Post on 08-Jul-2015
description
FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
ESCUELA:
NOMBRES:
Ciencias de la Computación
Ing. Ricardo Blacio
BIMESTRE: Primero
PERIODO: Abril – Agosto 2011
CONTENIDOS (PRIMER BIMESTRE)
1. Conceptos fundamentales de álgebra.2. Ecuaciones y desigualdades.3. Funciones y gráficas.4. Funciones polinomiales y racionales.
1. Conceptos fundamentales de Álgebra
Sistema de números reales
Números complejos
Números reales
Números racionales
Números Enteros
Negativos 0 Positivos
Números irracionales
R
C
Q Q΄
Z
Z- Z⁺
Recta de números reales
0 1⁄2 1-1-2 2 3∏
R- R⁺
Notación científica
a= c x 10n , donde 1<=c<10 y n es un entero
57700 en notación científica es 5.77 X 104
0.00032 en notación científica es 3.2 X 10-4
Ejemplo:
Leyes (exponentes)
a0 = 1 (a/b)n = an /bn
a-n = 1/an am/an = a m-n
aman = a m+n am/an = 1/a n-m
(am)n = a mn a-m/b-n = bn/am
(ab)n = anbn (a/b)-n = (b/a)n
Exponentes y radicales
Leyes (radicales)
n√a.b = n√a n√b
n√(a/b) = n√a / n√b
m√n√a = mn√a
Exponentes racionales
a1/n = n√a
am/n = (n√a)m = n√am
Monomio axn
Polinomio anxn + an-1xn-1+…+a1x+a0
Operaciones:
Suma, Resta, Multiplicación, División
Expresiones algebraicas
Es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la potencia de exponente natural
Es una expresión algebraica que se forma de la suma o resta de dos o más monomios.
Fórmulas de Productos
(x + y)(x – y) = (x2-y2)
(x ± y)2 = (x2 ± 2xy+y2)
(x ± y)3 =(x3±3x2y+3xy2±y3)
Fórmulas de factorización
( x2- y2) =(x + y)(x – y)
(x3- y3) = (x - y)(x2 + xy+y2)
(x3+ y3) = (x + y)(x2 -xy+y2)
Cociente El denominador es cero si: Dominio
6x 2- 5x + 4 x2 - 9
x = ±3 Toda x ≠ ±3
x 3 – 3x 2y + 4y 2
y – x3
y = x3 Toda x y y tales
que y ≠ x3
Expresiones fraccionarias
Expresión racional del tipo p/q donde p y q son polinomios
323/141
÷
−
z
yx
z
xy
Simplifique la expresión:
3
23/1
4
2/1
1
×
−
yx
z
z
xy
61
3
2
44
yx
zx
z
yx −
261
344
zyx
zyx −
10
3
y
zx
Ecuaciones• Ecuaciones Lineales: son de la forma ax + b
= 0; a≠0; (a y b son R) 1 sol.
• Ecuaciones Cuadráticas: su forma: ax2+bx+c = 0;a≠0 2 sol. Se puede resolver mediante: Factorización, completar el trinomio cuadrado perfecto y aplicando la fórmula cuadrática.
2. Ecuaciones y desigualdades
a
acbbx
2
42 −±−=
Discriminante.
acb 42 −Sí
realesraicestieneNoacb
diferentesyrealesraicesDosacb
raízUnaacb
04
04
04
2
2
2
<−>−=−
Fórmula cuadrática
Resolver la ecuación aplicando la fórmula cuadrática:
a
acbbx
2
42 −±−=
6x2 + x - 12 = 0
)6(2
)12)(6(4)1(1 2 −−±−=x
12
28811 +±−=x
12
2891±−=x
12
171±−=x
3
41 =x
a b c
2
32 −=x
Otro tipo de ecuaciones como son:
Ecuaciones con valor absoluto. Solución de una Ecuación por
agrupación. Ecuaciones con exponentes racionales Ecuaciones con radicales
51252 =−+x
1511252 +=+−+x6252 =+x
325 =+x
/ 2
5x + 2 = 3 5x + 2 = - 3o
5x = 1
x = 1/5
5x = - 5
x = -1
Si a y b son números reales con b > 0, entonces |a|= b si y sólo si a = b o bien a = - b por lo tanto, si |5x+2|= 3
Ecuaciones con valor absoluto:
a b
Ecuación con radical:
325 −= xx
22 )32()5( −= xx
25 x = 4x2 -12x + 9
4x2 - 37x + 9 = 0
x = 9 x = 1/4
22 )32()5( −= xx
325 −= xx
Desigualdades
Se solucionan utilizando las propiedades de las desigualdades.
La mayor parte de las desigualdades posee un infinito número de soluciones.
La solución de las desigualdades se dan en notación de intervalos.
Un intervalo es un conjunto infinito de puntos con una notación especial. Ejemplos:
( )[ ][ )( ] initoIntervalobxb
osemiabiertIntervalobxaba
cerradoIntervalobxaba
abiertoIntervalobxaba
inf,
,
,
,
≤→−<≤→≤≤→<<→
α
Desigualdades: Lineales, racionales, con valor absoluto, cuadráticas
Desigualdad con valor absolutoPropiedades|a| < b equivale a –b < a < b|a| > b equivale a a < –b ó a > b
Resuelva la desigualdad:
1/4x + 7 ≤ 1/3x - 2
1/4x + 7 - 7 ≤ 1/3x – 2 - 7
1/4x ≤ 1/3x – 9
1/4x - 1/3x ≤ 1/3x - 1/3x – 9
-1/12x ≤ – 9
x ≥ 108
[ 108 , ∞ )
1027112 >−−− x
127112 >−− x
6711 >−− x
/ 2 Propiedades de los valores absolutos (b > 0)2.lal < b - b < a < b3.lal > b a < - b o a > b
6711 −<−− x
Resuelva la desigualdad:
210227112 +>+−−− x
6711 >−− xo
11611711 +−<+−− x 11611711 +>+−− x
57 <− x 177 >− x/ -7 / -7
7/5−>x 7/17−<x
(- 5/7, ∞) U (-∞ , -17/7 ]
02
)3(2 ≤+
−x
xxx2 ( 3 – x ) = 0
x2 = 0 3 – x = 0
x1 = 0
x2 = 3
x + 2 = 0
x3 = - 2
Ambos valores forman parte de la solución , por cuanto la
condición dice ≤ 0.
- ∞ -2 0 3 + ∞
(- ∞, - 2) (- 2, 0) (0 , 3) (3 , + ∞)
Resuelva la desigualdad:
Intervalo (-∞ , -2) -3
(-2 , 0) -1
(0 , 3) 1
(3 , +∞) 4
x2 ( 3 – x ) + + + -
x + 2 - + + +
Resultado - + + -
≤ 0
Solución: (- ∞ , -2) U {0} U [ 3 , ∞ )
Puntos críticos:
3. Funciones y gráficas
Sistema de coordenadas rectangulares
II I
III IV
P(a,b)
a
b
O
Fórmula de la distancia entre dos puntosd(P1,P2)= √(x2−x1)2+(y2−y1)2
El punto medio M de un segmento entre P1y P2
M= x2+x1 , y2+y1
2 2
y
x
Gráfica de ecuaciones
Graficar una ecuación quiere decir representar en un plano coordenado todas los pares ordenados que hacen que la relación se cumpla.
Existen formas de graficar una ecuación marcando el mínimo número de puntos, esto se consigue aplicando ciertas propiedades.
Intersecciones con los ejes. Simetrías.
Intersecciones: Estos valores se los encuentran haciendo x=0 para encontrar la intersección con y, y para encontrar la intersección con x, hacemos y = 0
Simetrías: Para saber si la gráfica es simétrica con respecto • Al eje x sustituimos y por − y nos lleva a la misma ecuación.• Al eje y sustituimos x por − x nos lleva a la misma ecuación.• Al origen sustituimos simultáneamente x por − x y y por –y nos lleva a la misma ecuación.
Trace la gráfica de la ecuación: x = -y2 +3
Intersección con x hacer y = 0
x = - (0)2 +3 x = 3
Intersección con y hacer x = 0
0 = - y2 +3 y2 = 3 y =±√3
Simetrías
• Al eje x, sustituimos y por -y
x= - (-y)2 +3 x= - y2 +3
• Al eje y, sustituimos x por -x
- x= - y2 +3
• Al origen, sustituimos x por –x y y por -y
- x= - (-y)2 +3 - x= - y2 +3
Lleva a la misma ecuación, por lo tanto es simétrica con respecto al eje x.
Intersección con x
Intersección con y
Circunferencias:
La forma de la ecuación de una circunferencia con centro en el punto (h,k) esta dada de la siguiente manera:(x−h)2+(y−k)2=r2
Si la circunferencia tiene su centro en el origen del sistema, la ecuación adopta la siguiente forma:
x2 + y2 = r2
Encuentre el centro y radio de la circunferencia
x2 + y2 -10x +18 = 0
(x2 – 10 x + _ _ )+ y2 = -18
(x2 – 10 x + 25 )+ y2 = -18 +25
(x – 5)2+ y2 = 7 (x – h)2+ (y - k)2 = r2
h=5 y k = 0
Concluimos que la circunferencia tiene centro (5,0) y radio √7
Rectas
Una recta queda definida si se conocen dos de sus puntos.
Formas de la ecuación de la recta:
General ax + by = c Punto-pendiente y – y1 = m (x – x1)Punto y pendiente con intersección con el eje y y = mx + b
La pendiente de la recta es: M = (y2-y1) / (x2-x1)
Rectas paralelas y perpendiculares
Dos rectas son paralelas si : m1 = m2; es decir si sus dos pendientes son iguales.
Dos rectas son perpendiculares si: m1m2 = -1; es decir el producto de sus dos pendientes es igual a -1.
Definición de funciónUna función es una relación en la que se
agrega la restricción de que, a cada elemento del dominio le corresponde uno y solo uno de los elementos del rango.
Dominio Rango
fx y
Variables:x se denomina variable independiente.y se denomina variable dependiente.
DominioEl dominio de una función es el conjunto numérico que contiene los valores de la variable independiente que hacen que la función dé como resultado un número real.
RangoEl rango, codominio o contradominio de una función es el conjunto numérico que se forma de los resultados de la función al aplicar los valores del dominio.
Gráficas de Funciones
Toda función que tiene un dominio y un rango de números reales tiene una gráfica
Sea I un intervalo del dominio de una función f:f es creciente en I si f(x1) < f(x2) siempre que x1 < x2 en el intervalo I.
f es decreciente en I si f(x1) > f(x2) siempre que x1 < x2 en el intervalo I.
f es constante en I si f(x1) = f(x2) para toda x1 y x2.
Función creciente, decreciente o constante
Al reemplazar la variable x por –x:
Si f(-x) = f(x) la función es parSi f(-x) = -f(x) la función es impar
Si f es par entonces es simétrica al eje vertical y.Si f es impar entonces es simétrica respecto al origen.
Paridad de una función
Encuentre el dominio y la imagen de f si: 2)3(
1)(
+=
xxf
Dominio: todos los reales excepto cuando x = -3
Imagen: El intervalo abierto (0,+∞)
x y
0 1/9
1 1/16
2 1/25
-1 1/4
-2 1
-3 No existe
--- ---
Creciente : (-∞, -3)
Decreciente: (-3, +∞)
Dominio
Imag
en
Tipos de Funciones
Funciones Lineales
Del tipo f(x) = ax + b a ≠ 0Se llaman así porque su gráfica es una línea
recta
Funciones Cuadráticas
Del tipo f(x) = ax2 + bx + c a ≠0Su gráfica es una parábola
Operaciones con funciones
Son cuatro las operaciones fundamentales con funciones: suma, resta, multiplicación y división
)(
)()(
)()())((
)()())((
)()())((
xg
xfx
g
fCociente
xgxfxfgProducto
xgxfxgfDiferencia
xgxfxgfSuma
=
=−=−+=+
La función resultante será (f o g)(x) = f(g(x)) y en caso de (g o f)(x) = g(f(x))
Composición de funciones
Se denota con “o” y se da entre dos o más funciones
4. Funciones polinomiales y racionales
Una función polinomial tiene la forma:
Si el coeficiente se dice entonces que la función polinomial es de grado n, el número se denomina coeficiente principal del polinomio.
Generalmente, a medida que el grado aumenta, la gráfica es más complicada.
011
1 ....)( axaxaxaxf nn
nn ++++= −
−
0≠na
na
Se puede obtener una gráfica totalmente precisa utilizando el procedimiento sugerido a continuación:
•Calcule ƒ(−x) para determinar si la gráfica tiene alguna simetría.•Calcule el intersecto ƒ(0) en y. •Factorice el polinomio. •Determine los intersectos en x, hallando las soluciones reales de la ecuación ƒ(x) = 0.•Trace una recta numérica. Determine los signos algebraicos de todos los factores entre los intersectos en x. Esto indicará dónde ƒ(x) > 0 y donde ƒ(x) < 0.•Grafique la función utilizando los resultados de los pasos 1 – 5 y marcando puntos adicionales donde sea necesario.
En los casos en los que ƒ(x) son positivos (ƒ(x)>0), la gráfica de la función está por encima del eje x.
La gráfica de la función esta por debajo del eje x, en aquellos intervalos donde los valores de ƒ(x) son
negativos (ƒ(x)< 0).
Funciones racionales Las funciones racionales se definen en términos de cocientes de polinomios. En general, una expresión R es una función racional sí:
g(x), h(x) son polinomios; el dominio de F es el conjunto de todos los números reales tales que h(x) ≠ 0. Las funciones racionales son continuas para todo valor de x, con excepción de aquellos para los que el denominador h(x) es cero.
0)()(
)()( ≠= xh
xh
xgxF
Asíntotas
Las rectas fijas a las que se aproxima una gráfica, se llaman asíntotas.
Asíntotas verticales Se dice que una recta x = a es una asíntota vertical para la gráfica de una función ƒ sí.
+−
+−
→→−→
→→→
axoaxquemedidaaxf
óaxoaxquemedidaaxf
αα
)(
)(
Asíntotas horizontales
Sea R una función racional definida como cociente de dos polinomios de la forma:
Teoremas:1.- Sí m< n, el eje x (y = 0) es una asíntota horizontal.2.- Sí m =n, la recta y=am/bn es una asíntota horizontal.3.- Sí m > n, no hay asíntotas.
bxbxbaxaxa
n
n
m
mxF01
01
.......
.......)(
+++
+++= 0, ≠ba nm
Gráfica de funciones racionales
Si F(x)= g(x)/h(x) donde g(x) y h(x) son polinomios se debe seguir las siguientes pautas:
2.Encontrar las intersecciones con x, haciendo g(x) = 0.
3.Hallar la asíntota vertical resolviendo h(x)=0.4.Encontrar las intersecciones con y, obteniendo
F(0), trazamos la intersección (0,F(0)).5.Aplicar teorema de asíntotas horizontales y=c.6.Si existen asíntotas horizontales determinar si
corta la gráfica con f(x) = c.7.Trazar la gráfica en cada región.
1. Intersección con x hacer y = 0
Ejercicios. Trace la gráfica de f
2)1(
2)(
+−=
xxfa.-
0 = - 2 No hay intersección con x
2. Asíntota vertical
x + 1 = 0
x = - 1
3. Intersección con y hacer x = 0
2)1(
2)(
+−=
xxf
2)10(
2
+−=
1
2−= = - 2
4. Asíntota horizontal
2)1(
2)(
+−=
xxf
1
1 < 2 Entonces el eje x es la asíntota horizontal
Teorema 1
5. No aplica Este paso se da cuando se tiene el teorema 2 en el paso anterior.
6. Trazar la gráfica x y
1 -1/2
2 -2/9
3 -1/8
-2 -2
-3 -1/2
Asíntota vertical
Asíntota horizontal
Intersección con y
1. Intersección con x hacer y = 0
2
2
16
3)(
x
xxf
−=b.-
0 = 3x2
2. Asíntota vertical16 – x2 = 0
3. Intersección con y hacer x = 0
= 0
x = 0
– x2 = - 16 x2 = 16 x2 = ± 4
2
2
16
3)(
x
xxf
−= 2
2
)0(16
)0(3
−=
4. Asíntota horizontal
2 = 2 La recta y=am/bn es la asíntota horizontal
Teorema 2
5. Determinar si la asíntota horizontal corta la gráfica
2
2
16
3)(
x
xxf
−=
y=3 /-1 y= -3
316
32
2
−=− x
x f(x) = c
3x2 = - 48 + 3x2
0 = - 48 La gráfica no cruza la asíntota horizontal y = -3 porque f(x) = - 3 no tiene solución real.
50
6. Trazar la gráfica
x y
1 1/5
2 1
3 27/7
--- ---
--- ---
Asíntota vertical
Asíntota horizontal
Intersección con x, y
xx
xxxxf
2
82)(
2
23
+−−−=
)2(
)82()(
2
+−−−=
xx
xxxxf
2
82)(
2
+−−−=
x
xxxf
x2 - 2x – 8 = 0 x2 - 2x – 8 = 0 (x - 4) (x + 2) = 0x = 4x = - 2
- x + 2= 0 - x = - 2 x = 2
)0(2)0(
)0(8)0(2)0()0(
2
23
+−−−=f
2
8−= = - 4
c.-
1. Intersección con x hacer y = 0
2. Asíntota vertical
3. Intersección con y hacer x = 0
2
82)(
2
+−−−=
x
xxxf
12 > 1
4. Asíntota horizontal
No hay asíntota horizontal
Teorema 3
5. No aplica
6. Asíntota oblicua
Una función racional tiene una asíntota oblicua cuando el grado del numerador es una unidad mayor que el grado del denominador.2
82)(
2
+−−−=
x
xxxf
1
x2 - 2x – 8 - x + 2- x2 + 2x
- 8- x
Uno de los métodos más usados es la división sintética para hallar la ecuación de la asíntota oblicua.
Este cociente es la ecuación de la asíntota.
y = - xx y
0 0
1 -1
2 -2
-1 1
-2 2
--- ---
Asíntota vertical
Intersección con y
Asíntota oblicua
Intersección con x
6. Trazar la gráfica