Post on 05-Feb-2018
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
1/111
Matematika
za
ekonomiste
I
parcijala
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
2/111
Funkcije u ekonomiji1.DatajefunkcijapotranjeQuovisnostiocijenippojediniciproi
zvoda .Pri tome su varijabilni trokovi po jediniciproizvodnje40aukupnifiksnitrokovi1650.
(a)Odreditiigrafikiprikazatifunkcijudobitikaofunkcijupotranje
(b)Odreditiintervalerentabilneproizvodnje.
(c)Nainivoproizvodnjeuz koji seostvarujemaksimalnadobit.Ko
likajetadobit?
2. Zadane su funkcije prihoda 600 i ukupnihtrokova 2 1500 300000.Odrediti funkciju dobiti , te intervale rentabilne proizvodnje.Kolika je maksimalnamoguadobitiuzkojupotranju?
3.DatajefunkcijapotranjeQuovisnostiocijenippojediniciproi
zvoda .Pri tome su varijabilni trokovi po jediniciproizvodnje17aukupnifiksnitrokovi2400.
(a)Odreditiigrafikiprikazatifunkcijudobitikaofunkcijupotranje
(b)Odreditiintervalerentabilneproizvodnje.
(c)Nainivoproizvodnjeuz koji seostvarujemaksimalnadobit.Ko
likajetadobit?
4.Zadanesu funkcijepotranje 70 iprosjenihtrokova 50 .Odrediti funkciju dobiti .Kolika jemaksimalnamoguadobitiuzkojucijenu?
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
3/111
5.Datajefunkcijaprosjenihtrokova 3 , ifunkcija
ukupnogprihodakaofunkcijacijene
.
a) Odrediti i grafiki predstaviti funkciju dobiti, te odreditiintervalerentabilneproizvodnje.
b)Kolikajemaksimalnamoguadobit iuzkojupotranju seostva
ruje?
6.Datajefunkcijaprosjenihtrokova 2 , ifunkcija
potranjekaofunkcijacijene .
a) Odrediti i grafiki predstaviti funkciju dobiti, te odreditiintervalerentabilneproizvodnje.
b)Kolikajemaksimalnamoguadobit iuzkojupotranju seostva
ruje?
7. Data je funkcija prosjenih trokova 3 20 , i
funkcijaukupnogprihodakaofunkcijacijene
a) Odrediti i grafiki predstaviti funkciju dobiti, te odreditiintervalerentabilneproizvodnje
b)Kolikajemaksimalnamoguadobitiuzkojupotranjuseostva
ruje?
8. Data je funkcija prosjenih trokova 7 2, ifunkcijapotranjekaofunkcijacijene .
a) Odrediti i grafiki predstaviti funkciju dobiti, te odrediti
intervale
rentabilne
proizvodnje.
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
4/111
b) Kolika je maksimalna mogua dobit i uz koju potranju se
ostvaruje?
9. Data je funkcija ukupnih trokova kao funkcija cijene:
4 32 98.Naiteminimalnemoguetrokove iuzkojecijenese ostvaruju?Izraziti cijenu kao funkciju trokova.Za koje iznose
trokovaetafunkcijaimatiekonomskogsmisla?
10. Data je funkcija potranje i funkcija prosjenihtrokova: 3 2 .Izraziti funkciju dobiti kao funkciju
potranje.Nakojemsenivouproizvodnjeostvarujemaksimalnadobitikolikoonaiznosi?
11.Datajefunkcijaukupnihtrokova 280 14400,ifunkcijaukupnogprihodakaofunkcijacijene
.
a) Odrediti i grafiki predstaviti funkciju dobiti, te odrediti
intervalerentabilne
proizvodnje.
b)Kolikajemaksimalnamoguadobit iuzkojupotranju seostva
ruje?
12.Zadanasupotranjadiponudas,objekaofunkcijecijenep.Izraziti
ponuduskaofunkcijupotranjedigrafikijeprikazatiakosu:
1 1 , 3 2Zakojepotranjedfunkcijaponudesimaekonomskogsmisla?
13.Datajefunkcijapotranje 10 ifunkcijaprosjenihtrokova: 26 .
(a)Odreditiigrafikiprikazatifunkcijudobiti
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
5/111
(b)Odreditipotranjuzakojujedobitjednakanuliiinterval
rentabilneproizvodnje
(c)Kojajemaksimalnamoguadobitiuzkojupotranju?
14.DatajefunkcijapotranjeQuovisnostiocijenippojediniciproi
zvoda .Pri tome su varijabilni trokovi po jediniciproizvodnje30aukupnifiksnitrokovi1600.
(a)Odreditiigrafikiprikazatifunkcijudobitikaofunkcijupotranje
(b)Odreditiintervalerentabilneproizvodnje.
(c)Nainivoproizvodnjeuz koji seostvarujemaksimalnadobit.Ko
likajetadobit?
15. Data je funkcija prosjenih trokova 30 , ifunkcijaukupnogprihodakaofunkcijacijene
45
a) Odrediti i grafiki predstaviti funkciju dobiti, te odreditiintervalerentabilneproizvodnje
b)Kolikajemaksimalnamoguadobitiuzkojupotranjuseostva
ruje?
16.Dataje funkcija prosjenih trokova 8 , i funkcija
potranjekaofunkcijacijene 10.
a) Odrediti i grafiki predstaviti funkciju dobiti, te odreditiintervalerentabilneproizvodnje.
b)Kolikajemaksimalnamoguadobit iuzkojupotranju seostva
ruje?
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
6/111
17.Zadanajecijenapprvokaofunkcijapotranjednaslijedeinain:
3 , azatimikaofunkcijaponudessa:
12 1 1
a)Izrazitifunkcijeponudeipotranjekaofunkcijecijeneiobjeih
predstavitigrafikiuistomkoordinatnomsistemu.
b)Odredititakutrineravnotee.
18.
Data
je
funkcija
potranje
30 i
funkcija
prosje
nih
trokova: 6 .
(a)Odreditiigrafikiprikazatifunkcijudobiti(b)Odreditipotranjuzakojujedobitjednakanuliiinterval
rentabilneproizvodnje
(c)Kojajemaksimalnamoguadobitiuzkojupotranju?
19.Datajefunkcijapotranje 6 3ifunkcijaprosjenihtrokova: 8 .
(a)Odreditifunkcijudobitikaofunkcijucijene.
(b)Zakojeecijenetafunkcijaimatiekonomskogsmisla?
(c)Kojajemaksimalnamoguadobitiuzkojucijenuseostvaruje?
20.Zadanajecijenakaofunkcijapotranjed, ikaofunkcijaponudes, 1 1a)Izrazitifunkcijeponudeipotranjekaofunkcijecijeneiobjeih
predstavitigrafikiuistomkoordinatnomsistemu. b)Odredititaku
trineravnotee.taesedesitiakoserobaprodajepocijeni 3?
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
7/111
RJEENJA:
1.
40, 1650
? Raunamofunkcijuprihodauzavisnostiodkoliinepotranje:
Iz slijedi:
1802 2 180 180 2 180 2
Raunamofunkcijuukupnihtrokovauzavisnostiodkoliinepotranje:
40 1650
Raunamofunkcijudobitiuzavisnostiodkoliinepotranje: 180 2 40 1650 2 140 1650 2 , 140 , 1650
0 :
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
8/111
0 2 140 1650 0
|
15 55
0 1650Tjemeparabole:
35
35 2 35 140 35 1650 80035,800Grafik:
D(Q)
T(35,800)
15 55 Q
(b)Rentabilnaproizvodnjaseostvarujeuintervalu 15,55(c)Maksimalnadobitseostvarujenanivouproizvodnje35,iona
iznosi: 800
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
9/111
2. 600 2 1500 300000?
Iz 600slijedi:
600 |: 600 600 Iz 6 0 0 600
600 2 1500 300000
3
2100 300000
3 , 2100 , 300000 0 : 0 3 2100 300000 0 |: 3
700 100000 0
|
200
500
Tjemeparabole:
350
350 3 350 2100 350 300000 67500
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
10/111
350,67500
Grafik:
D(Q)
T(350,67500)
200 500 Q
(b)Rentabilnaproizvodnjaseostvarujeuintervalu 200,500(c)Maksimalnadobitseostvarujenanivouproizvodnje350,iona
iznosi: 67500
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
11/111
3. 17, 2400
? Raunamofunkcijuprihodauzavisnostiodkoliinepotranje:
Iz
slijedi:
1973 3 197 197 3 197 3
Raunamofunkcijuukupnihtrokovauzavisnostiodkoliinepotranje:
17 2400
Raunamofunkcijudobitiuzavisnostiodkoliinepotranje: 197 3 17 2400 3 180 2400 3 , 180 , 2400 0 : 0 3 180 2400 0 |: 3
60 800 0
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
12/111
|
20
40
Tjemeparabole:
30
30 3 30 180 30 2400 30030,300
Grafik:
D(Q)
T(30,300)
20 40 Q
(b)Rentabilnaproizvodnjaseostvarujeuintervalu 20,40
(c)Maksimalnadobitseostvarujenanivouproizvodnje30,iona
iznosi: 300
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
13/111
4. 70 50
? Raunamofunkcijuprihodauzavisnostiodcijene:
Iz
7 0 slijedi:
7 0 70
Raunamofunkcijuukupnihtrokovauzavisnostiodcijene:
50 50 1000
7 0 507 0 1000 140 4900 3500 50 1000 90 2400
Raunamofunkcijudobitiuzavisnostiodcijene:
70 90 2400 2 160 2400 2 , 160 , 2400
0 :
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
14/111
0 2 160 2400 0 |: 2 80 1200 0
|
20
60
Tjemeparabole:
40
40 2 40 160 40 2400 80040,800
Grafik:
D(p)
T(40,800)
20 60 p
(b)Rentabilnaproizvodnjaseostvarujeuintervalu 20,60(c)Maksimalnadobitseostvarujenanivoucijene40,iona
iznosi: 800
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
15/111
5.
3
?
Iz
slijedi:
|:
20 3
Iz 2 0 3 20 3
3 3 30
20 3 3 30 2 23 30 2 , 23 , 30
0 :
0 2 23 30 0 | 1 2 23 30 0
|
3
20
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
16/111
Tjemeparabole:
5,75
5,75 2 5,75 23 5,75 30 36,1255,75;36,125
Grafik:
D(Q)
T(5,75;36,125)
3 20 Q
(b)Rentabilnaproizvodnjaseostvarujeuintervalu 3,20(c)Maksimalnadobitseostvarujenanivouproizvodnje5,75iona
iznosi 36,125
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
17/111
6.
2
?
Iz slijedi:
2 15 15 2Iz 1 5 2 15 2
2 2 30
15 2 2 30 17 30 1 , 17 , 30 0 :
0 17 30 0 | 1 17 30 0
|
2
15
Tjemeparabole:
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
18/111
8,5
8,5 8,5 17 8,5 30 42,25
8,5;42,25
Grafik:
D(Q)
T(
8,5;42,25)
2 15 Q
(b)Rentabilnaproizvodnjaseostvarujeuintervalu 2,15(c)Maksimalnadobitseostvarujenanivouproizvodnje8,5iona
iznosi 42,25
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
19/111
7.
3 20
?
Iz
slijedi:
|:
14 4
Iz 1 4 4 14 4
3 20 3 20 264
14 4 3 20 264 34 264 1 , 34 , 264
0 :
0 34 264 0 | 1 34 264 0
|
7
22
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
20/111
Tjemeparabole:
17
17 17 34 17 264 2517,25
Grafik:
D(Q)
T(17,25)
7 22 Q
(b)Rentabilnaproizvodnjaseostvarujeuintervalu 7,22(c)Maksimalnadobitseostvarujenanivouproizvodnje17iona
iznosi 25
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
21/111
8.
7 2
?
Iz slijedi:
5 10 10 5Iz 1 0 5 10 5
7 2 2 7 14
10 5 2 7 14 3 17 14 3 , 17 , 14 0 :
0 3 17 14 0 | 1 3 17 14 0
|
1
4,7
Tjemeparabole:
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
22/111
2,8
2,8 3 2,8 17 2,8 14 10,1
2,8;10,1
Grafik:
D(Q)
T(
2,8;10,1)
1 4,7 Q
(b)Rentabilnaproizvodnjaseostvarujeuintervalu 1;4,7(c)Maksimalnadobitseostvarujenanivouproizvodnje2,8iona
iznosi 10,1
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
23/111
9. 4 32 98 4, 32, 98Takatjemenaparabolejeujednoiminimumdatefunkcije:
4
4 4 32 4 98 34Dakle,minimalnimoguitrokoviseostvarujunanivoucijene
4iiznose 34
Iz 4 32 98 4 8
8 8 16 16
4 4
4 34
34 4
Ovaefunkcijaimatiekonomskogsmislazaiznosetrokovakoji
zadovoljavajuuslov: 34 0 34,
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
24/111
10.
2 3
?
Iz slijedi:
2 7 2 7Iz 2 7 2 7
2 3 3 2 14
2 7 3 2 14 9 14 1 , 9 , 14 0 :
0 9 14 0 | 1 9 14 0
|
2
7
Tjemeparabole:
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
25/111
4,5
4,5 4,5 9 4,5 14 6,25
4,5;6,25
Grafik:
D(Q)
T(
4,5;6,25)
2 7 Q
(b)Rentabilnaproizvodnjaseostvarujeuintervalu 2,7(c)Maksimalnadobitseostvarujenanivouproizvodnje4,5iona
iznosi 6,25
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
26/111
11.
280 14400
?
Iz slijedi:
|:
1200 3
Iz 12003 1200 3
1200 3 280 14400 4 1480 14400 4 , 1480 , 14400 0 : 0 4 1480 14400 0 |: 4
370 3600 0
|
10
360
Tjemeparabole:
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
27/111
185
185 4 185 1480 185 14400 122500
185,122500
Grafik:
D(Q)
T(185,122500)
10 360 Q
Rentabilnaproizvodnjaseostvarujeuintervalu 10,360(b)Maksimalnadobitseostvarujenanivouproizvodnje185,iona
iznosi: 122500
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
28/111
12. , 3 2
Iz 1
1,uvrstimoizraenopufu
nkcijuponude: 3 1 2 3 2
1Grafikfunkcijeponudeuzavisnostiodpotranjepredstavljahipe
rboluijesuasimptote: 1 , 0,apresjeksadosomje:
0 1 0 3
s(d)
0 3 d
1
Funkcijaponudeimasmislauzuslov: 0 0,3
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
29/111
Input output model
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
30/111
Inputoutput model1.Zadanajeinputoutputtabelajedneekonomije
Akose
planiraju
novi
ukupni
outputi
220300440,atehnoloki
uvjeti
se
ne
mjenjaju,sastavitinovuinputoutputtabelu.
2. Zadanajeinputoutputtabelajedneekonomije
Sastaviti novu tabelu ako se planiraju nove finalne potranje prvog
sektora20,drugogsektora9,atehnolokiuvjetisenemjenjaju.
50 30 80 340500 300 90 80 100 120 120 60
140
50
70 120 30
20
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
31/111
3.Zadanajeinputoutputtabelajedneekonomije
Akoseplanirajunoviukupnioutputi300420550,atehnolokiuvjetisenemjenjaju,sastavitinovuinputoutputtabelu.
4. Zadanajeinputoutputtabelajedneekonomije
Sastavitinovu tabeluako seplanirajunove finalnepotranje:prvog
sektora60,drugogsektora120,atehnolokiuvjetisenemjenjaju.
5. Zadana je matrica tehnikih koeficijenata jedne trosektorske
ekonomije:
00 0 0
.SastavitiodgovarajuuIOtabelu,akoje
vektorfinalnepotranje80220120.
24 70 80 66 24 105 160 61400 48 70 120
100180
4550 30
30
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
32/111
6.Zadanajeinputoutputtabelajedneekonomije
Ako se planira poveanje ukupnog outputa prvog sektora za 20%
,drugogsektoraza25%ismanjenjefinalnepotranjeprvogsektoraza
20%,atehnolokiuvjetisenemjenjaju,sastavitinovuIOtabelu.
7. Zadana je matrica tehnikih koeficijenata jedne trosektorske
ekonomije: 0,1 0,25 0,150,3 0,25 0,25
0 , 1 5 0 , 2 0 , 1
.SastavitiodgovarajuuIOtabeluakojeukupnioutputprvogsektora100,ukupnioutputdrugogsektora120,afinalnapotranjatreegsektora105jedinica.
8.Zadanajeinputoutputtabelajedneekonomije
Ako se planira poveanje ukupnog outputa drugog sektora za 40%
treeg sektora za30% i,a tehnolokiuvjeti senemjenjaju,sastaviti
novuIOtabelu.
150 30 40 50 30
200 50 80 50 20250 30 60 100 60
200 . 20 100 80
. 20 0 200 180400 100 200 . 100
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
33/111
9.Zadanajematricatehnologije:
1 0 , 1 0 , 20,3 0,8 0,40,2 0,3 0,9
Ukupnioutputprvogsektoraje100,finalnapotranjadrugogsektora
je50ifinalnapotranjatreegsektoraje100.SasatavitipripadnuIO
tabelu.
10.Zadanajeinputoutputtabelajedneekonomije
Akoseplanirapoveanjesvihukupnihoutputaza20%,a tehnoloki
seuvjetinemjenjaju,sastavitinovuIOtabelu.
11.Zadanajeinputoutputtabelajedneekonomije
Sastavitinovu tabeluako seplanirajunove finalnepotranje:prvog
sektora60,drugogsektora120,atehnolokiuvjetisenemjenjaju.
100 0 40 50
200 20 40 30
300 50 40 60
180240
45 6090 40
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
34/111
12.Zadanajeinputoutputtabelajedneekonomije
Akose
planiraju
novi
ukupni
outputi
150400400,atehnoloki
uvjeti
se
ne
mjenjaju,sastavitinovuinputoutputtabelu.
13.Zadanajeinputoutputtabelajedneekonomije
Sastavitinovu tabeluako seplanirajunove finalnepotranje:prvog
sektora168,drugogsektora119,atehnolokiuvjetisenemjenjaju.
14.Zadanajeinputoutputtabelajedneekonomije
30 40 10 20 20 40 0 140 40 50 125 35
210
240 35 80
70 40
210 6035 120 80 85
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
35/111
Sastavitinovu tabeluako seplanirajunove finalnepotranje:prvog
sektora84,drugogsektora105,atehnolokiuvjetisenemjenjaju.
15.Zadanajeinputoutputtabelajedneekonomije
Akoseplanirajunoviukupnioutputi240440360,atehnolokiuvjetisenemjenjaju,sastavitinovuinputoutputtabelu.
16.Zadanajeinputoutputtabelajedneekonomije
Akoseplanirajunoviukupnioutputi609060,a tehnolokiuvjetisenemjenjaju,sastavitinovuinputoutputtabelu.
200 20 100 60400 40 160 160
320 100 180
20
200 50 20 20150 20 50 30 300 40 60 150
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
36/111
17.Zadanajeinputoutputtabelajedneekonomije
Akose
planiraju
novi
ukupni
outputi
120200360,atehnoloki
uvjeti
se
ne
mjenjaju,sastavitinovuinputoutputtabelu.
18.Zadanajeinputoutputtabelajedneekonomije
Akoseplanirajunoviukupnioutputi
300800800
,atehnolokiuvjetisene
mjenjaju,sastavitinovuinputoutputtabelu.
19.Zadanajeinputoutputtabelajedneekonomije
100 10 0 80200 50 100 10400 150 200 30
60 80 20 40
40 80 0 280 80 100 250 70
360
120 90 120
45 20
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
37/111
Sastavitinovutabeluakoseplanirajunovefinalnepotranje:
180110
,a
tehnolokiseuvjetinemjenjaju.
20.Zadanajeinputoutputtabelajedneekonomije
Sastavitinovutabeluakoseplanirajunovefinalnepotranje:80120,atehnolokiseuvjetinemjenjaju.
21.Zadanajeinputoutputtabelajedneekonomije
Ako se planira smanjenje ukupnog outputa prvog sektora za 10% ipoveanje ukupnog outputa drugog sektora za 20%,a tehnoloki
uvjetisenemjenjaju,sastavitinovuIOtabelu.
160
180 80 60
40 30
280
160
210 80 30 10
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
38/111
22. Zadana je matrica tehnikih koeficijenata jedne trosektorske
ekonomije:
0
.SastavitiodgovarajuuIOtabelu,akoje
vektorfinalnepotranje 4 5 1 0 5 9
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
39/111
RJEENJA:
1.NajprijeispunimodatuIOtabelu:
50 30 80 340 500 500 300 90 80 30 100 120 120 60 400Izovetabeleraunamotehnikekoeficijente: 0,1 0,6 0,06 0,18 0,2 0,2
0,2 Matricatehnikihkoeficijenata: 0,24 0,1 0,06 0,20,6 0,18 0,20,2 0,24 0,3
0, 3
500 50 30 80 340500 300 90 80 30
400 100 120 120 60
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
40/111
Noviinputi:
0,1 220 22 0,06 300 18 0,2 440 88 0,6 220 132 0,18 300 54
0,2 440 88
0,2 220 44 0,24 300 72 0,3 440 132Novefinalnepotranje:
220 22 18 88 92
300 132 54 88 26 440 44 72 132 192NovaIOtabela:
220 22 18 88 92300 132 54 88 26
440 44 72 132 192
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
41/111
2.NajprijeispunimodatuIO tabelu:
140 50 30 60
70 120 20 210
Izovetabeleraunamotehnikekoeficijente: Matricatehnikihkoeficijenata: Formiramotehnolokumatricu:
1 00 1
Novioutputi:
Izmatrinejednaine priemusuivektormatriceukupnihoutputa,odnosnofinalnepotranjeimamo:
|
Raunamoinverznumatricu:
140210 50 6070 120 30 20
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
42/111
Determinantamatrice:
Minori: , , Kofaktori: 1 , , Matrica
kofaktora:
Adjungovanamatrica:
Inverznamatrica:
Matricaukupnihoutputaje:
209 20 9 20 9 84119
Noviinputi: 84 30 119 34 84 42 119 68
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
43/111
NovaIOtabela:
3.NajprijeispunimodatuIOtabelu:
24 70 80 66 240
24 105 160 61 350 400 48 70 120 162Izovetabeleraunamotehnikekoeficijente:
0,1 0,1 0,2 0,3 0,2 0,4
0,2 Matricatehnikihkoeficijenata:
84119 30 3442 68 20 9
240 24 70 80 66350 24 105 160 61
400 48 70 120 162
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
44/111
0,2 0,1 0 ,2 0 ,20,1 0 ,3 0 ,40,2 0 ,2 0 ,3
0, 3
Noviinputi: 0,1 300 30 0,2 420 84
0,2 550 110 0,1 300 30 0,3 420 126
0,4 550 220
0,2 300 60 0,2 420 84 0,3 550 165Novefinalnepotranje:
300 30 84 110 76
420 30 126 220 44 550 60 84 165 241
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
45/111
NovaIOtabela:
4.NajprijeispunimodatuIO tabela:
100 45 30 25 180 50 30 100Izovetabeleraunamotehnikekoeficijente:
Matricatehnikihkoeficijenata:
Formiramotehnolokumatricu:
300 30 84 110 76420 30 126 220 44
550 60 84 165 241
100
180
25 45
50 30
30
100
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
46/111
1 00 1
Novioutputi:
Izmatrinejednaine priemusuivektormatriceukupnihoutputa,odnosnofinalnepotranjeimamo:|
Raunamoinverznumatricu:
Determinantamatrice: Minori: , , Kofaktori: 1
, , Matricakofaktora: Adjungovanamatrica: Inverznamatrica:
2
Matricaukupnihoutputaje:
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
47/111
2
60120 2 60 120 60
120 160240
Noviinputi: 160 40 240 60 160 80 240 40NovaIOtabela:
5. Matricatehnikihkoeficijenata:
12 14 00 12 120 18 0
Formiramotehnolokumatricu: 1 0 00 1 00 0 1
00 0
0
00 0
1
Novioutputi:
160
240
40 60
80 40
60
120
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
48/111
Izmatrinejednaine priemusuivektormatriceukupnihoutputa,odnosnofinalnepotranjeimamo:
| Raunamoinverznumatricu: Determinantamatrice:
00 0 1
1
Minori:
1
; 0 0 1
0; 0 0
0 0 1 ; 00 1 ; 0 0 ;
00 ; 0
Kofaktori:
1
; 0 ; 0 ; ; ; ;
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
49/111
Matricakofaktora:
0 0
Adjungovanamatrica: 0 0
Inverznamatrica: 0 0 0 0
Matricaukupnihoutputaje:
0 0 80220120
8 0
220
1200 80 220 1200 80 220 120
10514043,75
480640200
Noviinputi: 480 240 640 160
0 200 0
0 480 0
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
50/111
640 320
200 100
0 480 0 640 80 0 200 0NovaIOtabela:
6. IzdateIOtabeleraunamotehnikekoeficijente: 0,2 0, 3 0,2 0,4 0,2 0,2 0,2 Matricatehnikihkoeficijenata: 0,3 0 ,2 0 ,2 0 ,20, 3 0,4 0,2
0 ,2 0 ,3 0 ,4
0,4
480 240 160 0 80
640 0 320 100 220
200 0 80 0 120
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
51/111
PostavimosistemjednainaIOmodelatrosektorskeekonomije: Iztekstazadatkauzimamodatevrijednosti,teskupasaodree
nimtehnikimkoeficijentimauvrstimousistemjednaina
1,2 150 180
1,25 200 250 0,8 30 24180 0,2 180 0,2 250 0.2 24 250 0. 3 180 0,4 250 0,2
0,2 180 0,3 250 0,4
180 110 0.2 250 160 0,2 0,6 111 0.2 70 350
0,2 90 70 90 20
0,6 111 210 111 99Ostalojejodaizraunamonoveinpute:
Noviinputi:
0,2 180 36
0,2 250 50
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
52/111
0,2 350 70
0. 3 180 60
0,4 250 100 0,2 350 70 0,2 180 36 0,3 250 75
0,4 350 140
NovaIOtabela:
7. Matricatehnikihkoeficijenata:
0,1 0,25 0,150,3 0,25 0,250 , 1 5 0 , 2 0 , 1
PostavimosistemjednainaIOmodelatrosektorskeekonomije: Iztekstazadatkauzimamodatevrijednosti,teskupasaodree
nimtehnikimkoeficijentimauvrstimousistemjednaina:
180 36 50 70 24
250 60 100 70 20
350 36 75 140 99
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
53/111
100 120 105100 0,1 100 0,25 120 0.15 120 0.3 100 0,25 120 0,25 0,15 100 0,2 120 0,1 105
100 40 0.15
120 60 0,25 0,9 144 1600.15 60 24 60 36 0,25 60 40 60 20Ostalojejodaizraunamo inpute: 0,1 100 10 0,25 120 30
0,15 160 24
0,3 100 30 0,25 120 30 0,25 160 40 0,15 100 15
0,2 120 24
0,1 160 16
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
54/111
NovaIOtabela:
8. NajprijeispunimodatuIOtabelu:
200 20 100 80 0
20 0 200 180 400
400 100 200 100 0Izovetabeleraunamotehnikekoeficijente: 0 0,1
0,05
0
100 10 30 24 36120 30 30 40 20
160 15 24 16 105
200 0 20 100 80
400 20 0 200 180
400 100 200 0 100
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
55/111
0,25 0,5
0,5 Matricatehnikihkoeficijenata: 0,5 0 0 , 0 5 0 , 2 50,1 0 0,50,5 0,5 0
0Novioutputi: 400 40100 400 240, 400 30100 400 280
Noviinputi:
0 200 0 0,05 240 12 0,25 280 70 0,1 200 20 0 240 0 0,5 280 140
0,5 200 100 0,5 240 120 0 280 0Novefinalnepotranje:
200 0 12 70 118
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
56/111
240 20 0 140 80 280 100 120 0 60NovaIOtabela:
9. Matricatehnikihkoeficijenata: :
1 0 00 1 00 0 1
1 0 , 1 0 , 20,3 0,8 0,40,2 0,3 0,9
0 0 , 1 0 , 20,3 0 ,2 0 ,40.2 0 ,3 0 ,1
PostavimosistemjednainaIOmodelatrosektorskeekonomije:
Iztekstazadatkauzimamodatevrijednosti,teskupasaodree
nimtehnikimkoeficijentimauvrstimousistemjednaina: 100 50 100
100 0 100 0,1 0.2
200 0 12 70 118
240 20 0 140 80
280 100 120 0 60
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
57/111
0.3 100 0,2 0,4 50 0,2 100 0,3 0,1 100100 0,1 0.2 0,8 80 0,4|: 0,4 2 200 0,9 120 0,3|: 0,3 3 400 IzposlednjedvijejednainemoemoizraunatiiIz
2 200 imamo
2 200pauvrtavanjemu
3 400 slijedi:6 600 400 5 1000 200Iz 2 200slijedi: 2 200 200 200Nakrajukoristimoprvujednainusistema:
100 0,1 0.2 izkojeje:
100 0,1 0.2 100 0,1 200 0.2 200 40Ostalojejodaizraunamo inpute:
0 100 0
0,1 200 20 0,2 200 40 0,3 100 30 0,2 200 40
0,4 200 80
0,2 100 20
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
58/111
0,3 200 60 0,1 200 20NovaIOtabela:
10. NajprijeispunimodatuIOtabelu:
100 0 40 50 10
200 20 40 30 110
300 50 40 60 150Izovetabeleraunamotehnikekoeficijente: 0 0,2
0,2
0,2
100 0 20 40 40
200 30 40 80 50
200
20
60
20
100
100 0 40 50 10
200 20 40 30 110
300 50 40 60 150
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
59/111
0,16 0,1
0,5
Matricatehnikihkoeficijenata:
0,2 0 0 , 2 0 , 1 60 , 2 0 , 2 0 , 10 , 5 0 , 2 0 , 2 0,2Novioutputi:
100 20100 100 120, 200 20100 200 240 300 300 360Noviinputi:
0 120 0 0,2 240 48 0,16 360 60 0,2 120 24
0,2 240 48
0,1 360 36 0,5 120 60 0,2 240 48 0,2 360 72Novefinalnepotranje:
120 0 48 60 12
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
60/111
240 24 48 36 132 360 60 48 72 180
120 0 48 60 12
240 24 48 36 132
360 60 48 72 180
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
61/111
1
Matrini raun1. Rijeiti matrinujednainu:
2 gdjeje:
5 52 4
ajejedininamatrica.2. Date su matrice 2 1 1 3 0 1 4 2 3 i
1 0 2 2 1 45 3 6 .Nai 2 3. Rijeiti matrinujednainu: 2 gdjeje: 2 51 1ajejedininamatrica.4.Datesumatrice 3 1 0 2 2 1 4 1 3 i
1 5 22 1 41 3 0Nai
3
5.Rijeitimatrinujednainu2 2,akoje: 0 1 1 1 2 0 1 2 1, 1 3 1 2 1 0 0 1 1
6.Rijeitimatrinujednainu 3 ,akoje: 1 0 2 1 1 3 0 2 1, 1 3 1 2 1 0 0 1 1
7.Rijeitimatrinujednainu 2 ,akoje: 6 0 1 2 5 0
0 6 3
, 1 2 3 0 1 0 1 0 2
8.Rijeitimatrinujednainu 2 ,akoje:
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
62/111
2
4 1 0 3 3 50 1 0
, 1 2 3 0 1 0 1 0 2
9.Rijeitimatrinujednainu 2 ,akoje: 0 1 2 2 3 4 1 0 110.Rijeitimatrinujednainu 2 ,akoje:
4 1 2 2 1 4 1 0 3
11.Datesumatrice 4 1 21 0 12 2 1 i 1 3 1 2 1 10 2 1
Nai 12..Datesumatrice 2 1 22 2 11 2 3 i 2 0 31 1 12 1 0Nai 13.Nekasudatematrice: 1 2 1 2 1 3
41 30 11 1 3 1
2 0 1
Izraunati 14..Datesumatrice 1 2 14 3 11 0 1 i
1 3 1 2 1 32 0 1Nai
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
63/111
3
15.Datesumatrice 2 24 3 i 1 2 13 2 1Nai
16.Rijeitimatrinujednainu: akoje: 1 2 3 4 1 3 0 117.Datesumatrice 1 12 1
3 2 i 3 21 2.Nai
18.Nekasudatematrice: 2 2 3 1 4 1 2 1 21 32 2 0 22 1 1Izraunati i 19.Datesumatrice
2 2 2 0 2 4 3 1 2
i
2 1 1 3 0 43 2 1
Nai 20.Datesumatrice 1 2 33 2 42 1 0 i
1 0 22 1 00 1 3Nai
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
64/111
4
RJEENJA:
1. 2 2 2 Nekaje 5 52 4 1 00 1 4 52 3Nekaje 2 2 5 52 4 1 00 1 1 0 1 04 8 1 00 1
1 1 1 04 9 Jednainupiemouobliku: Salijevestranejednainumnoimosa
,paje:
Raunamoinverznumatricu: DeterminantamatriceM: 4 52 3 12 10 2
Minori:
3 , 2 5 , 4Kofaktori: 1 3 , 2 5 , 4Matricakofaktora: 3 25 4Adjungovanamatrica:
3 52 4
Inverznamatrica: 3 52 4Nepoznatamatrica:
3 52 4
1 1 1 04 9
33 20 3 0 4 522 16 20 36
1 3 1 5 6 1 6 3 8
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
65/111
5
2. 2
2 1 1 3 0 1 4 2 3 1 2 50 1 32 4 6 2 2 1 1 3 0 1 4 2 3
2 1 1 3 0 1 4 2 3 1 2 50 1 32 4 6 2 2 1 1 3 0 1 4 2 3 2 1 1 3 0 1 4 2 3
2 0 2 4 1 4 10 3 63 0 2 6 0 4 15 0 64 0 6 8 2 12 20 6 18 2 4 3 4 2 0 2 2 1 36 0 4 3 0 2 3 0 38 6 12 4 0 6 4 2 9
0 1 1 9 5 2 9 1 0 2 4 2 1 1 0 2 2 5 61 0 1 0 1 5
0 1 1 9 5 2 9 1 0 2 4 2 2 0 4 4 1 0 1 22 0 2 0 3 0
22 1 15
1 1 2 2 1 3 0 1 8 2 6
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
66/111
6
3. 2 2 2Nekaje
2 51 1
1 00 1
3 51 2
Nekaje 2 2 51 1 2 1 00 1 2 51 1 2 00 2 4 51 3Jednainupiemouobliku: Salijevestranejednainumnoimosa
,paje:
Raunamoinverznumatricu: DeterminantamatriceM: 3 51 2 6 5 1
Minori:
2 , 1 5 , 3Kofaktori: 1 2 , 1 5 , 3Matricakofaktora: 2 15 3Adjungovanamatrica:
2 51 3
Inverznamatrica: 2 51 3 Nepoznatamatrica:
2 51 3
4 51 3
8 5 10 154 3 5 9
3 51 4
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
67/111
7
4. 3
1 2 1 5 1 32 4 0 3 1 0 2 2 1 4 1 3 3 1 5 2 2 1 41 3 0
1 2 1 5 1 32 4 0 3 1 0 2 2 1 4 1 3 3 1 5 2 2 1 41 3 0
1 5 2 2 1 41 3 0
3 4 4 1 4 1 0 2 315 2 12 5 2 3 0 1 96 8 0 2 8 0 2 12 03 1 10 2 5 5 6 2 20 02 2 4 10 1 12 4 4 01 6 0 5 3 0 2 12 0
3 2 1 2 9 0 1 0 2 1 0 1 4 3 1 3 4 1 8 0 23 0 5 2 1 4
3 2 1 2 9 0 1 0 2 1 0 1 4 3 9 1 2 5 4 0 6 9 0 1 5 6 4 2
4 2 1 4 5 3 2 9 6 9 1 0 1 7 4 5 6
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
68/111
8
5. Nekaje 2
2 0 1 1 1 2 0 1 2 1
1 0 00 1 00 0 1
0 2 2 2 4 0 2 4 2
1 0 00 1 00 0 1
1 2 2 2 3 0 2 4 1Nekaje 2
1 3 1 2 1 0 0 1 1 2 1 0 00 1 00 0 1 1 3 1 2 1 0 0 1 1 2 0 00 2 00 0 2
3 3 1 2 1 0 0 1 3 Sadaje:2 2 Pomnoimojednainusalijevestrane matricom:
Raunamo: 1 2 2 2 3 0
2 4 1 1 22 3
2 4 3 16 12 4 5
Minori:
3 04 1 3; 2 0 2 1 2; 2 3 2 4 2 2 24 1 10; 1 2 2 1 5; 1 2 2 4 0
2 23 0 6; 1 22 0 4; 1 22 3 1
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
69/111
9
Kofaktori: 1
3;
2;
2
10; 5; 0 6; 4; 1Matricakofaktora: 3 2 2 1 0 5 06 4 1Adjungovanamatrica:
3 1 0 62 5 42 0 1Inverznamatrica:
15
3 1 0 62 5 42 0 1
Iz slijedi: 3 1 0 62 5 42 0 1
3 3 1 2 1 0 0 1 3
9 20 0 9 10 6 3 0 186 10 0 6 5 4 2 0 126 0 0 6 0 1 2 0 3 1 1 7 1 5 4 3 1 0
6 7 5
3 2
1
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
70/111
10
6. Nekaje 3
1 0 00 1 00 0 1 3
1 0 2 1 1 3 0 2 1
1 0 00 1 00 0 1
3 0 6 3 3 9 0 6 3
4 0 6 3 4 9 0 6 2Sadaje: 3
Pomnoimojednainusadesnestrane matricom
:
Raunamo:
4 0 6 3 4 9 0 6 2
4 03 4 0 6 32 108 216 356
Minori:
4 9 6 2 62; 3 9 0 2 6; 3 4
0 6 18
0 6 6 2 36; 4 60 2 8; 4 00 6 24 0 64 9 24; 4 6 3 9 54; 4 03 4 16
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
71/111
11
Kofaktori: 1
62;
6;
18
36; 8; 24 24; 54; 16Matricakofaktora: 6 2 6 1 8 3 6 8 2 4 2 4 5 4 1 6Adjungovanamatrica:
6 2 3 6 2 4 6 8 5 4 1 8 2 4 1 6Inverznamatrica:
1356
6 2 3 6 2 4 6 8 5 4 1 8 2 4 1 6
Iz slijedi: 1 3 1 2 1 0 0 1 1
6 2 3 6 2 4 6 8 5 4 1 8 2 4 1 6
62 18 18 36 24 24 24 162 16124 6 0 72 8 0 48 54 00 6 18 0 8 24 0 54 16
6 2 3 6 2 0 2 1 1 8 8 0 6 1 2 1 6 7 0
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
72/111
12
7. Nekaje 2
6 0 1 2 5 0 0 6 3 2
1 0 00 1 00 0 1
6 0 12 5 00 6 3
2 0 00 2 00 0 2
4 0 12 3 00 6 1Nekaje
1 2 3 0 1 0 1 0 2
1 0 00 1 00 0 1
2 2 3 0 2 0 1 0 3
2 2 3 0 2 0 1 0 3 Sadaje: 2 Pomnoimojednainusalijevestrane matricom:
Raunamo: 4 0 12 3 0
0 6 1 4 02 3
0 6 12 12 24
Minori: 3 06 1 3; 2 00 1 2; 2 30 6 12 0 16 1 6; 4 10 1 4; 4 00 6 24
0 13 0 3;
4 12 0 2;
4 02 3 12
Kofaktori: 1
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
73/111
13
3; 2; 12 6; 4; 24 3; 2; 12Matricakofaktora: 3 2 1 26 4 2 43 2 1 2 Adjungovanamatrica:
3 6 32 4 2 1 2 2 4 1 2
Inverznamatrica: 3 6 32 4 2 1 2 2 4 1 2Iz slijedi:
3 6 32 4 2 1 2 2 4 1 2 3 3 1 2 1 0 0 1 3 9 12 0 9 6 3 3 0 96 8 0 6 4 2 2 0 636 48 0 36 24 12 12 0 36
2 1 1 8 1 22 4 81 2 0 2 4 0 1
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
74/111
14
8. Nekaje 2
4 1 0 3 3 50 1 0 2
1 0 00 1 00 0 1
4 1 0 3 3 50 1 0
2 0 00 2 00 0 2
2 1 0 3 1 5 0 1 2Nekaje
1 2 3 0 1 0 1 0 2 1 0 00 1 00 0 1 0 2 30 0 01 0 1
Sadaje: 2 Pomnoimojednainusadesnestrane matricom: Raunamo
:
2 1 0 3 1 5 0 1 2
2 1 3 1 0 1 4 10 6 8Minori:
1 5 1 2 7; 3 50 2 6; 3 10 1 3 1 01 2 2; 2 0 0 2 4; 2 1 0 1 2 1 0
1 5 5; 2 0
0 2 4; 2 1
3 1 5
Kofaktori: 1
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
75/111
15
7; 6; 3 2; 4; 2 5; 4; 5Matricakofaktora: 7 6 3 2 4 25 4 5Adjungovanamatrica:
7 2 5 6 4 4 3 2 5
Inverznamatrica: 7 2 5 6 4 4 3 2 5Iz slijedi: 0 2 30 0 01 0 1 7 2 5 6 4 4 3 2 5 0 12 9 0 8 6 0 8 150 0 07 0 3 2 0 2 5 0 5
2 1 1 4 2 30 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
76/111
16
9. Nekaje 2
0 1 2 2 3 4 1 0 1 2
1 0 00 1 00 0 1
0 1 2 2 3 4 1 0 1
2 0 00 2 00 0 2
2 1 2 2 1 4 1 0 1Nekaje
0 1 2 2 3 4 1 0 1
1 0 00 1 00 0 1
1 1 2 2 4 4 1 0 2
1 1 2 2 4 4 1 0 2 Sadaje: 2 Pomnoimojednainusalijevestrane matricom:
Raunamo: 2 1 2 2 1 4
1 0 1 2 1 2 1
1 0 2 4 2 2 6
Minori: 1 40 1 1; 2 41 1 6; 2 11 0 1 1 20 1 1; 2 2 1 1 0; 2 11 0 1
1 21 4 2;
2 2 2 4 12;
2 1 2 1 4
Kofaktori: 1
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
77/111
17
1; 6; 1 1; 0; 1 2; 12; 4Matricakofaktora: 1 6 1 1 0 1 2 1 2 4Adjungovanamatrica:
1 1 2 6 0 1 2 1 1 4
Inverznamatrica: 1 1 2 6 0 1 2 1 1 4Iz slijedi:
1 1 2 6 0 1 2 1 1 4 1 1 2 2 4 4 1 0 2 1 2 2 1 4 0 2 4 46 0 12 6 0 0 12 0 241 2 4 1 4 0 2 4 8
1 5 2 6 6 1 2 7 5 1 4 1 1 2
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
78/111
18
10. Nekaje
2 4 1 2 2 1 4 1 0 3 2
1 0 00 1 00 0 1 4 1 2 2 1 4 1 0 3 2 0 00 2 00 0 2 2 1 2 2 1 4 1 0 1
Sadaje: 2
Pomnoimojednainusadesnestrane matricom
:
Raunamo:
2 1 2 2 1 4 1 0 1
2 1 2 1 1 0 2 4 2 2 6
Minori:
1 40 1 1; 2 41 1 6; 2 11 0 1 1 20 1 1; 2 2 1 1 0; 2 11 0 1 1 21 4 2; 2 2 2 4 12; 2 1 2 1 4Kofaktori: 1 1; 6; 1 1; 0; 1 2; 12; 4
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
79/111
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
80/111
Procentni raun1.Radnici sudnevnoproizvodili12600komadaproizvodaA,azatim
su povealiproizvodnjuiondajeiznosila14994komadadnevno.Za
kolikojepoveanauprocentimadnevnaproizvodnja?Zatimjepro
izvodnjapalaza13,5%.Kolikosadaiznosiproizvodnja?Dalijeukupna
proizvodnjapoveana ili smanjenauodnosunapoetnu i zakoliko
posto?
2.Cijenanekerobejeprvosmanjenazajednuestinu,azatimpove
anaza14procenata i iznosila171KM.Kolikajecijena robebilana
poetku?
3.Trgovcisucijenuautomobilakojajeiznosila35000prvosmanjiliza
6%,azatimpovealiza7%.Odreditinovucijenuautomobila.Da lije
novacijenamanjailiveaodpoetne?
4.Fabrikajecijenuautomobilapovealasa21000KMna23000KMa
zatim je dodala PDV od 17%.Koliki je ukupni procenat poveanja
prvobitnecijeneautomobila?
5.Poslijedvaposkupljenjapostopama12,6% i18,3% ijednogpoje
ftinjenja od 22,5% cijena neke robe je 4526KM.Kolika je poetna
cijenarobe?Dalijekrajnjacijenaveailimanjaodpoetne?Kolikaje
tarazlikauprocentima?
6.Sumunovcaod2600KMtrebapodijelitinatriradnikatakodasvaki
dobijeza20%vieodpredhodnog.Kolikoedobitisvakiodradnika?
7.Nakon pojeftinjenja od 20%,a zatim poskupljenja od 15% cijena
artiklaiznosi115KM.Kolikajeprvobitnacijenaartikla?Kolikajerazlika
uprocentimauodnosunapoetnucijenu?
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
81/111
8. Cijena hljeba uveanaje za 150%.Za koliko procenata treba da
pojeftinidabikotaoistokaoi prijeposkupljenja?
9.Cijenaneke robejeprvopoveana za3,4%,a zatim smanjena za
treinu.Dalijedolodopoveanjailismanjenjaprvobitnecijeneiza
kolikoprocenata?
10.Cijenanekerobejeprvosmanjenaza43,3%,azatimpoveanaza
etvrtinu.Da lijedolodopoveanja ilismanjenjaprvobitnecijene i
zakolikoprocenata?
11.Nakon
smanjenja
od
20%,cijena
nekog
desktop
ra
unara
iznosi
1250KM.Kolikajebilaprvobitnacijenaraunara(tj,prijesnienja)
12.MaloprodajnacijenaDVDplejeraiznosi210KM.Akoseznadaje
procenatPDVa17%,kolikajecijenaplejerabezPDVa?
13.Nakonpoveanjaproduktivnostiza30%,ufabriciobuese
dnevnoproizvede2145paripatika.Kolikojeiznosiladnevna
proizvodnjapatikaufabriciprijepoveanjaproduktivnosti?
14.Cijenarobejeprijemjesecdanabila351KM.Zatimjecijenaprvo
poveanazapetinu,aondasmanjenaza20%.Kolikajenovacijenate
robe?
15.KupilistenoviaparatzasatelitskunavigacijuuSlovenijiza324
euraiuzelisteformularzapovratPDVanagranici.Akoznatedajeu
SlovenijistopaPDVa20%,kolikoevamnovcavratiticariniknaizlazu
izEuropskeunije?
16.Cijenaraunarajeprvopoveanaza10%,azatimsmanjenaza
15%isadaiznosi1122KM.Kolikajebilaprvobitnacijenaraunara?
17.Cijenaautomobilaunekojfirmijeprijeestmjeseciiznosila
22000KM.Akosecijenaprijetrimjesecasmanjilaza6%,azatimprije
mjesecdanapovealaza8%,kolikojenovacijenaautomobila?
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
82/111
18.Poslijepoveanjacijenenekerobeujanuaruod10%,tesnienjau
februaruod22%,cijenateisterobeumartuiznosi394,68KM.Kolikaje
bilacijenarobeujanuaru?
19.Nekarobaposkupiza5%.Zakolikopostotakatrebadapojeftinida
bisevratilanaistucijenu?
20.Cijenanekerobejeprvopoveanaza30%,azatimsmanjenaza
etvrtinu.Dalijedolodopoveanjailismanjenjaprvobitnecijenei
zakolikoprocenata?
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
83/111
RJEENJA:
1.Procenatpoveanjadnevneproizvodnjeiznosi:
14994 12600 12600|1001499400 1260000 12600|:2007497 6300 63 63 7497 6300 63 1197
19
Poetnadnevnaproizvodnjajepoveanaza19%.
Iznosproizvodnjenakonpadaza13,5%:
14994 , 14994 14994 0,135 14994 12969,81
Ukupnaproizvodnjajeidaljeveaodpoetnednevneproizvodnje,
arazlikauprocentimaje:
12969,81 12600 12600|100
1296981 1260000 12600|:10012969,81 12600 12612969,8112600 126 126 369,81|: 126
2,935%2. Nekajepoetnacijenarobex.Tadavrijedinaosnovuuslovazada
ka:
171
171
171
171
57 10260 180.Poetnacijenaiznosi180KM
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
84/111
3. Nekajenovacijenaautomobilax.Tadavrijedinaosnovuuslovaza
datka: 35000 35000 35000
35000
329002303 35203Daklenovacijenaautomobilaiznosi35203KM.Novacijenajevea
odpoetne
4. Prvobitnacijenaautomobilaje21000KM,novacijenaje23000KM.
AkonanovucijenudodamovrijednostPDVaod17%imamo:
23000 23000 230003910 26910KM.
Dakleukupniprocenatpoveanjacijeneautomobilaje:
26910 21000 21000 26910 1 21000
1
| 100 100
128,14 100
28,14%5. 12,6%
18,3% 22,5%
?
4526
4526 1,126 0,183 1,126 0,2251,126 0,183
1,126
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
85/111
4526 1,332058 0,2251,332058
4526 1,03234495 , 4384,2
Daklepoetnacijenajemanjaodkrajnje,arazlikauprocentimaje
4526 4384,2 4384,2 4384,2 141,8
,, 3,23%
6. Nekajesumanovcakojutrebadadobijeprviradnikx,tadajepre
mauslovimazadatka:
2600
2600 1,2 1,2 0,2 1,22600 1,2 1,2 0,24 3,64 2600
714,3
Dakleprviradnikedobitiiznosod714,3KM
Drugiradnikiznosod1,2 714,3 857,1Treiradnikiznosod1,2 857,16 1028,6
7. 20%
15% ?
115
115 0,8 0,15 0,8
115 0,8 0,12 0,92 115 125
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
86/111
Daklepoetnacijenajeveaodkrajnje,arazlikauprocentimaje
125 115 115 115 10 | 100
115 1000 8,69%8. Nekajecijenahljebaprijeposkupljenjax.Izuslovazadatkaimamo:
|:
1 2,5 2,5 | 100 100 250 2,5 2,5 150
60%Dakletrenutnacijenahljebatrebadasesmanjiza60%kakobibila
jednakaonojprijeposkupljenja.
9. Nekaje x prvobitna vrijednost robe. Iz uslova zadatka imamo:
,
, 1,341 0,3 1,341 0,894
Daklekrajnjacijena(0,894x)jemanjaodpoene,pri emujerazlikau
procentima:
1 0,894 0.106 100 10,6%
10. Nekajexprvobitnavrijednost robe. Izuslovazadatka imamo:
,
, 0,567 0,25 0,567 0,709
Daklekrajnjacijena(0,709x)jemanjaodpoene,priemujerazlika
uprocentima:
1 0,709 0.291 100 29,1%
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
87/111
Sistemi linearnih algebarskih jednaina1. Ispitatisaglasnostsistema: 2 2 3 2 4 2iusluajusaglasnostirijeitigaCramerovimmetodom.
2. Ispitatisaglasnostsistema:
1 2 3 2 4 2iusluajusaglasnostirijeitigaCramerovimmetodom
3.Datjesistem:
2 3 4 3 3 2 2 3 1(a)Ispitatisaglasnostdatogsistema
(b)Akojesistemsaglasan,rijeitigaproizvoljnommetodom
4.Datjesistem:4 3 2 3 2 4 2 2
(a)Ispitatisaglasnostdatogsistema
(b)Akojesistemsaglasan,rijeitigaproizvoljnommetodom
5.Datjesistem: 2 2 3 3 2 3 4 1(a)Ispitatisaglasnostdatogsistema
(b)Akojesistemsaglasan,rijeitigaproizvoljnommetodom
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
88/111
6.Datjesistem:
5 4 2 2 3 2 4 3 7 0(a)Ispitatisaglasnostdatogsistema
(b)Akojesistemsaglasan,rijeitigaproizvoljnommetodom
7.Rijeitisistem:
2 3 4 2 3 8 7 2 0 5 3 2
8.Rijeitisistem: 3 5 7 2 3 3 4 2 4 4 3 1
9.RijeitisistemGausovommetodom:
2 2 2 2 1 3 0
10.RijeitisistemKramerovommetodom:
3 2 2 5 0 2 2 4
11.RijeitisistemKramerovommetodom:
7 2 3 1 4 3
12.RijeitisistemKramerovommetodom: 2 2 2 1 3 2 1
13.RijeitisistemGausovommetodom:
1 2 3 2 3 2 2 1
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
89/111
14.Rijeitisistem:
2 1 2 2 3 2 2 32 2 3 0
15.RijeitisistemGausovommetodom:
2 3 2 2 2 22 2 2 5
16.RijeitisistemKramerovommetodom:
2 2 2 3 1 2 3 4 2
17.RijeitisistemGausovommetodom:
2 2 2 5 5 318.Datjesistemlinearnihalgebarskihjednaina:
7 5 3 9 6 4 6 2 3 2 3 4 1
(a)Ispitatisaglasnostdatogsistema.
(b)Akojesaglasanrijeitiga
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
90/111
RJEENJA:
1.Saglasnostsistema: 1 1 12 1 3 1 1 4 2 22 2 ~ 1 1 10 3 10 2 3 22 0 2 3~
1 1 10 3 10 0 7 224
3 3
Rijeenjesistema:
2 3 2 7 4
1 1 10 3 10 0 7 1 3 7 21
2 1 1 2 3 1 4 0 7 2 1 2 34 0 42 4 12 14 12
1 2 10 2 10 4 7 1 2 1 4 7 14 4 18
1 1 20 3 20 0 4 1 3 4 12
Krameroveformule:
: , , , ,
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
91/111
2.Saglasnostsistema: 1 1 12 1 3 1 1 4 1 22 2 ~ 1 1 10 1 10 2 3 1 01 2 ~
1 1 10 1 10 0 1 1 01
3 3
Rijeenjesistema:
1 0 1
1 1 10 1 10 0 1 1 1 1 1
1 1 10 1 1 1 0 1 1 10 11 0 1 1 1 1
1 1 10 0 10 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1
1 1 10 1 00 0 1 1 1 1 1
Krameroveformule:
1 1
1 : ,,1,1,1
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
92/111
3. Saglasnostsistema:
2 3 43 2 11 1 3
3 21
3 22~
2 3 40 5 1 00 5 10
35 5
~
2 3 40 5 1 00 0 0 35 0
2 2 Rijeenjesistema:
2 3 4 3 5 10 5 |: 5 , 2 3 4 3 2 1 2 3 3 4 2 1
2 30 1 2 0 2
3 4 32 1 13 4 32 1 22 3 4 0 2 1 22 1 0 22 1Krameroveformule:
2 1
: ,,, 2 1,
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
93/111
4. Saglasnostsistema:
4 3 13 1 21 2 1
2 42
3 44~
4 3 10 5 50 5 5
21010
1 ~
4 3 10 5 50 0 0 2100
2 2 Rijeenjesistema:
4 3 2 5 5 10 |: 5 , 4 3 2 2 2 3 2 2
Iz
2 imamodirektnorjeenjesistemapopromje
njivojIz2 3 2 slijedi:2 32 2 2 6 3 2 2 8 4 |: 2 4 2
: ,,4 2, 2 ,
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
94/111
5. Saglasnostsistema:
2 1 23 2 31 1 1
3 4 1
3 22~
2 1 20 1 00 1 0
31 1
~
2 1 20 1 00 0 0 31 0
2 2 Rijeenjesistema:
2 2 3 1 |: 1 , 2 2 3 1 2 3 2 1
2 10 1 2 0 2
3 2 11 1 3 2 1 4 2 2 3 20 1 2 0 2Krameroveformule:
2 1
: ,,2 , 1 ,
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
95/111
6. Saglasnostsistema:
5 1 41 2 34 3 7
220
54 5~
5 1 40 1 1 1 90 11 19
28 8
~
5 1 40 1 1 1 90 0 0 28 0
2 2 Rijeenjesistema:
5 4 2 11 19 8 , 5 4 2 11 19 8 5 2 4 11 19 8
Iz11 19 8
Iz
5 2 4 5 2 4|11
55 19 8 22 44 55 25 30
: , , , ,
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
96/111
7. Saglasnostsistema:
2 3 4 1 3 8 7 21 5 3 1
202
3 22~
2 3 4 1 0 7 2 1 0 7 2 1 26 6
~ 2 3 4 1 0 7 2 1 0 0 0 0
26 0 2 2
Rijeenjesistema:2 3 4 2 7 2 6 , ; , 2 3 4 2 7 2 6
2 3 2 4 7 2 6
Iz7 2 6 Iz2 3 2 4 2 3 2 4
2
2 4 | 7
14 6 3 18 14 28 714 32 22 4 ,, , , , ,
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
97/111
8. Saglasnostsistema:
3 5 7 21 1 3 12 4 4 3
341
32 3~
3 5 7 20 2 2 50 2 2 5 399
1 ~ 3 5 7 20 2 2 50 0 0 0
390
2
2
Rijeenjesistema:3 5 7 2 3 2 2 5 9 , ; , 3 5 7 2 3
2 2 5 9 3 5 3 7 22 2 5 9
Iz2 2 5 9 Iz3 5 3 7 2 3 5 3 7 5
3 3 7 5| 26 10 25 45 6 14 106 51 24 15 ,, , , , ,
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
98/111
Aritmetiki i geometrijski nizovi1.Unekompreduzeuurazdobljuod1991do1997godineproizve
denoje56028automobila.Kolikojeautomobilaproizvedenou1993i
1996 godini,ako se u tom razdoblju proizvodnja automobila
konstantnopoveavalaza899automobilagodinje?
2.Urazdobljuodjanuaradoavgustaovegodinefabrikajeproizvela
6965paricipela.Kolikajeproizvodnjabilau februaru,akolikaujulu
akosesvaki mjesecsmanjivalaza4procentauodnosunaprethodni
mjesec.
3. Izraunati nepoznate elemente plana uvoza za petogodinje
razdoblje,akosepredviada euvozrastisvakegodinezakonstantni
iznos,premaslijedeojtabeli:
Godina Uvoz 1.
2.
3.
4.
5.
5
Ukupno 35
4. Neka osobaje u banku uloila sumu novca na koju se na kraju
svakog obraunskog perioda dodaje kamata od 6% po principu
kamatanakamatu.Akonakonsedmogobraunskogperiodataosoba
imanaraunu2556,17KM,kolikojenovcanapoetkuuloila?
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
99/111
5.Izraunatinepoznateelementeplanaproizvodnjenekogpreduzea
zapetogodinjerazdobljepremaslijedeojtabeli:
Predvidja se da e proizvodnja rasti svake godine za20%proizvodnjeizpetegodine.
6.Izraunatinepoznateelementeplanaproizvodnjenekogpreduzea
zapetogodinjerazdobljepremaslijedeojtabeli:
Predvidjasedaeproizvodnjarastisvakegodinezakonstantaniznos.
Godina Proizvodnja
1.
2.
3.
4.
5.
Ukupno 75
Godina Proizvodnja
1.
2.
3.
4.
5.
15
25
Ukupno 75
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
100/111
7.Izraunatinepoznateelementeplanaproizvodnjenekogpreduzea
zapetogodinjerazdobljepremaslijedeojtabeli:
Predvidjaseda eproizvodnjarastisvakegodineza20%proizvodnjeizpetegodine.
8.Izraunatinepoznateelementeplanaproizvodnjenekogpreduzea
zapetogodinjerazdobljepremaslijedeojtabeli:
Predvidjasedaeproizvodnjarastisvakegodinezakonstantaniznos.
9.Proizvodnjaseunekompreduzeuzarazdobljeod2007.Do2011.
godine poveavala svake godine u odnosu na prethodnu za
konstantnustopupromjene.Odrediti tustopupromjene,proizvodnju
u 2009.godini i ukupnu proizvodnju na kraju 2011.godine,ako je
proizvodnjau2008.godinibila25000,au2010.godinibila45000.
Godina Proizvodnja
1.
2.
3.
4.
5.
Ukupno 45
Godina Proizvodnja 1.
2.
3.
4.
5.
6
15
Ukupno
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
101/111
10. Izraunati nepoznate elemente plana proizvodnje nekog
preduzeazaetverogodinjerazdobljepremaslijedeojtabeli:
Akoseproizvodnjasmanjisvakegodine8%uodnosunaprethodnu.
11. Unekom preduzeu u razdoblju od 2001 do 2005.godine
proizvedeno je 1221020 proizvoda A.Kolika je proizvodnja bila u
2003,a kolika u 2005.godini,ako se proizvodnja poveavala 10%
godinjeuodnosunapredhodnugodinu?
12. Izraunati nepoznate elemente plana proizvodnje nekog
preduzeazatrogodinjerazdobljepremaslijedeojtabeli:
Akoseproizvodnjapoveasvakegodine15%uodnosunaprethodnu.
Godina Proizvodnja
1.
2.
3.
4.
Ukupno 3545088
Godina Proizvodnja
1.
2.
3.
Ukupno 6945
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
102/111
RJEENJA:
1.Brojgodinjeproizvedenihautomobilapredstavljalanaritmeti
kogniza.Zanavedenorazdobljeod1991do1997imamosedam
lanovaniza.Traisetreiiestilantogniza:
56028 2 1 899 2 7 1 899
, ? 56028 2 5394| 2 1 112056 14 37758
2 14 74298 5307 5307 2 899 7105 5 5307 5 899 9802Zakljuak:Proizvodnjaautomobilau1993.godinijeiznosila7105,a
u1996.godini9802automobila.
2. Brojmjesenoproizvedenihparicipelapredstavljalangeometri
jskogniza.Zanavedenorazdobljeodjanuaradoavgustaimamo
osamlanovaniza.Traisedrugiisedmilantogniza:
6965 4% 0,04? ?Proizvodnjasesvakogmjesecasmanjujeuodnosunaprethodni
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
103/111
Za4%,pavrijedi:
1
1 1 1 1 1 1 itd.Zakljuujemodajerije oopadajuemgeometrijskomnizuijije
kolinikjednak: 1 1 0,04 0,96
Iz
6965
,,
6965 6,965 1000Iz 1000 0,96 960
1000 0,96 783Zakljuak:Ufebruarujeproizvedeno960,aujulu783paracipela.
3. Podaciiztabelepredstavljajuelementearitmetikognizauzdati
uslovdaseuvozpoveavasvakegodinezakonstantaniznos:
5 Iz 1slijedi: 35 5
? ? Iz 2 1slijedi:
2 410 20 70 2 7
5 2 7
Iz 5slijedi: 5
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
104/111
Iz 2 7slijedi:5 2 7 2 5 5 2 3
5 7 9 11 3 5 7 9 11 35
4. Sloenoukamaivanjeprincipkamatanakamatu:
Napoetkujeuloeniznos,nakrajuprvogobraunskogperiodaiznosjeuveanzavrijednostkamatekojuobraunavamopokama
tnojstopi,tj.: 1 ovajiznosje
ujednovrijednostnakojuseobraunavakamatanakrajudrugog
obraunskogperioda,tj.: 1
Principseprenosinantiperiod,pauoptenovrijedi:
1 ,topredstavljageometrijskuprogresiju,priemujekolinik 1 poznatkaokamatnidekurzivni
Godina Uvoz
1.
2.
3.
4.
5.
3 5
79
11Ukupno 35
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
105/111
faktor.
6%
2556,17? Iz formulezaoptilangeometrijskeprogresije,
Anaosnovugoreopisanogprincipaslijedi: 1
,
, 1700
Zakljuak:osobajenapoetkuuloila1700KM
5. Podaciiztabelepredstavljajuelementearitmetikognizauzdati
uslovdaseuvozpoveavasvakegodinezakonstantaniznos:
Iz 1slijedi:
75 4 5 4? ? Iz 2 1slijedi:
2 4
10 20 150 2 15 5 4 2 15
Iz5 4 slijedi:
Iz 2 15 slijedi: 2 15 3 15 5
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
106/111
Iz 5 10
15 20 25
6. Podaciiztabelepredstavljajuelementearitmetikognizauzdati
uslovdaseuvozpoveavasvakegodinezakonstantaniznos:
15 Iz 1slijedi: 25 2 2 15? ? 4 4 25
2 15 4 25Iz 2 15slijedi: 15 2Iz 4 25 slijedi:15 2 4 25 2 10
5Iz 15 2 15 10 5
10 15 20 25
5 10 15 20 25 75
Godina Uvoz
1.
2.
3.
4.
5.
5 10
15
20
25
Ukupno 75
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
107/111
7. Podaciiztabelepredstavljajuelementearitmetikognizauzdati
uslovdaseuvozpoveavasvakegodinezakonstantaniznos:
Iz 1slijedi:
45 4 5 4? ? Iz 2 1slijedi:
2 4
10 20 90 2 9 5 4 2 9
Iz5 4 slijedi: Iz
2 9 slijedi:
2 9 3 9 3
Iz 3 6 9 12
15
Godina Uvoz
1.
2.
3.
4.
5.
5 10
15
20
25
Ukupno 75
Godina Uvoz
1.
2.
3.
4.
5.
3 6
9
12
15
Ukupno 45
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
108/111
3 6 9 12 15 45
8. Podaciiztabelepredstavljajuelementearitmetikognizauzdati
uslovdaseuvozpoveavasvakegodinezakonstantaniznos:
6 Iz 1slijedi: 15 6? ? 4 4 15 6 4 15
Iz 6slijedi: 6 Iz 4 15 slijedi:6 4 15 3 9 3
Iz 6 6 3 3
6 9 12 15
3 6 9 12 15 45
Godina Uvoz
1.
2.
3.
4.
5.
3 6
9
12
15
Ukupno 45
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
109/111
9. Godinjaproizvodnjapreduzeapredstavljalangeometri
jskogniza.Zanavedenorazdobljeod2007.do2011.imamo
petlanovaniza.Traisetreilantognizaisumadatogniza
25000 45000? ?Proizvodnjasesvakogmjesecapoveavauodnosunaprethodni
Zap%,pavrijedi:
1 1 1 1 1 1
1
Zakljuujemo da je rije o rastuem geometrijskom nizu iji je
kolinikjednak: 1 Iz 25000
45000Kombinacijomovedvijejednaineimamo:25000 45000
1,8 1,34 1,34 1 0,34 34%Iz imamo: , 18656,7Iz imamo: 18656,71,8 33582,1Iz
imamo:
182199,2
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
110/111
10. 3545088 8% 0,08
Proizvodnjasesvakogmjesecasmanjujeuodnosunaprethodni
za8%,pavrijedi:
1 1 1 1 1
1
Zakljuujemo da je rije o opadajuem geometrijskom nizu iji je
kolinikjednak: 1 1 0,08 0,92Iz
3545088
,,
3545088 3,545088 1000000Iz 1000000 0,92 920000
1000000 0,92 846400 1000000 0,92 778688
1000000 920000 846400778688 3545088
Godina Proizvodnja
1.
2.
3.
4.
1000000 920000
846400 778688
Ukupno 3545088
7/21/2019 Edo Sisa Skripta
111/111