Post on 01-Aug-2020
MICROECONOMÍA. EQUILIBRIO GENERAL Y ECONOMÍA DE LA INFORMACIÓN
Tema 2 LA ELECCIÓN EN CONDICIONES DE INCERTIDUMBRE
Fernando Perera TalloOlga María Rodríguez Rodríguez
http://bit.ly/8l8DDu
1
2.1 Conceptos básicos2.2 La función de utilidad esperada2.3 Las actitudes frente al riesgo. Medidas de aversión al riesgo
2.3 La Función de Utilidad Esperada
Una lotería se define como un conjunto de resultados
(consecuencias) y la distribución de probabilidades
asociados a esas consecuencias ),...,,;,...,,( 2121 NN pppccc .
Sobre el espacio de lotería definimos preferencias de acuerdo
con la función de utilidad esperada o Von Newman-
Morgestein:
[ ]∑=
==+++
=
N
jjjNN
NN
cuEcupcupcupcup
pppcccV
12211
2121
)()()(...)()(
),...,,;,...,,(
donde (.)u es una función ℜ→ℜ+ continua y diferenciable
de segundo orden y estrictamente creciente (monotonicidad).
2.4 Actitudes frente al riesgo
Lotería no degenerada: ),...,,;,...,,( 2121 NN pppccc∀ tal
que ( )1,0∈jp , (y que ij cc ≠ para algún i, j ∈0,1,...,N)
Mientras no se indique lo contrario, siempre estaremos
hablando de loterías no degeneradas.
http://bit.ly/8l8DDuPerera-Tallo y Rodríguez-Rodríguez
Un agente es (estrictamente) adverso al riesgo si
para cualquier lotería no degenerada
),...,,;,...,,( 2121 NN pppccc este agente prefiere la
lotería en que recibe siempre (con probabilidad uno)
el valor esperado de la lotería )1;(1∑
=
N
jjjcp .
),...,,;,...,,( 2121 NN pppccc∀ no degenerada
[ ]( ) [ ])()(11
cuEcEucupcpuN
jjj
N
jjj >⇔>
∑∑
==
http://bit.ly/8l8DDuPerera-Tallo y Rodríguez-Rodríguez
Un agente es neutral al riesgo si para cualquier lotería
),...,,;,...,,( 2121 NN pppccc este agente es indiferente entre
dicha lotería y la lotería en que recibe siempre (con
probabilidad uno) el valor esperado de la lotería
)1;(1∑
=
N
jjjcp , esto es:
[ ]( ) [ ])()(11
cuEcEucupcpuN
jjj
N
jjj =⇔=
∑∑
==
http://bit.ly/8l8DDuPerera-Tallo y Rodríguez-Rodríguez
Un agente es (estrictamente) amante del riesgo si para
cualquier lotería no degenerada ),...,,;,...,,( 2121 NN pppccc
este agente prefiere dicha lotería a recibir con
probabilidad uno el valor esperado de la lotería
)1;(1∑
=
N
jjjcp .
Esto es, ),...,,;,...,,( 2121 NN pppccc∀ no degenerada:
[ ]( ) [ ])()(11
cuEcEucupcpuN
jjj
N
jjj <⇔<
∑∑
==
.
http://bit.ly/8l8DDuPerera-Tallo y Rodríguez-Rodríguez
Adverso al riesgo: ),...,,;,...,,( 2121 NN pppccc∀
[ ]( ) [ ])()(11
cuEcEucupcpuN
jjj
N
jjj >⇔>
∑∑
==
Neutral al riesgo: ),...,,;,...,,( 2121 NN pppccc∀
[ ]( ) [ ])()(11
cuEcEucupcpuN
jjj
N
jjj =⇔=
∑∑
==
Amante del riesgo: ),...,,;,...,,( 2121 NN pppccc∀
[ ]( ) [ ])()(11
cuEcEucupcpuN
jjj
N
jjj <⇔<
∑∑
==
c1 c2
u(c1)
u(c2)
2211 )()( pcupcu +
2211 cpcp + c
Si se traza una línea entre el punto que representa consumo en el estado de la naturaleza uno y su utilidad correspondiente y el punto que representa el estado de naturaleza 2 y su utilidad correspondiente, esta línea nos da para el valor esperado de una lotería su utilidad esperada:
La línea entre el punto que representa consumo en el estado de
la naturaleza uno y su utilidad correspondiente (punto
( )( )11, cuc ) y el punto que representa el estado de naturaleza dos
y su utilidad correspondiente (punto ( )( )22, cuc ) tiene la
característica de que si ponemos el valor esperado de una lotería
en el eje de accisas (eje horizontal), la imagen que nos da ese
valor esperado en el eje de ordenadas (eje vertical) es la utilidad
esperada de la lotería. Para comprobarlo vamos a obtener la
ecuación que define a esa línea:
+=+=
22
11
)(
)(
bcacu
bcacu
http://bit.ly/8l8DDuPerera-Tallo y Rodríguez-Rodríguez
bcau +=
+=+=
22
11
)(
)(
bcacu
bcacu
c1 c2
u(c1)
u(c2)
2211 )()( pcupcu +
2211 cpcp + c
http://bit.ly/8l8DDuPerera-Tallo y Rodríguez-Rodríguez
12
1221
12
1112121
112
12111
12
122112
22
1111
)()(
)()())((
)()()()(
;)()(
)()(
)(
)()(
cc
ccuccua
cc
ccuccucccua
ccc
cucucubccua
cc
cucubbcbccucu
bcacu
bccuabcacu
−−=
−+−−=
=−−−=−=
−−=⇒+−=
⇒
+=−=⇔+=
http://bit.ly/8l8DDuPerera-Tallo y Rodríguez-Rodríguez
ccc
ccuccu
cc
ccuccucf
cc
cucub
cc
ccuccua
bcacfu
12
1221
12
1221
12
12
12
1221
)()()()()(
)()(;
)()(
)(
−−+
−−=
−−=
−−=
+==
http://bit.ly/8l8DDuPerera-Tallo y Rodríguez-Rodríguez
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
2211
12
12221211
12
22111211221
12
221112221121
12
22111221121221
221112
12
12
12212211
)()(
)()(
)1()()1()(
)()(
))(())(()()(
)()()()()(
)(
pcupcu
cc
ccpcuccpcu
cc
cpcpccucppccu
cc
cpcpccucpcpccu
cc
cpcpcucpcpcuccuccu
cpcpcc
cucu
cc
ccuccucpcpf
+
=−
−+−
=−
+−−+−−
=−
++−+−−
=−
+−++−
=+−−+
−−=+
http://bit.ly/8l8DDuPerera-Tallo y Rodríguez-Rodríguez
Un agente es adverso al riesgo si prefiere que le den el valor
esperado de la lotería (con probabilidad uno) a la lotería. Por
tanto la utilidad del el valor esperado de la lotería ( )2211 cpcpu +
tiene que ser superior a la utilidad esperada de la lotería
( ) ( )2211 cupcup + . Esto significa gráficamente que la utilidad del
valor esperado de la lotería tiene que estar por encima de la recta
que une los puntos ( )( )11, cuc ) y ( )( )22, cuc , ya que como hemos
visto esa recta representa el valor esperado de la lotería.
http://bit.ly/8l8DDuPerera-Tallo y Rodríguez-Rodríguez
c1 c2
u(c1)
u(c2)
c
2211 )()( pcupcu +
2211 cpcp +
( )2211 cpcpu +
Adverso al Riesgo
c1 c2
u(c1)
u(c2)
c
2211 )()( pcupcu +
2211 cpcp +
( )2211 cpcpu +
Adverso al Riesgo
c1 c2
u(c1)
u(c2)
c
2211 )()( pcupcu +
2211 cpcp +
( )2211 cpcpu +
Adverso al Riesgo
Un agente es (estrictamente) adverso al riesgo si y sólo si
su función de utilidad es estrictamente cóncava.
http://bit.ly/8l8DDuPerera-Tallo y Rodríguez-Rodríguez
Un agente es neutral al riesgo si le da lo mismo que le den el
valor esperado de la lotería (con probabilidad uno) a la lotería.
Por tanto la utilidad del el valor esperado de la lotería
( )2211 cpcpu + tiene que ser igual a la utilidad esperada de la
lotería ( ) ( )2211 cupcup + . Esto significa gráficamente que la
utilidad del valor esperado de la lotería tiene que coincidir la
recta que une los puntos ( )( )11, cuc ) y ( )( )22, cuc , ya que como
hemos visto esa recta representa el valor esperado de la lotería.
http://bit.ly/8l8DDuPerera-Tallo y Rodríguez-Rodríguez
c1 c2
u(c1)
u(c2)
c
22112211 )()()( pcupcucpcpu +=+
2211 cpcp +
Neutral al Riesgo
u(c)
c1 c2
u(c1)
u(c2)
c
22112211 )()()( pcupcucpcpu +=+
2211 cpcp +
Neutral al Riesgo
u(c)
Un agente es neutral al riesgo si y sólo si su
función de utilidad es lineal.
http://bit.ly/8l8DDuPerera-Tallo y Rodríguez-Rodríguez
Un agente es amante del riesgo si prefiere que le den una
lotería al valor esperado de esta (con probabilidad uno). Por
tanto la utilidad del el valor esperado de la lotería ( )2211 cpcpu +
tiene que ser inferior a la utilidad esperada de la lotería
( ) ( )2211 cupcup + . Esto significa gráficamente que la utilidad del
valor esperado de la lotería tiene que estar por debajo de la recta
que une los puntos ( )( )11, cuc ) y ( )( )22, cuc , ya que como hemos
visto esa recta representa el valor esperado de la lotería.
http://bit.ly/8l8DDuPerera-Tallo y Rodríguez-Rodríguez
c1 c2
u(c1)
u(c2)
c
2211 )()( pcupcu +
2211 cpcp +
( )2211 cpcpu +
Amante del Riesgo
Un agente es amante al riesgo si y sólo si su
función de utilidad es convexa.
http://bit.ly/8l8DDuPerera-Tallo y Rodríguez-Rodríguez
Relación marginal de substitución entre el consumo en el
estado de naturaleza 1 y el consumo en el estado de
naturaleza 2: Máxima cantidad de consumo en el estado de
naturaleza 2 que el consumidor esta dispuesto a renunciar para
consumir una unidad adicional en el estado de la naturaleza 1:
[ ]
[ ] )(')('
)(')(
)(')(
),(22
11
2
2211
1
2211
212,1 cup
cup
ccupcup
ccupcup
ccRMS =
∂+∂
∂+∂
=
http://bit.ly/8l8DDuPerera-Tallo y Rodríguez-Rodríguez
Pendiente de la Curva de indiferencia: La pendiente de la
curva de indiferencia es igual a la RMS entre el consumo en el
estado de naturaleza 1 y 2 en negativo:
ucupcup =+ )()( 2211 .
Diferenciando:
),()(')('
)(')('
0)(')('
212,1222
111
)()(1
2
111222
222111
2211
ccRMSdccup
dccup
dc
dc
dccupdccup
dccupdccup
ucupcup
−=−=
−=⇔=+
=+
http://bit.ly/8l8DDuPerera-Tallo y Rodríguez-Rodríguez
c1
c2
45º
21 cc =
c
Línea de Certeza
Línea de certeza:puntos en el que no hay incertidumbre, es decir, el consumo en el estado de la naturaleza 1 es igual al consumo en el estado de la naturaleza 2:
Pendiente de la curva de indiferencia en la línea de certeza:
Cuando no hay incertidumbre, la RMS entre el consumo en el
estado de la naturaleza 1 y el consumo en el estado de la
naturaleza 2 es igual al cociente de probabilidades:
Si ccc == 21 :
2
1
2
1
22
11212,1 )('
)(')(')('
),(p
p
cup
cup
cup
cupccRMS ===
Esto ocurre siempre, independientemente de que el individuo
sea adverso, neutral o amante al riesgo.
http://bit.ly/8l8DDuPerera-Tallo y Rodríguez-Rodríguez
c1
c2
45º
21 cc =
c
Línea de Certeza
2
1
p
p−∼
Recta Isovaloresperado: combinaciones de consumo en los dos
estado de la naturaleza que tienen el mismo valor esperado:
12211 VEcpcp =+
La pendiente de la recta isovaloresperado es igual al cociente
de probabilidades en negativo:
2
12 p
VEc =
2
1
p
p− 1c
El valor esperado del consumo a lo largo de una recta
isovaloresperado es igual al consumo de la línea de certeza que
corta con la recta isovaloresperado. Si ccc == 21 :
( ) ccppcpcpcpcpVE =+=+=+=43421
1
212122111
c1
c2
45º
Recta Isovaloresperado
Recta Isovaloresperado Línea de Certeza
2
1
p
p−∼
1VE
1VE
12211 VEcpcp =+
c1
c2
45º*1c
*2c
Agente Adverso al Riesgo)()()( 22112211 cpcpucupcup +<+
Línea de Certeza
∼−2
1
p
p
*22
*11 cpcp +
*22
*11 cpcp +
*22
*112211 cpcpcpcp +=+
Recta Isovaloresperado
c1
c2
45º*1c
*2c
Agente Adverso al Riesgo
Línea de Certeza
∼−2
1
p
p
*22
*11 cpcp +
*22
*11 cpcp +
)()()()( *22
*112211 cupcupcupcup +=+
)()()( 22112211 cpcpucupcup +<+
*22
*112211 cpcpcpcp +=+
Recta Isovaloresperado
c1
c2
45º*1c
*2c
Agente Adverso al Riesgo
Línea de Certeza
∼−2
1
p
p
*22
*11 cpcp +
*22
*11 cpcp +
)()()()( *22
*112211 cupcupcupcup +=+
( )*22
*112211 )()( cpcpucupcup +=+
)()()( 22112211 cpcpucupcup +<+
*22
*112211 cpcpcpcp +=+
Recta Isovaloresperado
c1
c2
45º*1c
*2c
Agente Neutral al Riesgo
Línea de Certeza
∼−2
1
p
p
*22
*11 cpcp +
*22
*11 cpcp +
)()()( 22112211 cpcpucupcup +=+
*22
*112211 cpcpcpcp +=+
Recta Isovaloresperado
c1
c2
45º*1c
*2c
Agente Neutral al Riesgo
Línea de Certeza
∼−2
1
p
p
*22
*11 cpcp +
*22
*11 cpcp +
)()()()( *22
*112211 cupcupcupcup +=+
)()()( 22112211 cpcpucupcup +=+
*22
*112211 cpcpcpcp +=+
Recta Isovaloresperado
c1
c2
45º*1c
*2c
Agente Neutral al Riesgo
Línea de Certeza
∼−2
1
p
p
*22
*11 cpcp +
*22
*11 cpcp +
( )*22
*11
*22
*112211 )()()()( cpcpucupcupcupcup +=+=+
)()()( 22112211 cpcpucupcup +=+
*22
*112211 cpcpcpcp +=+
Recta Isovaloresperado
c1
c2
45º*1c
*2c
Línea de Certeza
∼−2
1
p
p
*22
*11 cpcp +
*22
*11 cpcp +
*22
*112211 cpcpcpcp +=+
Recta Isovaloresperado
Agente Amante del Riesgo)()()( 22112211 cpcpucupcup +>+
c1
c2
45º*1c
*2c
Línea de Certeza
∼−2
1
p
p
*22
*11 cpcp +
*22
*11 cpcp +
)()()()( *22
*112211 cupcupcupcup +=+
*22
*112211 cpcpcpcp +=+
Recta Isovaloresperado
Agente Amante del Riesgo)()()( 22112211 cpcpucupcup +>+
c1
c2
45º*1c
*2c
Línea de Certeza
∼−2
1
p
p
*22
*11 cpcp +
*22
*11 cpcp +
)()()()( *22
*112211 cupcupcupcup +=+
( )*22
*112211 )()( cpcpucupcup +=+
*22
*112211 cpcpcpcp +=+
Recta Isovaloresperado
Agente Amante del Riesgo)()()( 22112211 cpcpucupcup +>+
Definición: el equivalente a la certeza de una lotería
),...,,;,...,,( 2121 NN pppccc es el nivel de consumo que se le
tendría que dar a un consumidor para que sea indiferente
entre ese nivel de consumo con certidumbre
)1);,...,,;,...,,(( 2121 NN pppcccEC y la lotería
),...,,;,...,,( 2121 NN pppccc :
( )),...,,;,...,,()(
),...,,;,...,,(
21211
2121
NN
N
jjj
Def
NN
pppcccECucup
pppcccEC
=
⇔
∑=
c1 c2
u(c1)
u(c2)
2211 )()()( pcupcuECu +=
2211 pcpc +
Agente Adverso al Riesgo
c1 c2
u(c1)
u(c2)
2211 )()()( pcupcuECu +=
2211 pcpc +
Agente Adverso al Riesgo
)( 2211 cpcpu +
c1 c2
u(c1)
u(c2)
2211 )()()( pcupcuECu +=
2211 pcpc +EC
Agente Adverso al Riesgo
)( 2211 cpcpu +
c1
c2
45º*1c
*2c
2
1
p
p−∼
ECpcpc =+ 2211
2*21
*1 pcpc +
2*21
*1 pcpc +
2*21
*12211 pcpcpcpc +=+
Recta Isovaloresperado
c1
c2
45º*1c
*2c
2
1
p
p−∼
EC
EC
2*21
*1 pcpc +
2*21
*1 pcpc +
ECpcpc =+ 2211
2*21
*12211 pcpcpcpc +=+
Recta Isovaloresperado
Un agente es (estrictamente) adverso al riesgo si y solo si
para cualquier lotería no degenerada
),...,,;,...,,( 2121 NN pppccc el equivalente certeza de esa
lotería es (estrictamente) menor que el valor esperado de
la lotería:
∑=
<N
jjjNN cppppcccEC
12121 ),...,,;,...,,( .
http://bit.ly/8l8DDuPerera-Tallo y Rodríguez-Rodríguez
Un agente es neutral al riesgo si y solo si para cualquier
lotería ),...,,;,...,,( 2121 NN pppccc el equivalente certeza
de esa lotería es igual al valor esperado de la lotería:
∑=
=N
jjjNN cppppcccEC
12121 ),...,,;,...,,( .
http://bit.ly/8l8DDuPerera-Tallo y Rodríguez-Rodríguez
c1 c2
u(c1)
u(c2)
)(
)()()(
2211
2211
pcpcu
pcupcuECu
+
=+=
=+ 2211 pcpc EC
Neutral al Riesgo
c1
c2
45º*1c
*2c
∼−2
1
p
p
=+ 2*21
*1 pcpc
=+ 2*21
*1 pcpc
Agente Neutral al Riesgo
2*21
*12211 pcpcpcpc +=+
Recta Isovaloresperado
)()()( 22112211 pcpcupcupcu +=+
)()()( 2*21
*12
*21
*1 pcpcupcupcu +=+
Línea de Certeza
EC
EC
Un agente es (estrictamente) amante del riesgo si y solo
si para cualquier lotería no degenerada
),...,,;,...,,( 2121 NN pppccc el equivalente certeza de esa
lotería es (estrictamente) mayor que el valor esperado de
la lotería:
∑=
>N
jjjNN cppppcccEC
12121 ),...,,;,...,,( .
http://bit.ly/8l8DDuPerera-Tallo y Rodríguez-Rodríguez
c1 c2
u(c1)
u(c2)
c
2211 )()( pcupcu +
2211 cpcp +
Amante del Riesgo
u(c)
)( 2211 pcpcu +
c1 c2
u(c1)
u(c2)
c
2211 )()( pcupcu +
2211 cpcp +
Amante del Riesgo
u(c)
EC
)( 2211 pcpcu +
c1
c2
45º*1c
*2c
2*21
*1 pcpc +
2*21
*1 pcpc +
Agente Amante del Riesgo
2*21
*12211 pcpcpcpc +=+
Recta Isovaloresperado
)()()( 22112211 pcpcupcupcu +<+
2*21
*1 )()( pcupcu +
Línea de Certeza
2
1
p
p−∼
EC
EC2
1
p
p−∼
Prima de riesgo: de una lotería ),...,,;,...,,( 2121 NN pppcccPR
es la cantidad máxima que un agente estaría dispuesto a pagar
por no tener riesgo:
−=
⇔
∑∑==
N
jNNjj
N
jjj
def
NN
pppcccPRcpucup
pppcccPR
12121
1
2121
),...,,;,...,,()(
),...,,;,...,,(
http://bit.ly/8l8DDuPerera-Tallo y Rodríguez-Rodríguez
)...,;,...,(),...,;,...,(
),...,;,...,(),...,;,...,(
111
11
111
11
NN
N
jjjNN
NN
N
jjjNN
ppccECcpppccPR
ppccPRcpppccEC
−=
−=
∑
∑
=
=
( )⇒
−=
=
∑∑
∑
==
=
),...,;,...,()(
),...,;,...,()(
1111
111
NN
N
jjj
N
jjj
NN
N
jjj
ppccPRcpucup
ppccECucup
Equivalente Certeza y Prima de Riesgo
http://bit.ly/8l8DDuPerera-Tallo y Rodríguez-Rodríguez
La prima de riesgo es la diferencia entre el valor esperado de la lotería y el equivalente certeza de dicha lotería. Por tanto, otra posible definición de prima de riesgo es: la máxima reducción del valor esperado del consumo que el agente aceptaría con tal de no tener riesgo.
http://bit.ly/8l8DDuPerera-Tallo y Rodríguez-Rodríguez
c1 c2
u(c1)
u(c2)
2211 )()()( pcupcuECu +=
2211 pcpc +EC
Prima de Riesgo
c
c1 c2
u(c1)
u(c2)
2211 )()()( pcupcuECu +=
2211 pcpc +EC
Prima de Riesgo
PR
c
c1
c2
45º*1c
*2c
2
1
p
p−∼EC
2*21
*1 pcpc +
2211 pcpc +EC
Prima de Riesgo
ECpcpc =+ 2211
2*21
*12211 pcpcpcpc +=+
Recta Isovaloresperado
c1
c2
45º*1c
*2c
2
1
p
p−∼EC
2*21
*1 pcpc +
PR 2211 pcpc +EC
Prima de Riesgo
PR
ECpcpc =+ 2211
2*21
*12211 pcpcpcpc +=+
Recta Isovaloresperado
c1 c2
u(c1)
u(c2)
)(
)()()(
2211
2211
pcpcu
pcupcuECu
+
=+=
=+ 2211 pcpc EC
La prima de riesgo para un agente neutral al riesgo es cero
c1
c2
45º*1c
*2c
∼−2
1
p
p
=+ 2*21
*1 pcpc
=+ 2*21
*1 pcpc
2*21
*12211 pcpcpcpc +=+
Recta Isovaloresperado
)()()( 2*21
*12
*21
*1 pcpcupcupcu +=+
Línea de Certeza
EC
EC
La prima de riesgo para un agente neutral al riesgo es cero
c2
u(c1)
u(c2)
c
2211 )()( pcupcu +
Amante del Riesgo
u(c)
)( 2211 pcpcu +
c1
2211 pcpc + EC-PR
c1
c2
45º*1c
*2c
2*21
*1 pcpc +
2*21
*1 pcpc +
2*21
*12211 pcpcpcpc +=+
Recta Isovaloresperado
2*21
*1 )()( pcupcu +
Línea de Certeza
2
1
p
p−∼
EC
EC
2
1
p
p−∼
La prima de riesgo para un agente amante al riesgo es negativa
-PR
-PR
2.6 Medidas de Aversión al Riesgo:
Índice de aversión al riesgo absoluta o índice Arrow-
Pratt: )(')("
cu
cu - AAR = . Esta índice es una medida local de la
aversión al riesgo, ahora bien se puede decir que el agente 1
es más adverso que otro agente 2 en el sentido de Arrow-Pratt
si para todo c∈ℜ+ el agente 1 tiene un mayor índice aversión
absoluta al riesgo:)(')("
)(')("
c 2
2
1
1
cu
cu
cu
cu −>−ℜ∈∀ +
El índice AAR está muy relacionado con la manera en que la RMS decrece a lo
largo de una curva de indiferencia:
+=
⇒
==+
−=
⇒
=+
=
=+ )(')('
)(')("
)(')("
)(')('),(
0)(')(')(')("
)(')("
)(')('
),(
)()()(')('
),(
22
11
2
2
1
1
22
11
)()(1
212,1
222111
22
21
1
1
22
11212,1
2211
22
11212,1
2211cup
cup
cu
cu
cu
cu
cup
cup
dc
ccdRMS
uddccupdccup
dccu
cudc
cu
cu
cup
cupccdRMS
ucupcupcup
cupccRMS
ucupcup
[ ]),()()(),(),(
212,121212,1
)()(1
212,1
2211
ccRMScAARcAARccRMSdc
ccdRMS
ucupcup
+−==+
Si un agente el agente 2 tiene un mayor índice AAR que el
agente 1 para todo c∈ℜ+, entonces la RMS decrece más
rápidamente para el agente 2 que para el agente 1. Dado que la
RMS es igual para los dos agentes en la línea de certeza (la
RMS en la línea de certeza se iguala al conciente de
probabilidades), esto implica que si cogemos cualquier punto
por encima de la línea de certeza, la RMS del agente 2 será
mayor que la del agente 1. Es decir, la curva de indiferencia del
agente 2 cortará la curva de indiferencia del agente 1 desde
arriba. Esto implica que para cualquier lotería no degenerada, el
agente 2 tiene una prima de riesgo mayor que el agente 1.
Linea de certeza
45
EC2
*222
211
2 )()( upcupcu =+
*122
111
1 )()( upcupcu =+
2
1
p
p−∼
c1
c2
El agente 2 tiene un mayor AAR para todo c∈ℜ+, lo que implica una mayor prima de riesgo para cualquier lotería.
∼−2
1
p
p
2
1
p
p−∼
2*21
*12211 pcpcpcpc +=+
Recta Isovaloresperado
EC1*1c
*2c
EC1
EC22
*21
*1 pcpc +
2*21
*1 pcpc +
PR1
PR2
PR1
PR2
Si un agente el agente 2 tiene un mayor índice AAR que el
agente 1 en un punto c entonces la RMS en el punto (c,c)
decrece más rápidamente para el agente 2 que para el agente 1:
)(1
)(')("
1)(')("
1
)(')('
)(')("
)(')("
)(')('),(
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
)()(12211
cAARp
p
p
p
cu
cu
p
p
p
p
cu
cu
p
p
p
p
cup
cup
cu
cu
cu
cu
cup
cup
dc
ccdRMS
ucupcup
+−=
=
−
+−=
+
=
+==+
http://bit.ly/8l8DDuPerera-Tallo y Rodríguez-Rodríguez
Línea de certeza
45
c
c)()()( 2
222
112 cupcupcu =+
)()()( 122
111
1 cupcupcu =+
2
1
p
p−∼
c1
c2
El agente 2 tiene un mayor AAR que el 1 en un punto c
45
c
c
)()()( 122
111
1 cupcupcu =+
c1
c2
El agente 2 tiene un mayor AAR que el 1 en un punto c
)()()( 222
211
2 cupcupcu =+2
1
p
p−∼
Loterías que el agente 1 estaría dispuesto a aceptar a cambio de tener c con certeza y que el agente 2 no estaría dispuesto a aceptar.
Índice de aversión al riesgo relativo:
)(')("
cu
ccu - ARR =
Es la elasticidad de la utilidad marginal y es muy
parecido al AAR. Es una medida local y está muy
relacionado con la manera en que la RMS decrece
cuando disminuye el ratio 12 cc . Más concretamente,
con la elasticidad de la RMS con respecto al ratio 12 cc
(la inversa de la elasticidad de substitución):
http://bit.ly/8l8DDuPerera-Tallo y Rodríguez-Rodríguez
Elasticidad de la RMS con respecto al ratio 12 cc :
( )
[ ])()(/
),(
)('
)("
)('
)("
)('
)('
/1
1
)('
)(")('
)/(
1
)('
)("
)/(1),(
)/(1),(
)/(
),(
)/(
),(
)/(
),(
2112
212,1
2
22
1
11
2
1
22
11
12
22
2112
1222
11
2
122
212,1
1
121
212,1
12
2
2
212,1
12
1
1
212,1
12
212,1
cRRAcRRAcc
ccRMS
cu
ccu
cu
ccu
c
c
cup
cup
ccup
cucup
cccup
cup
c
ccc
ccRMS
c
ccc
ccRMS
cc
c
c
ccRMS
cc
c
c
ccRMS
cc
ccRMS
+=
−−
=−−
=
∂∂∂
∂+
∂∂∂
∂
=∂
∂∂
∂+
∂∂
∂∂
=∂
∂
)()(),(
/)/(
),(21
212,1
12
12
212,1 cRRAcRRAccRMS
cc
cc
ccRMS+=
∂∂
Línea de certeza
45c
c
)()()( 222
211
2 cupcupcu =+
)()()( 122
111
1 cupcupcu =+
2
1
p
p−∼
c1
c2
El agente 2 tiene un mayor ARR que el 1 en un punto c ⇒ Al agente 2 se le tiene que dar un valor esperado mayor para que acepte un ratio c2/c1 distinto de uno, es decir, para que acepte riesgos:
11
2 >= ac
c1
1
2 =c
c
),( 11
11
12,1 accRMS−∼
),( 21
21
22,1 accRMS−∼
Mayor riesgo
Línea de certeza
45
c
c)()()( 2
222
112 cupcupcu =+
)()()( 122
111
1 cupcupcu =+
2
1
p
p−∼
c1
c2
El agente 2 tiene un mayor ARR que el 1 en un punto c
45
c
c
)()()( 122
111
1 cupcupcu =+
c1
c2
El agente 2 tiene un mayor ARR que el 1 en un punto c
)()()( 222
211
2 cupcupcu =+2
1
p
p−∼
Loterías que el agente 1 estaría dispuesto a aceptar a cambio de tener c con certeza y que el agente 2 no estaría dispuesto a aceptar.