Post on 31-Dec-2015
ESTÁTICA
Mtro. Ángel de Jesús Castro Romero
Email: acastro@itesa.edu.mx
INGENIERÍA
MECATRÓNICA
UNIDAD III: CENTROIDES
3.1 El centro de gravedad
3.2 Teoremas de Pappus-Guldin
3.3 Centroides de áreas y líneas por integración
3.4 Centroides de áreas y líneas compuestas
3.5 Centroide de volúmenes compuestos
3.6 Momentos de inercia de áreas compuestas
3.7 Teoremas de los ejes paralelos
3.8 Radios de giro y momento polar de inercia
3.1 EL CENTRO DE GRAVEDAD
El centro de gravedad es el punto de aplicación de laresultante de todas las fuerzas de gravedad queactúan sobre las distintas porciones materiales de uncuerpo, de tal forma que el momento respecto acualquier punto de esta resultante aplicada en elcentro de gravedad es el mismo que el producido porlos pesos de todas las masas materiales queconstituyen dicho cuerpo.
En otras palabras, el centro de gravedad de uncuerpo es el punto respecto al cual las fuerzas que lagravedad ejerce sobre los diferentes puntosmateriales que constituyen el cuerpo producen unmomento resultante nulo.
3.1 EL CENTRO DE GRAVEDAD
El c.g. de un cuerpo no corresponde necesariamente aun punto material del cuerpo. Así, el c.g. de unaesfera hueca está situado en el centro de la esferaque, obviamente, no pertenece al cuerpo.
En física, además del centro de gravedad aparecenlos conceptos de centro de masa y de centrogeométrico o centroide que, aunque pueden coincidircon el centro de gravedad, son conceptualmentediferentes.
El centroide es un concepto puramente geométricoque depende de la forma del sistema; el centro demasas depende de la distribución de materia,mientras que el centro de gravedad depende tambiéndel campo gravitatorio.
3.1 EL CENTRO DE GRAVEDAD
Consideremos un cuerpo material:
Para que el centroide del cuerpo coincida con elcentro de masa, el cuerpo debe tener densidaduniforme o una distribución de materia quepresente ciertas propiedades, tales como lasimetría.
Para que un centro de masa del cuerpo coincidacon el centro de gravedad, el cuerpo debe estar bajola influencia de un campo gravitatorio uniforme.
3.1 EL CENTRO DE GRAVEDAD
Centro de gravedad de un cuerpo bidimensional
Considere una placa plana horizontal, la cual puededividirse en n elementos pequeños.
3.1 EL CENTRO DE GRAVEDAD
Centro de gravedad de un cuerpo bidimensional
Para un alambre, el centro de gravedad puede estarubicado fuera del objeto.
3.1 EL CENTRO DE GRAVEDAD
Centroides de áreas y líneas
3.4 CENTROIDES DE ÁREAS Y LÍNEAS COMPUESTOS
Centroides de áreas comunes
3.4 CENTROIDES DE ÁREAS Y LÍNEAS COMPUESTOS
Centroides de áreas comunes
3.4 CENTROIDES DE ÁREAS Y LÍNEAS COMPUESTOS
Centroides de áreas comunes
3.4 CENTROIDES DE ÁREAS Y LÍNEAS COMPUESTOS
Para una placa dividida en diferentes seccionesgeométricas, se tiene
3.4 CENTROIDES DE ÁREAS Y LÍNEAS COMPUESTOS
3.4 CENTROIDES DE ÁREAS Y LÍNEAS COMPUESTOS
Ejemplo:
3.4 CENTROIDES DE ÁREAS Y LÍNEAS COMPUESTOS
Ejemplo:
3.4 CENTROIDES DE ÁREAS Y LÍNEAS COMPUESTOS
Ejemplo:
3.4 CENTROIDES DE ÁREAS Y LÍNEAS COMPUESTOS
Ejercicios:
Localice el centroide del área plana mostrada encada figura
3.4 CENTROIDES DE ÁREAS Y LÍNEAS COMPUESTOS
Ejercicios:
Localice el centroide del área plana mostrada encada figura
3.4 CENTROIDES DE ÁREAS Y LÍNEAS COMPUESTOS
Ejercicios:
Localice el centroide del área plana mostrada encada figura
3.4 CENTROIDES DE ÁREAS Y LÍNEAS COMPUESTOS
Ejercicios:
Localice el centroide del área plana mostrada encada figura
3.4 CENTROIDES DE ÁREAS Y LÍNEAS COMPUESTOS
Ejercicios:
3.4 CENTROIDES DE ÁREAS Y LÍNEAS COMPUESTOS
Ejercicios:
3.3 CENTROIDES DE ÁREAS Y LÍNEAS POR
INTEGRACIÓN
El centroide de un área limitada por curvasanalíticas generalmente se determina evaluando lasintegrales siguientes
El primer momento del área total con respecto a cadauno de los ejes coordenados se puede expresarmediante las coordenadas del centroide del área enconsideración a través de la siguiente relación
xA x dA yA y dA
x el y elQ xA x dA Q yA y dA
3.3 CENTROIDES DE ÁREAS Y LÍNEAS POR
INTEGRACIÓN
3.3 CENTROIDES DE ÁREAS Y LÍNEAS POR
INTEGRACIÓN
Cuando una línea está definida por una ecuaciónalgebraica, su centroide puede determinarse alevaluar las siguientes integrales
El diferencial de longitud dL debe reemplazarse poruna de las siguientes expresiones, dependiendo decual coordenada de selecciones como variableindependiente.
xL x dL yL y dL
3.3 CENTROIDES DE ÁREAS Y LÍNEAS POR
INTEGRACIÓN
Ejemplo:
3.3 CENTROIDES DE ÁREAS Y LÍNEAS POR
INTEGRACIÓN
Ejemplo:
3.3 CENTROIDES DE ÁREAS Y LÍNEAS POR
INTEGRACIÓN
Ejercicios:
3.3 CENTROIDES DE ÁREAS Y LÍNEAS POR
INTEGRACIÓN
Ejercicios:
3.3 CENTROIDES DE ÁREAS Y LÍNEAS POR
INTEGRACIÓN
Ejercicios:
3.3 CENTROIDES DE ÁREAS Y LÍNEAS POR
INTEGRACIÓN
Ejercicios:
3.2 TEOREMAS DE PAPPUS-GULDINUS
Estos teoremas se refieren a superficies y cuerpos enrevolución.
Una superficie en revolución se genera mediante larotación de una curva plana con respecto a un eje fijo.
Una cuerpo de revolución se genera mediante larotación de un área plana con respecto a un eje fijo.
3.2 TEOREMAS DE PAPPUS-GULDINUS
Teorema I:
El área de una superficie de revolución es igual a lalongitud de la curva generatriz multiplicada por ladistancia recorrida por el centroide de dicha curva almomento de generar la superficie.
2 2A y dL yL
3.2 TEOREMAS DE PAPPUS-GULDINUS
Teorema II:
El volumen de un cuerpo de revolución es igual alárea generatriz multiplicada por la distancia recorridapor el centroide del área al momento de generar elcuerpo.
2 2V y dA yA
3.2 TEOREMAS DE PAPPUS-GULDINUS
Ejemplo:
3.2 TEOREMAS DE PAPPUS-GULDINUS
Ejemplo:
3.2 TEOREMAS DE PAPPUS-GULDINUS
Ejercicios:
3.2 TEOREMAS DE PAPPUS-GULDINUS
Ejercicios:
3.2 TEOREMAS DE PAPPUS-GULDINUS
Ejercicios:
3.2 TEOREMAS DE PAPPUS-GULDINUS
Ejercicios:
3.5 CENTROIDE DE VOLÚMENES COMPUESTOS
3.5 CENTROIDE DE VOLÚMENES COMPUESTOS
3.5 CENTROIDE DE VOLÚMENES COMPUESTOS
3.5 CENTROIDE DE VOLÚMENES COMPUESTOS
3.5 CENTROIDE DE VOLÚMENES COMPUESTOS
3.5 CENTROIDE DE VOLÚMENES COMPUESTOS
Ejemplo:
3.5 CENTROIDE DE VOLÚMENES COMPUESTOS
Ejemplo:
3.5 CENTROIDE DE VOLÚMENES COMPUESTOS
Ejercicios:
3.5 CENTROIDE DE VOLÚMENES COMPUESTOS
Ejercicios:
3.5 CENTROIDE DE VOLÚMENES COMPUESTOS
Ejercicios:
3.5 CENTROIDE DE VOLÚMENES COMPUESTOS
Ejercicios:
3.5 CENTROIDE DE VOLÚMENES COMPUESTOS
Ejercicios: