GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

ES LA PARTE DE LAS MATEMÁTICAS QUE TIENE POR OBJETO REPRESENTAR EN UN PLANO LAS FORMAS DEL ESPACIO Y RESOLVER SUS PROBLEMAS, Y LOS DE LA GEOMETRÍA DEL ESPACIO POR MEDIO DE CONSTRUCCIONES GOMÉTRICAS REALIZADAS EN DICHO PLANO

Ing. Fernando Valdez Galdos

Sistema de Proyecciones

V

H

x

y

z

IW(H)

(V)

(W)

(V)

(W)

(H)

(V)

(H)

-x

-y

-z

II

III

IV

(W)

V

VI

VIII

VII

Sistema de Proyección Octogonal

Sistema V,H,W en los 8 cuadrantes girados

V(H)(W)

x

H(V)(W)

W(V)(H)

z

y

y1

(H)(W)(V)

PROYECCIÓN DE UN PUNTO EN EL SISTEMA V, H

V

H

xA

y

z

IW(H)

(V)

(W)

(V)

(W)

(H)

(V)

(H)

-x

-y

-z

II

III

IV

(W)

V

VI

VIII

VII

Sistema de Proyección Ortogonal

V

H90º

VH

x

”A”

I

Sistema Octante de Proyecciones

V

H90º

VH

x

”A”

I

Sistema Octante de Proyecciones

V

H90º

VH

x

a

”A”

I

Sistema Octante de Proyecciones

V

H90º

VH

x

a

”A”

I

Sistema Octante de Proyecciones

V

H90º

VH

x

a

”A”

I

Sistema Octante de Proyecciones

V

H90º

VH

x

a

”A”

I

Sistema Octante de Proyecciones

V

H90º

VH

x

a´

a

”A”

I

Sistema Octante de Proyecciones

V

H

x

Sistema V, H

V

H

x

a´

Sistema V, H

V

H

x

a´

Sistema V, H

V

H

x

a´

a

Sistema V, H

V

H

x

Altura,línea recta perpendicular al eje x.

Distancia,Alejamiento del eje “x”

a´

a

Sistema V, H

V

H

x

Altura,línea recta perpendicular al eje x.

Distancia,Alejamiento del eje “x”

a´

a´

a´

a

aa

Sistema V, H

a´

a

a´

a

a

a´

a

a´a´

a

a´

a´

a

a´

a

a

a´

a

a´

a

a´

a´

a

a

I II III IV V VI VII VIII

PROYECCIÓN DE UN PUNTO EN EL SISTEMA V, H, W

V

H

xA

y

z

IW(H)

(V)

(W)

(V)

(W)

(H)

(V)

(H)

-x

-y

-z

II

III

IV

(W)

V

VI

VIII

VII

Sistema de Proyección Ortogonal

V

H90º

xA

90º

y

z

Sistema Octante de Proyecciones

W

I CUADRANTE

V

H90º

xA

90º

y

z

Sistema Octante de Proyecciones

W

I CUADRANTE

V

H90º

x

a

A

90º

y

z

Sistema Octante de Proyecciones

W

I CUADRANTE

V

H90º

x

a

A

90º

y

z

Sistema Octante de Proyecciones

W

I CUADRANTE

V

H90º

x

a’

a

A

90º

y

z

Sistema Octante de Proyecciones

W

I CUADRANTE

V

H90º

x

a’

a

A

90º

y

z

Sistema Octante de Proyecciones

W

I CUADRANTE

V

H90º

x

a’

a

A

90º

y

z

Sistema Octante de Proyecciones

W

I CUADRANTE

V

H90º

x

a’

a

A

90º

y

z

Sistema Octante de Proyecciones

W

I CUADRANTE

V

H90º

x

a’

a

A

90º

y

z

Sistema Octante de Proyecciones

W

I CUADRANTE

V

H90º

x

a’

a

A

a’’

90º

y

z

Sistema Octante de Proyecciones

W

I CUADRANTE

V

x

H

a’ a’’

a

W

z

y

y1

Sistema V, H, W

45º

V

x

H

a’ a’’

a

W

z

y

y1

2

2

Sistema V, H, W

La distancia (2) de la proyección horizontal (H), es igual a la distancia (2) de la proyección de perfil (W).

45º

V

x

H

a’ a’’

a

W

z

y

y1

1 1

2

2La altura (1) de la proyección frontal (V), es la misma altura (1) de la proyección de perfil (W).

Sistema V, H, W

La distancia (2) de la proyección horizontal (H), es igual a la distancia (2) de la proyección de perfil (W).

45º

Sistema V,H,W en los 8 cuadrantes girados

V(H)(W)

x

H(V)(W)

a’

a

W(V)(H)

z

y

y1

(H)(W)(V)

Sistema V,H,W en los 8 cuadrantes girados

V(H)(W)

x

H(V)(W)

a’

a

W(V)(H)

z

y

y1

(H)(W)(V)

Sistema V,H,W en los 8 cuadrantes girados

V(H)(W)

x

H(V)(W)

a’

a

W(V)(H)

z

y

y1

(H)(W)(V)

Sistema V,H,W en los 8 cuadrantes girados

V(H)(W)

x

H(V)(W)

a’

a

W(V)(H)

z

y

y1

(H)(W)(V)

Sistema V,H,W en los 8 cuadrantes girados

V(H)(W)

x

H(V)(W)

a’

a

W(V)(H)

z

y

y1

(H)(W)(V)

Sistema V,H,W en los 8 cuadrantes girados

V(H)(W)

x

H(V)(W)

a’ a’’

a

W(V)(H)

z

y

y1

(H)(W)(V)

V

H

xA

y

z

IW(H)

(V)

(W)

(V)

(W)

(H)

(V)

(H)

-x

-y

-z

II

III

IV

(W)

V

VI

VIII

VII

Sistema de Proyección Ortogonal

V

H

xA

y

z

IW(H)

(V)

(W)

(V)

(W)

(H)

(V)

(H)

-x

-y

-z

II

III

IV

(W)

V

VI

VIII

VII

Sistema de Proyección Ortogonal

V

H

x

a

A

y

z

IW(H)

(V)

(W)

(V)

(W)

(H)

(V)

(H)

-x

-y

-z

II

III

IV

(W)

V

VI

VIII

VII

Sistema de Proyección Ortogonal

V

H

x

a

A

y

z

IW(H)

(V)

(W)

(V)

(W)

(H)

(V)

(H)

-x

-y

-z

II

III

IV

(W)

V

VI

VIII

VII

Sistema de Proyección Ortogonal

V

H

x

a

A

y

z

IW(H)

(V)

(W)

(V)

(W)

(H)

(V)

(H)

-x

-y

-z

II

III

IV

(W)

V

VI

VIII

VII

Sistema de Proyección Ortogonal

V

H

x

a

A

y

z

IW(H)

(V)

(W)

(V)

(W)

(H)

(V)

(H)

-x

-y

-z

II

III

IV

(W)

V

VI

VIII

VII

Sistema de Proyección Ortogonal

V

H

x

a’

a

A

y

z

IW(H)

(V)

(W)

(V)

(W)

(H)

(V)

(H)

-x

-y

-z

II

III

IV

(W)

V

VI

VIII

VII

Sistema de Proyección Ortogonal

V

H

x

a’

a

A

y

z

IW(H)

(V)

(W)

(V)

(W)

(H)

(V)

(H)

-x

-y

-z

II

III

IV

(W)

V

VI

VIII

VII

Sistema de Proyección Ortogonal

V

H

x

a’

a

A

y

z

IW(H)

(V)

(W)

(V)

(W)

(H)

(V)

(H)

-x

-y

-z

II

III

IV

(W)

V

VI

VIII

VII

Sistema de Proyección Ortogonal

V

H

x

a’

a

A

y

z

IW(H)

(V)

(W)

(V)

(W)

(H)

(V)

(H)

-x

-y

-z

II

III

IV

(W)

V

VI

VIII

VII

Sistema de Proyección Ortogonal

V

H

x

a’

a

A

y

z

IW(H)

(V)

(W)

(V)

(W)

(H)

(V)

(H)

-x

-y

-z

II

III

IV

(W)

V

VI

VIII

VII

Sistema de Proyección Ortogonal

V

H

x

a’

a

A

y

z

IW(H)

(V)

(W)

(V)

(W)

(H)

(V)

(H)

-x

-y

-z

II

III

IV

(W)

V

VI

VIII

VII

Sistema de Proyección Ortogonal

V

H

x

a’

a

A a’’

y

z

IW(H)

(V)

(W)

(V)

(W)

(H)

(V)

(H)

-x

-y

-z

II

III

IV

(W)

V

VI

VIII

VII

Sistema de Proyección Ortogonal

Sistema V,H,W en los 8 cuadrantes girados

V(H)(W)

x

H(V)(W)

a’ a’’

a

W(V)(H)

z

y

y1

(H)(W)(V)

II CUADRANTE

V

(H)

x

A

-y

z

Sistema Octante de Proyecciones

(W)

II CUADRANTE

V

(H)

x

a

A

-y

z

Sistema Octante de Proyecciones

(W)

II CUADRANTE

V

(H)

x

a

A

-y

z

Sistema Octante de Proyecciones

(W)

II CUADRANTE

V

(H)

x

a

A

-y

z

Sistema Octante de Proyecciones

(W)

II CUADRANTE

V

(H)

x

a

A

-y

z

Sistema Octante de Proyecciones

(W)

II CUADRANTE

V

(H)

x

a’

a

A

-y

z

Sistema Octante de Proyecciones

(W)

II CUADRANTE

V

(H)

x

a’

a

A

-y

z

Sistema Octante de Proyecciones

(W)

II CUADRANTE

V

(H)

x

a’

a

A

-y

z

Sistema Octante de Proyecciones

(W)

II CUADRANTE

V

(H)

x

a’

a

A

-y

z

Sistema Octante de Proyecciones

(W)

II CUADRANTE

V

(H)

x

a’

a

A

-y

z

Sistema Octante de Proyecciones

(W)

II CUADRANTE

V

(H)

x

a’

a

A

-y

z

Sistema Octante de Proyecciones

(W)

II CUADRANTE

V

(H)

x

a’

a

Aa’’

-y

z

Sistema Octante de Proyecciones

(W)

Sistema V, H, W

V

x

(H)

a’a’’

a(W)

y

11

2

2

La altura (1) de la proyección frontal (V), es la misma altura (1) de la proyección de perfil (W).

La distancia (2) de la proyección horizontal (H), es igual a la distancia (2) de la proyección de perfil (W).

45º

y1-y1

z-y

Sistema V, H, W

V

x

(H)(W)

y

y1-y1

z-y

Sistema V, H, W

V

x

(H)

a’

(W)

y

y1-y1

z-y

Sistema V, H, W

V

x

(H)

a’

(W)

y

y1-y1

z-y

Sistema V, H, W

V

x

(H)

a’

(W)

y

y1-y1

z-y

Sistema V, H, W

V

x

(H)

a’

a(W)

y

y1-y1

z-y

Sistema V, H, W

V

x

(H)

a’

a(W)

y

y1-y1

z-y

Sistema V, H, W

V

x

(H)

a’

a(W)

y

45º

y1-y1

z-y

Sistema V, H, W

V

x

(H)

a’

a(W)

y

45º

y1-y1

z-y

Sistema V, H, W

V

x

(H)

a’

a(W)

y

45º

y1-y1

z-y

Sistema V, H, W

V

x

(H)

a’

a(W)

y

45º

y1-y1

z-y

Sistema V, H, W

V

x

(H)

a’a’’

a(W)

y

45º

y1-y1

z-y

Sistema V, H, W

V

x

(H)

a’a’’

a(W)

y

11

2

2

La altura (1) de la proyección frontal (V), es la misma altura (1) de la proyección de perfil (W).

La distancia (2) de la proyección horizontal (H), es igual a la distancia (2) de la proyección de perfil (W).

45º

y1-y1

z-y

V

(H)

x

a’

a

A a’’

-y

-x

Sistema Octante de Proyecciones

(W)

III CUADRANTE

-z

Sistema V, H, W

V

x

(H)

a’a’’

a(W)

y

1

2

2

La altura (1) de la proyección frontal (V), es la misma altura (1) de la proyección de perfil (W).

La distancia (2) de la proyección horizontal (H), es igual a la distancia (2) de la proyección de perfil (W).

45º

y1-y1

z-y

1

V

H

a’

a

Aa’’

-z

z

Sistema Octante de Proyecciones

(W)

IV CUADRANTE

x

y

Sistema V, H, W

H

x

(V)

a’a’’

a

(W)

y

1

2

2

La altura (1) de la proyección frontal (V), es la misma altura (1) de la proyección de perfil (W).

La distancia (2) de la proyección horizontal (H), es igual a la distancia (2) de la proyección de perfil (W).

45º

y1-y1

z-y

1

z (-y)

y (-z)

y1 (-x)

x (-y1)

1. Hallar la proyección de perfil del punto A.

a’

a

a. Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyección del punto A.

Ejemplos ilustrativos:

z (-y)

y (-z)

y1 (-x)

x (-y1)

1. Hallar la proyección de perfil del punto A.

a’

I

b. Segundo paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyección de perfil.

a. Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyección del punto A.

Ejemplos ilustrativos:

a

z (-y)

y (-z)

y1 (-x)

x (-y1)

1. Hallar la proyección de perfil del punto A.

a’

I

b. Segundo paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyección de perfil.

a. Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyección del punto A.

Ejemplos ilustrativos:

a

z (-y)

y (-z)

y1 (-x)

x (-y1)

1. Hallar la proyección de perfil del punto A.

a’

I

b. Segundo paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyección de perfil.

a. Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyección del punto A.

Ejemplos ilustrativos:

a

z (-y)

y (-z)

y1 (-x)

x (-y1)

1. Hallar la proyección de perfil del punto A.

a’

I

b. Segundo paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyección de perfil.

a. Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyección del punto A.

Ejemplos ilustrativos:

a

z (-y)

y (-z)

y1 (-x)

x (-y1)

1. Hallar la proyección de perfil del punto A.

a’

a

I

b. Segundo paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyección de perfil.

a. Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyección del punto A.

Ejemplos ilustrativos:

z (-y)

y (-z)

y1 (-x)

x (-y1)

1. Hallar la proyección de perfil del punto A.

a’’a’

a

I

b. Segundo paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyección de perfil.

a. Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyección del punto A.

Ejemplos ilustrativos:

z (-y)

y (-z)

y1 (-x)

x (-y1)

1. Hallar la proyección de perfil del punto A.

a’’a’

a

I

b. Segundo paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyección de perfil.

a. Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyección del punto A.

Ejemplos ilustrativos:

Ejemplos ilustrativos:

z (-y)

y (-z)

y1 (-x)

x (-y1)

2. Hallar la proyección de perfil del punto A.

a’

a

a. Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyección del punto A.

Ejemplos ilustrativos:

z (-y)

y (-z)

y1 (-x)

x (-y1)

2. Hallar la proyección de perfil del punto A.

a’

a

b. Segundo paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyección de perfil.

II

a. Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyección del punto A.

Ejemplos ilustrativos:

z (-y)

y (-z)

y1 (-x)

x (-y1)

2. Hallar la proyección de perfil del punto A.

a’

a

b. Segundo paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyección de perfil.

II

a. Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyección del punto A.

Ejemplos ilustrativos:

z (-y)

y (-z)

y1 (-x)

x (-y1)

2. Hallar la proyección de perfil del punto A.

a’

a

b. Segundo paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyección de perfil.

II

a. Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyección del punto A.

Ejemplos ilustrativos:

z (-y)

y (-z)

y1 (-x)

x (-y1)

2. Hallar la proyección de perfil del punto A.

a’

a

b. Segundo paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyección de perfil.

II

a. Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyección del punto A.

Ejemplos ilustrativos:

z (-y)

y (-z)

y1 (-x)

x (-y1)

2. Hallar la proyección de perfil del punto A.

a’

a

b. Segundo paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyección de perfil.

II

a. Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyección del punto A.

Ejemplos ilustrativos:

z (-y)

y (-z)

y1 (-x)

x (-y1)

2. Hallar la proyección de perfil del punto A.

a’’a’

b. Segundo paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyección de perfil.

II

a. Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyección del punto A.

Ejemplos ilustrativos:

z (-y)

y (-z)

y1 (-x)

x (-y1)

2. Hallar la proyección de perfil del punto A.

a’’a’

a

b. Segundo paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyección de perfil.

II

a. Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyección del punto A.

z (-y)

y (-z)

y1 (-x)

x (-y1)

3. Hallar la proyección de perfil del punto A.

a’

a

a. Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyección del punto A.

Ejemplos ilustrativos:

z (-y)

y (-z)

y1 (-x)

x (-y1)

3. Hallar la proyección de perfil del punto A.

a’

a

VII

b. Segundo paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyección de perfil.

a. Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyección del punto A.

Ejemplos ilustrativos:

z (-y)

y (-z)

y1 (-x)

x (-y1)

3. Hallar la proyección de perfil del punto A.

a’’ a’

a

VII

b. Segundo paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyección de perfil.

a. Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyección del punto A.

Ejemplos ilustrativos:

z (-y)

y (-z)

y1 (-x)

x (-y1)

4. Hallar la proyección de perfil del punto A.

a’

a

a. Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyección del punto A.

Ejemplos ilustrativos:

z (-y)

y (-z)

y1 (-x)

x (-y1)

4. Hallar la proyección de perfil del punto A.

IV - VIII

b. Segundo paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyección de perfil.

a. Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyección del punto A.

Ejemplos ilustrativos:

a’

a

z (-y)

y (-z)

y1 (-x)

x (-y1)

4. Hallar la proyección de perfil del punto A.

a’’a’

a

IV - VIII

b. Segundo paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyección de perfil.

a. Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyección del punto A.

Ejemplos ilustrativos:

PROYECCIÓN DE UNA RECTA EN EL SISTEMA V, H, W

1. Rectas de posición general, es una recta que no es paralela ni perpendicular a ningún plano de proyección.

2. Rectas de posición particular,

1. Rectas proyectantes (perpendicular)

RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR

a. Proyectante frontal: es perpendicular al plano frontal de proyecciones.

a

a’b’

b

a’’ b’’

VM = verdadera magnitud

Nota: una recta representa su verdadera magnitud cuando es paralela al plano de proyección.

z (-y)

y (-z)

y1 (-x)

x (-y1)

VM

x

y

z

a

A

a’’

B

b

b’’

a’ b’

1. Rectas proyectantes (perpendicular)

RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR

a. Proyectante frontal: es perpendicular al plano frontal de proyecciones.

x

y

z

A

B

1. Rectas proyectantes (perpendicular)

RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR

a. Proyectante frontal: es perpendicular al plano frontal de proyecciones.

x

y

z

A

B

a’ b’

1. Rectas proyectantes (perpendicular)

RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR

a. Proyectante frontal: es perpendicular al plano frontal de proyecciones.

x

y

z

A

B

a’ b’

1. Rectas proyectantes (perpendicular)

RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR

a. Proyectante frontal: es perpendicular al plano frontal de proyecciones.

x

y

z

A

B

a’ b’

1. Rectas proyectantes (perpendicular)

RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR

a. Proyectante frontal: es perpendicular al plano frontal de proyecciones.

x

y

z

a

A

B

b

a’ b’

1. Rectas proyectantes (perpendicular)

RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR

a. Proyectante frontal: es perpendicular al plano frontal de proyecciones.

x

y

z

a

A

B

b

a’ b’

1. Rectas proyectantes (perpendicular)

RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR

a. Proyectante frontal: es perpendicular al plano frontal de proyecciones.

x

y

z

a

A

B

b

a’ b’

1. Rectas proyectantes (perpendicular)

RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR

a. Proyectante frontal: es perpendicular al plano frontal de proyecciones.

x

y

z

a

A

B

b

a’ b’

1. Rectas proyectantes (perpendicular)

RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR

a. Proyectante frontal: es perpendicular al plano frontal de proyecciones.

x

y

z

a

A

a’’

B

b

b’’

a’ b’

1. Rectas proyectantes (perpendicular)

RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR

a. Proyectante frontal: es perpendicular al plano frontal de proyecciones.

a

a’b’

b

a’’ b’’

VM = verdadera magnitud

Nota: una recta representa su verdadera magnitud cuando es paralela al plano de proyección.

z (-y)

y (-z)

y1 (-x)

x (-y1)

VM

x

y

z

a

A

a’’

B

b

b’’

a’ b’

b. Proyectante horizontal: es perpendicular al plano horizontal de proyecciones.

a

a’

b’

b

a’’

b’’

VM

Nota: una recta representa su verdadera magnitud cuando es paralela al plano de proyección.

VM

z (-y)

y (-z)

y1 (-x)

x (-y1)

RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR

x

y

z

a’

A a’’

B

b’

b’’

a b

c. Proyectante de perfil: es perpendicular al plano de perfil de proyecciones.

a

a’ b’

b

a’’

b’’

VMNota: una recta representa su verdadera magnitud cuando es paralela al plano de proyección.

VM

z (-y)

y (-z)

y1 (-x)

x (-y1)

RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR

x

y

z

a’

Aa’’

B

b’

b’’

a b

2. Rectas paralelas a los planos de proyección

a. Frontal: es paralela al plano frontal de proyecciones.

a

a’

b’

b

a’’

b’’VM

Nota: una recta representa su verdadera magnitud cuando es paralela al plano de proyección.

z (-y)

y (-z)

y1 (-x)

x (-y1)

RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR

x

y

z

a’

A a’’

Bb’

b’’

a b

2. Rectas paralelas a los planos de proyección

a. Frontal: es paralela al plano frontal de proyecciones.

RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR

x

y

z

A

B

2. Rectas paralelas a los planos de proyección

a. Frontal: es paralela al plano frontal de proyecciones.

RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR

x

y

z

A

B

a b

2. Rectas paralelas a los planos de proyección

a. Frontal: es paralela al plano frontal de proyecciones.

RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR

x

y

z

A

B

a b

2. Rectas paralelas a los planos de proyección

a. Frontal: es paralela al plano frontal de proyecciones.

RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR

x

y

z

A

B

a b

2. Rectas paralelas a los planos de proyección

a. Frontal: es paralela al plano frontal de proyecciones.

RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR

x

y

z

A

B

a b

2. Rectas paralelas a los planos de proyección

a. Frontal: es paralela al plano frontal de proyecciones.

RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR

x

y

z

a’

A

B

b’

a b

2. Rectas paralelas a los planos de proyección

a. Frontal: es paralela al plano frontal de proyecciones.

RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR

x

y

z

a’

A

B

b’

a b

2. Rectas paralelas a los planos de proyección

a. Frontal: es paralela al plano frontal de proyecciones.

RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR

x

y

z

a’

A

B

b’

a b

2. Rectas paralelas a los planos de proyección

a. Frontal: es paralela al plano frontal de proyecciones.

RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR

x

y

z

a’

A

B

b’

a b

2. Rectas paralelas a los planos de proyección

a. Frontal: es paralela al plano frontal de proyecciones.

RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR

x

y

z

a’

A

B

b’

a b

2. Rectas paralelas a los planos de proyección

a. Frontal: es paralela al plano frontal de proyecciones.

RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR

x

y

z

a’

A

B

b’

a b

a’’

b’’

2. Rectas paralelas a los planos de proyección

a. Frontal: es paralela al plano frontal de proyecciones.

a

a’

b’

b

a’’

b’’VM

Nota: una recta representa su verdadera magnitud cuando es paralela al plano de proyección.

z (-y)

y (-z)

y1 (-x)

x (-y1)

RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR

x

y

z

a’

A a’’

Bb’

b’’

a b

b. Horizontal: es paralela al plano horizontal de proyecciones.

a’’b’’

Nota: una recta representa su verdadera magnitud cuando es paralela al plano de proyección.

z (-y)

y (-z)

y1 (-x)

x (-y1)

a

a’ b’

b

VM

RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR

x

y

z

a

b

a’

a’’

b’ b’’B

A

b. Horizontal: es paralela al plano horizontal de proyecciones.

RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR

x

y

z

A

B

b. Horizontal: es paralela al plano horizontal de proyecciones.

RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR

x

y

z

a

b

A

B

b. Horizontal: es paralela al plano horizontal de proyecciones.

RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR

x

y

z

a

b

A

B

b. Horizontal: es paralela al plano horizontal de proyecciones.

RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR

x

y

z

a

b

A

B

b. Horizontal: es paralela al plano horizontal de proyecciones.

RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR

x

y

z

a

b

A

B

b. Horizontal: es paralela al plano horizontal de proyecciones.

RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR

x

y

z

a

b

A

B

a’ b’

b. Horizontal: es paralela al plano horizontal de proyecciones.

RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR

x

y

z

a

b

a’ b’

A

B

b. Horizontal: es paralela al plano horizontal de proyecciones.

RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR

x

y

z

a

b

a’ b’

B

A

b. Horizontal: es paralela al plano horizontal de proyecciones.

RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR

x

y

z

a

b

a’ b’

B

A

b. Horizontal: es paralela al plano horizontal de proyecciones.

RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR

x

y

z

a

b

a’

a’’

b’

b’’B

A

b. Horizontal: es paralela al plano horizontal de proyecciones.

RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR

x

y

z

a

b

a’

a’’

b’

b’’B

A

b. Horizontal: es paralela al plano horizontal de proyecciones.

a’’b’’

Nota: una recta representa su verdadera magnitud cuando es paralela al plano de proyección.

z (-y)

y (-z)

y1 (-x)

x (-y1)

a

a’ b’

b

VM

RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR

x

y

z

a

b

a’

a’’

b’ b’’B

A

c. Perfil: es paralela al plano de perfil de proyecciones.

Nota: una recta representa su verdadera magnitud cuando es paralela al plano de proyección.

z (-y)

y (-z)

y1 (-x)

x (-y1)

a’’

b’’

a

a’

b’

b

VM

RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR

x

y

z

a

b

a’a’’

b’

b’’

A

B

Ejemplos prácticos:

1. Hallar la proyección de perfil de la recta AB.

a. Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyección de la recta AB.

a

a’ b’

b

a’’ b’’

z (-y)

y (-z)

y1 (-x)

x (-y1)

I

Paralela al plano horizontal

RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR

b. Segundo paso, determinar que tipo de recta es.

c. Tercer paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyección de perfil.

2. Hallar la proyección de perfil de la recta AB.

a

a’

b’

b

a’’

b’’

z (-y)

y (-z)

y1 (-x)

x (-y1)

III

Posición general

RECTAS DE POSICIÓN PARTICULAR

a. Primer paso, identificar el cuadrante donde se encuentra la proyección de la recta AB.b. Segundo paso, determinar que tipo de recta es.

c. Tercer paso, hallar por medio de alturas y distancias la proyección de perfil.

Trazas de una recta

Es la intersección de la recta con los planos de proyección.

V

H

x

I

II

III

IV

N

M

A

B

Sistema Octante de Proyecciones

V

H

x

I

II

III

IV

n’

n

m

m’

n’’

m’’

N

M

A

B

Sistema Octante de Proyecciones

V

B

A

V

a

B

A

H

V

a

b

B

A

H

V

a

b

B

A

H

V

a

b

a’

B

A

H

V

a

b

a’

B

A

H

V

a

b

a’

b’

B

A

H

V

a

b

a’

b’

B

A

H

V

a

b

a’

b’

B

A

H

n

V

a

b

a’

b’

B

A

H

n

n’

m’

V

a

b

a’

b’

B

A

H

n

n’

m’

m

V

a

b

a’

b’

B

A

H

n

n’

m’

N

m

V

a

b

a’

b’

B

A

H

n

n’

m’

M

N

m

V

a

b

a’

b’

B

A

H

n

n’

m’

M

N

m

Sistema V, H

II

I

IV

n’

n

m’

m

a’

b’

a

b

a. Primer paso, prolongar las trazas de l recta AB.

b. Segundo paso, identificar los cuadrantes por donde pasa la recta AB.

V

H

x

I

II

III

IV

n’

n

m

m’

n’’

m’’

N

M

A

B

Sistema Octante de Proyecciones

pp’’

P

p’

Ejemplos ilustrativos:

1. Dada la recta AB determinar sus trazas e indicar que cuadrantes atraviesa.

x

a’

b’

ab

IIII IV

m’

m

n

n’

a. Primer paso, prolongar las trazas de l recta AB.

b. Segundo paso, identificar los cuadrantes por donde pasa la recta AB.

x

a’

b’

a b

I IV

n

n’

a. Primer paso, prolongar las trazas de l recta AB.

b. Segundo paso, identificar los cuadrantes por donde pasa la recta AB.

x

a

b

a’ b’

III IV

n’

n

a. Primer paso, prolongar las trazas de l recta AB.

b. Segundo paso, identificar los cuadrantes por donde pasa la recta AB.

x

a’

b’a

b

IV I

n

n’

a. Primer paso, prolongar las trazas de l recta AB.

b. Segundo paso, identificar los cuadrantes por donde pasa la recta AB.

x

a

ba’

b’

IV III

n’

n

a. Primer paso, prolongar las trazas de l recta AB.

b. Segundo paso, identificar los cuadrantes por donde pasa la recta AB.

1. Dibujar una recta que pase a través de los siguientes cuadrantes:

Ejemplos prácticos:

I, IV, III

x

a’

b’

ab

IIII IV

m’

m

n

n’

II, III, IV

II

III

IV

m’

m

n’

n

a’

b’

a

b

V

H

x

A

B

N

M

IV, I, V, VIV

H

x

A

B

N

M

P

I VIV

m’

m

n’

n

c’

b’

c

b

VI

a’

a

d’

d

n’’

m’’

P’

P

P’’

II, III, VII, VIII

m’

m

n’

n

b’

c’

b

c

V

H

x

A

BN

M

P

III VIIII VIII

a’

a

d’

d

n’’

m’’

P’

P

P’’

POSICION RECIPROCA DE DOS RECTAS

Dos rectas en el espacio se cortan o son paralelas o se cruzan

x

a’

b’

a

b

c’

d’

c

d

x

a’

b’

a

b

c’

d’

c

d

1. Rectas paralelas: dos rectas son paralelas en el espacio si sus proyecciones homónimas son paralelas entre si.

NOTA: Si las rectas son de perfil, para verificar el paralelismo es indispensable construir la vista de perfil de estas.

x

y

z

y1

a’

b’

c’

d’

a

b

d

c

NOTA: Si las rectas son de perfil, para verificar el paralelismo es indispensable construir la vista de perfil de estas.

x

y

z

y1

a’

b’

c’

d’

a

b

d

c

a’’

b’’

NOTA: Si las rectas son de perfil, para verificar el paralelismo es indispensable construir la vista de perfil de estas.

x

y

z

y1

a’

b’

c’

d’

a

b

d

c

a’’

b’’

d’’

c’’

2. Rectas que se cortan (intersecan): dos rectas se cortan en el espacio si existe un punto que pertenece a ambas rectas al mismo tiempo. En las proyecciones debe estar unido con una misma línea

de referencia.

x

a’

b’c’

d’

a

bc

d

k’

k

3. Rectas que se cruzan: dos rectas en el espacio que no son paralelasni tampoco se intersecan.

x

a’

b’c’

d’

ab

c

d

k’

ke

e’

(l’)

l

i’

(i)

1. Trazar desde el punto “c” una recta que corte a la recta AB:

Ejemplos prácticos:

x

a’

b’

a

b

c’

c

1. Trazar desde el punto “c” una recta que corte a la recta AB:

Ejemplos prácticos:

x

a’

b’

a

b

c’

c

I IV

1. Trazar desde el punto “c” una recta que corte a la recta AB:

Ejemplos prácticos:

x

a’

b’

a

b

c’

c

I IV

1. Trazar desde el punto “c” una recta que corte a la recta AB:

Ejemplos prácticos:

x

a’

b’

a

b

c’

c

I IV

1. Trazar desde el punto “c” una recta que corte a la recta AB:

Ejemplos prácticos:

x

a’

b’

a

b

c’

c

k’

I IV

1. Trazar desde el punto “c” una recta que corte a la recta AB:

Ejemplos prácticos:

x

a’

b’

a

b

c’

c

k’

k

I IV

1. Trazar desde el punto “c” una recta que corte a la recta AB:

Ejemplos prácticos:

x

a’

b’

a

b

c’

n’

c

k’

k

I IV

1. Trazar desde el punto “c” una recta que corte a la recta AB:

Ejemplos prácticos:

x

a’

b’

a

b

c’

n’

cn

k’

k

I IV

1. Trazar desde el punto “c” una recta que corte a la recta AB:

Ejemplos prácticos:

x

a’

b’

a

b

c’

n’

cn

k’

k

I IV

x

a’

b’

a

b

c’

c

2. Trazar desde el punto “c” una recta que corte a la recta AB:

x

a’

b’

a

b

I II

2. Trazar desde el punto “c” una recta que corte a la recta AB:

c

c’

x

a’

b’

a

b

k’

I II

2. Trazar desde el punto “c” una recta que corte a la recta AB:

c

c’

x

a’

b’

a

b

k’

k

I II

2. Trazar desde el punto “c” una recta que corte a la recta AB:

c

c’

x

a’

b’

a

b

k’

k

I II

2. Trazar desde el punto “c” una recta que corte a la recta AB:

c

c’

x

a’

b’

a

b

n

k’

k

I II

2. Trazar desde el punto “c” una recta que corte a la recta AB:

c

c’

x

a’

b’

a

b

n

k’

k

n’

I II

2. Trazar desde el punto “c” una recta que corte a la recta AB:

c

c’

x

a’

b’

a

b

n

k’

k

n’

I II

2. Trazar desde el punto “c” una recta que corte a la recta AB:

c

c’

x

c’

c

a’

b

a

b’

3. Trazar desde el punto “c” una recta que corte a la recta AB:

x

c’

c

c’’

a’

b

a’’

b’’

a

b’

3. Trazar desde el punto “c” una recta que corte a la recta AB:

x

k’’

c’

c

c’’

a’

b

a’’

b’’

a

b’

3. Trazar desde el punto “c” una recta que corte a la recta AB:

x

k’ k’’

c’

c

c’’

a’

b

a’’

b’’

a

b’

3. Trazar desde el punto “c” una recta que corte a la recta AB:

x

k’ k’’

k

c’

c

c’’

a’

b

a’’

b’’

a

b’

3. Trazar desde el punto “c” una recta que corte a la recta AB:

x

k’ k’’

k

c’

c

c’’

a’

b

a’’

b’’

a

b’

3. Trazar desde el punto “c” una recta que corte a la recta AB:

x

k’ k’’

k

c’

c

c’’

a’

b

a’’

b’’

a

b’

3. Trazar desde el punto “c” una recta que corte a la recta AB:

EL PLANO

El plano puede determinarse en el espacio con los siguientes elementos geométricos:

1. Tres puntos que no estén en una misma recta.

x

a’

b’c’

a

bc

2. Una recta y un punto que no esté en ella.

x

a’

b’c’

a

bc

3. Dos rectas paralelas.

x

a’

b’

a

b

c’

d’

c

d

4. Dos rectas que se cortan.

x

a’

b’

a

b

c’

d’

d

c

5. Una figura geométrica.

x

a’

b’

c’

a

b

c

6. El plano puede estar dado por sus trazas: las trazas de un plano son las rectas de intersección del plano con los planos de proyección.

V

H

x

y

W

P

z

Pz

Px

Py

PvPw

Phx

z

y

y1

Pz

Py

Pv Pw

Ph

Py1

xPh

PvPw

x

z

y

y1Px

Pz

Py

Pv Pw

Ph

Py1

xPh

Pv Pwz

y

y1x Px

- Pz

Py

Pv Pw

Py1

Ph

xPh

Pv

x

z

y

y1

Pv

Px

Ph

xPh

Pv

x

z

y

y1

- Pz

Pv

Ph

Px

xPh

Pv

x

z

y

y1

- Pz

- Py

Pv

Ph

Px

xPh

Pv

x

z

y

y1

- Pz

- Py

Pv

Ph

- Py1Px

xPh

Pv

x

z

y

y1

- Pz

- Py

Pv

Pw

Ph

- Py1Px

PLANOS DE POSICIÓN PARTICULAR

1. Planos paralelos a los planos de proyección.

a. Plano horizontal paralelo a la proyección horizontal.

Nota: un plano representa su verdadera magnitud cuando es paralelo al plano de proyección.

x

z

y

y1

a’ b’ c’ b’’ c’’ a’’

a

b

cVM = verdadera magnitud

Sistema V, H

x

y

z

a’

a’’

b’

b’’

A

x

z

y

y1

PzPv Pw

c’’c’

C

B

b. Plano frontal paralelo a la proyección fronntal.

Nota: un plano representa su verdadera magnitud cuando es paralelo al plano de proyección.

x

z

y

y1

a’

b’

c’

b’’c’’

a’’

a b c

VM

Sistema V, H

x

z

y

y1

PyPh

Pw

Py1

x

y

z

c’

a’

a’’

b’

b’’

A

c’’

a b c

B

C

c. Plano de perfil paralelo a la proyección de perfil.

Nota: un plano representa su verdadera magnitud cuando es paralelo al plano de proyección.

x

z

y

y1

a’b’

c’

b’’

c’’

a’’

a

b

c

VM

Sistema V, H

x

z

y

y1

Px

Ph

Pv

x

y

z

c’

a’a’’

b’ b’’A

c’’

ab

c

B

C

2. Planos proyectantes y perpendiculares a los planos de proyección.

x

z

y

y1

a’

b’

c’

b’’

c’’

a’’

a

b

c

Figura geométrica

a. Plano proyectante frontal perpendicular a la proyección frontal.

x

z

y

y1

Pv

Ph

Pw

Px

Pz

Traza del plano

x

y

z

Pv

Ph

Pw

Px

Pz

P

x

z

y

y1

a’

b’

c’

b’’

c’’

a’’

a

bc

Figura geométrica

b. Plano proyectante horizontal perpendicular a la proyección horizontal.

x

z

y

y1

Pv

Ph

PwPx

Py

Traza del plano

Py1

x

y

z

Pv

Ph

Pw

Px

Py

P

x

z

y

y1

a

bc

Figura geométrica

a’

b’

c’

b’’

c’’

a’’

c. Plano proyectante de perfil perpendicular a la proyección perfil.

x

z

y

y1

Pv

Ph

Pw

Py

Traza del plano

Py1

x

y

z

Pv

Ph

Pw

Pz

Pz

P

3. Planos proyectantes Axiales.

x

z

y

y1

Pv

Ph

Pw

Traza del plano

V

H

x

y

W

z

PvPw

Ph

x

z

y

y1

Pv

Ph

1. Hallar la traza de perfil del plano dado por sus trazas.

Ejemplo ilustrativo:

x

y

z

Pv

Pw

PhPy

x

z

y

y1

Pv

Ph

1. Hallar la traza de perfil del plano dado por sus trazas.

Ejemplo ilustrativo:

x

y

z

Pv

Pw

PhPy

- Pz

Py

x

z

y

y1

Pv

Ph

1. Hallar la traza frontal del plano dado por sus trazas.

Ejemplo ilustrativo:

x

y

z

Pv

Pw

PhPy

- Pz

Py

Py1

x

z

y

y1

Pv

Ph

Pw

1. Hallar la traza frontal del plano dado por sus trazas.

Ejemplo ilustrativo:

x

y

z

Pv

Pw

PhPy

- Pz

Py

Py1

x

z

y

y1

Pv

Ph

Pw

1. Hallar la traza frontal del plano dado por sus trazas.

Ejemplo ilustrativo:

x

y

z

Pv

Pw

PhPy

- Pz

Py

Py1

2. Hallar la traza de perfil del plano dado por sus trazas.

x

y

z

PvPw

Ph

Px

x

z

y

y1

Pv

Ph

Px

2. Hallar la traza de perfil del plano dado por sus trazas.

x

y

z

PvPw

Ph

Px

x

z

y

y1

Pv

Ph

- Py

Px

2. Hallar la traza de perfil del plano dado por sus trazas.

x

y

z

PvPw

Ph

Px

x

z

y

y1

Pv

Ph

- Py

- Py1

Px

2. Hallar la traza de perfil del plano dado por sus trazas.

x

y

z

PvPw

Ph

Px

x

z

y

y1

Pv

Ph

Pw

- Py

- Py1

Px

x

z

y

y1

Pv

Ph

3. Hallar la traza de perfil del plano dado por sus trazas.

x

y

z

Pv

PhPx

Pw

x

z

y

y1

Pv

Ph

3. Hallar la traza de perfil del plano dado por sus trazas.

x

y

z

Pv

PhPx

Pw

Pz

x

z

y

y1

Pv

Ph

Pw

3. Hallar la traza de perfil del plano dado por sus trazas.

x

y

z

Pv

Px

PzPw

Ph

x

z

y

y1

Ph

4. Hallar la traza de perfil del plano dado por sus trazas.

x

y

z

Pw

PhPy

x

z

y

y1

Ph

4. Hallar la traza de perfil del plano dado por sus trazas.

x

y

z

Pw

PhPy

- Py

x

z

y

y1

Ph

4. Hallar la traza de perfil del plano dado por sus trazas.

x

y

z

Pw

PhPy

- Py

- Py1

x

z

y

y1

Ph

4. Hallar la traza de perfil del plano dado por sus trazas.

x

y

z

Pw

PhPy

- Py

- Py1

Pw

5. Hallar la traza de perfil del plano dado por sus trazas.

x

y

z

Ph

x

z

y

y1

Pv

Ph

Px

Pv

Pw

5. Hallar la traza de perfil del plano dado por sus trazas.

x

y

z

Ph

x

z

y

y1

Pv

Ph- Pz

Px

Pv

Pw

5. Hallar la traza de perfil del plano dado por sus trazas.

x

y

z

Ph

x

z

y

y1

Pv

Ph- Pz

- Py

Px

Pv

Pw

5. Hallar la traza de perfil del plano dado por sus trazas.

x

y

z

Ph

x

z

y

y1

Pv

Ph- Pz

- Py

- Py1

Px

Pv

Pw

5. Hallar la traza de perfil del plano dado por sus trazas.

x

y

z

Ph

x

z

y

y1

Pv

Ph

Pw

- Pz

- Py

- Py1

Px

Pv

Pw

PERTENENCIA DE UNA RECTA A UN PLANO

a. Una recta pertenece a un plano si tiene dos puntos en común con el plano.

b. Una recta pertenece a un plano si tiene un punto en común y es paralela a una recta en el plano.

Ejemplos ilustrativos:

x

d’

e’a’

b’

c’

a

b

c

d

e

n

n’

1’2’

12

Trazar una recta que pertenezca al plano.

CASO A

xPx

Pv

Ph

b’

a’

b

am’

m

n’

n

Si el plano estuviese dada por sus trazas, los puntos en común se buscan en las trazas del plano.Trazar una recta que pertenezca a la traza del plano.

Pv

Ph

Pxx

n’

nm’

m

x

a’

b’

c’

a

b

c

1’

1

Trazar una recta horizontal que pertenezca al plano.

a’ b’

a

b

x Px

Pv

Ph

a’

a

n’

n

Trazar una recta horizontal paralela que pertenezca al plano.

II I

Pv

Ph

Pxx

A

N

CASO B

Trazar una recta frontal paralela que pertenezca al plano.

x Px

Pv

Ph

a’

a

m’

IV I

m

Pv

Ph

Pxx

A

M

PERTENENCIA DE UNA RECTA A UN PLANO DE POSICION PARTICULAR

a. Una recta pertenece a un plano de posición particular si la posición de la recta coincide con la traza del plano.

Ejemplos ilustrativos:

x

c’

d’

c

d

a’ b’

a

b

Tv

Tv // xTv // H

Ejemplos ilustrativos:

x

c’

d’

c

d

a’ b’

a

b

Tv

Tv // xTv // H

a b

x

a’

b’

a

b

Px

Pv

Ph

P H

x

a’

b’

a

b

Px

Ph

Pv

P V

Ejemplos prácticos:

x

a’

b’

a

b

c’

c

y

c’’k’

k

k’’

a’’

b’’

Trazar a través del punto “c” una recta que corte a la recta AB y al je de proyecciones.

Nota: tener en cuenta que la recta es de posición particular porque la recta es paralela al plano de perfil.

y

y1

x

a’

b’

a

b

c

c’

k’

c’’k

k’’

a’’

b’’

z

y

y1

Trazar a través del punto “c” una recta que corte a la recta AB y al je de proyecciones.

Dado el plano por medio de las rectas AB y CD, y un punto exterior “c” determimar sus trazas.

x

a’ b’

c’ d’

a b

c d

z

y

y1

Pv

Ph

Pz

Py

Py1

a’’ b’’

c’’ d’’

Trazar a través del punto “c” una recta horizontal que corte a la recta AB.

x

a’

b’

a

b

c

c’k’ c’’

k

k’’

z

y

y1

a’’

b’’

Trazar a través del punto “c” una recta frontal que corte a la recta AB.

x

a’

b’

a

b

c

c’

k’

k

z

y

y1

m

m’

n’

n

POSICION RECIPROCA DE UNA RECTA Y UN

PLANO Y DOS PLANOS ENTRE SI

1. INTERSECCION DE UNA RECTA CON UN PLANO DE POSICIONPARTICULAR

• El punto de intersección se determina en el plano de proyección en relación al cual el plano dado es perpendicular.

x

a’

b’

a

b

Tv

x

a’

b’

a

b

Tv

Tv // HTv v

k’

x

a’

b’

a

b

Tv

Tv // HTv v

k’

k

x

a’

b’

a

b

Tv

Tv // HTv v

k’

k

x

a’

b’

a

b

c’ d’ e’

cd

e

x

a’

b’

a

b

CDE // H

CDE v

c’ d’ e’

cd

e

x

a’

b’

a

b

CDE // H

CDE v

k’

c’ d’ e’

cd

e

x

a’

b’

a

b

k’

k

c’ d’ e’

cd

e

CDE // H

CDE v

x

a’

b’

a

b

k’

k

c’ d’ e’

cd

e

CDE // H

CDE v

P H

x

a’

b’

a b

Px

Pv

Ph

DETERMINAR EL PUNTO DE INTERSECCION ENTRE EL PLANO P Y LA RECTA AB

P H

x

a’

b’

a b

Px

Pv

Ph

k’

DETERMINAR EL PUNTO DE INTERSECCION ENTRE EL PLANO P Y LA RECTA AB

P H

x

a’

b’

a b

Px

Pv

Ph

k’

DETERMINAR EL PUNTO DE INTERSECCION ENTRE EL PLANO P Y LA RECTA AB

k

P H

x

a’

b’

a b

Px

Pv

Ph

k’

k

DETERMINAR EL PUNTO DE INTERSECCION ENTRE EL PLANO P Y LA RECTA AB

x

z

y

y1

a’

b’

a

b

Pv

Ph

a’’

b’’Px

DETERMINAR EL PUNTO DE INTERSECCION ENTRE EL PLANO P Y LA RECTA AB

x

k’

z

y

y1

a’

b’

a

b

Pv

Ph

a’’

b’’Px

DETERMINAR EL PUNTO DE INTERSECCION ENTRE EL PLANO P Y LA RECTA AB

x

k’ k’’

z

y

y1

a’

b’

a

b

Pv

Ph

a’’

b’’Px

DETERMINAR EL PUNTO DE INTERSECCION ENTRE EL PLANO P Y LA RECTA AB

x

k’

k

k’’

z

y

y1

a’

b’

a

b

Pv

Ph

a’’

b’’Px

DETERMINAR EL PUNTO DE INTERSECCION ENTRE EL PLANO P Y LA RECTA AB

x

k’

k

k’’

z

y

y1

a’

b’

a

b

Pv

Ph

a’’

b’’Px

DETERMINAR EL PUNTO DE INTERSECCION ENTRE EL PLANO P Y LA RECTA AB

x

a’

b’

a

b

c’

d’

e’

c

d

e

DETERMINAR EL PUNTO DE INTERSECCION ENTRE EL PLANO CDE Y LA RECTA AB

x

a’

b’

a

b

k’c’

d’

e’

c

d

e

DETERMINAR EL PUNTO DE INTERSECCION ENTRE EL PLANO CDE Y LA RECTA AB

x

a’

b’

a

b

k’

k

c’

d’

e’

c

d

e

DETERMINAR EL PUNTO DE INTERSECCION ENTRE EL PLANO CDE Y LA RECTA AB

x

a’

b’

a

b

k’

k

c’

d’

e’

c

d

e

DETERMINAR EL PUNTO DE INTERSECCION ENTRE EL PLANO CDE Y LA RECTA AB

2. INTERSECCION DE PLANOS CUANDO POR LO MENOS UNO DE ELLOS ES DE POSICION PARTICULAR

• Para determinar la recta de intersección se debe aplicar el método anterior dos veces.

x

a’ b’

a b

Tv k’

k

l’

c’

c

l

x

c’

Pv

Ph

Px

a’

b’

d’

c

d

a

k’

l’

k

l

x

a’ b’

a b

Tv

c’

c

x

a’ b’

a b

Tv k’ l’

c’

c

x

a’ b’

a b

Tv k’

k

l’

c’

c

l

x

a’ b’

a b

Tv k’

k

l’

c’

c

l

x

a’ b’

a b

Tv k’

k

l’

c’

c

l

x

c’

Pv

Ph

Px

a’

b’

d’

c

d

a

x

c’

Pv

Ph

Px

a’

b’

d’

c

d

a

k’

l’

x

c’

Pv

Ph

Px

a’

b’

d’

c

d

a

k’

l’

k

l

x

c’

Pv

Ph

Px

a’

b’

d’

c

d

a

k’

l’

k

l

x

c’

Pv

Ph

Px

a’

b’

d’

c

d

a

k’

l’

k

l

Ejemplos prácticos:

Hallar la recta de intersección entre los planos.

x

c’

Pv

Ph

Px

a’

b’

a

c

b

Ejemplos prácticos:

Hallar la recta de intersección entre los planos.

x

c’

Pv

Ph

Px

a’

b’

a

c

b

l’

k’

Ejemplos prácticos:

Hallar la recta de intersección entre los planos.

x

c’

Pv

Ph

Px

a’

b’

a

c

b

l’

k’

l

k

Ejemplos prácticos:

Hallar la recta de intersección entre los planos.

x

c’

Pv

Ph

Px

a’

b’

a

c

b

l’

k’

l

k

Ejemplos prácticos:

Hallar la recta de intersección entre los planos.

x

c’

Pv

Ph

Px

a’

b’

a

c

b

l’

k’

l

k

Hallar la recta de intersección entre los planos.

x

c’

a’b’

c

b

f’

d’

e’

f

d

e

g’

ga

Hallar la recta de intersección entre los planos.

x

c’

a’b’

c

b

f’

d’

e’

f

d

e

g’

ga

l’

l

k’

k

Hallar la recta de intersección entre los planos.

x

c’

a’b’

c

b

f’

d’

e’

f

d

e

g’

ga

k’

l’

kl

Hallar la recta de intersección entre los planos.

x

c’

a’b’

c

b

f’

d’

e’

f

d

e

g’

ga

k’

l’

kl

Hallar la recta de intersección entre los planos.

x

c’

a’b’

c

b

f’

d’

e’

f

d

e

g’

ga

lk

k’

l’

3. INTERSECCION DE PLANOS DADOS POR SUS TRAZAS

A.A. Caso GeneralCaso General

• Para determinar la recta de intersección, hay que ubicar dos puntos los cuales pertenecen a ambos planos al mismo tiempo. Estos puntos se determinan en la intersección de trazas homónimas.

m’

m

Pv

Ph

Pxx

n’

n

V

H

Qx

Qv

Qh

x

Ph

Px Qx

Qh

Qv Pv

N

M

x

Ph

Px

Qh

Qv

Pv

n’

x

Ph

Px

Qh

Qv

Pv

m

n’

x

Ph

Px

Qh

Qv

Pv

m’

m

n’

nx

Ph

Px

Qh

Qv

Pv

m’

m

n’

nx

Ph

Px

Qh

Qv

Pv

x

Ph

Px Qx

Qh

Qv

Pv

m

x

Ph

Px Qx

Qh

Qv

Pv

m’

m

x

Ph

Px Qx

Qh

Qv

Pv

m’

m

x

Ph

Px Qx

Qh

Qv

Pv

m’

m

x

Ph

Px Qx

Qh

Qv

Pv

m’

m

n’

x

Ph

Px Qx

Qh

Qv

Pv

m’

m

n’

nx

Ph

Px Qx

Qh

Qv

Pv

m’

m

n’

nx

Ph

Px Qx

Qh

Qv

Pv

m’

m

n’

nx

Ph

Px Qx

Qh

Qv

Pv

B. Se conoce la dirección de B. Se conoce la dirección de la recta de intersecciónla recta de intersección

• En problemas de este tipo solo se puede determinar un punto de intersección. Entonces para definir la recta utilizamos la condición de pertenencia de un punto en común y paralelo.

x Px

Pv

Ph

Tv

x Px

Pv

Ph

Tv

x Px

Pv

Ph

n’Tv

x Px

Pv

Ph

n’

n

Tv

x Px

Pv

Ph

n’

n

Tv

x Px

Pv

Ph

a’

a

n’

n

Tv

x Px

Pv

Ph

Qv

Qh

Qx

x Px

Pv

Ph

a’

a

n’

n

Qv

Qh

Qx

x

z

y

y1

Pv

Ph

Qv

Qh

x

z

y

y1

Pv

Ph

Pw

Qv

Qh

Qw

x

a’ b’

z

y

y1

Pv

Ph

Pw

Qv

Qh

Qw

x

a’ b’

z

y

y1

Pv

Ph

Pw

a’’ b’’Qv

Qh

Qw

x

a’ b’

z

y

y1

Pv

Ph

Pw

a’’ b’’Qv

Qh

Qw

x

a’ b’

a b

z

y

y1

Pv

Ph

Pw

a’’ b’’Qv

Qh

Qw

x

a’ b’

z

y

y1

Tv

Ph

Pw

Py1

Tw

Py

Tz

x

a’ b’

z

y

y1

Tv

Ph

Pw

a’’ b’’

Py1

Tw

Py

Tz

x

a’ b’

a’ b’

z

y

y1

Tv

Ph

Pw

a’’ b’’

Py1

Tw

Py

Tz

INTERSECCION DE UNA RECTA CON UN PLANO DE POSICIÓN GENERAL

• Trazar a través de la recta un plano. ( preferentemente de posición particular )

• Determinar la recta de intersección entre planos.• Comparar la recta dada en el problema con la recta

obtenida de la intersección de planos.

x

a’ b’

a

b

Pv

Ph

Px

Ejemplos prácticos:

Hallar el punto de intersección entre la recta y el plano.

x

a’ b’

a

b

Qv

Qh

Pv

Ph

Qx

Px

Ejemplos prácticos:

Hallar el punto de intersección entre la recta y el plano.

x

a’ b’

a

b

Qv

n’

Qh

Pv

Ph

m

Qx

Px

Ejemplos prácticos:

Hallar el punto de intersección entre la recta y el plano.

x

a’ b’

a

b

Qv

n’

n

Qh

Pv

Ph

m’

m

Qx

Px

Ejemplos prácticos:

Hallar el punto de intersección entre la recta y el plano.

x

a’ b’

a

b

Qv

n’

n

Qh

Pv

Ph

m’

m

Qx

Px

Ejemplos prácticos:

Hallar el punto de intersección entre la recta y el plano.

x

a’ b’

a

b

Qv

k’

n’

n

Qh

Pv

Ph

m’

m

Qx

Px

Ejemplos prácticos:

Hallar el punto de intersección entre la recta y el plano.

x

a’ b’

a

b

Qv

k’

k

n’

n

Qh

Pv

Ph

m’

m

Qx

Px

Ejemplos prácticos:

Hallar el punto de intersección entre la recta y el plano.

x

a’ b’

a

b

Qv

k’

k

n’

n

Qh

Pv

Ph

m’

m

Qx

Px

Ejemplos prácticos:

Hallar el punto de intersección entre la recta y el plano.

x

a’ b’

a

b

Pv

Ph

Hallar el punto de intersección entre la recta y el plano.

x

a’ b’

a

b

Tv

Pv

Ph

Hallar el punto de intersección entre la recta y el plano.

x

a’ b’

a

b

Tv

Pv

Ph

Hallar el punto de intersección entre la recta y el plano.

x

a’ b’

a

b

Tv n’

n

Pv

Ph

Hallar el punto de intersección entre la recta y el plano.

x

a’ b’

a

b

Tv n’

n

Pv

Ph

Hallar el punto de intersección entre la recta y el plano.

x

a’ b’

a

b

Tv

k

n’

n

Pv

Ph

Hallar el punto de intersección entre la recta y el plano.

x

a’ b’

a

b

Tv k’

k

n’

n

Pv

Ph

Hallar el punto de intersección entre la recta y el plano.

x

a’ b’

a

b

Tv k’

k

n’

n

Pv

Ph

Hallar el punto de intersección entre la recta y el plano.

x

a’

b’

ab

Pv

Ph

Px

Hallar el punto de intersección entre la recta y el plano.

x

a’

b’

ab

Qv

n’

n

Qh

Pv

Ph

Qx

Px

Hallar el punto de intersección entre la recta y el plano.

m

x

a’

b’

ab

Qv

k’

k

n’

n

Qh

Pv

Ph

Qx

Px

Hallar el punto de intersección entre la recta y el plano.

m

m’

xa’

b’

a

b

Pv

Ph

Px

Hallar el punto de intersección entre la recta y el plano.

xa’

b’

a

b

Qv

Qh

Pv

Ph

m’

m

QxPx

Hallar el punto de intersección entre la recta y el plano.

xa’

b’

a

b

Qv

n’

n

Qh

Pv

Ph

m’

m

QxPx

(Qv)(Pv)

Hallar el punto de intersección entre la recta y el plano.

xa’

b’

a

b

Qv

k’

n’

n

Qh

Pv

Ph

m’

m

QxPx

(Qv)(Pv)

Hallar el punto de intersección entre la recta y el plano.

xa’

b’

a

b

Qv

k’

k

n’

n

Qh

Pv

Ph

m’

m

QxPx

(Qv)(Pv)

Hallar el punto de intersección entre la recta y el plano.

xa’

b’

a

b

Qv

k’

k

n’

n

Qh

Pv

Ph

m’

m

QxPx

(Qv)(Pv)

Hallar el punto de intersección entre la recta y el plano.

INTERSECCION DE PLANOS DE POSICIÓN GENERAL

• Para determinar la recta de intersección se debe aplicar el método del anterior dos veces.

a

x

a’

b’

c

b

c’

Pv

Ph

Px

a

x

a’

b’

c

b

m’

c’

Rv

Rx

Rh

Pv

Ph

Px

a

x

a’

b’

c

b

n’

m’

m

c’

Rv

Rx

Rh

Pv

Ph

Px

a

x

a’

b’

c

b

n’

n m’

m

c’

Rv

Rx

Rh

Pv

Ph

Px

a

x

a’

b’

c

b

n’

n m’

m

c’

Rv

Rx

Rh

Pv

Ph

Px

a

x

a’

b’

c

b

n’

n m’

m

k

c’

Rv

Rx

Rh

Pv

Ph

Px

a

x

a’

b’

c

b

n’

n m’

m

k’

k

c’

Rv

Rx

Rh

Pv

Ph

Px

a

x

a’

b’

c

b

n’

n m’

m

k’

k

c’

Rv

Rx

Rh

Pv

Ph

Px

Qv

Qh

Qx

a

x

a’

b’

c

b

n’

n

n’

n m’

m

m

k’

k

c’

Rv

Rx

Rh

Pv

Ph

Px

Qv

Qh

Qx

a

x

a’

b’

c

b

n’

n

n’

n m’

m

m’

m

k’

k

c’

Rv

Rx

Rh

Pv

Ph

Px

Qv

Qh

Qx

a

x

a’

b’

c

b

n’

n

n’

n m’

m

m’

m

k’

k

c’

Rv

Rx

Rh

Pv

Ph

Px

Qv

Qh

Qx

a

x

a’

b’

c

b

n’

n

n’

n m’

m

m’

m

k’

l’

k

c’

Rv

Rx

Rh

Pv

Ph

Px

Qv

Qh

Qx

a

x

a’

b’

c

b

n’

n

n’

n m’

m

m’

m

k’

l’

k l

c’

Rv

Rx

Rh

Pv

Ph

Px

Qv

Qh

Qx

a

x

a’

b’

c

b

n’

n

n’

n m’

m

m’

m

k’

l’

k l

c’

Rv

Rx

Rh

Pv

Ph

Px

Qv

Qh

Qx

a

x

a’

b’

c

b

n’

n

n’

n m’

m

m’

m

k’

l’

k l

c’

Rv

Rx

Rh

Pv

Ph

Px

Qv

Qh

Qx

a

x

c’

a’

b’

c

b

f’

d’

e’

f

d

e

g’

g

a

x

c’

a’

b’

c

b

f’

d’

e’

f

d

e

Pv1

g’

g

Ph1

a

x

c’

a’

b’

c

f’

d’

e’

f

d

e

2’

3’

Pv1

g’

g

Ph1

a

x

c’

a’

b’

c

b

f’

d’

e’

f

d

e

2’

3’

Pv1

g’

g

Ph1

2

a

x

c’

a’

b’

c

b

f’

d’

e’

f

d

e

2’

3’

3

Pv1

g’

g

Ph1

2

a

x

c’

a’

b’

c

b

f’

d’

e’

f

d

e

2’

3’

3

Pv1

g’

g

Ph1

2

a

x

c’

a’

b’

c

b

f’

d’

e’

f

d

e

2’

3’

3

Pv1

g’

g

Ph1

2

k

a

x

c’

a’

b’

c

b

f’

d’

e’

f

d

e

2’

3’

3

Pv1

g’

g

Ph1

2

k

k’

a

x

c’

a’

b’

c

b

f’

d’

e’

f

d

e

2’

3’

2

3

k’

k

Pv1

Pv2

g’

g

Ph1Ph2

a

x

c’

a’

b’

c

b

f’

d’

e’

f

d

e

1’

2’

3’

4’

2

3

k’

k

Pv1

Pv2

g’

g

Ph1Ph2

a

x

c’

a’

b’

c

b

f’

d’

e’

f

d

e

1’

2’

3’

4’

1

2

3

k’

k

Pv1

Pv2

g’

g

Ph1Ph2

a

x

c’

a’

b’

c

b

f’

d’

e’

f

d

e

1’

2’

3’

4’

1

2

3

4

k’

k

Pv1

Pv2

g’

g

Ph1Ph2

a

x

c’

a’

b’

c

b

f’

d’

e’

f

d

e

1’

2’

3’

4’

1

2

3

k’

k

Pv1

Pv2

g’

g

Ph1Ph2

4

a

x

c’

a’

b’

c

b

f’

d’

e’

f

d

e

1’

2’

3’

4’

1

2

3

k’

k

l

Pv1

Pv2

g’

g

Ph1Ph2

4

a

x

c’

a’

b’

c

b

f’

d’

e’

f

d

e

1’

2’

3’

4’

1

2

3

k’

l’

k

l

Pv1

Pv2

g’

g

Ph1Ph2

4

a

x

c’

a’

b’

c

b

f’

d’

e’

f

d

e

1’

2’

3’

4’

1

2

3

k’

l’

k

l

Pv1

Pv2

g’

g

Ph1Ph2

4

a

x

c’

a’

b’

c

b

f’

d’

e’

f

d

e

1’

2’

3’

4’

1

2

3

k’

l’

k

l

Pv1

Pv2

g’

g

Ph1Ph2

4

a

x

c’

a’

b’

c

b

f’

d’

e’

f

d

e

1’

2’

3’

4’

1

2

3

k’

l’

k

l

Pv1

Pv2

g’

g

Ph1Ph2

4

a

x

c’

a’

b’

c

b

f’

d’

e’

f

d

e

1’

2’

3’

4’

1

2

3

k’

l’

k

l

Pv1

Pv2

g’

g

Ph1Ph2

4

x

c’

Pv

Ph

Px

a’

b’

a

c

b

1’

k’

1

k

2’

2