GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

BREVE DESCRIPCIÓN DE LA EXPERIENCIA EDUCATIVA.

Curso de carácter teórico- práctico que pretende entregar herramientas básicas para la solución de problemas técnicos relacionados con la tridimensionalidad, como también tratar en forma secuencial el sistema que da origen al lenguaje gráfico-técnico empleado internacionalmente en el área tecnológica.

OBJETIVOS GENERALES DE LA EXPERIENCIA EDUCATIVA.

Relación en correspondencia en la línea a.- Lograr que el alumno maneje los diversos elementos que conforman el espacio tridimensional y los mecanismos operatorios que permiten la solución a problemas relacionados con el mismo.

Relación de profundidad de contenidos b.- Desarrollar la imaginación tridimensional de manera tal que el alumno logre visualizar la situación de los diversos elementos que dan origen a un determinado problema.

c.- Probar, a través del razonamiento, que la solución a un determinado problema es la correcta.


OBJETIVOS ESPECÍFICOS.

Conocimientos 4.1. Entregar al alumno las herramientas básicas que le permitan a futuro enfrentar y solucionar problemas de carácter practico

Habilidades 4.2. Aplicación de criterios en el enfrentamiento de una adecuada solución a problemas relacionados.

4.3. Actitudes 4.4. Desarrollar la capacidad de analizar y reflexionar lógicamente.

CONTENIDOS.

Mapa conceptual de contenidos o unidades temáticas

UNIDAD TEMÁTICA I: GENERALIDADES. Nº Horas: 12

Introducción- Objeto de la Geometría Descriptiva- Proyección cónica, cilíndrica oblicua y cilíndrica ortogonal- Sistema diédrico. UNIDAD TEMÁTICA II: PUNTO Y RECTA. Nº Horas: 20

El punto – La recta – Trazas de la recta- Posiciones de la recta- Intersección de rectas- Rectas paralelas- Rectas que se cruzan- Rectas perpendiculares- Ejercicios. UNIDAD TEMÁTICA III: EL PLANO. Nº Horas: 20

Elementos que determinan un plano - Trazas del plano- Rectas que pertenecen a un plano- Posiciones del plano- Intersección de planos- Penetración de rectas en planos- Paralelismo entre rectas y planos- Paralelismo entre planos- Superficies- Verdaderas magnitudes- Ejercicios. UNIDAD TEMÁTICA IV: MÉTODOS. Nª Horas: 20

Distancias- Giro- Cambio de plano – Abatimiento.


NOCIONES BÁSICAS.

Cualquier objeto puede sintetizarse mediante sus elementos geométricos mas simples:

puntos, líneas, superficies, ángulos, etc. Se inicia en este capítulo el estudio del sistema de Proyección Diédrica, también denominado sistema de Doble Proyección Ortogonal, Comenzando con la descripción de este sistema de proyección, que se basa en definir la proyección ortogonal de los objetos, en forma simultánea, sobre dos planos principales de proyección, perpendiculares entre sí. De esta forma se obtienen dos proyecciones ortogonales del objeto e estudio, por medio de las cuales se puede concebir la forma tridimensional del mismo.


Sistema de Proyección Diédrica El sistema de proyección diédrica se compone básicamente de dos planos de proyección, perpendiculares entre sí, denominados: planos principales de proyección; y en forma particular: plano horizontal de proyección (PH o P1) y plano vertical de proyección (PV o P2). Los componentes principales del sistema de proyección diédrica son: PV (plano vertical de proyección), PH (plano horizontal de proyección): forma 90° con el PV, LT (línea de tierra): es la intersección entre los planos vertical y horizontal de proyección, O (origen): punto común a los tres ejes de coordenadas, a partir del cual se miden las coordenadas de los puntos, X (eje de coordenadas x): eje sobre el cual se miden las coordenadas (x) de los puntos; coincide con la línea de tierra, Y (eje de coordenadas y): eje sobre el cual se miden las coordenadas (y) de los puntos, Z (eje de coordenadas z): eje sobre el cual se miden las coordenadas (z) de los puntos, diedro (cuadrante): cada una de las 4 porciones en que dividen a a todo el espacio los planos principales de proyección. Se denominan: - I C (primer cuadrante): porción del espacio comprendida por encima del PH y por delante del PV, - II C (segundo cuadrante): porción del espacio comprendida por encima del PH y por detrás del PV, - III C (tercer cuadrante): porción del espacio comprendida por debajo del PH y por detrás del PV, - IV C (cuarto cuadrante): porción del espacio comprendida por debajo del PH y por delante del PV. PL (plano lateral), es un plano auxiliar de proyección que esta definido por los ejes de coordenadas (Y) y (Z). Sobre este plano, cuando sea necesario, se proyectan ortogonalmente los objetos, denominándose estas proyecciones: “proyecciones laterales”.


Dibujo en Proyección Diédrica la proyección diédrica se obtiene rotando el plano horizontal de proyección alrededor de la línea de tierra, hasta hacerlo coincidir con el plano vertical de proyección, como lo muestra las figuras (1 a 4). En la figura (5) se muestra el mismo esquema en proyección frontal. Y finalmente, la figura (6), muestra el esquema de trabajo en proyección diédrica; este se obtiene sustituyendo los ejes de coordenadas por una recta horizontal (línea de tierra, ó eje (X)), en la cual se señala el origen con un pequeño segmento vertical que la corta. Es muy importante tener presente que en la representación definitiva figura (6), los ejes de coordenadas y el origen no dejan de existir; si no que han sido substraídos de la representación, por lo tanto, aunque no se vean dibujados o falten sus nomenclaturas, ellos existen en las posiciones que indica la figura (5).


Proyección Diédrica de un Punto Se denomina así a la representación de las proyecciones ortogonales de un punto, sobre los planos vertical y horizontal de proyección en forma simultanea. los puntos se denominan con letras mayúsculas (A,B,C,...Z) o con números (1,2,3...). Coordenadas de un Punto Son las distancias expresadas en milímetros, que al medirse sobre los ejes de coordenadas, a partir del origen, permiten definir con exactitud la ubicación de un punto en el espacio. En proyección diédrica, las coordenadas se denominan: X: distancia al plano lateral, Y: vuelo ó alejamiento, Z: cota ó altura.

Coordenadas de “A”

A= (X; Y; Z)


Las coordenadas de un punto se expresan siempre en orden y separadas por punto y coma (;), por ejemplo, la notación

A(50; 70; 60),

identifica a un punto (A) con las siguientes coordenadas:

AX: distancia del punto (A) al origen o al plano lateral: 50 mm., AY: vuelo del punto (A) alejamiento respecto a la línea de tierra: 70 mm., AZ: cota del punto (A) separación respecto al plano horizontal: 60 mm..

Las coordenadas de un punto, también representan las distancias desde el punto a los planos principales de proyección y al plano lateral. El punto A(50; 70; 60), ya mencionado, se encuentra a distancias de:

50 mm.. del plano lateral, 70 mm.. del plano vertical de proyección, 60 mm.. del plano horizontal de proyección.

En la figura (1) se muestra un esquema en perspectiva de la proyección diédrica de este punto (A), y en la figura (2), la proyección diédrica propiamente dicha del mismo. Las coordenadas no se acotan, de forma que la representación definitiva, en proyección diédrica, es la mostrada en la figura (3).


Posiciones Particulares de un Punto Dependiendo de la posición que ocupe un punto con respecto al origen, sus coordenadas pueden tener signo positivo ó negativo, o un valor de cero. De manera que observando estos valores se puede conocer si el punto está ubicado en:

un cuadrante (diedro), un plano principal de proyección, el plano lateral, el origen, un eje de coordenadas.


Los puntos situados en el 1er diedro tienen la característica de tener su proyección horizontal por debajo de la L.T. o en ella y su proyección vertical por encima de la L.T. o en ella. Los puntos situados en el 2º diedro tienen la característica de tener tanto su proyección vertical como la horizontal por encima de la L.T. o en ella. Los puntos situados en el 3er diedro tienen la característica de tener su proyección horizontal por encima de la L.T. o en ella y su proyección vertical por debajo de la L.T. o en ella. Los puntos situados en el 4º diedro tienen la característica de tener tanto su proyección horizontal como la vertical por debajo de la L.T. o en ella.

Punto Ubicado en un Cuadrante


Punto Ubicado en un Plano Principal de Proyección:


Punto Ubicado en un Plano Lateral:


Punto en el Origen:


Punto Ubicado en un Eje de Coordenadas:

Punto en el Eje (X): Punto en el Eje (Y): Punto en el Eje (Z):


Ejercicios I.- Realice el depurado de los siguientes puntos: A: (25, 33, 77) B: (45, -55, 45) C: (63, 63, 63) D: (00, 68, 00) E: (23, -34, 45) F: (-17, -48, -60) G: (-100, 34, 83) H: (-57, -78, 90)

II.- Realice el depurado de los siguientes puntos: A: (18 // 25 // 13) B: (9 // 5 mm. más adelante que A // 18 mm. bajo el plano horizontal) C: (13 mm. a la derecha de B // 5 mm. atrás de F // ubicado en el plano horizontal de proyección) D: (140 mm. a la izquierda de A // con el mismo vuelo de B // 12 mm. debajo de E) E: (a la mitad de la distancia de C // detrás del plano vertical el triple del valor del vuelo de A // -55) F: (78 mm. a la izquierda de E // detrás del plano de proyección a 67 mm. // igual cota que D) G: (en el origen // en el plano vertical // en el plano horizontal) H: (el triple del valor de E a la izquierda del origen // 5 mm. atrás de G // cuatro veces la cota de A)

Utilice el formato (A4), de manera horizontal, disponiendo la línea de tierra (L.T.) centrada en la hoja, con el origen, valor cero del eje “x”, al centro de ésta.

Comprensión espacial de las coordenadas:

“x”: un valor para “x” se encuentra; en, a la izquierda o a la derecha de otro valor.

“y”: un valor para “y” se encuentra; en, delante o detrás de otro valor.

“z”: un valor de “z” se encuentra; en sobre o debajo de o

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

RE

CT

AS

– p

la

no

la

te

ra

l


Proyección Lateral de un Punto:

Se llama así a la proyección ortogonal de un punto sobre el plano lateral. En este sistema de proyección, el punto de observación se encuentra a una distancia infinita del plano lateral, en dirección del eje (X), el cual se proyecta en su totalidad en el punto de origen (O). El punto de observación, puede también ubicarse en sentido opuesto al eje (X), resultando en esta caso, la proyección lateral, como se muestra: En el sistema de proyección lateral, los planos vertical (PV) y horizontal (PH) de proyección, se encuentran totalmente proyectados sobre los ejes (Z) e (Y) respectivamente, los cuales se observan cortándose a 90°.


A(50; 70; 60),

identifica a un punto (A) con las siguientes coordenadas:

Ax: distancia del punto (A) al plano lateral: 50 mm., Ay: vuelo del punto (A): al plano vertical: 70 mm.,

Az: cota del punto (A): al plano horizontal: 60 mm..

NO

TA

CIÓ

N


Obtención de la Proyección Lateral de un Punto a partir de su Proyección Diédrica

Generalmente la proyección lateral de un punto se obtiene a partir de su proyección diédrica. Para determinar la proyección lateral (Al) de un punto (A), a partir de sus proyecciones vertical (Av) y horizontal (Ah) figura (a), se sigue el procedimiento siguiente:

Se definen los ejes de proyección, figura (b): eje (Z): perpendicular a la línea de tierra, y por cualquier punto (O) de ella, y eje (X): coincide con la línea de tierra, y se dirige hacia la derecha ó izquierda (en el ejemplo hacia la derecha),

Se trasladan la cota (Az) y el vuelo (Ay) del punto (A) hacia el eje (Z), figura (c),

Se rota, mediante un arco con centro en el punto (O) y recorriendo un cuadrante par (en el ejemplo el IV cuadrante), el vuelo (Ay) del punto (A), desde el eje (Z) hasta el eje (X), figura (d); y se define la proyección lateral (Al) del punto (A) por medio de rectas paralelas a los ejes (Z y X).

X X

X


Definir las proyecciones laterales de los puntos “A; B; C; y D” de la figura.

Solución: en la figura (b), se muestra como obtener las proyecciones laterales de estos puntos; haciendo coincidir el eje (Z) con el depurado del punto (B), y dirigiendo el eje (X) hacia la derecha. Puede observarse en la figura (b), que los arcos han sido trazados recorriendo sólo los cuadrantes pares (II C ó IV C). La razón de esto es mantener el signo del vuelo de los respectivos puntos en ambos sistemas, ubicando sus proyecciones laterales en el cuadrante correcto.

EJ

EM

PL

O


Definir la proyección lateral del triángulo de vértices “A; B; C” de la figura.

EJ

ER

CIC

IO


Posición Relativa entre dos Puntos

En la figura (a), se señalan los nombres dados a los sentidos de avance de cada uno de los ejes de coordenadas. En base a estos sentidos, se puede expresar, en forma relativa, la posición de un punto con respecto a otro … posición relativa entre los puntos (A y B).

Solución: la posición relativa entre los puntos (A y B) puede expresarse, entre otras, de las siguientes maneras:

El punto (A) se encuentra a la izquierda (tiene menos distancia al plano lateral); Por debajo (tiene menos cota) y; Por delante (tiene mayor vuelo) del punto (B). El punto (B) se encuentra a la derecha (tiene mas distancia al plano lateral); Más alto (tiene mayor cota) y; Por detrás (tiene menor vuelo) del punto (A).

En resumen: Comparando las distancias al plano lateral de dos puntos, puede decirse cual de ellos está a la izquierda ó a la derecha del otro, Comparando los vuelos de dos puntos, se define cual de ellos está por delante ó por detrás del otro y, Comparando las cotas de dos puntos, puede determinarse cual de ellos está por encima o por debajo del otro.


Definir las proyecciones de los puntos: A ( 45; -20; 05);

B ( ?; 25; ?) A 10 mm. del plano lateral; y 5 mm. por encima de (A);

C ( ?; ?; ?) 15 mm. a la derecha de (B); 30 mm. delante de (A); y 15 mm. por encima del plano horizontal de proyección;

D ( 60; ?; ?) En el IV cuadrante; a 15 mm. del plano horizontal de proyección; y a 20 mm. del plano vertical de proyección;

E ( ?; ?; ?) Contenido en el plano vertical de proyección; 25 mm. a la izquierda de (D); y 15 mm. debajo del plano horizontal de proyección;

F ( ?; ?; ?) En el eje (Z); y 35 mm. por debajo de (C);

G ( 65; ?; ?) 05 mm. delante de (A); y 30 mm. mas alto que (D);

H ( ?; 10; 20) En el plano lateral;

I ( ?; ?; ?) En la línea de tierra y a 15 mm. del origen.

EJ

ER

CIC

IO

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

RE

CT

AS


Proyección Diédrica de una Recta Las rectas se designan con letras minúsculas (a; b; c;...). Una recta (r) puede ser definida por medio de dos puntos (A y B) Punto Contenido en una Recta Si un punto (P) esta contenido en una recta (r), entonces las proyecciones vertical (Pv) y horizontal (Ph) del punto están contenidas en las proyecciones vertical (rv) y horizontal (rh) de la recta, respectivamente.

RE

CT

AS


De esta forma, es posible determinar las proyecciones de un punto conocida una sola de sus tres coordenadas, si se establece que esta contenido en una recta dada ubicación de un punto (A) en una recta (r)


Trazas de una Recta Son los puntos donde la recta se intercepta con los planos

principales de proyección; se denominan: a. traza vertical: punto donde la recta se intercepta con

el plano vertical de proyección. Generalmente se designa con la letra (V).

b. traza horizontal: punto donde la recta se intercepta con el plano horizontal de proyección. Generalmente se designa con la letra (H).

Determinación de las Trazas de una Recta Las trazas de una recta se determinan, en doble proyección ortogonal, interceptando sus proyecciones con la línea de tierra


Partes vistas y ocultas Cuando se representan rectas – y en general cualquier figura en diédrico - se considera que el espectador solo puede ver lo que está en el primer diedro. Las partes invisibles se representan, en proyección diédrica con líneas de segmentos (contorno invisible); aunque también es frecuente, en el desarrollo de problemas en proyección diédrica, representarlas con líneas de procedimiento (líneas finas).


Cuadrantes que Atraviesa una Recta Considerando la extensión infinita de una recta, ella puede: 1. Mantenerse en un cuadrante 2. Atravesar dos cuadrantes 3. Atravesar tres cuadrantes

Si una recta es paralela a la línea de tierra, se mantiene en un cuadrante. En este caso la recta no posee trazas.

http://almez.pntic.mec.es/~ssar0003/test.html

1. Recta que se Mantiene en un Cuadrante


Si una recta es paralela a uno solo de los planos principales de proyección, o se corta con la línea de tierra (sin estar contenida en un plano principal de proyección), entonces atraviesa dos cuadrantes; en este caso la recta tiene una sola traza.

Si una recta no es paralela a ninguno de los planos principales de proyección, ni se corta con la línea de tierra, entonces atraviesa tres cuadrantes. En este caso la recta tiene dos trazas.

2. Recta que se Atraviesa dos Cuadrantes

3. Recta que se Atraviesa tres Cuadrantes


Determinación de los Cuadrantes que Atraviesa una Recta

Las trazas de una recta son también los puntos donde la recta cambia de cuadrante, por lo tanto, para determinar que cuadrantes atraviesa una recta (r), figura (a), puede seguirse el siguiente procedimiento:

a. se definen las trazas vertical (V) y horizontal (H) de la recta (r) y se acotan las dos semirrectas y el segmento en que la misma queda dividida, figura (b),

b. se ubican tres puntos (1; 2 y 3)

arbitrarios, cada uno de ellos situado en una de estas tres partes de la recta, figura (c),

c. se determina en que cuadrante

se encuentra ubicado cada uno de los puntos anteriores, los cuales se corresponden al cuadrante en que se encuentra la parte de la recta que lo contiene, figura (d).


Rectas en Posiciones Particulares

a. Recta horizontal,

b. Recta contenida en el plano horizontal de proyección,

c. Recta frontal,

d. Recta contenida en el plano vertical de proyección,

e. Recta paralela a la línea de tierra,

f. Recta contenida en la línea de tierra,

g. Recta vertical,

h. Recta de punta,

i. Recta de perfil.


a. Recta Horizontal

Es una recta paralela al plano horizontal de proyección; por lo tanto, se proyecta sobre este plano en verdadero tamaño; su proyección vertical es paralela a la línea de tierra, por que todos sus puntos tienen igual cota (Z= constante), y por lo tanto forma un ángulo de cero grados con el plano horizontal de proyección.

Es un caso particular del anterior. Su proyección vertical coincide con la línea de tierra, por que todos sus puntos tienen cota igual a cero (Z=0).

b. Recta Contenida en el Plano Horizontal de Proyección


c. Recta Frontal

Es una recta paralela al plano vertical de proyección; por lo tanto, se proyecta sobre este plano en verdadero tamaño; su proyección horizontal es paralela a la línea de tierra, por que todos sus puntos tienen igual vuelo (Y= constante), y por lo tanto forma un ángulo de cero grados con el plano vertical de proyección.

Es un caso particular del anterior. Su proyección horizontal coincide con la línea de tierra, por que todos sus puntos tienen vuelo igual a cero (Y=0)

d. Recta Contenida en el Plano Vertical de Proyección


e. Recta Paralela a la Línea de Tierra

Es una recta paralela a ambos planos de proyección; (es una recta horizontal y frontal), y en consecuencia tiene las propiedades de ambas; es decir, su cota es constante (Z= constante) y su vuelo también (Y= constante). Sus proyecciones horizontal y vertical son paralelas a línea de tierra; están en verdadero tamaño; y forman ángulos de cero grados con los planos vertical y horizontal de proyección.

Es un caso particular del anterior. Sus proyecciones están contenidas en línea de tierra, es decir su cota y vuelo son cero (Z=Y=0).

f. Recta Contenida en la Línea de Tierra


g. Recta Vertical Es una recta perpendicular al plano horizontal de proyección; por lo tanto, su proyección horizontal es un punto, y su proyección vertical se observa en verdadero tamaño y perpendicular a línea de tierra; forma ángulos de noventa grados con el plano horizontal de proyección y cero grados con el plano vertical de proyección.

h. Recta de Punta Es una recta perpendicular al plano vertical de proyección; por lo tanto, su proyección vertical es un punto, y su proyección horizontal se observa en verdadero tamaño y perpendicular a línea de tierra; forma ángulos de cero grados con el plano horizontal de proyección y noventa grados con el plano vertical de proyección.


i. Recta de Perfil Es una recta “perpendicular” a la línea de tierra (paralela al plano lateral); sus proyecciones (horizontal y vertical) son perpendiculares a línea de tierra. Su verdadero tamaño, así como los ángulos que forma con los planos principales de proyección, pueden determinarse en una proyección lateral de la misma.


De esta forma, si los puntos de corte de las proyecciones de dos rectas están en la misma perpendicular a línea de tierra, esas rectas se cortarán en el espacio y serán coplanarias. En caso contrario las

rectas se cruzarán en el espacio.

Intersección de dos rectas

Si dos rectas se cortan (y, por tanto, están en el mismo plano) habrá un punto de corte A que, por pertenecer a las dos rectas, estará en las trazas de ambas.

Rectas paralelas

Si dos rectas son paralelas, también son paralelas sus proyecciones dos a dos:

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

Documents

Transcript of GEOMETRÍA DESCRIPTIVA