Funciones

Prof. Nilsa I. ToroProf. Nilsa I. ToroCatedrática

Recinto Universitario de MayagüezAFAMaC

Residencial Sept. 4 de 2010

Introducción

� Es frecuente que se describa una cantidad en términos de otra; por ejemplo:

1. El crecimiento de planta se asocia con la cantidad de luz que recibe.cantidad de luz que recibe.2. Demanda de un producto se pude asociar con su precio.3. El área de un cuadrado depende del largo de uno de sus lados.

� Suponga que es hora de llenar el tanque de su automóvil. En la estación de gasolina, la regular se vende a $2.49 por galón. Notemos que el precio final que paga esta determinado o asociado por el número de galones que compra.

Número de galones bombeados

Precio por número de galones

0 0($2.49)=$0

1 1($2.49)=$2.49

2 2($2.49)=$4.98

3 3($2.49)=$7.47

� En este ejemplo, el precio total depende de la gasolina bombeada. Por esta razón, el precio se denomina la variable dependiente y el número de galones se llama la variable independiente.independiente.

� Podemos representar las cantidades relacionadas por un par ordenado.

(variable dependiente, variable independiente)

Relación

� Una relación es un conjunto de parejas

ordenadas.

Ejemplos� Ejemplos

1. {(3,1), (0,-1), (-5,4), (2,2)}

2. {(3,1), (0,-1), (3,2), (2,-1)}

Función

� Definición 1

Una función f es una regla que asigna a cada elemento

x de un conjunto A exactamente un elemento, llamado

f(x), de un conjunto B.

A se conoce como el dominio de la función. El rango,

recorrido o campo de valores es el conjunto de todos

los valores posibles de f(x) conforme x varía en todo el

dominio.

rango B⊆

� Definición 2

Una función f es un conjunto de pares ordenados con la

propiedad de que no dos pares ordenados tienen el

mismo primer elemento, de lo contrario es llamada una

relación.relación.

El conjunto de todos los primeros elementos en la

función es llamado el dominio de la función y el

conjunto de todos los segundos elementos es llamado el

rango o recorrido.

� Podemos pensar en una función como una máquina de refrescos o de dulces que tiene valores de entrada y valores de salida.

Botón Refresco

1 CoKe

2 7-Up2 7-Up

3 CoKe

4 Agua

5 Diet CoKe

6 Diet 7-UP

Ejemplos

� Determinar si los siguientes conjuntos representan una función.

1. {(3,1), (0,-1), (-3,4), (1,2)}1. {(3,1), (0,-1), (-3,4), (1,2)}

2. {(3,0), (0,-1), (-3,2), (3,2)}

3. {(3,0), (0,-1), (-3,2), (4,2)}

Ejemplos

Función

Formas de expresión de una función1. Verbalmente

Para cada persona corresponde una edad.2. Numéricamente - Por tablas o una lista de pares

ordenadosX y

-1 0

3. Gráficamente

4. Algebraicamente - Por una ecuación en dos variables y = 3x+2

-1 0

½ 1

2 1

−2 −1 1 2 3

−3

−2

−1

1

2

Notación de función

� Cuando usamos una ecuación para representar una función, nos referimos a ésta de la siguiente manera:

Valor de entrada Valor de salida Ecuación

Recordemos que f es el nombre de la función y f(x) es el valor de la función en x.

Valor de entradaVariable independiente

Valor de salida Variable dependiente

Ecuación

x f(x) f(x)=3x+2

Evaluar funciones � Para evaluar una función en un número a,

sustituimos el número a en la variable.

� EjemplosSi f(x) = 5 - 2x, hallar f(-1), f(0), f(3), f(a).1. Si f(x) = 5 - 2x, hallar f(-1), f(0), f(3), f(a).

2. Si f(x) = 4 + 3x, hallar el cociente de diferencia ( ) ( )2 2

, 0f h f

hh

+ −≠

Ejercicios

( )

( ) 2

Sean:

151.

3

2. 3 16

f xx

f x x x

=−

= − + +( )( ) 2

2. 3 16

3. 25

hallar:

(6), ( 2), (3), (0) (4) ( 3), ( ), ( )

f x x x

f x x

f g h f g h f a f a b

= − + +

= −

− + − − +

Ejercicio

2

Para:

( ) 2 3 1= − +f x x x

( ) ( )hallar:

, 0+ −

≠f x h f x

hh

Dominio de una función

� El dominio de una función es el conjunto de todas los valores de x que hacen que la ecuación este bien definida.

Ejemplo: Hallar el dominio para cada una de � Ejemplo: Hallar el dominio para cada una de las siguientes funciones:

( ) ( )

( ) ( )

2

2

1. 2. 3 163

3. 2 4. 25

= = − + +−

= + = −

xf x f x x x

x

f x x f x x

Ejercicio

� Hallar el dominio para cada una de las siguientes funciones:

( ) 21. 3 1f x x x= − +( )

( )

( )

1. 3 1

12.

5

3. 2

f x x x

f xx

f x x

= − +

=+

= −

La gráfica de una función

� Es el conjunto de parejas ordenadas (x,f(x))tal que x está en el dominio de f.

(x,f(x))

Dominio

Rango

f(1)f(2)

f(x)y=f(x)

00 1 2 x

Ejemplo

� Hallar el dominio y el rango de la función utilizando la gráfica.

3

4

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

Ejercicio� Hallar el dominio y el rango de la función

utilizando la gráfica.

3

4

5

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

� Para hacer la gráfica de una función comof(x) = 5 - 4x, lo hacemos igual que si hiciéramos la gráfica de la ecuación y = 5 - 4x. Buscamos los pares ordenados (x, f(x)), se localizan los puntos en el plano y se conectan.

� Además es bien útil saber buscar los interceptos, estos son los valores donde la gráfica corta los ejes coordenados.

1. Intercepto en x: se busca igualando y a cero2. Intercepto en y: se busca igualando x a cero

Ejemplo:

1. Hallar los interceptos de la gráfica de

f(x) = 5 - 4x.

Dibujar la gráfica de f(x) = 5 - 4x.2. Dibujar la gráfica de f(x) = 5 - 4x.

3. Observar dominio y rango f(x) = 5 - 4x.

Prueba de la recta vertical

� Una manera de saber si una relación es una función es analizando la gráfica de la relación.

� Si cualquier recta vertical pasa por más de un punto de la gráfica , la relación no es función.

Ejemplo

� Determinar si las siguientes gráficas son las gráficas de funciones.

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

1

Diferentes Tipos de de

Funciones

Función Lineal

� Una función lineal es definida por la ecuación que se puede escribir de la formaf(x) = mx + b ó y = mx + b , donde m es la pendiente de la recta y (0,b) el intercepto en y.pendiente de la recta y (0,b) el intercepto en y.

� Observación:Se puede aplicar en muchas situaciones, por ejemplo en economía (uso de la oferta y la demanda).

Gráficas de funciones lineales

� La gráfica de una función lineal f es llamada una recta, no es vertical ni horizontal.

f(x) f(x)

Dominio: Reales Rango: Reales

m > 0 m < 0

xx

Aplicaciones de la función lineal

1. Un “poster” es 10 pulgadas más largo que

su ancho. Encuentre una función que

modela el perímetro P en términos de su modela el perímetro P en términos de su

ancho w.

2. Una mujer de 5 pies de altura esta de pie cerca de un farol de 12 pies de altura, como se muestra en la figura. Exprese la longitud L de su sombra como una función de la distancia d de la mujer a la base del farol.

Ejercicio

El largo de una cancha rectangular de tenis

en Winbledon es 2 pies más largo que su

ancho w. Exprese el perímetro P de la ancho w. Exprese el perímetro P de la

cancha como función de su ancho w.

Función cuadrática

� Una función cuadrática es definida por la ecuación

de la forma ,

donde a, b y c son reales.

( ) 2 0f x ax bx c a= + + ≠

donde a, b y c son reales.

Gráficas de funciones cuadráticas

� Dada una función cuadrática

( ) 2 , 0f x ax bx c a= + + ≠podemos resumir las siguientes propiedades:

( ) , 0f x ax bx c a= + + ≠

Vértice (h,k)

Max f(x)

x=h

h

k

Vértice (h,k)

x=h

Min f(x)

x

y

h

k

x

y

a>0 a<0

� La gráfica de f es una parábola.

� Vértice (h,k)

� Eje de simetría: x=h

( ] [ ), si a 0 ó , si a 0k k−∞ < ∞ >

h

� f(h)=k es el mínimo si a > 0

� f(h)=k es el máximo si a < 0

� Dominio: Reales

� Rango:

ha>0 a<0

Vértice

� El vértice (h, k) se busca directamente de la ecuación estándar

( ) 2 , 0f x ax bx c a= + + ≠( ) , 0f x ax bx c a= + + ≠

( )2 2

− −= =b bh y k f

a a

Ejemplo

� Dibujar la gráfica de2( ) 4 5f x x x= − −

Ejercicio

� Dibujar la gráfica de2( ) 2 8f x x x= − + +

Función cúbica� La función cúbica es definida por la

ecuación de la forma .

� Gráfica

( ) 3f x x=

� Gráfica

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

Función raíz cuadrada

� La función raíz cuadrada es definida por la

ecuación de la forma . ( )f x x=

� Observación: A diferencia de las anteriores el dominio es diferente de los números reales.

Gráfica de la función raíz cuadrada

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

1

2

3

4

{ }{ }

Dominio: 0

Rango: 0

x x

x x

≥

≥

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

Ejemplos

� Dibujar la gráfica de las siguientes funciones:

( )

3

3

1. ( ) 1

2. ( ) 2

= +

= +

f x x

f x x( )2. ( ) 2

3. ( ) 3

4 . ( ) 1

= +

= −

= −

f x x

f x x

f x x

Ejercicios� Dibujar la gráfica de las siguientes funciones:

( )

3

3

1. ( ) 1

2. ( ) 2

= −

= −

f x x

f x x( )2. ( ) 2

3. ( ) 1

4 . ( ) 3

= −

= −

= −

f x x

f x x

f x x

FINFIN