proyección.
VM
z (-y)
y (-z)
y1 (-x)
x (-y1)
RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR
x
y
z
a’
Aa’’
B
b’
b’’
a b
2. Rectas paralelas a los planos de proyección
a. Frontal: es paralela al plano frontal de proyecciones.
a
a’
b’
b
a’’
b’’VM
Nota: una recta representa su verdadera magnitud cuando es paralela al plano de proyección.
z (-y)
y (-z)
y1 (-x)
x (-y1)
RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR
x
y
z
a’
A a’’
Bb’
b’’
a b
2. Rectas paralelas a los planos de proyección
a. Frontal: es paralela al plano frontal de proyecciones.
RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR
x
y
z
A
B
2. Rectas paralelas a los planos de proyección
a. Frontal: es paralela al plano frontal de proyecciones.
RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR
x
y
z
A
B
a b
2. Rectas paralelas a los planos de proyección
a. Frontal: es paralela al plano frontal de proyecciones.
RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR
x
y
z
A
B
a b
2. Rectas paralelas a los planos de proyección
a. Frontal: es paralela al plano frontal de proyecciones.
RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR
x
y
z
A
B
a b
2. Rectas paralelas a los planos de proyección
a. Frontal: es paralela al plano frontal de proyecciones.
RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR
x
y
z
A
B
a b
2. Rectas paralelas a los planos de proyección
a. Frontal: es paralela al plano frontal de proyecciones.
RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR
x
y
z
a’
A
B
b’
a b
2. Rectas paralelas a los planos de proyección
a. Frontal: es paralela al plano frontal de proyecciones.
RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR
x
y
z
a’
A
B
b’
a b
2. Rectas paralelas a los planos de proyección
a. Frontal: es paralela al plano frontal de proyecciones.
RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR
x
y
z
a’
A
B
b’
a b
2. Rectas paralelas a los planos de proyección
a. Frontal: es paralela al plano frontal de proyecciones.
RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR
x
y
z
a’
A
B
b’
a b
2. Rectas paralelas a los planos de proyección
a. Frontal: es paralela al plano frontal de proyecciones.
RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR
x
y
z
a’
A
B
b’
a b
2. Rectas paralelas a los planos de proyección
a. Frontal: es paralela al plano frontal de proyecciones.
RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR
x
y
z
a’
A
B
b’
a b
a’’
b’’
2. Rectas paralelas a los planos de proyección
a. Frontal: es paralela al plano frontal de proyecciones.
a
a’
b’
b
a’’
b’’VM
Nota: una recta representa su verdadera magnitud cuando es paralela al plano de proyección.
z (-y)
y (-z)
y1 (-x)
x (-y1)
RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR
x
y
z
a’
A a’’
Bb’
b’’
a b
b. Horizontal: es paralela al plano horizontal de proyecciones.
a’’b’’
Nota: una recta representa su verdadera magnitud cuando es paralela al plano de proyección.
z (-y)
y (-z)
y1 (-x)
x (-y1)
a
a’ b’
b
VM
RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR
x
y
z
a
b
a’
a’’
b’ b’’B
A
b. Horizontal: es paralela al plano horizontal de proyecciones.
RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR
x
y
z
A
B
b. Horizontal: es paralela al plano horizontal de proyecciones.
RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR
x
y
z
a
b
A
B
b. Horizontal: es paralela al plano horizontal de proyecciones.
RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR
x
y
z
a
b
A
B
b. Horizontal: es paralela al plano horizontal de proyecciones.
RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR
x
y
z
a
b
A
B
b. Horizontal: es paralela al plano horizontal de proyecciones.
RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR
x
y
z
a
b
A
B
b. Horizontal: es paralela al plano horizontal de proyecciones.
RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR
x
y
z
a
b
A
B
a’ b’
b. Horizontal: es paralela al plano horizontal de proyecciones.
RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR
x
y
z
a
b
a’ b’
A
B
b. Horizontal: es paralela al plano horizontal de proyecciones.
RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR
x
y
z
a
b
a’ b’
B
A
b. Horizontal: es paralela al plano horizontal de proyecciones.
RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR
x
y
z
a
b
a’ b’
B
A
b. Horizontal: es paralela al plano horizontal de proyecciones.
RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR
x
y
z
a
b
a’
a’’
b’
b’’B
A
b. Horizontal: es paralela al plano horizontal de proyecciones.
RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR
x
y
z
a
b
a’
a’’
b’
b’’B
A
b. Horizontal: es paralela al plano horizontal de proyecciones.
a’’b’’
Nota: una recta representa su verdadera magnitud cuando es paralela al plano de proyección.
z (-y)
y (-z)
y1 (-x)
x (-y1)
a
a’ b’
b
VM
RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR
x
y
z
a
b
a’
a’’
b’ b’’B
A
c. Perfil: es paralela al plano de perfil de proyecciones.
Nota: una recta representa su verdadera magnitud cuando es paralela al plano de proyección.
z (-y)
y (-z)
y1 (-x)
x (-y1)
a’’
b’’
a
a’
b’
b
VM
RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR
x
y
z
a
b
a’a’’
b’
b’’
A
B
Ejemplos prácticos:
1. Hallar la proyección de perfil de la recta AB.
a. Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyección de la recta AB.
a
a’ b’
b
a’’ b’’
z (-y)
y (-z)
y1 (-x)
x (-y1)
I
Paralela al plano horizontal
RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR
b. Segundo paso, determinar que tipo de recta es.
c. Tercer paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyección de perfil.
2. Hallar la proyección de perfil de la recta AB.
a
a’
b’
b
a’’
b’’
z (-y)
y (-z)
y1 (-x)
x (-y1)
III
Posición general
RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR
a. Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyección de la recta AB.b. Segundo paso, determinar que tipo de recta es.
c. Tercer paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyección de perfil.
Trazas de una recta
Es la intersección de la recta con los planos de proyección.
V
H
x
I
II
III
IV
N
M
A
B
Sistema Octante de Proyecciones
V
H
x
I
II
III
IV
n’
n
m
m’
n’’
m’’
N
M
A
B
Sistema Octante de Proyecciones
V
B
A
V
a
B
A
H
V
a
b
B
A
H
V
a
b
B
A
H
V
a
b
a’
B
A
H
V
a
b
a’
B
A
H
V
a
b
a’
b’
B
A
H
V
a
b
a’
b’
B
A
H
V
a
b
a’
b’
B
A
H
n
V
a
b
a’
b’
B
A
H
n
n’
m’
V
a
b
a’
b’
B
A
H
n
n’
m’
m
V
a
b
a’
b’
B
A
H
n
n’
m’
N
m
V
a
b
a’
b’
B
A
H
n
n’
m’
M
N
m
V
a
b
a’
b’
B
A
H
n
n’
m’
M
N
m
Sistema V, H
II
I
IV
n’
n
m’
m
a’
b’
a
b
a. Primer paso, prolongar las trazas de l recta AB.
b. Segundo paso, identificar los cuadrantes por donde pasa la recta AB.
V
H
x
I
II
III
IV
n’
n
m
m’
n’’
m’’
N
M
A
B
Sistema Octante de Proyecciones
pp’’
P
p’
Ejemplos ilustrativos:
1. Dada la recta AB determinar sus trazas e indicar que cuadrantes atraviesa.
x
a’
b’
ab
IIII IV
m’
m
n
n’
a. Primer paso, prolongar las trazas de l recta AB.
b. Segundo paso, identificar los cuadrantes por donde pasa la recta AB.
x
a’
b’
a b
I IV
n
n’
a. Primer paso, prolongar las trazas de l recta AB.
b. Segundo paso, identificar los cuadrantes por donde pasa la recta AB.
x
a
b
a’ b’
III IV
n’
n
a. Primer paso, prolongar las trazas de l recta AB.
b. Segundo paso, identificar los cuadrantes por donde pasa la recta AB.
x
a’
b’a
b
IV I
n
n’
a. Primer paso, prolongar las trazas de l recta AB.
b. Segundo paso, identificar los cuadrantes por donde pasa la recta AB.
x
a
ba’
b’
IV III
n’
n
a. Primer paso, prolongar las trazas de l recta AB.
b. Segundo paso, identificar los cuadrantes por donde pasa la recta AB.
1. Dibujar una recta que pase a través de los siguientes cuadrantes:
Ejemplos prácticos:
I, IV, III
x
a’
b’
ab
IIII IV
m’
m
n
n’
II, III, IV
II
III
IV
m’
m
n’
n
a’
b’
a
b
V
H
x
A
B
N
M
IV, I, V, VIV
H
x
A
B
N
M
P
I VIV
m’
m
n’
n
c’
b’
c
b
VI
a’
a
d’
d
n’’
m’’
P’
P
P’’
II, III, VII, VIII
m’
m
n’
n
b’
c’
b
c
V
H
x
A
BN
M
P
III VIIII VIII
a’
a
d’
d
n’’
m’’
P’
P
P’’
POSICION RECIPROCA DE DOS RECTAS
Dos rectas en el espacio se cortan o son paralelas o se cruzan
x
a’
b’
a
b
c’
d’
c
d
x
a’
b’
a
b
c’
d’
c
d
1. Rectas paralelas: dos rectas son paralelas en el espacio si sus proyecciones homónimas son paralelas entre si.
NOTA: Si las rectas son de perfil, para verificar el paralelismo es indispensable construir la vista de perfil de estas.
x
y
z
y1
a’
b’
c’
d’
a
b
d
c
NOTA: Si las rectas son de perfil, para verificar el paralelismo es indispensable construir la vista de perfil de estas.
x
y
z
y1
a’
b’
c’
d’
a
b
d
c
a’’
b’’
NOTA: Si las rectas son de perfil, para verificar el paralelismo es indispensable construir la vista de perfil de estas.
x
y
z
y1
a’
b’
c’
d’
a
b
d
c
a’’
b’’
d’’
c’’
2. Rectas que se cortan (intersecan): dos rectas se cortan en el espacio si existe un punto que pertenece a ambas rectas al mismo tiempo. En las proyecciones debe estar unido con una misma línea
de referencia.
x
a’
b’c’
d’
a
bc
d
k’
k
3. Rectas que se cruzan: dos rectas en el espacio que no son paralelasni tampoco se intersecan.
x
a’
b’c’
d’
ab
c
d
k’
ke
e’
(l’)
l
i’
(i)
1. Trazar desde el punto “c” una recta que corte a la recta AB:
Ejemplos prácticos:
x
a’
b’
a
b
c’
c
1. Trazar desde el punto “c” una recta que corte a la recta AB:
Ejemplos prácticos:
x
a’
b’
a
b
c’
c
I IV
1. Trazar desde el punto “c” una recta que corte a la recta AB:
Ejemplos prácticos:
x
a’
b’
a
b
c’
c
I IV
1. Trazar desde el punto “c” una recta que corte a la recta AB:
Ejemplos prácticos:
x
a’
b’
a
b
c’
c
I IV
1. Trazar desde el punto “c” una recta que corte a la recta AB:
Ejemplos prácticos:
x
a’
b’
a
b
c’
c
k’
I IV
1. Trazar desde el punto “c” una recta que corte a la recta AB:
Ejemplos prácticos:
x
a’
b’
a
b
c’
c
k’
k
I IV
1. Trazar desde el punto “c” una recta que corte a la recta AB:
Ejemplos prácticos:
x
a’
b’
a
b
c’
n’
c
k’
k
I IV
1. Trazar desde el punto “c” una recta que corte a la recta AB:
Ejemplos prácticos:
x
a’
b’
a
b
c’
n’
cn
k’
k
I IV
1. Trazar desde el punto “c” una recta que corte a la recta AB:
Ejemplos prácticos:
x
a’
b’
a
b
c’
n’
cn
k’
k
I IV
x
a’
b’
a
b
c’
c
2. Trazar desde el punto “c” una recta que corte a la recta AB:
x
a’
b’
a
b
I II
2. Trazar desde el punto “c” una recta que corte a la recta AB:
c
c’
x
a’
b’
a
b
k’
I II
2. Trazar desde el punto “c” una recta que corte a la recta AB:
c
c’
x
a’
b’
a
b
k’
k
I II
2. Trazar desde el punto “c” una recta que corte a la recta AB:
c
c’
x
a’
b’
a
b
k’
k
I II
2. Trazar desde el punto “c” una recta que corte a la recta AB:
c
c’
x
a’
b’
a
b
n
k’
k
I II
2. Trazar desde el punto “c” una recta que corte a la recta AB:
c
c’
x
a’
b’
a
b
n
k’
k
n’
I II
2. Trazar desde el punto “c” una recta que corte a la recta AB:
c
c’
x
a’
b’
a
b
n
k’
k
n’
I II
2. Trazar desde el punto “c” una recta que corte a la recta AB:
c
c’
x
c’
c
a’
b
a
b’
3. Trazar desde el punto “c” una recta que corte a la recta AB:
x
c’
c
c’’
a’
b
a’’
b’’
a
b’
3. Trazar desde el punto “c” una recta que corte a la recta AB:
x
k’’
c’
c
c’’
a’
b
a’’
b’’
a
b’
3. Trazar desde el punto “c” una recta que corte a la recta AB:
x
k’ k’’
c’
c
c’’
a’
b
a’’
b’’
a
b’
3. Trazar desde el punto “c” una recta que corte a la recta AB:
x
k’ k’’
k
c’
c
c’’
a’
b
a’’
b’’
a
b’
3. Trazar desde el punto “c” una recta que corte a la recta AB:
x
k’ k’’
k
c’
c
c’’
a’
b
a’’
b’’
a
b’
3. Trazar desde el punto “c” una recta que corte a la recta AB:
x
k’ k’’
k
c’
c
c’’
a’
b
a’’
b’’
a
b’
3. Trazar desde el punto “c” una recta que corte a la recta AB:
EL PLANO
El plano puede determinarse en el espacio con los siguientes elementos geométricos:
1. Tres puntos que no estén en una misma recta.
x
a’
b’c’
a
bc
2. Una recta y un punto que no esté en ella.
x
a’
b’c’
a
bc
3. Dos rectas paralelas.
x
a’
b’
a
b
c’
d’
c
d
4. Dos rectas que se cortan.
x
a’
b’
a
b
c’
d’
d
c
5. Una figura geométrica.
x
a’
b’
c’
a
b
c
6. El plano puede estar dado por sus trazas: las trazas de un plano son las rectas de intersección del plano con los planos de proyección.
V
H
x
y
W
P
z
Pz
Px
Py
PvPw
Phx
z
y
y1
Pz
Py
Pv Pw
Ph
Py1
xPh
PvPw
x
z
y
y1Px
Pz
Py
Pv Pw
Ph
Py1
xPh
Pv Pwz
y
y1x Px
- Pz
Py
Pv Pw
Py1
Ph
xPh
Pv
x
z
y
y1
Pv
Px
Ph
xPh
Pv
x
z
y
y1
- Pz
Pv
Ph
Px
xPh
Pv
x
z
y
y1
- Pz
- Py
Pv
Ph
Px
xPh
Pv
x
z
y
y1
- Pz
- Py
Pv
Ph
- Py1Px
xPh
Pv
x
z
y
y1
- Pz
- Py
Pv
Pw
Ph
- Py1Px
PLANOS DE POSICIÓN PARTICULAR
1. Planos paralelos a los planos de proyección.
a. Plano horizontal paralelo a la proyección horizontal.
Nota: un plano representa su verdadera magnitud cuando es paralelo al plano de proyección.
x
z
y
y1
a’ b’ c’ b’’ c’’ a’’
a
b
cVM = verdadera magnitud
Sistema V, H
x
y
z
a’
a’’
b’
b’’
A
x
z
y
y1
PzPv Pw
c’’c’
C
B
b. Plano frontal paralelo a la proyección fronntal.
Nota: un plano representa su verdadera magnitud cuando es paralelo al plano de proyección.
x
z
y
y1
a’
b’
c’
b’’c’’
a’’
a b c
VM
Sistema V, H
x
z
y
y1
PyPh
Pw
Py1
x
y
z
c’
a’
a’’
b’
b’’
A
c’’
a b c
B
C
c. Plano de perfil paralelo a la proyección de perfil.
Nota: un plano representa su verdadera magnitud cuando es paralelo al plano de proyección.
x
z
y
y1
a’b’
c’
b’’
c’’
a’’
a
b
c
VM
Sistema V, H
x
z
y
y1
Px
Ph
Pv
x
y
z
c’
a’a’’
b’ b’’A
c’’
ab
c
B
C
2. Planos proyectantes y perpendiculares a los planos de proyección.
x
z
y
y1
a’
b’
c’
b’’
c’’
a’’
a
b
c
Figura geométrica
a. Plano proyectante frontal perpendicular a la proyección frontal.
x
z
y
y1
Pv
Ph
Pw
Px
Pz
Traza del plano
x
y
z
Pv
Ph
Pw
Px
Pz
P
x
z
y
y1
a’
b’
c’
b’’
c’’
a’’
a
bc
Figura geométrica
b. Plano proyectante horizontal perpendicular a la proyección horizontal.
x
z
y
y1
Pv
Ph
PwPx
Py
Traza del plano
Py1
x
y
z
Pv
Ph
Pw
Px
Py
P
x
z
y
y1
a
bc
Figura geométrica
a’
b’
c’
b’’
c’’
a’’
c. Plano proyectante de perfil perpendicular a la proyección perfil.
x
z
y
y1
Pv
Ph
Pw
Py
Traza del plano
Py1
x
y
z
Pv
Ph
Pw
Pz
Pz
P
3. Planos proyectantes Axiales.
x
z
y
y1
Pv
Ph
Pw
Traza del plano
V
H
x
y
W
z
PvPw
Ph
x
z
y
y1
Pv
Ph
1. Hallar la traza de perfil del plano dado por sus trazas.
Ejemplo ilustrativo:
x
y
z
Pv
Pw
PhPy
x
z
y
y1
Pv
Ph
1. Hallar la traza de perfil del plano dado por sus trazas.
Ejemplo ilustrativo:
x
y
z
Pv
Pw
PhPy
- Pz
Py
x
z
y
y1
Pv
Ph
1. Hallar la traza frontal del plano dado por sus trazas.
Ejemplo ilustrativo:
x
y
z
Pv
Pw
PhPy
- Pz
Py
Py1
x
z
y
y1
Pv
Ph
Pw
1. Hallar la traza frontal del plano dado por sus trazas.
Ejemplo ilustrativo:
x
y
z
Pv
Pw
PhPy
- Pz
Py
Py1
x
z
y
y1
Pv
Ph
Pw
1. Hallar la traza frontal del plano dado por sus trazas.
Ejemplo ilustrativo:
x
y
z
Pv
Pw
PhPy
- Pz
Py
Py1
2. Hallar la traza de perfil del plano dado por sus trazas.
x
y
z
PvPw
Ph
Px
x
z
y
y1
Pv
Ph
Px
2. Hallar la traza de perfil del plano dado por sus trazas.
x
y
z
PvPw
Ph
Px
x
z
y
y1
Pv
Ph
- Py
Px
2. Hallar la traza de perfil del plano dado por sus trazas.
x
y
z
PvPw
Ph
Px
x
z
y
y1
Pv
Ph
- Py
- Py1
Px
2. Hallar la traza de perfil del plano dado por sus trazas.
x
y
z
PvPw
Ph
Px
x
z
y
y1
Pv
Ph
Pw
- Py
- Py1
Px
x
z
y
y1
Pv
Ph
3. Hallar la traza de perfil del plano dado por sus trazas.
x
y
z
Pv
PhPx
Pw
x
z
y
y1
Pv
Ph
3. Hallar la traza de perfil del plano dado por sus trazas.
x
y
z
Pv
PhPx
Pw
Pz
x
z
y
y1
Pv
Ph
Pw
3. Hallar la traza de perfil del plano dado por sus trazas.
x
y
z
Pv
Px
PzPw
Ph
x
z
y
y1
Ph
4. Hallar la traza de perfil del plano dado por sus trazas.
x
y
z
Pw
PhPy
x
z
y
y1
Ph
4. Hallar la traza de perfil del plano dado por sus trazas.
x
y
z
Pw
PhPy
- Py
x
z
y
y1
Ph
4. Hallar la traza de perfil del plano dado por sus trazas.
x
y
z
Pw
PhPy
- Py
- Py1
x
z
y
y1
Ph
4. Hallar la traza de perfil del plano dado por sus trazas.
x
y
z
Pw
PhPy
- Py
- Py1
Pw
5. Hallar la traza de perfil del plano dado por sus trazas.
x
y
z
Ph
x
z
y
y1
Pv
Ph
Px
Pv
Pw
5. Hallar la traza de perfil del plano dado por sus trazas.
x
y
z
Ph
x
z
y
y1
Pv
Ph- Pz
Px
Pv
Pw
5. Hallar la traza de perfil del plano dado por sus trazas.
x
y
z
Ph
x
z
y
y1
Pv
Ph- Pz
- Py
Px
Pv
Pw
5. Hallar la traza de perfil del plano dado por sus trazas.
x
y
z
Ph
x
z
y
y1
Pv
Ph- Pz
- Py
- Py1
Px
Pv
Pw
5. Hallar la traza de perfil del plano dado por sus trazas.
x
y
z
Ph
x
z
y
y1
Pv
Ph
Pw
- Pz
- Py
- Py1
Px
Pv
Pw
PERTENENCIA DE UNA RECTA A UN PLANO
a. Una recta pertenece a un plano si tiene dos puntos en común con el plano.
b. Una recta pertenece a un plano si tiene un punto en común y es paralela a una recta en el plano.
Ejemplos ilustrativos:
x
d’
e’a’
b’
c’
a
b
c
d
e
n
n’
1’2’
12
Trazar una recta que pertenezca al plano.
CASO A
xPx
Pv
Ph
b’
a’
b
am’
m
n’
n
Si el plano estuviese dada por sus trazas, los puntos en común se buscan en las trazas del plano.Trazar una recta que pertenezca a la traza del plano.
Pv
Ph
Pxx
n’
nm’
m
x
a’
b’
c’
a
b
c
1’
1
Trazar una recta horizontal que pertenezca al plano.
a’ b’
a
b
x Px
Pv
Ph
a’
a
n’
n
Trazar una recta horizontal paralela que pertenezca al plano.
II I
Pv
Ph
Pxx
A
N
CASO B
Trazar una recta frontal paralela que pertenezca al plano.
x Px
Pv
Ph
a’
a
m’
IV I
m
Pv
Ph
Pxx
A
M
PERTENENCIA DE UNA RECTA A UN PLANO DE POSICION PARTICULAR
a. Una recta pertenece a un plano de posición particular si la posición de la recta coincide con la traza del plano.
Ejemplos ilustrativos:
x
c’
d’
c
d
a’ b’
a
b
Tv
Tv // xTv // H
Ejemplos ilustrativos:
x
c’
d’
c
d
a’ b’
a
b
Tv
Tv // xTv // H
a b
x
a’
b’
a
b
Px
Pv
Ph
P H
x
a’
b’
a
b
Px
Ph
Pv
P V
Ejemplos prácticos:
x
a’
b’
a
b
c’
c
y
c’’k’
k
k’’
a’’
b’’
Trazar a través del punto “c” una recta que corte a la recta AB y al je de proyecciones.
Nota: tener en cuenta que la recta es de posición particular porque la recta es paralela al plano de perfil.
y
y1
x
a’
b’
a
b
c
c’
k’
c’’k
k’’
a’’
b’’
z
y
y1
Trazar a través del punto “c” una recta que corte a la recta AB y al je de proyecciones.
Dado el plano por medio de las rectas AB y CD, y un punto exterior “c” determimar sus trazas.
x
a’ b’
c’ d’
a b
c d
z
y
y1
Pv
Ph
Pz
Py
Py1
a’’ b’’
c’’ d’’
Trazar a través del punto “c” una recta horizontal que corte a la recta AB.
x
a’
b’
a
b
c
c’k’ c’’
k
k’’
z
y
y1
a’’
b’’
Trazar a través del punto “c” una recta frontal que corte a la recta AB.
x
a’
b’
a
b
c
c’
k’
k
z
y
y1
m
m’
n’
n
POSICION RECIPROCA DE UNA RECTA Y UN
PLANO Y DOS PLANOS ENTRE SI
1. INTERSECCION DE UNA RECTA CON UN PLANO DE POSICIONPARTICULAR
• El punto de intersección se determina en el plano de proyección en relación al cual el plano dado es perpendicular.
x
a’
b’
a
b
Tv
x
a’
b’
a
b
Tv
Tv // HTv v
k’
x
a’
b’
a
b
Tv
Tv // HTv v
k’
k
x
a’
b’
a
b
Tv
Tv // HTv v
k’
k
x
a’
b’
a
b
c’ d’ e’
cd
e
x
a’
b’
a
b
CDE // H
CDE v
c’ d’ e’
cd
e
x
a’
b’
a
b
CDE // H
CDE v
k’
c’ d’ e’
cd
e
x
a’
b’
a
b
k’
k
c’ d’ e’
cd
e
CDE // H
CDE v
x
a’
b’
a
b
k’
k
c’ d’ e’
cd
e
CDE // H
CDE v
P H
x
a’
b’
a b
Px
Pv
Ph
DETERMINAR EL PUNTO DE INTERSECCION ENTRE EL PLANO P Y LA RECTA AB
P H
x
a’
b’
a b
Px
Pv
Ph
k’
DETERMINAR EL PUNTO DE INTERSECCION ENTRE EL PLANO P Y LA RECTA AB
P H
x
a’
b’
a b
Px
Pv
Ph
k’
DETERMINAR EL PUNTO DE INTERSECCION ENTRE EL PLANO P Y LA RECTA AB
k
P H
x
a’
b’
a b
Px
Pv
Ph
k’
k
DETERMINAR EL PUNTO DE INTERSECCION ENTRE EL PLANO P Y LA RECTA AB
x
z
y
y1
a’
b’
a
b
Pv
Ph
a’’
b’’Px
DETERMINAR EL PUNTO DE INTERSECCION ENTRE EL PLANO P Y LA RECTA AB
x
k’
z
y
y1
a’
b’
a
b
Pv
Ph
a’’
b’’Px
DETERMINAR EL PUNTO DE INTERSECCION ENTRE EL PLANO P Y LA RECTA AB
x
k’ k’’
z
y
y1
a’
b’
a
b
Pv
Ph
a’’
b’’Px
DETERMINAR EL PUNTO DE INTERSECCION ENTRE EL PLANO P Y LA RECTA AB
x
k’
k
k’’
z
y
y1
a’
b’
a
b
Pv
Ph
a’’
b’’Px
DETERMINAR EL PUNTO DE INTERSECCION ENTRE EL PLANO P Y LA RECTA AB
x
k’
k
k’’
z
y
y1
a’
b’
a
b
Pv
Ph
a’’
b’’Px
DETERMINAR EL PUNTO DE INTERSECCION ENTRE EL PLANO P Y LA RECTA AB
x
a’
b’
a
b
c’
d’
e’
c
d
e
DETERMINAR EL PUNTO DE INTERSECCION ENTRE EL PLANO CDE Y LA RECTA AB
x
a’
b’
a
b
k’c’
d’
e’
c
d
e
DETERMINAR EL PUNTO DE INTERSECCION ENTRE EL PLANO CDE Y LA RECTA AB
x
a’
b’
a
b
k’
k
c’
d’
e’
c
d
e
DETERMINAR EL PUNTO DE INTERSECCION ENTRE EL PLANO CDE Y LA RECTA AB
x
a’
b’
a
b
k’
k
c’
d’
e’
c
d
e
DETERMINAR EL PUNTO DE INTERSECCION ENTRE EL PLANO CDE Y LA RECTA AB
2. INTERSECCION DE PLANOS CUANDO POR LO MENOS UNO DE ELLOS ES DE POSICION PARTICULAR
• Para determinar la recta de intersección se debe aplicar el método anterior dos veces.
x
a’ b’
a b
Tv k’
k
l’
c’
c
l
x
c’
Pv
Ph
Px
a’
b’
d’
c
d
a
k’
l’
k
l
x
a’ b’
a b
Tv
c’
c
x
a’ b’
a b
Tv k’ l’
c’
c
x
a’ b’
a b
Tv k’
k
l’
c’
c
l
x
a’ b’
a b
Tv k’
k
l’
c’
c
l
x
a’ b’
a b
Tv k’
k
l’
c’
c
l
x
c’
Pv
Ph
Px
a’
b’
d’
c
d
a
x
c’
Pv
Ph
Px
a’
b’
d’
c
d
a
k’
l’
x
c’
Pv
Ph
Px
a’
b’
d’
c
d
a
k’
l’
k
l
x
c’
Pv
Ph
Px
a’
b’
d’
c
d
a
k’
l’
k
l
x
c’
Pv
Ph
Px
a’
b’
d’
c
d
a
k’
l’
k
l
Ejemplos prácticos:
Hallar la recta de intersección entre los planos.
x
c’
Pv
Ph
Px
a’
b’
a
c
b
Ejemplos prácticos:
Hallar la recta de intersección entre los planos.
x
c’
Pv
Ph
Px
a’
b’
a
c
b
l’
k’
Ejemplos prácticos:
Hallar la recta de intersección entre los planos.
x
c’
Pv
Ph
Px
a’
b’
a
c
b
l’
k’
l
k
Ejemplos prácticos:
Hallar la recta de intersección entre los planos.
x
c’
Pv
Ph
Px
a’
b’
a
c
b
l’
k’
l
k
Ejemplos prácticos:
Hallar la recta de intersección entre los planos.
x
c’
Pv
Ph
Px
a’
b’
a
c
b
l’
k’
l
k
Hallar la recta de intersección entre los planos.
x
c’
a’b’
c
b
f’
d’
e’
f
d
e
g’
ga
Hallar la recta de intersección entre los planos.
x
c’
a’b’
c
b
f’
d’
e’
f
d
e
g’
ga
l’
l
k’
k
Hallar la recta de intersección entre los planos.
x
c’
a’b’
c
b
f’
d’
e’
f
d
e
g’
ga
k’
l’
kl
Hallar la recta de intersección entre los planos.
x
c’
a’b’
c
b
f’
d’
e’
f
d
e
g’
ga
k’
l’
kl
Hallar la recta de intersección entre los planos.
x
c’
a’b’
c
b
f’
d’
e’
f
d
e
g’
ga
lk
k’
l’
3. INTERSECCION DE PLANOS DADOS POR SUS TRAZAS
A.A. Caso GeneralCaso General
• Para determinar la recta de intersección, hay que ubicar dos puntos los cuales pertenecen a ambos planos al mismo tiempo. Estos puntos se determinan en la intersección de trazas homónimas.
m’
m
Pv
Ph
Pxx
n’
n
V
H
Qx
Qv
Qh
x
Ph
Px Qx
Qh
Qv Pv
N
M
x
Ph
Px
Qh
Qv
Pv
n’
x
Ph
Px
Qh
Qv
Pv
m
n’
x
Ph
Px
Qh
Qv
Pv
m’
m
n’
nx
Ph
Px
Qh
Qv
Pv
m’
m
n’
nx
Ph
Px
Qh
Qv
Pv
x
Ph
Px Qx
Qh
Qv
Pv
m
x
Ph
Px Qx
Qh
Qv
Pv
m’
m
x
Ph
Px Qx
Qh
Qv
Pv
m’
m
x
Ph
Px Qx
Qh
Qv
Pv
m’
m
x
Ph
Px Qx
Qh
Qv
Pv
m’
m
n’
x
Ph
Px Qx
Qh
Qv
Pv
m’
m
n’
nx
Ph
Px Qx
Qh
Qv
Pv
m’
m
n’
nx
Ph
Px Qx
Qh
Qv
Pv
m’
m
n’
nx
Ph
Px Qx
Qh
Qv
Pv
B. Se conoce la dirección de B. Se conoce la dirección de la recta de intersecciónla recta de intersección
• En problemas de este tipo solo se puede determinar un punto de intersección. Entonces para definir la recta utilizamos la condición de pertenencia de un punto en común y paralelo.
x Px
Pv
Ph
Tv
x Px
Pv
Ph
Tv
x Px
Pv
Ph
n’Tv
x Px
Pv
Ph
n’
n
Tv
x Px
Pv
Ph
n’
n
Tv
x Px
Pv
Ph
a’
a
n’
n
Tv
x Px
Pv
Ph
Qv
Qh
Qx
x Px
Pv
Ph
a’
a
n’
n
Qv
Qh
Qx
x
z
y
y1
Pv
Ph
Qv
Qh
x
z
y
y1
Pv
Ph
Pw
Qv
Qh
Qw
x
a’ b’
z
y
y1
Pv
Ph
Pw
Qv
Qh
Qw
x
a’ b’
z
y
y1
Pv
Ph
Pw
a’’ b’’Qv
Qh
Qw
x
a’ b’
z
y
y1
Pv
Ph
Pw
a’’ b’’Qv
Qh
Qw
x
a’ b’
a b
z
y
y1
Pv
Ph
Pw
a’’ b’’Qv
Qh
Qw
x
a’ b’
z
y
y1
Tv
Ph
Pw
Py1
Tw
Py
Tz
x
a’ b’
z
y
y1
Tv
Ph
Pw
a’’ b’’
Py1
Tw
Py
Tz
x
a’ b’
a’ b’
z
y
y1
Tv
Ph
Pw
a’’ b’’
Py1
Tw
Py
Tz
INTERSECCION DE UNA RECTA CON UN PLANO DE POSICIÓN GENERAL
• Trazar a través de la recta un plano. ( preferentemente de posición particular )
• Determinar la recta de intersección entre planos.• Comparar la recta dada en el problema con la recta
obtenida de la intersección de planos.
x
a’ b’
a
b
Pv
Ph
Px
Ejemplos prácticos:
Hallar el punto de intersección entre la recta y el plano.
x
a’ b’
a
b
Qv
Qh
Pv
Ph
Qx
Px
Ejemplos prácticos:
Hallar el punto de intersección entre la recta y el plano.
x
a’ b’
a
b
Qv
n’
Qh
Pv
Ph
m
Qx
Px
Ejemplos prácticos:
Hallar el punto de intersección entre la recta y el plano.
x
a’ b’
a
b
Qv
n’
n
Qh
Pv
Ph
m’
m
Qx
Px
Ejemplos prácticos:
Hallar el punto de intersección entre la recta y el plano.
x
a’ b’
a
b
Qv
n’
n
Qh
Pv
Ph
m’
m
Qx
Px
Ejemplos prácticos:
Hallar el punto de intersección entre la recta y el plano.
x
a’ b’
a
b
Qv
k’
n’
n
Qh
Pv
Ph
m’
m
Qx
Px
Ejemplos prácticos:
Hallar el punto de intersección entre la recta y el plano.
x
a’ b’
a
b
Qv
k’
k
n’
n
Qh
Pv
Ph
m’
m
Qx
Px
Ejemplos prácticos:
Hallar el punto de intersección entre la recta y el plano.
x
a’ b’
a
b
Qv
k’
k
n’
n
Qh
Pv
Ph
m’
m
Qx
Px
Ejemplos prácticos:
Hallar el punto de intersección entre la recta y el plano.
x
a’ b’
a
b
Pv
Ph
Hallar el punto de intersección entre la recta y el plano.
x
a’ b’
a
b
Tv
Pv
Ph
Hallar el punto de intersección entre la recta y el plano.
x
a’ b’
a
b
Tv
Pv
Ph
Hallar el punto de intersección entre la recta y el plano.
x
a’ b’
a
b
Tv n’
n
Pv
Ph
Hallar el punto de intersección entre la recta y el plano.
x
a’ b’
a
b
Tv n’
n
Pv
Ph
Hallar el punto de intersección entre la recta y el plano.
x
a’ b’
a
b
Tv
k
n’
n
Pv
Ph
Hallar el punto de intersección entre la recta y el plano.
x
a’ b’
a
b
Tv k’
k
n’
n
Pv
Ph
Hallar el punto de intersección entre la recta y el plano.
x
a’ b’
a
b
Tv k’
k
n’
n
Pv
Ph
Hallar el punto de intersección entre la recta y el plano.
x
a’
b’
ab
Pv
Ph
Px
Hallar el punto de intersección entre la recta y el plano.
x
a’
b’
ab
Qv
n’
n
Qh
Pv
Ph
Qx
Px
Hallar el punto de intersección entre la recta y el plano.
m
x
a’
b’
ab
Qv
k’
k
n’
n
Qh
Pv
Ph
Qx
Px
Hallar el punto de intersección entre la recta y el plano.
m
m’
xa’
b’
a
b
Pv
Ph
Px
Hallar el punto de intersección entre la recta y el plano.
xa’
b’
a
b
Qv
Qh
Pv
Ph
m’
m
QxPx
Hallar el punto de intersección entre la recta y el plano.
xa’
b’
a
b
Qv
n’
n
Qh
Pv
Ph
m’
m
QxPx
(Qv)(Pv)
Hallar el punto de intersección entre la recta y el plano.
xa’
b’
a
b
Qv
k’
n’
n
Qh
Pv
Ph
m’
m
QxPx
(Qv)(Pv)
Hallar el punto de intersección entre la recta y el plano.
xa’
b’
a
b
Qv
k’
k
n’
n
Qh
Pv
Ph
m’
m
QxPx
(Qv)(Pv)
Hallar el punto de intersección entre la recta y el plano.
xa’
b’
a
b
Qv
k’
k
n’
n
Qh
Pv
Ph
m’
m
QxPx
(Qv)(Pv)
Hallar el punto de intersección entre la recta y el plano.
INTERSECCION DE PLANOS DE POSICIÓN GENERAL
• Para determinar la recta de intersección se debe aplicar el método del anterior dos veces.
a
x
a’
b’
c
b
c’
Pv
Ph
Px
a
x
a’
b’
c
b
m’
c’
Rv
Rx
Rh
Pv
Ph
Px
a
x
a’
b’
c
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n’
m’
m
c’
Rv
Rx
Rh
Pv
Ph
Px
a
x
a’
b’
c
b
n’
n m’
m
c’
Rv
Rx
Rh
Pv
Ph
Px
a
x
a’
b’
c
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n’
n m’
m
c’
Rv
Rx
Rh
Pv
Ph
Px
a
x
a’
b’
c
b
n’
n m’
m
k
c’
Rv
Rx
Rh
Pv
Ph
Px
a
x
a’
b’
c
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n’
n m’
m
k’
k
c’
Rv
Rx
Rh
Pv
Ph
Px
a
x
a’
b’
c
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n’
n m’
m
k’
k
c’
Rv
Rx
Rh
Pv
Ph
Px
Qv
Qh
Qx
a
x
a’
b’
c
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n’
n
n’
n m’
m
m
k’
k
c’
Rv
Rx
Rh
Pv
Ph
Px
Qv
Qh
Qx
a
x
a’
b’
c
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n’
n
n’
n m’
m
m’
m
k’
k
c’
Rv
Rx
Rh
Pv
Ph
Px
Qv
Qh
Qx
a
x
a’
b’
c
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n’
n
n’
n m’
m
m’
m
k’
k
c’
Rv
Rx
Rh
Pv
Ph
Px
Qv
Qh
Qx
a
x
a’
b’
c
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n’
n
n’
n m’
m
m’
m
k’
l’
k
c’
Rv
Rx
Rh
Pv
Ph
Px
Qv
Qh
Qx
a
x
a’
b’
c
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n’
n
n’
n m’
m
m’
m
k’
l’
k l
c’
Rv
Rx
Rh
Pv
Ph
Px
Qv
Qh
Qx
a
x
a’
b’
c
b
n’
n
n’
n m’
m
m’
m
k’
l’
k l
c’
Rv
Rx
Rh
Pv
Ph
Px
Qv
Qh
Qx
a
x
a’
b’
c
b
n’
n
n’
n m’
m
m’
m
k’
l’
k l
c’
Rv
Rx
Rh
Pv
Ph
Px
Qv
Qh
Qx
a
x
c’
a’
b’
c
b
f’
d’
e’
f
d
e
g’
g
a
x
c’
a’
b’
c
b
f’
d’
e’
f
d
e
Pv1
g’
g
Ph1
a
x
c’
a’
b’
c
f’
d’
e’
f
d
e
2’
3’
Pv1
g’
g
Ph1
a
x
c’
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