Post on 01-Mar-2015
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Solución Numérica
Ecuacion Diferencial : Ecuaciones que involucran variables dependientes y sus derivadas con respecto a las variables independientes son llamadas ecuaciones diferenciales.
Ecuacion Diferencial Ordinaria : ecuaciones diferenciales que involucran solamente UNA variable independiente son llamadas ecuaciones diferenciales ordinarias.
Ecuación Diferencial Parcial: : ecuaciones diferenciales que involucran dos o mas variables independiente son llamadas ecuaciones diferenciales parciales.
EDO- Ecuación Diferencial Ordinaria
Soluciones de EDOs Analítica y Numérica
Resolver la EDO para encontrar una familia de soluciones.Elije la solución que satisface las condiciones iniciales correctas. Encuentra una fórmula analítica parar y(t)
Empieza con las condic. inicialesResuelve para pequeños tamaños de paso (t).Resuelve aprox. en cada t Encuentra pares de puntos: (t0,y0), (t1,y1), …
y(0)=b
t
y
t0, y0
t1, y1
t2, y2t3, y3
t t t
y
t
Método de Solución Analítica
Método de Solución Numérica
La solución analítica de la ecuación diferencial ordinaria así como ecuaciones diferenciales parciales se llama la " solución de la forma cerrada”
Esta solución requiere que las constantes de la integración estén evaluadas usando valores prescritos de variable(s) independiente(s).
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
En el mejor de los casos, solamente algunas ecuaciones diferenciales se puede solucionar analíticamente en una forma cerrada.
En la mayoría de los problemas prácticos de la ingeniería que implican ecuaciones diferenciales requieren el uso de métodos numéricos.
Metodos de un solo paso
El objetivo consiste en solucionar una EDO en forma discreta, obteniendo un nuevo punto a partir de un punto anterior
y
x
yi
h
yi+1
xi xi+1
y(x)
(xi+1, yi+1)=Ѳ(xi ,yi, h)
Método de Taylor de orden “k”
bax
yxy
yxfy
,
,
00
Sea una EDO de primer orden:
Podemos usar la serie de Taylor para aproximar la solución de la EDO, haciendo:
ii yxy ''
Método de Taylor de orden “k”
Podemos plantear el algoritmo siguiente:
ki
k
iiiii
ii
yk
hy
hy
hyhyy
hxx
iPara
hyyxDado
!'''
!3''
!2'
,3,2,1
,:
32
1
1
00
Siendo E el error de truncamiento.
1
11
!1
iik
k
xxyk
hE
Método de Taylor de orden “k”
Ejemplo:- Estime y(x) para x=0.1, 0.2, 0.3, 0.4 y 0.5, usando Taylor de orden 3
Solución
10
12
1' 2
y
yxy
''1'1'2'''
'12
1''
2
2
yyxyxyyy
yyxyy
Método de Taylor de orden “k”
'''6
''2
'
4...,,0
1
0
32
1
1
0
0
nnnnn
nn
yh
yh
hyyy
hxx
npara
y
x
Método de Taylor de orden “k”
224
4:
xxxyExacto
Método de Taylor de orden “k”
Metodo de Euler
Permite resolver una EDO de primer orden de la forma:
Valor nuevo = Valor anterior + (Tamaño del paso) x (Pendiente)
y
x
yi
h
yi+1
00
,
yxy
yxfdx
dy
nnnn
nn
yxhfyy
hxx
nPara
hyyxDado
,
,2,1,0
,
1
1
00
xi xi+1
Metodo de Euler
La primera derivada proporciona un estimado directo de la pendiente en xi
La ecuación es aplicada iterativamente, un paso a la vez, sobre una distancia pequeña para reducir el error
Por esto se conoce como método de un solo paso.
EJEMPL0
24=dy
xdx
Para la condición inicial y(1)=1, determine y para h = 0.1 analíticamente y usando el método de Euler:
2
3
3
dy4x
dxI.C. y 1 at x 1
4y x C
31
C3
4 1y x
3 3y 1.1 1.44133
2
i 1 i
2
2
dy4x
dxy y h
y 1.1 y 1 4 1 0.1 1.4
Note :
y 1.1 y 1 4 1 0.1
dy/dxC.I.. Tamaño del
pasoRecordar la solución analítica fue 1.4413.Si reducimos el tamaño del paso a 0,05 y aplicamos Euler dos veces
Recordar la solución analítica es 1.4413
2
2
y(1.05) y(1) 4 1 1.05 1.00 1 0.2 1.2
y 1.1 y 1.05 4 1.05 1.1 1.05 1.4205
Obtenemos:
Análisis del Error -Método de Euler
Error de truncación - causado por la naturaleza de la técnica empleada para aproximar los valores de y Error local de truncación (a partir de la Serie de
Taylor) Propagación del error de truncación Suma de los dos es el error global
Error de Redondeo – causado por el numero limitados de dígitos significativos que pueden ser retenidos por computadora o calculadora
Método de Euler – Ejemplo
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0
0.2
5
0.5
0.7
5 1
1.2
5
t
Exact
Numerical
y
tey 1solución Analítica
1.0
00
1'
h
y
yy
Método de Euler – Ejemplo
n tn yn fn= -
yn+1yn+1= yn+Dt fn
0 0 0.000 1.000 0.100
1 0.1 0.100 0.900 0.190
2 0.2 0.190 0.810 0.271
3 0.3 0.271 0.729 0.344
4 0.4 0.344 0.656 0.410
5 0.5 0.410 0.590 0.469
6 0.6 0.469 0.531 0.522
7 0.7 0.522 0.478 0.570
8 0.8 0.570 0.430 0.613
9 0.9 0.613 0.387 0.651
Método de Euler Mejorado o Heun
Un error fundamental en el método de Euler es que se asume la derivada en el principio del intervalo para aplicarse a través de todo el intervalo.
Una simple modificación será demostrada. Esta modificación pertenece realmente a una clase
más grande de las técnicas de solución llamadas Runge-Kutta que exploremos más adelante.
Método de Heun
Considere la siguiente expansión de Taylor:
i i 2i 1 i i i
f ' x ,yy y f x ,y h h
2
Aproxime f’ con una diferencia progresiva
i 1 i 1 i ii i
f x ,y f x ,y' x ,f y
h
Substituyendo en la expansión
2i 1 i i 1 i
i 1 i i if f h f f
y y f h y hh 2 2
Método de Heun
Determine las derivadas para el intervalo Punto inicial Punto final (basado en el paso de Euler a partir del punto
inicial)Use el promedio para obtener una estimación mejorada de la
pendiente para el intervalo completo Podemos pensar en el paso de Euler como paso de prueba.
Método de Heun
y
xi xi+1
Evaluar la pendiente en xi
La proyección consigue f(xi+1 )Basado en el tamaño del paso h
h
y
xi xi+1
h
y
xi xi+1
Ahora determine la pendiente en xi+1
y
xi xi+1
Tomar los promedios de estas dos pendientes
y
xi xi+1
y
xi xi+1
Use esta pendiente “promedio” para predecir yi+1
h
yxfyxfyy iiii
ii 2,, 11
1
{
y
xi xi+1
h
yxfyxfyy iiii
ii 2,, 11
1
{
Use esta pendiente “promedio” para predecir yi+1
y
xi xi+1
y
xxi xi+1
h
yxfyxfyy iiii
ii 2
,, 111
y
xxi xi+1
h
yxfyxfyy iiii
ii 2,, 11
1
hyy ii 1
Metodo de Euler Mejorado (Heun)
Permite resolver una EDO de primer orden de la forma:
00
,
yxy
yxfdx
dy
2
,,
,
,2,1,0
,
1*
11
1*
1
00
nnnnnn
nnnn
nn
yxfyxfhyy
yxhfyy
hxx
nPara
hyyxDado
Metodo de Euler Mejorado (Heun)
Ejemplo
??5.1
1.0
11
2'
y
h
y
xyy
232.1
2
22
2
,,
2.12,
1.1
1.0
1
1
1
*1100
01
*1100
01
0000001*
01
0
0
y
yxyxhyy
yxfyxfhyy
yxhyyxhfyy
hxx
h
y
x
Metodo de Euler Mejorado (Heun)
Ejemplo
Metodo de Runge-Kutta de orden 2
A partir del método de Heun podemos deducir el método de Runge-Kutta
00
,
yxy
yxfdx
dy
2
,
,
,2,1,0
,
211
12
1
1
00
kkyy
kyhxhfk
yxhfk
hxx
nPara
hyyxDado
nn
nn
nn
nn
Metodo de Runge-Kutta de orden 2
Ejemplo
??1.1
11
2
y
y
xydx
dy
232.12
264.02,
2.02,
1.1
1.0
1
1
211
1001002
00001
01
0
0
kk
yy
kyhxhkyhxhfk
yxhyxhfk
hxx
h
y
x
nn
Se obtienen los mismos resultados que el método de Euler Mejorado
Metodo de Runge-Kutta de orden 4
00
,
yxy
yxfdx
dy
6
22
,
2,
2
2,
2
,
,2,1,0
,
43211
34
23
12
1
1
00
kkkkyy
kyhxhfk
ky
hxhfk
ky
hxhfk
yxhfk
hxx
nPara
hyyxDado
nn
nn
nn
nn
nn
nn
Metodo de Runge-Kutta de orden 4
11
2
y
xydx
dy
1.23367805exactoValor
23367435.16
22
2715361.02,
234255.022
22
,2
231.022
22
,2
2.02,
1.0
1.011
432101
3003004
200
2003
100
1002
00001
01
00
kkkkyy
kyhxhkyhxhfk
ky
hxh
ky
hxhfk
ky
hxh
ky
hxhfk
yxhyxhfk
hxx
hyx
Los métodos para solucionar una ecuacion diferencial de primer orden pueden ser adaptados a la solución de sistemas de primer orden.
0021
02
02212
2
01
01211
1
,,,,
,,,,
,,,,
nnnnn
n
n
yxyyyyxfdx
dy
yxyyyyxfdx
dy
yxyyyyxfdx
dy
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Por ejemplo sea el siguiente sistema de dos ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden:
002
001
,,
,,
zxzzyxfdx
dz
yxyzyxfdx
dy
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Donde busca aproximar y(x) y z(x)
Resolver el siguiente Problema de Valor Inicial que consta de dos EDOs de primer orden:
21
11
2
zzyxdx
dz
yzyxdx
dy
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Donde busca aproximar y(1.2) y z(1.2)
nnnnn
nnnnn
nn
nnn
nnn
nn
zyxhzz
zyxhyy
hxx
zyx
hzzz
hyyy
hxx
21
1
1
000
1
1
1
211
'
'
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Plantearemos el algoritmo para el método de Euler:
401.2
87.1
2.1
2.2
4.1
1.1
1.0211
112
112
11112
12
002
001
00001
01
000
zyxhzz
zyxhyy
hxx
zyxhzz
zyxhyy
hxx
hzyx
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Reemplanzado valores:
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Se tiene una solución aproximada en forma discreta:
n xn yn zn
0 1 1 2
1 1.1 1.4 2.2
2 1.2 1.87 2.401
''2*2/
''1*2/
''*2/'
''*2/'
221
21
1
21
21
1
nnnnnnnn
nnnnnnn
nn
nnnn
nnnn
nn
zyxhzyxhzz
zyhzyxhyy
hxx
zhhzzz
yhhyyy
hxx
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Si queremos mejorar la exactitud del resultado podemos usar un paso h mas pequeño o usar Taylor, por ejemplo de orden 2 sería:
211
211
112
112
1
1
1
2
12
1
,,
,,
,,
,,
llzz
kkyy
lzkyhxhgl
lzkyhxhfk
zyxhgl
zyxhfk
hxx
nn
nn
nnn
nnn
nnn
nnn
nn
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
También se puede hacer una adaptación del método de Runge-Kutta 2
Los problemas de valor inicial de mayor orden pueden ser transformados en un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden.
1-n
1-n
n
n
,,,,dt
yd
dt
dyytg
dt
yd
Ecuaciones Diferenciales orden Superior
Por ejemplo, sea la EDO de tercer orden:
Ecuaciones Diferenciales orden Superior
002
2
00
00
2
2
3
3
''
'
,,,
ytdt
yd
ytdt
dy
yty
dt
yd
dt
dyytg
dt
yd
La EDO de tercer orden se transforma en un sistema de 3 ecuaciones de primer orden:
Ecuaciones Diferenciales orden Superior
002
2
0
000
00
''
'
ytdt
ydtw
ytdt
dytz
yty
wzytgdt
dw
wdt
dz
zdt
dy
,,,
Considere una ecuación diferencial de segundo orden de un sistema de masa y resorte vibratorio
Las cond. iniciales son x(0) =x0 y x’(0) =0.
02
2
kxdt
dxc
dt
xdm
Ecuaciones Diferenciales orden Superior
Re-escribir la ecuación:
La primera derivada puede ser escrita:
x
m
k
dt
dx
m
c
dt
xd2
2
2
2
y dt
xddtdv
vdtdx
Ecuaciones Diferenciales orden Superior
La ecuación puede ser escrita como un conjunto de dos ecuaciones de primer orden.
Las condiciones iniciales: x(0) = x0 y v(0) = 0.
xm
kv
m
c
dt
dv
vdt
dx
Ecuaciones Diferenciales orden Superior
Sistemas de Valor Inicial Problemas
Las ecuaciones pueden ser definidas:
xm
kv
m
cvxtf
dt
dv
vvxtfdt
dx
,,
,,
2
1
Podemos aplicar Euler:
iii
iii
vxtftvdt
dvtvv
vxtftxdt
dxtxx
,,
,,
2ii1i
1ii
i1i
Sistemas de Valor Inicial Problemas
Diferenciales mayor-orden Problemas Ejemplo
Considere una ecuación diferencial de segundo orden para sistemas de masa-resorte vibrante.
Las condiciones iniciales son x(0) =0.2, x’(0) =0 y Dt = 0.02. (Solución Exacta = 0.2 cos(2t))
042
2
2
2
xdt
xdx
m
k
dt
xd
Problema EjemploLa ecuación puede ser escrita como un conjunto de dos ecuaciones de primer orden.
Las condiciones iniciales, x(0) = 0.2 y v(0) = 0.
xdt
dv
vdt
dx
4
Problema EjemploEl desarrollo del método de Euler.
t x v dx/dt dv/dt Valor exacto0 0,2 0 0 -0,8 0,2
0,02 0,2 -0,016 -0,016 -0,8 0,199840020,04 0,19968 -0,032 -0,032 -0,79872 0,199360340,06 0,19904 -0,04797 -0,0479744 -0,79616 0,198561730,08 0,198081 -0,0639 -0,0638976 -0,79232205 0,197445460,1 0,196803 -0,07974 -0,07974404 -0,78721024 0,19601332
0,12 0,195208 -0,09549 -0,09548825 -0,78083072 0,194267590,14 0,193298 -0,1111 -0,11110486 -0,77319166 0,192211090,16 0,191076 -0,12657 -0,12656869 -0,76430327 0,189847080,18 0,188544 -0,14185 -0,14185476 -0,75417777 0,187179360,2 0,185707 -0,15694 -0,15693831 -0,74282939 0,1842122
0,22 0,182569 -0,17179 -0,1717949 -0,73027433 0,180950330,24 0,179133 -0,1864 -0,18640039 -0,71653073 0,177398980,26 0,175405 -0,20073 -0,200731 -0,7016187 0,173563840,28 0,17139 -0,21476 -0,21476338 -0,68556022 0,169451020,3 0,167095 -0,22847 -0,22847458 -0,66837915 0,16506712
Problema Ejemplo
Ejemplo
Se puede observar un error que cada vez se irá incrementando.
Euler Example
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0 0.5 1 1.5 2
Time (t)
Dis
pla
cem
ent
x
v
actual value
ii1i
ii1i
4*
*
xtvv
vtxx
Las ecuaciones son definidas como funciones.
Las condiciones iniciales, x(0) = 0.2 and v(0) = 0.
xvxtfdt
dv
vvxtfdt
dx
4,,
,,
2
1
Problema Ejemplo
Los componentes de Runge-Kutta:
ki,j donde i es el paso y j es la función.
2,3i1,3ii11,4
2,2i1,2ii11,3
2,1i1,1ii11,2
iii11,1
,,*
2
1,
2
1,
2*
2
1,
2
1,
2*
,,*
kvkxttftk
kvkxt
tftk
kvkxt
tftk
vxtftk
2,3i1,3ii22,4
2,2i1,2ii22,3
2,1i1,1ii22,2
iii22,1
,,*
2
1,
2
1,
2*
2
1,
2
1,
2*
,,*
kvkxttftk
kvkxt
tftk
kvkxt
tftk
vxtftk
Problema Ejemplo
La actualización de un sólo paso:
Use los valores iniciales x(0) = 0.02 y v(0) = 0
2,42,32,22,1i1i
1,41,31,21,1i1i
*2*26
1
*2*26
1
kkkkvv
kkkkxx
Problema Ejemplo
Ejemplo Metodo de Runge-Kutta de 4th Orden
t x v k11 k12 k21 k22 k31 k32 k41 k42 Exacto
0 0,2 0 0 -0,016 -0,00016 -0,016 -0,00016 -0,01599 -0,00032 -0,016 0,20,02 0,19984 -0,016 -0,00031991 -0,0159872 -0,00047979 -0,01597 -0,00048 -0,01597 -0,000639 -0,016 0,19980,04 0,19936 -0,03197 -0,00063932 -0,01594883 -0,00079881 -0,01592 -0,0008 -0,01592 -0,000958 -0,016 0,19940,06 0,198562 -0,04788 -0,0009577 -0,01588494 -0,00111655 -0,01585 -0,00112 -0,01584 -0,001275 -0,016 0,19860,08 0,197445 -0,06373 -0,00127455 -0,01579564 -0,0014325 -0,01574 -0,00143 -0,01574 -0,001589 -0,016 0,19740,1 0,196013 -0,07947 -0,00158935 -0,01568107 -0,00174617 -0,01562 -0,00175 -0,01561 -0,001902 -0,016 0,196
0,12 0,194268 -0,09508 -0,00190162 -0,01554141 -0,00205704 -0,01547 -0,00206 -0,01546 -0,002211 -0,015 0,19430,14 0,192211 -0,11054 -0,00221085 -0,01537689 -0,00236461 -0,01529 -0,00236 -0,01528 -0,002516 -0,015 0,19220,16 0,189847 -0,12583 -0,00251653 -0,01518777 -0,00266841 -0,01509 -0,00267 -0,01508 -0,002818 -0,015 0,1898
xvxtfdt
dv
vvxtfdt
dx
4,,
,,
2
1
Los puntos tienen menos error que el método de Euler.
La aproximación depende del tamaño del paso del problema
4th order Runge Kutta Example
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5
Time (t)
Dis
plac
emen
t
v
x
actual value
Ejemplo Metodo de Runge-Kutta de 4th Orden
Sistemas de EDO - Problema Valor Inicial
Estas técnicas pueden trabajar con grandes sistemas de ecuaciones para realizar una serie de integraciónes del problema. Las ecuaciones se pueden solucionar como serie de EDOs.
0
0
12212
222
2
2
111
121
2
1
yykdt
dy
dt
dyc
dt
ydm
ykdt
dyc
dt
ydm
Dando un conjunto de valores iniciales, y1,y2,y’1 e y’2.
Sistemas de EDO - Problema Valor Inicial
122
212
2
22
22
11
11
1
11
11
yym
kvv
m
c
dt
dv
vdt
dy
ym
kv
m
c
dt
dv
vdt
dy
El problema es formado por 4 EDOs de primer orden con cuatro variables y condiciones iniciales.
Sistemas de EDO - Problema Valor Inicial
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2
2
1
1
1000
00
0010
v
y
v
y
m
c
m
k
m
c
m
k
m
c
m
k
dt
dvdt
dydt
dvdt
dy
El problema puede ser escrito en el formato matricial y solucionado por consiguiente
.
Sistemas de EDO - Problema Valor Inicial
Fuerzas pueden ser añadidas y fijadas para solucionar las ecuaciones.
tF
tF
v
y
v
y
m
c
m
k
m
c
m
k
m
c
m
k
dt
dvdt
dydt
dvdt
dy
22
11
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2
2
1
1
sin
0
sin
0
1000
00
0010
Sistemas de EDO - Problema Valor Inicial
Cuando las condiciones la EDO se dan por lo menos en algún punto diferente del valor inicial de la variable independiente.
Sistemas de EDO - Problema Valor Frontera
EI
xMy "
Condiciones de Frontera Condiciones Iniciales
y(0)=0 y(L)=0 y(0)=0 y’(0)=0
73
Método de Diferencias Finitas
Sea la ecuación diferencial ordinaria de segundo orden:
byay
bax
xryxqyxpy
,
'''
Dividiendo el intervalo en (n+1) partes iguales
111100
1210 21
nnnn
n
yxyyxyyxyyxy
bxhaxhaxaxn
abh
74
Método de Diferencias Finitas
Sean las fórmulas de diferenciación numérica para la primera y segunda derivada
211
11
2''
2'
h
yyyy
h
yyy
iiii
iii
75
Método de Diferencias Finitas
Reemplazando en la ecuación diferencial para cada nodo i=1, 2, …, n:
iiiiii xryxqyxpy '''
76
Método de Diferencias Finitas
Se tendrá un sistema de n ecuaciones con n incógnitas:
1
0
112
11
2
2
:1
n
iiiii
iiii
y
y
xryxqh
yyxp
h
yyy
niPara
77
Método de Diferencias Finitas
Agrupando:
1
0
21
21 2
122
1
:1
n
iiiiiii
y
y
xrhyxph
yxqhyxph
niPara
78
Método de Diferencias Finitas
Luego:
1
0
21
21
22
32222
12
12
21112
01
212
21
212
21
212
21
n
nnnnnnn
y
y
xrhyxph
yxqhyxph
xrhyxph
yxqhyxph
xrhyxph
yxqhyxph
79
Método de Diferencias Finitas
Expresado en forma matricial tenemos un sistema tridiagonal:
nn
n
n
n
nn
nn
xph
xrh
xrh
xrh
xph
xrh
y
y
y
y
xqhxph
xph
xqh
xph
xph
xqhxph
xph
xqh
21
21
22
100
212
02
10
212
21
002
12
2
12
22
112
1
2
1
2
112
3
222
2
112
80
Método de Diferencias Finitas
Ejemplo.- Resolver la siguiente ecuacion diferencial ordinaria:
y”-y’-2y=0 con condiciones de frontera: y(0)=0.1 e
y(0.5)=0.283. considere h=0.1.Solucion.-Discretización:
x0 x1 x2 x3 x4 X5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
y0 y1 y2 y3 y4 y5
0.1 ?? ?? ?? ?? 0.283
81
Método de Diferencias Finitas
Se usarán las siguientes fórmulas de diferenciación numérica:
211
11
2''
2'
h
yyyy
h
yyy
iiii
iii
Sea la ecuación diferencial para cada nodo “i”:
022
2
4:1
02'"
112
11
i
iiiii
iii
yh
yy
h
yyy
iPara
yyy
82
Método de Diferencias Finitas
Reemplazando para cada nodo:
022
2
022
2
022
2
022
2
435
2345
324
2234
213
2123
102
2012
yh
yy
h
yyy
yh
yy
h
yyy
yh
yy
h
yyy
yh
yy
h
yyy
83
Método de Diferencias Finitas
Teniendo en cuenta que: y0=0.1, y5=0.283 y h=0.1
02283.055283.0100200100
0255100200100
0255100200100
0251.051002001.0100
4343
342432
231321
1221
yyyy
yyyyyy
yyyyyy
yyyy
84
Método de Diferencias Finitas
Planteando y resolviendo el sistema tridiagonal:
2308.0
1879.0
1527.0
1238.0
885.26
0
0
5.10
20210500
952021050
095202105
0095202
4
3
2
1
4
3
2
1
y
y
y
y
y
y
y
y
85
Método del DisparoSea la ecuacion diferencial de segundo orden con condiciones de frontera:
Bbu
utu
uutgu
00
',,"
Consiste en transformar el problema de valor frontera en un problema de valor inicial, suponiendo una pendiente s, luego se desarrolla un método numérico para encontrar uN(s), se compara con B, si estos valores no son aproximados se sigue suponiendo pendientes hasta dar en el blanco B.
86
Método del Disparo
El problema de valor inicial resultante: stu
utu
uutgu
0
00
'
',,"
87
Método del Disparo
88
Método del Disparo
89
Método de Disparo
Ejemplo.- Resolver la siguiente ecuacion diferencial ordinaria:
y”-y’-2y=0 con condiciones de frontera: y(0)=0.1 e
y(0.5)=0.283. considere h=0.1.Solución.-
366.005.0
1.0283.0
283.0
5.0
0
00
xb
yBs
B
b
Luego debemos resolver el Problema de Valor Inicial:
90
Método de Disparo
366.00
1.00
2'
'
z
y
yzz
zy
Mediante un cambio de variable tendremos un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden:
El cual lo resolvemos por Runge-Kutta de orden 4, como se puede ver en la siguiente tabla:
Método de Disparo
Resultados mediante Runge-Kutta de orden 4:
i xi yi zi=y’i
0 0.0 0.1 0.36600
1 0.1 0.13966 0.42952
2 0.2 0.18643 0.50876
3 0.3 0.24204 0.60706
4 0.4 0.30861 0.72849
5 0.5 0.38867 0.87803
0s
05 sy
Método de DisparoCalculando una nueva pendiente aproximada s1:
i xi yi zi=y’i
0 0.0 0.1 0.15466
1 0.1 0.11736 0.19369
2 0.2 0.13901 0.24090
3 0.3 0.16587 0.29815
4 0.4 0.19905 0.36770
5 0.5 0.23991 0.45232
1s
15 sy
15466.0
05.0
38867.0283.0366.0
1
0
0501
s
xb
syBss
Método de DisparoMediante interpolación lineal obtenemos la tercera pendiente s3:
i xi yi zi=y’i
0 0.0 0.1 0.21588
1 0.1 0.12382 0.26200
2 0.2 0.15274 0.31849
3 0.3 0.18793 0.38763
4 0.4 0.23078 0.47221
5 0.5 0.28300 0.57564
2s
25 sy
21588.0
38867.023991.038867.0283.0
366.015466.0366.0
2
0515
050102
s
sysysyB
ssss
625 103 xBsy