ESCUELA:

NOMBRES:

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

Ciencias de la Computación

Ing. Ricardo Blacio

Octubre 2011- Febrero 2012

Bimestre: Segundo

CONTENIDOS (SEGUNDO BIMESTRE)

5. Funciones exponenciales y logarítmicas.6. Sistemas de ecuaciones.7. Matrices y determinantes.8. Sucesiones y series.

Funciones exponenciales y logarítmicas

Funciones exponenciales

La función exponencial ƒ con base a se define como: xaxf =)(

a > 1

En donde x es cualquier número real.

21

21

21

21

.2

.1

xxentoncesaaSí

aaentoncesxxSíxx

xx

==−

≠≠−

Sí x1 y x2, son números reales:

Biunívoca

Funciones logarítmicas

ya axsisoloysíxy == )(log

La definición de loga se puede expresar de la siguiente manera:

Sí x1 y x2, son números reales positivos:

Biunívoca

2121

2121

loglog.2

loglog.1

xxentoncesxxSí

xxentoncesxxSí

aa

aa

==−≠≠−

xexxa

xexxa

ea

xxx

xxxa

a

a

a ===−

===−

===−===−

lnloglog 10.4

ln10loglog.3

1ln110log1log.2

01ln01log01log.1

A continuación tenemos algunas formas de logaritmos comunes y naturales para algunas propiedades generales estudiadas.

uCu

wuw

u

wuuw

wyu

ac

a

aaa

aaa

loglog)3(

logloglog)2(

loglog)(log)1(

:entonces positivos,

reales numerosdenotan Sí

=

−=

+=

Leyes de los logaritmos

6log2log 5 =−x

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

625 =−x

Resuelva la ecuación:

6log2log)5( =− x

2log

6log)5( =− x

2log

6log5 −=x

uCu ac

a loglog =

7

2

11log 4 =+x

11log2 4 =+x

1)1log( 24 =+x

11log 2 =+x

12 101 =+x

2122 )10()1( =+x

1001 =+x

99=x

Resuelva la siguiente ecuación

uCu ac

a loglog =

ya axxy =⇔= log

Decimos que un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones para los cuales buscamos una solución común es decir que satisfaga todas las ecuaciones que lo forman.

Guías para resolver:Método sustituciónMétodo eliminaciónMétodo gráficoMétodo Determinante

Sistemas de Ecuaciones

Resuelva el sistema:

=

−+=

+=

xzx

zyx

zyx

2

2

2

1

32

Despejar y2 de ec.1

ec.1

ec.2

ec.3

zxy

zyx

32

322

2

−=+=

Este resultado reemplazamos en ec.2

122

132

12

−−=−+−=

−+=

zxx

zzxx

zyx

ec.4

Despejar z de ec.4

2

1

122

122

−=

−−=−−=

xz

xxz

zxx

Reemplazar z en ec.3

1;0

0)1(

02

2

2

1

21

22

22

2

2

−===+

=+−

−=

−=

=

xx

xx

xxx

xxx

xxx

xzx

Reemplazar los valores de x en 2

1−= xz

Los resultados x y z los reemplazamos en y2 = 2x - 3z

2

31 ±=y 6

2

11 ±=y

12 ±=y

1;2

121 −=−= zz

IMPORTANTE: no se cumple la propiedad conmutativa.

Matrices y determinantesAlgebra de Matrices

Suma.- Para sumar dos matrices, o más, en primera instancia éstas deben tener igual orden, luego se suman respectivamente los elementos de cada una de ellas, dando lugar a otra matriz de igual orden.

Producto de matrices.- Para poder multiplicar dos matrices se debe verificar la siguiente condición: “Que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda matriz”, si se cumple esto, se puede realizar la multiplicación.

11

3223

214

320

72

83

02

xx

−

−

Exprese como una sola matriz:

332).7(3.21).7(2.24).7(0.2

2.83.31.82.34.80.3

2.03.21.02.24.00.2

x

−+−+−−+++−+++−+

3314674280

16986320

060400

x

−−−−++−+

++−+

3381128

25232

640

x

−−−

−

Inversa de una matriz

La inversa de una matriz solo se puede determinar cuando es cuadrada y para una de referencia A, se representa por A−1, dándose que AxA −1 =1.

1/2 r1= r1 1/2 r1= r1

-3r1 + r3 = r3

1/2 r2 + r1 = r1; 1/2r2 + r3 = r3

/22 r3 = r3

Simplificando1/11

Resultado

1/3 r2= r2 -4r2 + r3 = r3

-6/37 r3= r31/3 r3 + r2 = r2; -5/2r3 + r1 = r1

Resultado

Halla la inversa de la matriz:

M11=

A11= (-1)1+1 (M11) = (1) (0) = 0

Encuentre el determinante:

Sucesiones y Series

Sucesiones infinitas y notación de sumatoria.

Una sucesión se representa mediante una letra cualquiera afectada de subíndices, así por ejemplo: a1,a2,a3,......an......

La notación sumatoria nos permite simplificar al máximo la representación de una serie.

Sucesiones geométricas.- Cuando cada elemento de la sucesión, a partir del primero, se obtiene multiplicando al anterior por una cantidad constante conocida como razón (r).

Ej. 3, 9, 27, 81,....

Sucesiones aritméticas.- Cuando cada elemento de estas sucesiones, a partir del primero, se obtiene sumando al anterior una cantidad constante conocida como diferencia (d).Ej. 4, 10, 16, 22,..

S = a(rn−1/r−1)

u=a+(n−1)d

Para el cálculo del último término (u), se tiene:

La suma de los términos de una sucesión aritmética se halla usando la relación:

S = n/2 (2a + (n - 1) d)

Su

cesi

on

es

ari

tméti

cas

Su

cesi

on

es

geo

métr

icas

La obtención del último término u, se logra empleando la ecuación:

u = arn−1

La suma de los términos de una progresión geométrica se halla usando la relación

18

Ejemplo:

Halla la suma de los primeros 10 términos de la sucesión aritmética en que el cuarto término es 9 y la diferencia común es -5.

Suponiendo solo cuatro términos

n = 4an = 9d = -5a1 = ?

an = a1 + (n - 1) d9 = a1 + (4 - 1) (-5)9 = a1 - 15-a1 = -9 - 15a1 = 24

Ahora con 8 términos

n = 10a1 = 24d = -5a10 = ?S10=?

an = a1 + (n - 1) dan = 24 + (10 - 1) (-5)an = 24 - 45a10 = -21

Sn = n/2 (a1 + an)Sn = 10/2 (24 - 21)Sn = 5 (3)S 10 = 15

Los términos quinto y decimotercero de una sucesión aritmética son 5 y 77, respectivamente. Encuentra el término octavo.

5 término = 513 término = 77d = ?a1 = ?a8 = ?

an = a1 + (n - 1) d

5 = a1 + (5 - 1) d

77 = a1 + (13 - 1) d

5 = a1 + 4d-77 = -a1 - 12d *-1-72 = - 8d d = 9

Finalmente encontramos el a8: Ahora obtenemos el valor de a1:

5 = a1 + 4da1 = 5 – 4da1 = 5 - 4 (9)a1= - 31

a8 = a1 + (n - 1) d a8 = -31 + (8 - 1) 9a8 = -31 + 63

a 8= 32

ec.1

ec.2

ec.1

Teorema del binomio.- Cuando (a+b)n se extiende para un entero positivo arbitrario n, los exponentes de a y b siguen un patrón definido.

Ej.

(a+b)2 = a2 + 2ab + b2

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

Recordemos…

21

El método de sustitución consiste en despejar una incógnita de una de las ecuaciones, para luego reemplazar este resultado en la otra ecuación. V

Una matriz es un arreglo rectangular de números dispuestos en reglones y columnas.

Para la multiplicación de matrices cuadradas se cumple la propiedad conmutativa.

El determinante de una matriz es otra matriz de igual tamaño.

La notación de sumatoria nos permite simplificar al máximo la representación de una serie.

Las sucesiones geométricas son aquellas donde existe una razón común entre un término y el siguiente.

V

F

F

V

V

Ing. Ricardo Blacio

Docente – UTPL

Correo electrónico: rpblacio@utpl.edu.ec

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