ESTADISTICA APLICADA A LOS NEGOCIOS Y

A LA ECONOMIA.

INTEGRANTES: ROCIO RAMIREZ REATEGUI

ROBERT TRUJILLO TARAZONA

UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLAREAL

TRABAJO RESUELTO CAPITULO 6

Tema:DISTRIBUCIONES MUESTRALES

PLAN DEL CAPITULO

DISTRIBUCIONES MUESTRALES

Para Medias MuéstralesPara proporciones

muéstralesProcedimientos de

muestreo

Error de muestreo

La media de lasMedias muéstrales

El error estándar

Aplicaciones para una distribución normal.

El teorema delLimite central

Factor de correcciónPor finitud

Error de muestreo

El error estándar

Aplicaciones para unaDistribución normal

Teorema del LimiteCentral

Factor de correcciónPor finitud

Errores y sesgo

Métodos de muestreo

Muestreo aleatoriosimple

Muestreo sistemático

Muestreo estratificado

Muestreo por conglomerados

Es una lista de todos los valores posibles para un estadístico y la probabilidad relacionada con cada valor.

El estudio de determinadas características de una población se efectúa a través de diversas muestras que pueden extraerse de ella.

6.1 Distribuciones Muéstrales

El muestreo puede hacerse con o sin reposición, y la población de partida puede ser infinita o finita. Una población finita en la que se efectúa muestreo con reposición puede considerarse infinita teóricamente. También, a efectos prácticos, una población muy grande puede considerarse como infinita. En todo nuestro estudio vamos a limitarnos a una población de partida infinita o a muestreo con reposición. 

Consideremos todas las posibles muestras de tamaño n en una población. Para cada muestra podemos calcular un estadístico (media, desviación típica, proporción,...) que variará de una a otra. Así obtenemos una distribución del estadístico que se llama distribución muestral.

Las dos medidas fundamentales de esta distribución son la media y la desviación típica, también denominada error típico.

Hay que hacer notar que si el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande las distribuciones muéstrales son normales y en esto se basarán todos los resultados que alcancemos.

Generalmente las poblaciones son demasiado grandes como para ser estudiadas en su totalidad. Es necesario seleccionar una muestra representativa de un tamaño mas manejable. Esta muestra se utiliza luego para sacar conclusiones sobre la población.

Error de Muestreo.- Es la diferencia entre el parámetro poblacional y el estadístico de la muestra utilizado para estimar el parametro.

El muestreo es la disciplina que trata con el conjunto de técnicas para tomar u obtener una muestra.

Es el proceso que nos permite la extracción de una muestra a partir de una población.

Hay dos tipo básicos de muestreo:Muestreo ProbabilísticoMuestreo No Probabilístico.

6.2 ¿Qué es el Muestreo?

Importancia del marco del muestreo

¿Qué es el Muestreo Probabilístico?

6.3 Distribución de la media muestral

En un estudio de las 500 firmas que aparecen en la revista Fortune sobre los negocios mas grandes de la nación, se puede tomar una muestra de n=50. De esta muestra se puede calcular la tasa de rendimiento promedio x para estas 50 firmas. Esta media muestral servirá entonces como un estimado de μ, la tasa promedio de rendimiento de la población para todas las 500 firmas.De esta lista de 500 firmas, seria posible obtener muchas muestras diferentes de tamaño 50. Específicamente se podría obtener 500C50

muestras diferentes de tamaño n=50. Debido a que 500C50 es un numero mas bien grande, se asume en aras de la simplicidad de la discusión, que se tiene una población de N=4 ingresos para cuatro estudiantes universitarios. Estos ingresos son de US$ 100, US$200 US$300 y US$400. El ingreso promedio puede calcularse como μ = US$250, sin embargo, para hacer las cosas aun mas simples, se puede pensar que calcular la media de cuatro observaciones requiere mucho esfuerzo. Como alternativa, se decide seleccionar una muestra de n=2 observaciones para estimar el μ “desconocido”. Se podría entonces seleccionar aleatoriamente una muestra de 4C2 = o posibles muestras. Estas seis muestras distintas y sus medias se muestran en la siguiente tabla.

Ejercicio Nº 01

Muestra Elementos muestrales X Medias muestraes x

1 100,200 1502 100,300 2003 100,400 2504 200,300 2505 200,400 3006 300,400 350

TABLA 1.1

Todas las muestras posibles de tamaño n=2 de una población de N= 4 ingresos

Salvo las muestras tercera y cuarta, cada muestra tiene una media diferente. Asumiendo que cada muestra tiene la misma probabilidad de ser seleccionada, la probabilidad de Seleccionar una muestra que dé una x̃ igual a la media poblacional de 250 es solo 2/6 = 33.3% Cuatro de las seis muestras resultarán con algún error en el proceso de Estimación. Este error de muestreo es la diferencia entre μ y la media muestral que se utiliza para estimarlo ( x̃ – μ ).

Con una población de sólo N=4, se puede enumerar cada media muestral posible Con una población de sólo N=4, se puede enumerar cada media muestral posible que aparece en la tabla 1.1 junto con su respectiva probabilidad. Tal listado se le que aparece en la tabla 1.1 junto con su respectiva probabilidad. Tal listado se le denomina una distribución muestral y aparece en la tabla 1.2 y como histograma denomina una distribución muestral y aparece en la tabla 1.2 y como histograma en la figura 1.3en la figura 1.3

Medias muestral x̃

Numero de muestras que dan ̃x

Probabilidad de P ( x̃ ̃)

150 1 1/6

200 1 1/6

250 2 1/3

300 1 1/6

350 1 1/6

―

    1

TABLA 1.2

Distribución muestral para muestras de

tamaño n=2 en una población de N = 4 ingresos.

Distribución muestral .- Es una lista de todos los valores posibles para un estadístico y la probabilidad relacionada con cada valor.

TABLA 1.3

Distribución muestral para muestras de

tamaño n=2 en una población de N = 4 ingresos.

P ( X )2/6

1/6

X

150 200 250 300 350

A.- La media de las medias muestrales.

La distribución muestral de las medias muestrales es simplemente una lista de todas las medias muestrales posibles. Estas medias muestrales, al igual que cualquier lista de números, tienen una media denominada “la media de las medias muestrales” o la gran media. Se calcula de la forma usual: Las observaciones individuales (medias muestrales) se suman y el resultado se divide por el numero de observaciones (muestras).

Formula:

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

Se utiliza X ( que se lee como x doble barra) como símbolo de la gran media.

K = es el numero de muestras en la distribución muestral. Debido que hay 6 muestras en la presente distribución muestral, se tiene que:

                   

≈=

150 + 200 + 250 + 300 + 350= 250

X 6

                   

Se nota que la media de la distribución muestral X es qigual a la media de la poblacion original μ = 250. Esto no es coincidencia. La media de la distribucion muestral siempre será igual a la media poblacion ( X” = )

No debe confundirse n, el numero de observaciones enuna sola muestra, con K el numero de muestras en la distribución muestral.

Una población de las producciones semanales de una fábrica en miles de toneladas es 200, 250, 150, 200 y 300. Realice una distribución maestral y calcule la media de las medias y el error estándar para las muestras de tamaño n=2.

Ejercicio Nº 02

A continuación vamos a utilizar el Minitab-14, en la cual se ingresas los valores numéricos a desarrollar. Abrimos la tabla estadística y ubicamos la variable C1. Como indica en el siguiente recuadro:

Estadísticas descriptivas: C1

Media del Error Variable N N* Media estándar Desv. Est. Varianza Coef. var.

Mínimo C1 5 0 220,0 25,5 57,0 3250,0 25,91

150,0

Al ponerme muestras de tamaño n=2 , hago la siguiente operación lógica para obtener cuantos muestras de tamaño 2 voy a tener 5C2 =10 posibles combinaciones, una vez hecho este calculo se procede al calculo del error estándar :

Nr muestra

Elementos de la muestra

Media de la muestra

Error estándar de la muestra

1 200 250 225

2 200 150 175

3 200 200 200

4 200 300 250

5 250 150 200

6 250 300 275

= 31,2217873

7 150 200 175

8 150 300 225

9 300 150 225

10 300 250 275

220 Promedio muestral

A continuación en el Minitab-14 se muestra los elementos de la muestra que consta en un numero de 10. asimismo me indica la media de la muestra.

Las muestras de n=40 se toman de una población grande con una medida de 100 y una desviación estándar de 25. Calcule e interprete el error estándar.

Desarrollo:

Se va utilizar (B) La Varianza y el error estándar de

las medias muéstrales, según formulas:

Ejercicio Nº 04

Procedimiento:

En general se tiene:

Cuando las muestras se toman de una población pequeñay sin reemplazo, se puede usar la formula siguiente para

encontrar x

Por ser una población finita. Donde:N: tamaño de la población = 100n: tamaño de la muestra = 40

: es la desviación estándar = 25

1100

40100x

9528.3x

Las latas de gaseosas vendidas en Minute Mart, tienen un promedio de 16.1 onzas, con una desviación estándar de 1.2 onzas. Si se toma una muestra de n=200, Cual es la probabilidad de que la media sea:

a).- ¿Menor que 16.27 ? b).- ¿Por lo menos 15.93? c).- ¿Entre 15.9 y 16.3?

Ejercicio Nº 10

Desarrollo (a)

Se usa t para 1 muestra con un alfa del 95%: T de una muestra Prueba de mu = 16,27 vs. > 16,27     Media del Error 95% Límite N Media Desv.Est. estándar inferior T P 200 16,1000 1,2000 0,0849 15,9598 -2,00 0,977

Se usa igual que el anterior t para una muestraT de una muestra alfa de 95%

Prueba de mu = 15,93 vs. < 15,93     Media del Límite Error superior N Media Desv.Est. estándar 95% T P 200 16,1000 1,2000 0,0849 16,2402 2,00 0,977

Desarrollo (b)

En este caso se trata de una t pareada ya que se encuentra en un intervalo, además se asume : que las varianzas son homogéneas y que se distribuye normalmente

Media del Error

N Media Desv.Est. estándar Diferencia 200 16,1000 1,2000 0.231

Prueba t de diferencia media = 16,1 (vs. no = 16,1): Valor T = 0,00 Valor P =

0,9819

Desarrollo (c)

El consumo diario de agua en Dry Hole, Texas, promedia los 18.9 galones por hogar, con una desviación estándar de 3.6 galones. El comisionado de la ciudad desea estimar esta media no conocida con una muestra de 100 hogares. ¿ Que tan probable es que el error de muestreo exceda los 0.5 galones?.

Ejercicio Nº 12

Desarrollo:

El 30% de todos los empleados tienen capacitación avanzada. Si en una muestra de 500 empleados menos del 27% estaba preparado de forma adecuada, todos los nuevos contratos necesitaran registrarse en un programa de capacitación. ¿Cuál es la probabilidad de que se inicie el programa?.

Ejercicio Nº 14

Se utiliza esta formula:

P=0.3  Hp= π=0.27 Ha= π > 0.27   Z= =-1.51->este valor se busca en la tabla de Z y se obtiene:   =0.0668

Desarrollo-Ejercicio 14

La proporción de todos los clientes de Pizza Hut que comen en el sitio es del 75%. En una muestra de 100 clientes. ¿Cuál es la probabilidad de que menos del 20% lleven su comida a casa?.

Ejercicio Nº 16

Desarrollo-Ejercicio 16

Los clientes de Madinson Hair Garden, una sala de belleza en Madinson, Connecticut, son un promedio de 40.7 personas por día, con una desviación estándar de 12.9. Si se toma una muestra de 100 días. ¿Cuál es la probabilidad de que el numero promedio de clientes exceda de 43 ?

Ejercicio Nº 24

Se una prueba para la media en la cual 43 es la media hipotética así que:

Prueba de mu = 43 vs. < 43

Media del Límite Error superior

N Media Desv. Est. estándar 95% T 100 40,70 19,90 1,99 44,00 -1,16 P valor:0,0375

Desarrollo-Ejercicio 24

Según la revista Business Week, el promedio de los años de experiencia de los pilotos de aerolíneas es de 25.2. Se asume una desviación estándar de 12 años. Este año usted debe tomar 36 vuelos comerciales. Usted espera que la experiencia promedio de los pilotos de los vuelos que usted tome sea superior a 30. ¿Qué tan probable es que X mayor 30?

Ejercicio Nº 26

T de una muestra

Prueba de mu = 30 vs. < 30

Media del Límite Error superior

N Media Desv.Est. estándar 95% T P 36 25,20 12,00 2,00 28,58 -2,40 0,082

Se muestra q hay un 8,2% de probabilidad que se supere las 30 horas de vuelo.

Desarrollo-Ejercicio 26

En promedio, el nivel de producción en una planta de manufactura local es de 47.3 unidades por día, con una desviación estándar de 12.7. El gerente de planta tomará una muestra de 100 días. Si la media maestral excede de 49, promete dar a todo los empleados una bonificación de Navidad. ¿Qué tan probable es que los empleados disfruten de una feliz navidad?

Ejercicio Nº 28

Se hará una prueba de t para la media: T de una muestra

Prueba de mu = 49 vs. > 49

Media del Error 95% Límite N Media Desv. Est. estándar inferior T P 100 47,30 12,70 1,27 45,19 -1,34

0,0908

Siendo mi p valor 0.0908 se puede ave rmar que habrá una probabilidad del 9,08% que los trabajadores tengan una buena navidad

Desarrollo-Ejercicio 28

Un proceso de manufactura produce unidades que miden en promedio 10pulgadas de largo con una desviación estándar de 3.2pulgadas. Si sólo pueden utilizarse las unidades que estén entre 9.5 y 10.5pulgadas, ¿Cuántas pueden descartarse de una muestra de 100?

Ejercicio Nº 32

Se hará uso de una t pareada para una proporción asumiendo que las varianzas son homogéneas :

Media del Error N Media Desv.Est. estándar Diferencia 100 10,000 3,200 0,320

IC de 95% para la diferencia media:: (9,365; 10,635) Prueba t de diferencia media = 10 (vs. no = 10):

Valor T = 0,00 Valor P =0,8728 Para saber cuales no: 100x 0,8728= 87,28

Desarrollo-Ejercicio 32

La desviación estándar en cuanto a la cantidad de tiempo que se gasta en entrenar aun trabajador para realizar un trabajo es de 40 minutos. Se toma una muestra aleatoria de 64 trabajadores.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral exceda la media poblacional en más de 5 minutos?

2. ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea al menos mayor que la media poblacional en 8 minutos?

Ejercicio Nº 34

RPTA. 1

Se hace una prueba de medias: Potencia y tamaño de la muestra   Prueba Z de 1 muestra   Probando la media = nula (vs. > nula) Calculando la potencia para la media = nulo +

diferencia Alfa = 0,05 Desviación estándar asumida = 40     Tamaño de la Diferencia muestra Potencia 5 64 0.1587

Desarrollo-Ejercicio 34

RPTA. 2

Al igual que el caso anterior se hará una prueba de hipotesis para la media

Prueba t de 1 muestra

Probando la media = nula (no vs. = nula) Calculando la potencia para la media = nulo +

diferencia Alfa = 0,05 Desviación estándar asumida = 40

Tamaño de la Diferencia muestra Potencia 8 64 0,0548

El promedio del fondo de pensiones en TIAA, para una población de profesores, es de US$ 40,715, con una desviación estándar de US$ 19,015. Halle la probabilidad de que una muestra de 75 profesores produzca un error de muestreo menor que US$1,000

Desarrollo Ejercicio 36

Ejercicio Nº 36

Se hará una prueba de medias :

T de una muestra

Prueba de mu = 39715 vs. > 39715

Media del Error 95% Límite N Media Desv. Est. estándar inferior T P 75 40715 19015 2196 37058 0,46 0,35.4

La probabilidad de producir un error de muestreo es de 35.4%

Un proceso industrial genera el 8% de unidades defectuosas. Usted compra 100 unidades. ¿Cual es la probabilidad de que menos del 10% sean defectuosas?

Desarrollo Ejercicio 38

Ejercicio Nº 38

Se utiliza esta formula: P=0.08   Hp= π=0.1 Ha= π < 0.1   Z= =-0.67  

=0.7704 

(1 )o

c

o o

pz

n

Un productor de cámara de video pública que el 28% de las cámaras de video vendidas en el mercado son de su marca. De las 150 ventas recientes, exactamente 40 fueron producidas por esta compañía. ¿Qué piensa de lo que dice la compañía?

Desarrollo Ejercicio 40

Ejercicio Nº 40

Se hará prueba de proporción

Prueba e IC para una proporción

Prueba de p = 0,28 vs. p < 0,28

Límite Valor PMuestra X N Muestra p superior 95% exacto 1 40 150 0,266667 0,332563 0,397

Se ve que solo hay un 39.7l as ventas de video cámara

del productor superen los 28%, la compañía se equivoca

El fabricante de un nuevo computador le comprueba que usted experimentará con su nuevo modelo sólo un 9% de reducción de tiempo en reparaciones y mantenimiento. Una revisión de su equipo actual revela que en las últimas 90 horas, 12 horas fueron de inactividad. ¿ El nuevo computador es más confiable que el modelo actual?

Ejercicio Nº 42

Desarrollo Ejercicio 42

Se hará uso de una diferencia de medias suponiendo que sus varianzas son homogéneas

Diferencia = p (1) - p (2)Estimado de la diferencia: 0,0444444IC de 95% para la diferencia: (-0,0471472; 0,136036)Prueba para la diferencia = 0 vs. no = 0: Z = 0,95 Valor P = 0.0764

El p valor dice que hay un 7.64% de probabilidad de que el nuevo sistema este en inactividad por 12 horas

Una corporación va a hacer una nueva emisión de acciones. La ley exige que a los accionistas actuales se les debe dar la primera opción de compra de toda nueva emisión. La gerencia considera que el 45% de los accionistas actuales desearán comprar. Se selecciona una muestra aleatoria de 130 accionistas, 63 de los cuales expresan su deseo de comprar.

a).-¿Cuál es el error estándar de la proporción muestral?

b).-¿Cual es la media de la distribución de las proporciones muéstrales?

c).-¿Cuál es la probabilidad de obtener los resultados descritos en el problema si π = 0.45?

Ejercicio Nº 44

Respuesta a).

Se hará uso de las siguiente formula:

= = 0,0438

Respuesta b).

La media de distribución de las proporciones muéstrales, en otras palabras la media poblacional seria la que se considera, es decir 0.45

Respuesta c).

Se hará una prueba de hipótesis de una proporción

Prueba e IC para una proporción

Prueba de p = 0,45 vs. p no = 0,45

Valor PMuestra X N Muestra p IC de 95% exacto 1 64 130 0,492308 (0,25012; 0,421564) 0,248

La probabilidad de obtener esos resultados es de 24.8%