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CAPÍTULO 6. SOLUCIÓN NUMÉRICA DE PROBLEMAS DEVALOR INICIAL PARA ECUACIONESDIFERENCIALES ORDINARIAS

INTRODUCCIÓN

Este capítulo se dedicará al estudio de algunos métodos numéricos para encontrar unaaproximación discreta de la solución ( )y t de un problema de valor inicial (P.V.I.) de primerorden, con solución única, del tipo

( )( )

=

≤≤=

inicial) (condición yty

Ttt ,y,tfdtdy

00

0 (6.1)

Los métodos numéricos que estudiaremos se podrán aplicar a sistemas de ecuacionesdiferenciales de primer orden con condiciones iniciales, con solución única, de la forma

( )

( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

===

=

≤≤=

=

inicial condición yty ,...,yty,yty

,y,...,y,y,tfdt

dy

Ttt ,y,...,y,y,tfdt

dy

,y,...,y,y,tfdt

dy

0,n0n0,2020,101

n21nn

0n2122

n2111

! (6.2)

En este caso se aplicará el método a cada ecuación del sistema.

Los métodos numéricos que veremos también se podrán aplicar a problemas generales den-ésimo orden con condición inicial, de solución única, de la forma

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )

==′=

≤≤′=≡

−

−

inicial condición yty ,...,yty ,yty

Ttt ,y,...,y,y,tfdt

ydy

0,n01n

0,200,10

01n

n

nn

(6.3)

Esta vez, para aplicar el método numérico, empezamos transformando el P.V.I. dado en unsistema equivalente del tipo (6.2), introduciendo las variables y y1 = , y y2 = ′ , y y3 = ′′ ,

, ( )y y d ydtn

nn

n= ≡−−

−1

1

1 . Derivando miembro a miembro cada una de estas últimas ecuaciones

con respecto a t, obtenemos el sistema equivalente

274 MÉTODOS NUMÉRICOS__________________________________________________________________________________

( )( ) ( ) ( ) ( )

====′

=′≤≤=′

=′

inicial condición yty,...,yty,yty ,y,...,y,y,tfy

,yy

Ttt ,yy ,yy

0,n0n0,2020,101

n21n

43

032

21

!

Existencia de solución: Será que todo P.V.I. de la forma (6.1) tiene una solución?

La respuesta es no, hay que imponer algunas condiciones sobre la función ( )f t y, , y aúnsatisfechas tales condiciones, es posible que la solución exista solamente en una vecindadde t0 . Como ejemplo, consideremos el P.V.I.

( )′ =

=

yt

y

1

1 1

La solución general de la ecuación diferencial ordinaria (E.D.O.) ′ =yt1 , es ( )y t t c= +ln , c

constante arbitraria. Para la condición inicial dada la solución del P.V.I. es ( )y t t= +ln 1 ,pero no hay solución para una condición inicial en t = 0.

Para el P.V.I.

( )′ = +

=

y yy

10 0

2

( )y t tant= es la solución, pero no está definida para t = ± ±π π2

32

, ,... . Así que la solución

es válida únicamente para −

π π2 2

, o cualquier intervalo contenido allí y que contenga al

número 0.

Con respecto a la existencia se tiene el siguiente teorema:

Teorema 6.1 Si ( )f t y, es continua en el rectángulo

( ){ }R = ≤ ≤ + − ≤t y t t t a y y b, / ,0 0 0

entonces existe un intervalo t t t0 0≤ ≤ + α en el cual existe una solución ( )y t del P.V.I.

( )( )′ =

=

y f t y

y t y

,

0 0

(Un resultado análogo se tiene para t t≤ 0 ). ∇∇∇∇

Capítulo 6. SOLUCIÓN NUMÉRICA DE P.V.I. PARA E.D.O. 275__________________________________________________________________________________

Unicidad de la solución: Puede que, aunque ( )f t y, sea continua, el P.V.I. (6.1) tenga másde una solución. Un ejemplo es el P.V.I.

( )′ =

=

y yy

13

0 0

para el cual ( )y t1 0≡ y ( )y t t2

322

3=

son soluciones.

Para asegurar que el P.V.I. (6.1) tiene una única solución en una vecindad de t t= 0 , se

requiere algo más que la continuidad de la función ( )f t y, . Una de las formas más usuales depresentar el teorema que garantice existencia y unicidad de solución del P.V.I. (6.1), es lasiguiente.

Teorema 6.2 Si ( )f t y, y ( )∂∂f t y

y, son continuas en un rectángulo

( ){ }R t y t t t a y y b= ≤ ≤ + − ≤, / ,0 0 0

entonces existe un intervalo t t t0 0≤ ≤ + α en el cual existe una única solución ( )y t delP.V.I.

( )( )′ =

=

y f t y

y t y

,

0 0 (6.4)

(Un resultado análogo se tiene para t t≤ 0 ). ∇∇∇∇

Para la demostración del teorema 6.2, se transforma el P.V.I. (6.4) en otro problemaequivalente, como se indica a continuación:

Supongamos que existe una función ( )y t que satisface (6.4), es decir,

( )( )dydt

f t y t= , y ( )y t y0 0=

Entonces integrando a ambos lados de la E.D.O. dada, se tiene

( ) ( )( )dy sds

ds f s y s dst

t

t

t

0 0

∫ ∫= ,

o sea

( ) ( ) ( )( )y t y t f s y s dst

t

= + ∫0

0

, (6.5)


Recíprocamente, si ( )ty satisface (6.5) y es continua, entonces derivando en (6.5), con

respecto a t, obtenemos ( )( )dydt

f t y t= , . Además es claro que ( )y t y0 0= .

Por lo tanto, ( )ty es una solución del P.V.I. (6.4) si y sólo si ( )ty es una solución continua dela ecuación integral (6.5).

Ahora, un método para probar que la ecuación integral (6.5) tiene una única solución, es elmétodo de aproximaciones sucesivas o iteraciones de Picard (Emilio Picard, matemáticofrancés (1856-1941)), el cual describimos a continuación:

Se inicia el método con una solución tentativa (aproximación inicial) de (6.5). La elecciónmás simple es

( )y t y0 0=

la cual satisface la condición inicial.

Ahora se calcula

( ) ( )( )y t y f s y s dst

t

1 0 0

0

= + ∫ ,

Si ( )y t y1 0= , entonces ( )y t y= 0 es una solución de (6.5). Si nó, se utiliza ( )y t1 como lasiguiente aproximación, y se calcula

( ) ( )( )y t y f s y s dst

t

2 0 1

0

= + ∫ ,

En general, calculada ( )y tn−1 , si ella no es solución de (6.5), se calcula la siguienteaproximación

( ) ( )( ) y ,n nt

t

t y f s y s ds= + −∫0 1

0

Las funciones ( )tyn son llamadas aproximaciones o iteraciones de Picard.

Se completa la prueba del teorema, demostrando que la sucesión ( ){ }y tn n converge

uniformemente, en un determinado intervalo, a una solución ( )y t de (6.5), y luego sedemuestra la unicidad de la solución. ∇∇∇∇

Ejemplo 6.1 Para ilustrar el método iterativo de Picard, consideremos el siguiente P.V.I.

( )′ =

=

y yy 0 1

en el cual ( )f t y y, = .


La ecuación integral equivalente, correspondiente al P.V.I. dado, es

( ) ( )y t y s dst

= + ∫10

Iniciamos las iteraciones tomando ( )y t0 1= . Entonces

( ) ( ) ( )y t y s ds ds t y tt t

1 00 0

01 1 1 1= + = + = + ≠∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )y t y s ds s ds t t y tt t

2 10 0

2

11 1 1 12

= + = + + = + + ≠∫ ∫

( ) ( ) ( )y t y s ds s s ds t t t t t t y tt t

3 20

2

0

2 3 2 3

21 1 12

12 2 3

12 3

= + = + + +

= + + +

×= + + + ≠∫ ∫ ! !

y en general,

( ) ( ) ( )y t y s ds s s sn

ds t t t tnn n

t nt n= + = + + + + +

−

= + + + + +−

−

∫ ∫1 1 12 1

12 31

0

2 1

0

2 3

!...

! ! !...

!

Sabemos que ...!

...!

+++++=nt

2tt1e

n2t , así que ( )lim y t e

n nt

→∞= , lo que indica que las

iteraciones de Picard convergen a la función ( )y t et= que es, claramente, la solución delP.V.I. dado. ♦

Con base en algunos detalles adicionales en la prueba del teorema anterior, dicho teoremapuede ser expresado en los siguientes términos:

Teorema 6.3 Si ( )f t y, y ( )∂∂f t y

y, son continuas en el rectángulo

( ){ }R t y t t t a y y b= ≤ ≤ + − ≤, ,/ 0 0 0

entonces el P.V.I.( )

( )′ =

=

y f t y

y t y

,

0 0

tiene una única solución ( )y t en el intervalo t t t0 0≤ ≤ + α , donde α =

Min a bM

, siendo

( )( )y,tfMáxM

Ry,t ∈= . ∇∇∇∇


Nota: Si en el teorema 6.3 se quita la condición ( )∂∂f t y

y,

continua, entonces sólo se puede

concluir la existencia de solución en el intervalo indicado.

Ejemplo 6.2 Considere el P.V.I.

( )( )′ = +

=

y y t

y

2 2

0 0

cos

y usemos el teorema 6.3 para demostrar que este P.V.I tiene una única solución en el

intervalo 0 12

,

. En efecto:

Sea ( )R t y t y b= ≤ ≤ ≤

, / ,0 12

, entonces ( ) ( )f t y y t, cos= +2 2 y ( )∂∂f t y

yy

,= 2 son

continuas en R .

Como ( )

( )( ) ( )M Max f t y Max y t b

t y R t y R= = + = +

∈ ∈, ,, cos2 2 2 1 , entonces para que

12

12 1 2= =

+

α Min bb

, se requiere que bb1

122+

≥ , pero dado que el máximo de la función

bb1 2+

es 12 y ocurre en 1b = , entonces el P.V.I. dado tiene solución única para

21t0 ≤≤ , y

aún más, en este intervalo ( )y t ≤ 1 ( porque b 1= ). ♦

El siguiente teorema es de tipo diferente al del teorema 6.3, y nos permite concluir existenciay unicidad de una solución de un P.V.I. de la forma (6.1) en un intervalo prescrito [ ]a b, .

Teorema 6.4 Si ( )f t y, es continua en la franja

( ){ }+∞<<∞−+≤≤= y ,attt/y,t 00D

y satisface una desigualdad( ) ( )f t y f t y L y y, ,1 2 1 2− ≤ − (6.6)

para todo ( ) ( )t y t y, , ,1 2 ∈ D y alguna constante L, entonces el P.V.I.

( )( )′ =

=

y f t y

y t y

,

0 0

tiene una única solución ( )y t en el intervalo [ ]t t a0 0, + . ∇∇∇∇


Si la función ( )f t y, satisface la desigualdad (6.6), decimos que ( )f t y, satisface una

condición de Lipschitz en la segunda variable y en D, y la constante L se llama constantede Lipschitz para la función ( )f t y, . ∇∇∇∇

La condición de Lipschitz se sigue si ( )∂∂f t y

y,

existe y está acotada en D. En general, se

tiene que: Si ( )∂∂f t y

y, está definida en un conjunto convexo D ⊆ R 2 y si existe una

constante L > 0 tal que ( )∂∂f t y

yL

,≤ para todo ( )t y, ∈ D , entonces ( )f t y, satisface una

condición de Lipschitz en D para la variable y con constante de Lipschitz L .

En efecto:

Fijemos t y sean cualesquiera ( ) ( )t y t y, , ,1 2 ∈ D . Entonces aplicando el teorema del valor

medio a la función ( )f t y, en la variable y, existe y3 entre y1 2 y y (aquí se necesita que Dsea convexo para garantizar la existencia de y3 entre y1 2 y y ) tal que

( ) ( ) ( )2121

321 yyLyy

yy,tfy,tfy,tf −≤−

∂∂

=−

Luego ( )f t y, satisface una condición de Lipschitz en la variable y con constante de LipschitzL . ∇∇∇∇

D ⊆ R 2 se dice convexo si siempre que ( ) ( )t y t y1 1 2 2, , , ∈ D , el punto

( ) ( )( )1 11 2 1 2− + − + ∈λ λ λ λ t yt y, D para 0 1≤ ≤λ , es decir, el segmento de recta que une

los puntos ( ) ( )t y t y1 1 2 2, , , ∈ D está totalmente contenido en D. ∇∇∇∇

Las demostraciones de los teoremas anteriores, pueden consultarse en un texto sobre teoríade ecuaciones diferenciales ordinarias.

Ejemplo 6.3 El P.V.I.

( )

y

dydt t

y t et= +

=

2

1 0

2

tiene solución única en el intervalo [ ]12, .

En efecto: Sea ( ){ }D = ≤ ≤ − ∞ < < +∞ / t y t y, ,1 2 . Entonces ( )f t yt

y t et, = +2 2 es

continua en D, y como


( ) ( )

( )

f

y y

t y f t yt

y t et

y t e

ty y

ty y

t t, ,1 2 12

22

1 2 1 2 1 2

2 2

2 2 2

− = + − −

= − = − ≤ − , para todo ( ) ( )t y t y, , ,1 2 ∈ D .

entonces ( )f t y, satisface la condición de Lipschitz con constante de Lipschitz L = 2 .Observe que esta vez fue fácil verificar la condición de Lipschitz.

Como el dominio ( ){ }D = ≤ ≤ − ∞ < < +∞ / t y t y, ,1 2 es un conjunto convexo de R 2 , otra

forma de concluir sobre la condición de Lipschitz en la segunda variable y en D es

estudiando ( ) D en yy,tf

∂∂ .

Como ( )t2

yy,tf =

∂∂ está definida en D y

( ) L212

t2

yy,tf ==≤=

∂∂ para todo ( )t y, ∈ D

entonces ( )f t y, satisface una condición de Lipschitz en la variable y con constante deLipschitz L = 2 .

Cuál es la única solución del P.V.I. dado?

dydt t

y t e dydt t

y t et t=

+ ⇔ + −

=2 22 2 : ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden

con coeficientes variables.

( ) ( )µ t e e e tt

xdx

t

t

= = = = =−

− −∫ −

2

2 22

2 1 tln ln es un factor integrante para la E.D.O. dada.

Multiplicando a ambos lados de dicha E.D.O. por 12t

, obtenemos

1 2 12 3 2t

dydt t

y e ddt t

y et t− = ⇔

=

Luego12t

y e dxxt= ∫

o sea12t

y e ct= + , c constante arbitraria

Por tanto la solución general de la E.D.O. dydt t

y t et= +2 2 , es


( )y t e ct= +2 c, constante arbitraria

Como ( ) ( )y e c1 1 02 1= + = , entonces c e= − , y así ( ) ( )y t t e et= −2 es la única solución del

P.V.I. dado. ♦


( )′ = ≤ ≤

=

y y ty

2 0 10 0

12 ,

tiene soluciones ( ) ( )y t t t120≡ = y y2 (Verifíquelo). Por qué no contradice este hecho el

teorema 6.4? ♦


( ) y 0

′ = − ≤ ≤=

−y y e tt100 101 0 11

,

tiene solución ( )y t e t= − (Verifíquelo). El problema perturbado

( ) y 0

′ = − ≤ ≤= +

−y y e tt100 101 0 11

,ε

en el cual sólo se ha modificado la condición inicial en ε , tiene solución ( )y t e t t;ε ε= +− e100

(Verifíquelo). Es claro que la solución del problema perturbado y del problema originalpueden diferir mucho, aún para valores pequeños de ε. ♦

Los métodos numéricos que estudiaremos nos permitirán obtener valores aproximados de lasolución ( )y t de un P.V.I. de la forma

( )( )

=≤≤=′

00

0

ytyTtt ,y,tfy (6.7)

en puntos igualmente espaciados. Es decir, un método numérico de los que estudiaremosnos permitirá obtener una aproximación discreta de la solución del P.V.I. dado (método devariable discreta), ésto es, tomaremos valores t t t Tm0 1, ,..., = igualmente espaciados,digamos que m,...,1,0k ,hktt 0k =+= , y calcularemos, con la ayuda del método numérico,un valor Yk , el cual va a ser considerado como una aproximación del valor de la solución

exacta ( )y t en tk , es decir, ( )Y y t mk k≈ =, , ,..., k 01 . Luego lo que realmente obtendremosserá una tabla de valores de la forma


0t 1t 2t ... t Tm =

Y0 Y1 Y2 ... Ym

TABLA 6.1

Para una tabla como la anterior podremos hacer una interpolación segmentaria cúbica u otrotipo de aproximación para obtener una solución aproximada continua del P.V.I. dado.

En este contexto los números m,...,1,0k ,hktt 0k =+= , se llamarán puntos de red, y elnúmero h se llamará tamaño de paso.

En lo que sigue la solución única del P.V.I. (6.7) la notaremos ( )ty φ= .

Nuestro primer paso en un método numérico es determinar 1Y a partir de ( ) 00 Yt =φ(condición inicial) y de ( ) ( )( ) ( )00000 y,tft,tft =φ=φ′ (obtenida de la ecuación diferencial

( )y,tfdtdy = ); conocido 1Y determinamos 2Y y así sucesivamente. Para determinar 2Y

podemos usar el mismo método que lleva de Y0 a Y1 o podemos aplicar un métododiferente en el cual se use el conocimiento de Y0 y Y1 .

Los métodos numéricos que sólo requieren del conocimiento de Yk para determinar Yk+1 , esdecir, Yk+1 depende únicamente de Yk , y el conocimiento de los valores aproximadosY Y Yk k− −1 2 0, ,..., no se usa, se conocen como métodos de un escalón, de un paso o dearranque. Si para calcular Yk+1 se usan dos o más valores previamente calculados,digamos por ejemplo Yk , Yk−1 , Yk−2 , el método se dice método de varios escalones,multipaso o prolongado.

Es claro que si se va a usar un método prolongado que comprenda Yk y Yk−1 , debe usarseun método de arranque en el primer paso para determinar 1Y , y entonces se usa el métodoprolongado para determinar Y Y2 3, ,... .

Observe la FIGURA 6.1 siguiente, donde aparece la gráfica de la solución exacta ( )y t= φ de

un P.V.I. del tipo (6.7) y los puntos ( )t Y mk k, , , ,..., k = 01 .


FIGURA 6.1

Una solución aproximada obtenida por un método numérico puede no darnos una buenainformación acerca del comportamiento de la solución exacta. Por una parte se tiene elproblema de la convergencia del método: A medida que la distancia entre los puntost m0 1, ,..., t t tiende a cero, los valores de la solución numérica Y Y Ym0 1, ,..., se aproximan alos correspondientes valores de la solución exacta? También está el problema de laconsistencia y la estabilidad del método numérico.

Estos temas no serán tratados aquí, pero pueden ser consultados en Kincaid, 1972, capítulo8.

Aquí nos preocuparemos del error de fórmula asociado con el método numérico usado paracalcular los valores Y Y Ym0 1, ,..., .

Antes de estudiar algún método numérico consideremos las siguientes notaciones.

Notación: La solución exacta del P.V.I., con solución única,

( )( )

=

≤≤=

00

0

yty

Ttt ,y,tfdtdy

se denotará por ( )y t= φ , como ya se había indicado.

Para un método numérico dado, los símbolos ( )Y Y f t Yk k k k, , ′ = denotarán los valoresaproximados (obtenidos mediante la aplicación del método numérico) de la solución exacta ysu derivada, respectivamente, en el punto de red tk , es decir, ( )Y tk k≈ φ , y


( ) ( )( ) ( )′ = ≈ = ′Y f t Y f t t tk k k k k k, ,φ φ . Es claro que ( )φ t Y0 0= , pero en general,

( )φ t Yk k≠ ≥, k 1, del mismo modo ( ) ( )′ = ′ =φ t Y f t Y0 0 0 0, , pero en general ( )′ ≠ ′ ≥φ t Yk k , k 1.

En cualquiera de los métodos numéricos que estudiaremos, usaremos siempre un mismoespaciamiento o tamaño de paso h sobre el eje t, así que

t t kh mk = + =0 0 1, , ,..., k

6.1 MÉTODO DE EULER O DE LA RECTA TANGENTE

Este es un método de un paso para obtener valores aproximados de la solución ( )ty φ= deun P.V.I., con solución única,

( )( )

=

≤≤=

00

0

yty

Ttt ,y,tfdtdy

y hace uso de la recta tangente.

Como se conocen t0 , ( )Y t0 0= φ y ( ) ( )( ) ( ) ′ = ′ = =Y t f t t f t Y0 0 0 0 0 0φ φ, , , también se conoce la

pendiente de la recta tangente a la curva solución ( )y t= φ en t0 , y obtenemos un valor

aproximado Y1 de ( )φ t1 moviéndonos a lo largo de dicha recta tangente desde t0 hacia t1(ver la FIGURA 6.2).

Como

( )Y Yt t

t1 0

1 00

−−

= ′φ

entonces despejando Y1 de la ecuación anterior, se obtiene

( ) ( )( ) ( )

Y Y t t t

Y t t f t Y1 0 1 0 0

0 1 0 0 0

= + − ′

= + −

φ

,

Una vez determinado Y1 , podemos calcular ( )′ =Y f t Y1 1 1, que es un valor aproximado de

( ) ( )( )′ =φ φt f t t1 1 1, : pendiente de la recta tangente a la curva solución exacta en el punto t1 .Usando esta aproximación de la pendiente, obtenemos

Y Yt t

Y2 1

2 11

−−

= ′

y despejando Y2 , obtenemos

( )( ) ( )

Y2 1 2 1 1

1 2 1 1 1

= + − ′

= + −

Y t t Y

Y t t f t Y,


FIGURA 6.2

En general, conocido ( )Y tk k≈ φ , obtenemos ( )Y tk k+ +≈1 1φ mediante la fórmula

( ) ( ) Yk k k k k kY t t f t Y+ += + −1 1 ,

y como el tamaño de paso h entre los puntos de red t t tm0 1, ,..., es uniforme, entoncest t hk k+ = +1 , y obtenemos la fórmula de Euler:

( )

( )( )

tyyY

1m,...,1,0k ,Y,thfYY

000

kkk1+k

==

−=+=

Algoritmo 6.1 (Euler) Para encontrar una aproximación discreta de la solución del P.V.I., consolución única,

( )( ) ( )( )

==≤≤=′

000

0

tyyty Ttt ,y,tfy

en m+1 números igualmente espaciados a partir del número inicial t0 :

Entrada: La función ( )f t y, , los valores iniciales t0 y y0 , un entero m y el tamaño de paso h.

Salida: Aproximación Y de la solución ( )y t en los m+1 puntos t t t h t t mhm0 1 0 0, ,...,= + = + .Paso 1: Hacer t t y= =0 0, Y .


Salida: ( )t Y, .

Paso 2: Para k m= 12, ,..., , seguir los pasos 3 y 4:

Paso 3: Hacer ( )Y Y hf t Y= + , (calcula Yk )t t kh= + (Calcula tk )

Paso 4: Salida: ( )t Y, .

Paso 5: Terminar.

Ejemplo 6.6 Consideremos el P.V.I. con solución única

( )

=

≤≤+=

01y

2t1 ,etyt2

dtdy t2

Usando la fórmula de Euler con tamaño de paso h = .1, determinemos un valor aproximadode la solución ( )y t= φ en t = 12. .

Solución: Como h = .1, entonces t0 1 210 11 12= = =. . ., t , t , así que necesitamos calcular

Y2 . En este ejemplo ( )f t yt

y t et, = +2 2 , por lo tanto

( ) ( )Y t0 0 1 0= = =φ φ

( )( )

( )( )

Y Y hf t

f1 0 0 0

0 1 10 0

1 2 718282

2718282 11

= +

= +

=

= ≈

,Y

,

. .. .. .φ

( )( )

( )

Y Y hf t Y

f2 1 1 1

2718282 1 11 2718282

6847556 12

= +

= +

= ≈

,

,

. . . .

. .φ

Como la solución exacta del P.V.I. dado es ( ) ( )φ t t e et= −2 , entonces el valor exacto de

( )φ 12. es ( ) ( ) ( )φ 12 12 86664252 12. . ..= − =e e , con lo cual el error real en la aproximación

calculada es

( ) φ 12 8666425 6847556 18188692. . . .− = − =Y

lo que no asegura alguna cifra decimal exacta de precisión en la aproximación de ( )φ 12. .


Si reducimos el tamaño de paso a la mitad, es decir, tomamos h = .05 , entonces paraaproximar ( )φ 12. , debemos tomar t0 1 2 3 4100 105 110 115 120= = = = =. . . . ., t , t , t , t , así quedebemos calcular Y4 .

Y0 0=

( )( )

( )

Y Y hf t Y

f1 0 0 0

0 05 100 0

1359141 105

= +

= +

= ≈

,

,

. .. .φ

( )( )

( )

Y Y hf t Y

f2 1 1 1

1359141 05 105 1359141

3063863 110

= +

= +

= ≈

,

,

. . . .

. .φ

( )( )

( )

Y Y hf t Y

f3 2 2 2

3063863 05 110 3063863

5159917 115

= +

= +

= ≈

,

,

. . . .

. .φ

( )( )

( )

Y Y hf t Y

f4 3 3 3

5159917 05 115 5159917

7696960 120

= +

= +

= ≈

,

,

. . . .

. .φ

Obsérvese que el error real es ahora . . .8666425 7696960 0969466− = , que esaproximadamente igual a la mitad del error en t = 12. , con h = .1, así que el valor obtenidodisminuyendo el tamaño de paso, h, es una mejor aproximación del valor exacto ( )φ 12. . Sise sigue disminuyendo el tamaño de paso se obtienen mejores resultados. Hasta dónde sepuede disminuir el tamaño de paso de modo que los resultados numéricos obtenidos todavíasean útiles? La respuesta a esta pregunta la da el estudio de la región de estabilidadabsoluta del método de Euler, pero este tema no será estudiado aquí. Hay otrosprocedimientos que darán resultados mas satisfactorios sin usar un tamaño de paso muypequeño.

Si usamos tamaño de paso h =.05 , los valores aproximados de la solución exacta en lospuntos de red

t5 6 7 8 9 10 11 13125 130 135 140 145 150 155 160 165= = = = = = = = =. . . . . . . . ., t , t , t , t , t , t , t , t12

t , t , t , t , t , t , t1914 15 16 17 18 20170 175 180 185 190 195 2 00= = = = = = =. . . . . . .

se dan en la TABLA 6.2. La gráfica de la FIGURA 6.3, muestra la curva( ) ( )y t t e et= −2 , solución del problema de valor inicial del ejemplo 6.1, y los puntos

( )t ,Y , k 0,1,...,20k k = correspondientes a las aproximaciones calculadas por el método deEuler con h t= ≤ ≤ para . . .05 10 2 0 .


k tk Yk ( )y tk Error

5 1.25 1.0728858 1.2063456 .13345986 1.30 1.4313997 1.6072151 .17581547 1.35 1.8515629 2.0760894 .22452658 1.40 2.3402236 2.6203596 .28013609 1.45 2.9047920 3.2480107 .343218710 1.50 3.5532824 3.9676663 .414383911 1.55 4.2943579 4.7886350 .494277112 1.60 5.1373786 5.7209615 .583582913 1.65 6.0924530 6.7754803 .683027314 1.70 7.1704927 7.9638735 .793380815 1.75 8.3832717 9.2987326 .915460916 1.80 9.7434894 10.7936247 1.050135317 1.85 11.2648372 12.4631628 1.198325618 1.90 12.9620715 14.3230815 1.361010019 1.95 14.8510897 16.3903179 1.539228220 2.00 16.9490133 18.6830971 1.7340838

TABLA 6.2

En esta tabla el error k-ésimo es ( )y t Yk k− . ♦

Instrucción en DERIVE:

EULER( ( )f t y t y t y h m, , , , , , ,0 0 ): aproXima los valores Y Y Ym0 1, ,..., obtenidos al aplicar el

método de Euler al P.V.I. ( )

( )

dydt

f t y

y t y

=

=

,

0 0

, con m pasos de tamaño h. Si se grafica la matriz

resultante al aplicar el método de Euler, se visualiza un conjunto de puntos que aproxima lacurva solución del P.V.I. dado. Para el ejemplo anterior, aproXime la expresión

EULER( 2 1 0 0 05 202

ty t t t y+ exp( ), , , , , ,. ). ◊◊◊◊

Otra forma de deducir la fórmula del método de Euler par encontrar una aproximación de lasolución ( )y t= φ del P.V.I. con solución única

( )( )

=

≤≤=

00

0

yty

Ttt ,y,tfdtdy

es usando el desarrollo en serie de Taylor para la función ( )y t= φ .

Supongamos que la función ( )y t= φ tiene un desarrollo en serie de Taylor alrededor delpunto tk , entonces


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) φ φ φ φ φ φ ξt h

tt h t h t h

nt h

nk

k

k k k

nn

k

nn

k+ = + ′ + ′′ + + ++

+

++

1

2 11

2 1"#$ %$ !...

! !

o bien

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) φ φ φ φ φ φ ξt t hf t t h t h

nt h

nk k k k k

nn

k

nn

k+

++= + + ′′ + + +

+1

2 11

2 1,

!...

! !

con ξk algún número entre t t hk k k y t + = +1 .

FIGURA 6.3

Si la serie de Taylor se termina después de los dos primeros términos, y ( )φ tk+1 , ( )φ tk sereemplazan por sus valores aproximados Yk+1 y Yk , respectivamente, se obtienenuevamente la fórmula de Euler

( )Y Y hf t Yk k k k+ = +1 ,

Si se conservan más términos de la serie de Taylor se obtiene una fórmula más precisa.

También podemos obtener la formula de Euler integrando a ambos lados de la ecuación( ) ( )( )′ =φ φt f t t, con respecto a t entre tk y tk+1


( ) ( )( )′ =+ +

∫ ∫φ φt dt f t t dtt

t

t

t

k

k

k

k1 1

,

lo que nos da

( ) ( ) ( )( )

( )

φ φ φt t f t t dtk kt

t

k

k

+ − =

∗

+

∫1

1

,

" #$ %$$

y aproximamos la integral ( )∗ reemplazando ( )( )f t t,φ por su valor en t tk= , ( )( )f t tk k,φ . LaFIGURA 6.4 muestra la situación gráfica correspondiente a la aproximación de la integral.

FIGURA 6.4

Entonces( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( )( )φ φ φ

φ φ

t t f t t t t

t hf t tk k k k k k

k k k

+ +≈ + −

= +

1 1,

,

y reemplazando ( )φ tk+1 y ( )φ tk por sus valores aproximados Y Yk k+1 y , respectivamente,obtenemos

( )Y Y hf t Yk k k k+ = +1 ,

Error en la fórmula de Euler: Supongamos que la solución ( )y t= φ del P.V.I. con soluciónúnica

( )( )

=

≤≤=

00

0

yty

Ttt ,y,tfdtdy

tiene segunda derivada continua en el intervalo de interés, lo cual es equivalente a que

( ) ( ) ( ) ( ) ( )f t yf t y

tf t y

f t yy

f t yt y, ,,

, ,,

, ∂

∂∂

∂≡ ≡ son continuas en la región de interés, pues

( ) ( )( ) ′ =φ φt f t t,

y entonces


( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )

′′ = + ′

= +

φ φ φ φ

φ φ φ

t f t t f t t t

f t t f t t f t tt y

t y

, ,

, , ,

Usando la fórmula de Taylor con residuo para ( )φ t alrededor de tk , obtenemos

( ) ( ) ( )( )( )

( )φ φ φ

φ

φ ξt h

t

t h t

f t t

hk

k

k k

k k

k+ = + ′ + ′′

+1

2

2"#$ %$ "#%

,!

donde ξk es algún número entre tk y t t hk k+ = +1 , y entonces

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]

( )[ ] ( )( ) ( )[ ] ( )

φ φ φ φ ξ

φ φ φ ξ

t Y t hf t t h Y hf t Y

t Y h f t t f t Y h

k k k k k k k k k

k k k k k k k

+ +− = + + ′′

− +

= − + − + ′′

1 1

2

2

2

2

, ,

, ,

Si suponemos que en el paso k-ésimo ( )Y tk k= φ (para poder cuantificar el cambio al pasarde tk a tk+1), entonces el error local debido a la aplicación de la fórmula de Euler en el pasode tk a tk+1, es

( ) ( ) , k = 0,1,...,m 1 ∈ = − = ′′ −+ + +k k k kt Y h1 1 1

2

2φ φ ξ

El error acumulado (total) ET debido a la aplicación de la fórmula de Euler desde 0t hastaTtm = , es decir, la acumulación de todos los errores locales al aplicar la fórmula de Euler en

todo el intervalo [ ]t t Tm0, = , es

( )( )

( ) [ ]

( ) [ ]

( ) [ ]

E con

con

con

T kk

m

kk

mh h m t T

h T tm

m t T

h T t t T

= ∈ = ′′ =∗

′′ ∈

=−

′′ ∈

=−

′′

∈

+=

−

=

−

∑ ∑10

1 2

0

1 2

0

00

00

2 2

2

2

φ ξ φ ξ ξ

φ ξ ξ

φ ξ ξ

,

,

,

(La explicación de la igualdad ( )∗ se debe a la aplicación del teorema del valor intermediopara funciones continuas)

Si [ ]

( )M Max tt t tm

= ′′∈ 0,

φ (recuerde que estamos asumiendo que ( )′′φ t es continua en [ ]t tm0, ),

entonces ∈ ≤+k h M1

2

2 y M

2tThE 0

T−

≤ para cualquier tamaño de paso h, es decir,

( )∈ =+k O h12 , y ( )E O hT = .

El problema es estimar M; sin embargo observe que M no depende de h, así que si h sereduce a la mitad, la cota del error total se reduce también a la mitad, es por esto que


reduciendo el tamaño de paso h, se reduce el error total (recuerde que t Tm = y m es el

número de pasos necesarios para alcanzar el valor T iniciando en t0 , es decir, m T th

=− 0 ).

En general se tiene que: si el error local en un método numérico es ( )O hn+1 , entonces el

error total es ( )O hn , ya que si

k independiente de h∈ ≤ =+k

nCh m con C 1 12, , ,...,

entonces

E Ch mChT kk

m

kk

mn

k

mn= ∈ ≤ ∈ ≤ =

= =

+

=

+∑ ∑ ∑1 1

1

1

1

pero m t th

T tm

m=−

=−0 0 , así que

( ) E h T tm

mC h T t CTn n≤

−= −0

0

lo que significa que ( )E O hTn= . ∇∇∇∇

Otro tipo de error que está presente en los cálculos numéricos es el error de redondeo y sedebe, como ya se ha mencionado antes, a la limitación en la precisión de la herramienta decálculo. El error de redondeo local en un método numérico es el error en cada etapadebido a la herramienta de cálculo y el error de redondeo global o total es la acumulaciónde los errores locales. El error total es la suma del error global debido a la fórmula y el errorde redondeo global.

Si el error total debido a la fórmula (error de truncamiento total) en un método numérico es

( )E O hTn= , el método numérico se dice de orden n.

De acuerdo con esta definición el método de Euler es de orden uno.

Apliquemos el método de Euler a cada una de los problemas de valor inicial de los ejemplos6.7 y 6.8.

Ejemplo 6.7 Para el P.V.I., con solución única,

( )

y

′ = + ≤ ≤

=

−y t e ttsen , 0 1

0 0


los resultados obtenidos al aplicar el método de Euler con h =.1 , para resolver el P.V.I. dadoen el intervalo [ ]01, , se muestran en la TABLA 6.3 siguiente.


0 0 0 0 01 .1 .1000000 .1001584 1584 10 4. × −

2 .2 .2004671 .2012027 7 356 10 4. × −

3 .3 .3022071 .3038453 16382 10 3. × −

4 .4 .4058409 .4086190 2 7781 10 3. × −

5 .5 .5118148 .5158868 4 072 10 3. × −

6 .6 .6204104 .6258527 5 4423 10 3. × −

7 .7 .7317558 .7385725 6 8167 10 3. × −

8 .8 .8458361 .8539643 8 1282 10 3. × −

9 .9 .9625046 .9718204 9 3158 10 3. × −

10 1.0 1.0814943 1.0918183 .0103240TABLA 6.3

El error k-ésimo que aparece en la TABLA 6.3 corresponde al error total, es decir, a la sumadel error debido a la fórmula y el error de redondeo. La solución exacta del problema devalor inicial dado es ( )y t t e t= − − +−cos 2 . La gráfica de la solución exacta y los puntos

( )t Yk k, obtenidos al aplicar el método de Euler se muestran en la FIGURA 6.5 siguiente. ♦

FIGURA 6.5

Ejemplo 6.8 El P.V.I. dado es

( )( )

,

y 1

′ = + ≤ ≤

= −

yt

y y t1 1 3

2

2


y se pide aproximar su solución exacta ( )y t tt

=−2

1 2 en el intervalo [ ]13, , usando el método

de Euler con tamaño de paso h =.2 .

Los resultados de los cálculos se muestran en la TABLA 6.4 siguiente, y la FIGURA 6.6muestra la gráfica de la solución exacta y los puntos ( )t Yk k, correspondientes a lasaproximaciones calculadas. ♦

k tk Yk

0 1.0 −2 0.1 1.2 −16.2 1.4 −144.3 1.6 −13494857.4 1.8 −12905325.5 `2.0 −12488723.6 2.2 −12177913.7 2.4 −11936800.8 2.6 −11744140.9 2.8 −11586575.10 3.0 −11455268.

TABLA 6.4

FIGURA 6.6


6.2 UN MÉTODO DE EULER MEJORADO

Considere el P.V.I. bien planteado( )

( ) t,y

y

′ =

=

y f

t y0 0

Suponiendo que ( )y t= φ es la solución exacta de este P.V.I. se tiene que ( ) ( )( )′ =φ φt f t t, eintegrando a ambos lados con respecto a t, desde tk a tk+1, obtenemos

( ) ( ) ( )( )( )

φ φ φt t f t t dtk kt

t

k

k

+

∗

= ++

∫1

1

,

" #$ %$$

Si aproximamos ahora la integral (∗ ) de manera más exacta a la aproximación que se hizo enel método de Euler, aproximando el integrando por la media aritmética de sus valores en losextremos del intervalo (regla de los Trapecios, ver la FIGURA 6.7), es decir, por

( )( ) ( )( ){ }12 1 1f t t f t tk k k k, ,φ φ+ + +

obtenemos

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ){ }φ φ φ φt tt t

f t t f t tk kk k

k k k k++

+ +≈ +−

+11

1 12, ,

FIGURA 6.7


Reemplazando ( )φ tk por Yk y ( )φ tk k+ +1 1 por Y , en la relación anterior, y escribiendo el

resultado como una ecuación, obtenemos

( ) ( )[ ]Y Y h f t Y f t Yk k k k k k+ + += + +1 1 12, , (6.8)

Como la incógnita Yk+1 aparece como uno de los argumentos en el segundo miembro de laecuación (6.8) (en este caso el método se dice implícito), lo que hará, por lo general, difícilde resolver esta ecuación para Yk+1 , reemplazamos Yk+1 en el segundo miembro de laecuación (6.8) por el valor que se obtuvo usando la fórmula de Euler sencilla (el método seconvierte en explícito), con lo que obtenemos

( ) ( )( )[ ]( )( )

tyyY

1m0,1,...,=k , Y,thfY,tfY,tf2hYY

000

kkk1kkkk1k

==

−+++= ++ (6.9)

o equivalentemente

( )

( ) ( )[ ]( )( )

tyyY

Y,tfY,tf2hYY

1m,...,1,0k Y,thfYY

000

1k1kkkk1k

kkk1k

==

++=

−=+=

∗+++

∗+

(6.10)

La ecuación (6.9) o la ecuación (6.10) dan una fórmula para calcular ( )Y tk k+ +≈1 1φ entérminos de los datos en tk , y se conoce como fórmula de Euler mejorada o métodopredictor-corrector de Euler.

Es mejorada, respecto a la fórmula de Euler sencilla, porque se puede demostrar que elerror local de fórmula es, en este caso, ( )O h3 como en la regla de los Trapecios, mientras

que en el de Euler es ( )O h2 , y el error total de fórmula es ( )O h2 , mientras que en Euler es

( )O h . De acuerdo con lo anterior, la fórmula de Euler-mejorada es de orden dos.

Observe que en la fórmula de Euler mejorada se obtiene una mayor exactitud a expensas deun trabajo de cálculo mayor, ya que para ir de tk a tk+1 hay que evaluar dos veces la función( )f t y, .

Ejemplo 6.9 Consideremos el mismo P.V.I del ejemplo 6.6

( )

=

≤≤+=′

01y

2t1 ,etyt2y t2


y usemos el método de Euler mejorado para aproximar ( )φ 12. , donde ( )y t= φ es soluciónexacta del P.V.I. dado.

Si h =.1, entonces t0 1 210 11 12= = =. . ., t y t , así que debemos calcular Y2 .

( ) ( )Y y t y0 0 1 0= = =

( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )

φ≈=++=++=

==+=+=

∗

∗

113423778 2718282 ,11f0 ,01f210Y,tfY,tf

2hYY

2718282 e1 0 ,01f1 0Y,thfYY

110001

0001

......

....

( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( )

Y Y hf t Y f

Y Y h f t Y f t Y f f

2 1 1 1

2 1 1 1 2 2

3423778 1 11 3423778 7681324

23423778 1

211 3423778 12 7681324

8583146 12 8666425

∗

∗

= + = + =

= + + = + +

= ≈ =

, ,

, , , ,

. . . . .

. . . . . .

. . .φ

El error real es ( )y Y12 8 3279 10 5 1023 2. .− = × < ×− − , lo que asegura una precisión de la

primera cifra decimal exacta en la aproximación obtenida (8).

Para h = .05 , se obtienen los resultados que se muestran en la TABLA 6.5.

De acuerdo con los resultados que aparecen en la TABLA 6.5, el valor calculadoY4 8642907=. aproxima al valor exacto ( )y 12 8666425. .= con dos cifras decimales exactas.

La FIGURA 6.8 muestra la gráfica de la solución del P.V.I. del ejemplo 6.9, junto con lospuntos ( )t Yk k, correspondientes a las aproximaciones obtenidas usando el método de Eulermejorado, y que aparecen en la TABLA 6.5.

Compare los resultados obtenidos por el método de Euler mejorado con los obtenidos por elmétodo de Euler. Se observa alguna relación en los cálculos numéricos con respecto a losresultados teóricos esperados? ♦

Ejemplo 6.10 Para el P.V.I.

( ) sent , y

′ = + ≤ ≤=

−y e tt 0 10 0

si usamos el método de Euler mejorado con tamaño de paso h =.1 para resolver este P.V.I.,en el intervalo indicado, se obtienen los resultados que se muestran en la TABLA 6.6. Lagráfica de la solución exacta de este P.V.I., ( )y t e t= − − +−cost 2 , junto con los puntos


( )t Yk k, corespondientes a las aproximaciones calculadas que aparecen en la TABLA 6.6, semuestran en la FIGURA 6.9.


0 1.00 0 0 01 1.05 .1531932 .1536546 4 614 10 4. × −

2 1.10 .3449150 .3459199 10049 10 3. × −

3 1.15 .5801485 .5817824 16339 10 3. × −

4 1.20 .8642907 .8666425 2 3518 10 3. × −

5 1.25 1.2031831 1.2063455 3 1624 10 3. × −

6 1.30 1.6031459 1.6072151 4 0692 10 3. × −

7 1.35 2.0710137 2.0760894 5 0757 10 3. × −

8 1.40 2.6141742 2.6203596 6 1854 10 3. × −

9 1.45 3.2406089 3.2480107 7 4018 10 3. × −

10 1.50 3.9589377 3.9676663 8 7286 10 3. × −

11 1.55 4.7784656 4.7886350 .010169412 1.60 5.7092339 5.7209615 .011727613 1.65 6.7620734 6.7754803 .013406914 1.70 7.9486627 7.9638735 .015210815 1.75 9.2815897 9.2987326 .017144316 1.80 10.7744178 10.7936247 .019206917 1.85 12.4417567 12.4631628 .021406118 1.90 14.2993372 14.3230815 .023744319 1.95 16.3640929 16.3903179 .029086120 2.00 18.6542453 18.6830971 .0288518

TABLA 6.5


( )( )

,

y

′ = + ≤ ≤

= −

yt

y y t1 1 3

1 2

2

al usar el método de Euler mejorado con tamaño de paso h =.2 para resolver este P.V.I. enel intervalo indicado, se obtienen los resultados que aparecen en la TABLA 6.7 .

La FIGURA 6.10 muestra la gráfica de la solución exacta de este P.V.I., junto con los puntos( )t Yk k, , correspondientes a las aproximaciones obtenidas al aplicar el método de Eulermejorado y que aparecen en la TABLA 6.7. ♦


FIGURA 6.8

k tk Yk

0 0 01 .1 .10023352 .2 .20133713 .3 .30402404 .4 .40882795 .5 .51611266 .6 .62608317 .7 .73879608 .8 .85417049 .9 .991999410 1.0 1.0919618

TABLA 6.6

6.3 MÉTODO DE LOS TRES PRIMEROS TÉRMINOS DE LA SERIE DE TAYLOR

Si ( )y t= φ es la solución exacta del P.V.I. con solución única

( )( )

=≤≤=′

00

0

yty Ttt ,y,tfy


y suponemos que ( )φ t tiene al menos las tres primeras derivadas continuas en el

intervalo de interés [ ]t T0, (equivalentemente ( )f t y, tiene segundas derivadas parciales

continuas), entonces usando la serie de Taylor con residuo para ( )φ t alrededor de tk ,

obtenemos

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) φ φ φ φ φ ξt h t h t h t hk k k k k+ = + ′ + ′′ + ′′′

2 3

2 3! ! (6.11)

donde t t h tk k k k< < + = +ξ 1 .

FIGURA 6.9

k tk Yk

0 1.0 00000002.−1 1.2 72000001.−2 1.4 56127251.−3 1.6 45953851.−4 1.8 38890511.−5 2.0 33704381.−6 2.2 29736481.−7 2.4 26603341.−8 2.6 24066931.−9 2.8 21971731.−10 3.0 20211931.−

TABLA 6.7

Como ( ) ( )( )′ =φ φt f t t, , entonces ( ) ( )( ) ( )( ) ( )′′ = + ′φ φ φ φt f t t f t t tt y, , , y por tanto


( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )

′′ = + ′

= +

φ φ φ φ

φ φ φ

t f t t f t t t

f t t f t t f t tk t k k y k k k

t k k y k k k k

, ,

, , ,

FIGURA 6.10

Reemplazando en la ecuación (6.11), ( )φ tk por su valor aproximado Yk , ( )′φ tk por su valor

aproximado ( )f t Y Yk k k, = ′ y ( )′′φ tk por su valor aproximado ( ) ( ) ( )f t Y f t Y f t Y Yt k k y k k k k k, , ,+ = ′′

y despreciando el término de error ( )hk

3

3!′′′φ ξ , obtenemos la siguiente fórmula para el valor

Yk+1 aproximación de ( ) ( )φ φt h tk k+ = +1 :

( )( )

tyyY

1m0,1,...,k ,Y2

hYhYY

000

k

2

kk1k

==

−=′′+′+=+ (6.12)

que se conoce como fórmula de los tres primeros términos de la serie de Taylor.

El error local en la fórmula (6.12) es

( ) ( ) con t t , k = 0,1,...,m 1 k k+1∈ = − = ′′′ < < −+ + +k k k k kt Y h1 1 131

6φ φ ξ ξ,


por lo tanto el error local es proporcional a h3 , como lo es para la fórmula de Euler mejorada,es decir, ( )∈ = =k

3O h , k 1,2,...,m . Entonces el error total debido a la fórmula (6.12) es

( )O h2 , así que este método es de orden dos.

Nota: La fórmula de los tres primeros términos de la serie de Taylor requiere el cálculo de( )f t yt , y ( )f t yy , , y después la evaluación de estas funciones y de ( )f t y, en el punto ( )t Yk k, ,

cosa que en algunos problemas puede ser difícil o bastante tedioso de calcular. Si este es elcaso, puede ser mejor usar una fórmula con precisión comparable, como la fórmula de Eulermejorada, que no requiere de ( )f t yt , ni de ( )f t yy , .

Ejemplo 6.12 Si aplicamos el método de los tres primeros términos de la serie de Taylorpara obtener valores aproximados de la solución del P.V.I.

( )

dydt t

y t e t

y

t= + ≤ ≤

=

2 1 2

1 0

2 ,

con tamaño de paso h =.1, se obtienen los resultados que aparecen en la TABLA 6.8siguiente.

k tk Yk

0 1.0 01 1.1 .33978522 1.2 .85214343 1.3 1.58176954 1.4 2.58099665 1.5 3.91098466 1.6 5.64308107 1.7 7.86038168 1.8 10.65951459 1.9 14.152682110 2.0 18.4699945

TABLA 6.8


TAYLOR3( ( )f t y t y t y h m, , , , , , ,0 0 ): aproXima los valores Y Y Ym0 1, ,..., obtenidos al aplicar el

método de los tres primeros términos de la serie de Taylor al P.V.I. ( )

( )

dydt

f t y

y t y

=

=

,

0 0

con m pasos

de tamaño h. Para el ejemplo anterior, aproXime la expresión

TAYLOR3( ( )2 1 0 0 1 102

ty t t t y+ exp , , , , , ,. ). ◊◊◊◊


Compare el valor obtenido ( )Y2 8521434 12= ≈. .φ , utilizando el método de los tres primerostérminos de la serie de Taylor, con el correspondiente valor obtenido por el método de Eulermejorado.

Veamos cuál es la fórmula de avance del método de los tres primeros términos de la serie deTaylor para este ejemplo.

Como ( )f t yt

y t et, = +2 2 , entonces ( )f t y

ty t e tet

t t, = − + +2 222 , ( )f t y

ty , =2 , así que la fórmula

de avance en el método de los tres primeros términos de la serie de Taylor, para este caso,es

Y Y hY h Y

Y

k k k k+ = + ′ + ′′ =

= =

1

2

0

201 9

0 1

, , ,...,

,

k

h .con

( )′ = = +Y f t Yt

Y t ek k kk

k ktk, 2 2

( ) ( ) ( )′′ = +

= − + + + ′

Y f t Y f t Y f t Y

tY t e t e

tY

k t k k y k k k k

kk k

tk

t

kk

k k

, , ,2 2 22

2 ♦

Como ejercicio aplique la fórmula de los tres primeros términos de la serie de Taylor paraobtener valores aproximados de la solución exacta en cada uno de los P.V.I. dados en losejemplos anteriores.

Si se toman más términos en la serie de Taylor de la función ( )φ t alrededor del punto tk , se

obtienen fórmulas de mayor precisión. Es posible desarrollar fórmulas con la precisión de lasfórmulas de tres o más términos de la serie de Taylor, en las que no aparezcan derivadasparciales de ( )f t y, . El desarrollo de estas fórmulas lo inició Carl Runge (1.856-1.927) y lo

continuó G. Kutta (1.867-1.944), matemáticos aplicados alemanes.

6.4 MÉTODO DE RUNGE-KUTTA

El método de Runge-Kutta se fundamenta en el método de la serie de Taylor, buscando laexactitud de este método pero sin tener que calcular derivadas parciales de la función( )f t y, .

Existen métodos de Runge-Kutta de diferentes ordenes, el orden lo define el orden de laderivada en el término de la serie de Taylor donde ésta se corte.

Consideremos el P.V.I.( )

( )

=≤≤=′

00

0

yty Ttt ,y,tfy


con solución única ( )y t= φ .

La fórmula de los tres primeros términos de la serie de Taylor es

( ) ( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ) ( )[ ]

Y Y hY h Y

Y hf t Y h f t Y f t Y f t Y

Y h f t Y h f t Y f t Y f t Y

k k k k

k k k t k k y k k k k

k k k t k k y k k k k

+ = + ′ + ′′

= + + +

= + + +

1

2

22

2

2

, , , ,

, , , ,

(6.13)

y consideremos la fórmula

( ) ( )( ){ }Y Y h af t Y bf t Y t Yk k k k k k k k+ = + + + +1 , , ,α β h hf (6.14)

donde a, b, y α β son constantes arbitrarias.

Se puede ver que la fórmula (6.14) es una generalización del método de Euler mejorado.

La ecuación (6.14) la podemos expresar en la forma

( )( )

Y Y aK bKhf t Y

hf t h Y Kk kk k

k k+ = + +

=

= + +

1 1 2

1

2 1 con

K

K

,

,α β (6.15)

que se conoce como fórmula general de Runge-Kutta de segundo orden.

El propósito es encontrar valores de las constantes a, b, y α β tales que la fórmula (6.15)tenga la exactitud del método de los tres primeros términos de la serie de Taylor (fórmula(6.13)) sin tener que calcular derivadas de orden superior de la función ( )φ t .

Para esto procedemos así:

En la fórmula (6.15), en la parte que corresponde a K2 , hacemos el desarrollo en serie deTaylor de orden dos para una función de dos variables, así

( )( ) ( ){ ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] }

K hf t h Y K

h f t Y hf t Y K f t Y

h f t y h K f t y K f t y

k k

k k t k k y k k

t t t y y y

2 1

1

2 21

2121

22

= + +

= + +

+ + +

α β

α β

α α β β

,

, , ,

, , ,

para algún t entre t hk k y t + α y algún y entre Y Kk k y Y + β 1 .

Sustituyendo K1 y K2 en (6.15), obtenemos


[ ]Y Y ahf bh f hf hff h f h ff h f fk k t y t t t y y y+ = + + + + + + +

12 2 2 2 2 21

22α β α αβ β

y agrupando términos, llegamos a

( ) ( ) ( ) Yk k t y t t t y y yY a b hf bh f ff bh f ff f f+ = + + + + + + +12

32 2 2

22α β α αβ β (6.16)

( f y sus derivadas parciales de primer orden evaluadas en el punto ( )t Yk k, ; f ft t t y, y fy y

evaluadas en el punto ( )t y, ) .

Comparando la ecuación (6.13) con la ecuación (6.16), término a término, hasta h2 ,obtenemos el siguiente sistema no-lineal de ecuaciones en las variables a, b, y α β :

a b+ =

=

=

11212

b

b

α

β

sistema que tiene infinitas soluciones: a bb b

= − = = ∈ ≠1 12

12

0, , , y b bα β R .

Recordando la fórmula para el error local en el método de los tres primeros términos de laserie de Taylor y observando el residuo en la serie de Taylor en la ecuación (6.16), se tieneque el error local en la fórmula general de Runge-Kutta de segundo orden es ( )O h3 y

entonces el error total debido a la fórmula es ( )O h2 .

Casos particulares:

1) Si b =12

, entonces a =12

, α β= =1 , y obtenemos

( ) ( ){ }Y Y K K Y t Y hf t h Y Kk k k k k k k+ = + + = + + + +1 1 2 112

12

12

hf , ,

o sea

( ) ( )( ){ }( )( )

tyyY

1m,...,1,0k , Y,thfY,tfY,tf2hYY

000

kkk1kkkk1k

==

−=+++= ++

que es el método de Euler mejorado.

2) Si b = 1, entonces a = 0 , α β= =12

, y entonces

Y Y K Y hf t h Y Kk k k k k+ = + = + + +

1 2 11 1

212

,

o sea


( )

( )( )

tyyY

1m,...,1,0k , Y,thf21Y,h

21thfYY

000

kkkkk1k

==

−=

+++=+

que se conoce como método de Euler modificado o del punto medio.

3) Si b =34

, entonces a =14

, α β= =23

, y entonces

( )

( ) ( )

Y Y K K

Y hf t Y hf t h Y K

Y hf t Y hf t h Y hf t Y

k k

k k k k k

k k k k k k k

+ = + +

= + + + +

= + + + +

1 1 2

1

14

34

14

34

23

23

14

34

23

23

, ,

, , ,

o sea

( ) ( )

( )( )

tyyY

1m,...,1,0k ,Y,thf32Y,h

32tf3Y,tf

4hYY

000

kkkkkkk1k

==

−=

++++=+

que se conoce como método de Heun.

Los anteriores métodos están clasificados como métodos de Runge-Kutta de orden dos,que es el orden de su error total de fórmula.

Ejemplo 6.13 Si al P.V.I.

( ) ,

y

dydt t

y t e tt= + ≤ ≤

=

2 1 2

1 0

2

le aplicamos el método de Heun con h =.05 , para aproximar la solución ( )ty φ= de esteP.V.I., obtenemos los resultados que se muestran en la TABLA 6.9.

Compare los resultados obtenidos por el método de Heun, para este ejemplo, con loscorrespondientes resultados obtenidos usando el método de Euler mejorado.

En la FIGURA 6.11 aparece la gráfica de la solución exacta ( ) ( )y t t e et= −2 del P.V.I. dado

en este ejemplo, junto con los puntos ( )t Yk k, correspondientes a las aproximacionescalculadas usando el método de Heun, y que aparecen en la TABLA 6.9. ♦

Ejemplo 6.14 Si al P.V.I.

( )( )

y

′ = + ≤ ≤

= −

yt

y y t1 1 3

1 2

2 ,


le aplicamos el método de Heun para calcular valores aproximados de la solución exacta deeste P.V.I. con tamaño de paso h =.2 , obtenemos los resultados que aparecen en la TABLA6.10. ♦


0 1.00 0 0 01 1.05 .1530888 .1536546 .00056582 1.10 .3446870 .3459199 .00123293 1.15 .5797752 .5817824 .00200724 1.20 .8637476 .8666425 .00289495 1.25 1.2024431 1.20633456 .00390256 1.30 1.6021788 1.6072150 .00503627 1.35 2.0697864 2.0760894 .00630308 1.40 2.6126498 2.6203597 .00770999 1.45 3.2387469 3.2480106 .009263710 1.50 3.9566938 3.9676664 .010972611 1.55 4.7757914 4.7886353 .012843912 1.60 5.7060762 5.7209616 .014885413 1.65 6.7583744 6.7754803 .017105814 1.70 7.9443594 7.9638734 .019514015 1.75 9.2766136 9.2987328 .022119216 1.80 10.7686946 10.7936249 .024930317 1.85 12.4352056 12.4631624 .027956818 1.90 14.2918711 14.3230820 .031210919 1.95 16.3556171 16.3903179 .034700920 2.00 18.6446577 18.6830978 .0384402

TABLA 6.9

k tk Yk

0 1.0 −2 0.1 1.2 −17317647.2 1.4 −15731911.3 1.6 −14700834.4 1.8 −13980664.5 2.0 −13450418.6 2.2 −13044170.7 2.4 −12723171.8 2.6 −12463225.9 2.8 −12248473.10 3.0 −12068097.

TABLA 6.10


Procediendo de manera similar al caso de los métodos de Runge-Kutta de orden dos, seobtendrá una fórmula de Runge-Kutta de orden tres (3), tomando la fórmula de los cuatroprimeros términos de la serie de Taylor

Y Y hY h Y h Yk k k k k+ = + ′ + ′′ + ′′′1

2 3

2 3! !

y considerando la fórmula general de Runge-Kutta de orden tres( )( )( )

Y Y aK bK cK

K hf t Y

K hf t h Y K

K hf t h Y Kk k

k k

k k

k k

+ = + + +

=

= + +

= + +

1 1 2 3

1

2 1

3 2

con

,

,

,

α β

γ δ

FIGURA 6.11

Una de las fórmulas de Runge-Kutta de tercer orden viene dada por


( )( )

( )( )( )

tyyY K2Y,hthfK

1m,...,1,0k , K21Y,h

21thfK

Y,thfK

con KK4K61YY

000

2kk3

1kk2

kk1

321k1k

==

++=

−=

++=

=

+++=+

La fórmula clásica de Runge-Kutta y que más se utiliza es equivalente a la fórmula de loscinco primeros términos de la serie de Taylor, o sea un método de Runge-Kutta de ordencuatro, y viene dada así

( )

( )

( )( )( )

tyyY

KY,hthfK

K21Y,h

21thfK

1m,...,1,0k

K21Y,h

21thfK

Y,thfK

con KK2K2K61YY

000

3kk4

2kk3

1kk2

kk1

4321k1k

==

++=

++=

−=

++=

=

++++=+

Este método tiene error local de fórmula de orden ( )O h5 y error total de orden ( )O h4 ,

siempre y cuando la solución ( )φ t del P.V.I. dado tenga las primeras cinco derivadascontinuas.

Algoritmo 6.2 (Runge-Kutta de orden cuatro) Para encontrar una aproximación discreta dela solución del P.V.I., con solución única

( )( )

t

y t0

0

′ = ≤ ≤

=

y f t y t T

y

, ,

0

en m +1 números igualmente espaciados en el intervalo [ ]t T0, :

Entrada: La función ( )f t y, , los valores iniciales t0 0, y , el tamaño de paso h, y un entero m.

Salida: Aproximación Y de la solución ( )y t en los m +1 númerost t t h t t mh Tm0 1 0 0, ,...,= + = + = .

Paso 1: Hacer t t y= =0 0, Y .


Salida: ( )t Y, .

Paso 2: Para k m= 12, ,..., seguir los pasos 3-5:

Paso 3: Tomar

( )

( )

K hf t Y

K hf t h Y K

K hf t h Y K

K hf t h Y K

1

2 1

3 2

4 3

12

12

12

12

=

= + +

= + +

= + +

, ,

, ,

,

,

,

.

Paso 4: Tomar ( )Y Y K K K K= + + + +16

2 21 2 3 4 (calcula Yk )

t t kh= + (Calcula tk )

Paso 4: Salida: ( )t Y, .

Paso 5: Terminar.

Ejemplo 6.15 Usando el método de Runge-Kutta de orden cuatro para encontrar unaaproximación de la solución del P.V.I., con solución única

( ) ,

y

dydt t

y t e tt= + ≤ ≤

=

2 1 2

1 0

2

con tamaño de paso h = .1, obtenemos los resultados que se muestran en la TABLA 6.11siguiente.


0 1.0 0 0 01 1.1 .3459103 .3459199 9 6 10 6. × −

2 1.2 .8666217 .8666425 2 08 10 5. × −

3 1.3 1.6071813 1.6072151 3 38 10 5. × −

4 1.4 2.6203113 2.6203596 4 83 10 5. × −

5 1.5 3.9676019 3.9676663 6 44 10 5. × −

6 1.6 5.7208793 5.7209615 8 22 10 5. × −

7 1.7 7.9637718 7.9638735 1017 10 4. × −

8 1.8 10.7935018 10.7936247 1229 10 4. × −

9 1.9 14.3229357 14.3230815 1458 10 4. × −

10 2.0 18.6829266 18.6830971 1705 10 4. × −

TABLA 6.11



RK( ( )[ ] [ ] [ ]f t y t y t y h m, , , , , , ,0 0 ): aproXima los valores Y Y Ym0 1, ,..., obtenidos al aplicar el

método de Runge-Kutta de cuarto orden al P.V.I. ( )

( )

dydt

f t y

y t y

=

=

,

0 0

en m pasos de tamaño h.

Para el ejemplo anterior, aproXime la expresión RK( ( ) [ ] [ ]2 10 0 1 102

ty t t t y+

exp , , , , , ,. ). ◊◊◊◊

Veamos cómo se calcula la primera aproximación Y1 , aplicando el método de Runge-Kuttade cuarto orden, al P.V.I. anterior.

( )Y Y K K K K1 0 1 2 3 416

2 2= + + + +

dondeY0 0=

( ) ( )K hf t Y f1 0 0 1 10 0 27182818= = =, ,. . .

K hf t h Y K f2 0 0 112

12

1 105 271828182

3409444= + +

=

=, ,. . . .

K hf t h Y K f3 0 0 212

12

1 105 34094442

3475269= + +

=

=, . . . .,

( ) ( )K hf t h Y K f4 0 0 3 1 11 3475269 4266908= + + = =, ,. . . .

Así que

( )( ) ( )( )( )Y1 0 16

2718281 2 3409444 2 3475269 4266908 3459103= + + + + =. . . . .

De acuerdo con los resultados de la TABLA 6.11, Y2 8666217= . aproxima al valor exacto

( )y 12 8666425. .= con una precisión de cuatro cifras decimales exactas.

Una gráfica de la solución exacta del P.V.I. dado, junto con los puntos ( )t Yk k,correspondientes a las aproximaciones calculadas usando el método de Runge-Kutta deorden cuatro que aparecen en la TABLA 6.11, se muestran en la FIGURA 6.12. ♦


( )( )

,

y

′ = + ≤ ≤

= −

yt

y y t1 1 3

1 2

2


el método de Runge-Kutta de orden cuatro con h = .2 , produce los resultados que semuestran en la TABLA 6.12.

Una gráfica de la solución exacta ( )y t tt

=−2

1 2 del P.V.I. del ejemplo 6.16, junto con los

puntos ( )t Yk k, correspondientes a las aproximaciones calculadas que aparecen en la

TABLA 6.12, se muestran en la FIGURA 6.13. ♦

FIGURA 6.12

k tk Yk

0 1.0 −2 0.1 1.2 −17142452.2 1.4 −15555229.


3 1.6 −14545197.4 1.8 −13845945.5 2.0 −13333159.6 2.2 −12941027.7 2.4 −12631448.8 2.6 −12380836.9 2.8 −12173809.10 3.0 −11999905.

TABLA 6.12

FIGURA 6.13

Ejemplo 6.17 Use el método de Runge-Kutta de orden cuatro para aproximar lasolución exacta del P.V.I.

( ) ( )

t lnt , y ,

2 32 2 1 151 1 1 0

′′ − ′ + = ≤ ≤= ′ =

y ty y t ty

.

tomando h =.05 .

Solución: Empezamos despejando ′′y en la ecuación diferencial dada

t2 32 2′′ − ′ + =y ty y t tln


lo que nos da

t′′ = ′ − + ≠yt

yt

y t t2 2 02 ln ,

Ahora transformamos el P.V.I. dado en el siguiente sistema de ecuacionesdiferenciales de primer orden con condición inicial, introduciendo las variablesy y y1 2= = ′, y :

( ) ( )

y y

′ =≤ ≤

′ = − + +

= =

y yt

yt

yt

y t t

1 2

2 2 1 2

1 2

1 152 2

1 1 1 0

,

ln ,

,

.

(6.17)

Este sistema es de la forma

( )

( )

( ) ( )

, t

y y

0

′ =

≤ ≤

′ =

= =

y f t y yt T

y f t y y

t y t y

1 1 1 2

2 2 1 2

1 0 10 2 0 2 0

, ,

, , ,

,, ,

con

( ) ( ) f f y , y1,0 2,01 1 2 2 2 1 2 2 1 22 2 1 0t y y y t y yt

yt

y t t ,, , , , , ln= = − + + = =

Ahora aplicamos el método de Runge-Kutta de orden cuatro a cada una de lasecuaciones del sistema, así:

Para ( )( )′ = =y y f t y y1 2 1 1 2 , , :

( )Y01 1= , que es la condición inicial para la función incógnita y1

Para ( )( )′ = − + + =yt

yt

y t t f t y y2 2 1 2 2 1 22 2 ln , , :

( )Y02 0= , que es la condición inicial para la función incógnita y2


En esta notación el superíndice hace referencia al subíndice de la función incógnita,es decir, superíndice 1 para la función incógnita y1 , y superíndice 2 para la funciónincógnita y2 .

Para calcular la primera aproximación

( )Y11 , para la función incógnita y1

y( )Y12 , para la función incógnita y2

procedemos así:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

K hf t Y Y f

K hf t Y Y f

11

1 0 01

02

1

12

2 0 01

02

2 2

05 10 10 0 05 0 0

05 10 10 0 05 210

10 210

0 10 10 1

=

= = =

=

= = − + +

= −

, , , ,

, , , , ln

. . . .

. . . ..

..

. . .

( ) ( )( )

( )( )

( )

( ) ( )( )

( )( )

( )

K hf t h YK

YK

f

K hf t h YK

YK

f

21

1 0 01 1

1

02 1

2

13

22

2 0 01 1

1

02 1

2

2

2 2 205 1025 10 05 2 5 10

2 2 205 1025 10 05 098793992

= + + +

= − = − ×

= + + +

= − = −

−, , , ,

, , , ,

. . . . .

. . . . .

( ) ( )( )

( )( )

( )K hf t h YK

YK

f31

1 0 01 2

1

02 2

2

1

3

2 2 205 1025 99875 049396996

2 4698498 10

= + + +

= −

= − × −

, , , , . . . .

.

( ) ( )( )

( )( )

( )K hf t h YK

YK

f32

2 0 01 2

1

02 2

2

22 2 205 1025 99875 049396996

09861618555

= + + +

= −

= −

, , , , . . . .

.


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

K hf t Y K Y K f

K hf t Y K Y K f

41

1 1 01

31

02

32

1

3

42

2 1 01

31

02

32

2

05 105 9975301502 09861618555

4 930809278 10

05 105 9975301502 09861618555

09730945925

= + +

= −

= − ×

= + +

= −

= −

−

, , , ,

, , , ,

. . . .

.

. . . .

.

Entonces

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )

9975215819

109308092784104698498221052206101

KK2K2K61YY

333

14

13

12

11

10

11

.

....

=

×−×−+×−++=

++++=

−−−

y

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

Y Y K K K K12

02

12

22

32

421

62 2

0 16

1 2 098793992 2 099861618555 09730945925

09868830239

= + + + +

= + − + − + − −

= −

. . . .

.

Si aplicamos el método de Runge-Kutta de cuarto orden al P.V.I. dado, se obtienenlos resultados que se muestran en la TABLA 6.13 siguiente.

k tk ( )Yk1 ( )Yk

2

0 1.0 1.0 01 1.05 .9975216 −.098688302 1.10 .9901789 −.19451213 1.15 .9781239 −.28712234 1.20 .9615257 −.37618565 1.25 .9405698 −.46138246 1.30 .9154570 −.54240677 1.35 .8864035 −.61896428 1.40 .8536397 −.69077189 1.45 .8174100 −.757556610 1.50 .7779722 −.8190555

TABLA 6.13

Las aproximaciones de la solución exacta


( ) y t t t t t= + −74 2

34

33ln

del P.V.I. dado, corresponden a los valores ( )Yk1 que aparecen listados en la tercera

columna de la TABLA 6.13.

Instrucciones en DERIVE:

RK( ( ) ( )[ ] [ ] [ ]f t y y f t y y t y y t y y h m1 1 2 2 1 2 1 2 0 10 2 0, , , , , , , , , , , , ,, , ): aproXima a una matriz de 3

columnas y m +1 filas, donde cada fila es de la forma ( ) ( )t Y Yk k k, ,1 2

, siendo( ) ( )Y y tk k1

1≈ y ( ) ( )Y y tk k2

2≈ los valores obtenidos al aplicar el método de Ringe-Kuttade cuarto orden al sistema

( )( )

( ) ( )

′ =

′ =

= =

y f t y y

y f t y y

y t y t y

1 1 1 2

2 2 1 2

1 0 10 2 0 2 0

, ,

, ,

,, , y

con m pasos de tamaño h. Para el ejemplo anterior, aproXime la expresión

[ ] [ ]

+− 10,050,0,1,1,z,y,t,tlnty

t2z

t2,zRK 2 . . Si desea graficar los puntos ( )t Yk k, 1

y/o los puntos ( )t Yk k, 2

, correspondientes a las aproximaciones obtenidas, la siguiente

instrucción puede ser utilizada:

EXTRACT_2_COLUMNS(M, j, l): Simplifica en una matriz formada por lascolumnas j y l de la matriz M. ◊◊◊◊

Es claro que cualquiera de los métodos estudiados se puede aplicar para un sistema deecuaciones diferenciales de primer orden del tipo (6.2). Como ejemplo veamos comose escribiría el método de Runge-Kutta de cuarto orden para el sistema (6.17):

( ) ( )

y y

′ =≤ ≤

′ = − + +

= =

y yt

yt

yt

y t t

1 2

2 2 1 2

1 2

1 152 2

1 1 1 0

,

ln ,

,

.

Este sistema se puede escribir en forma vectorial como sigue


( )( )

′′

= − + +

≤ ≤

=

yy

y

ty

ty t t t

yy

1

2

2

2 1 2

1

2

2 2 1 15

11

10

ln , .

( )

( )

=

≤≤⇔

′

01

1

51t1 ,t,

Y

YFY .=

y entonces la forma vectorial del método de Runge-Kutta de cuarto orden paraaproximar la solución del P.V.I. vectorial del ejemplo 6.17, es

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

+

+

+

+

=

+

+

+

%#"%#"%#"%#"%#"%#"

4

24

14

3

23

13

2

22

12

1

21

11

k

2k

1k

1k

21k

11k

KK

KK2

KK2

KK

61

YY

YY

KKKKYYdonde

( )( )

( ) ( )

++−==kk

2k

k

1k2

k

2k

kk1 tlntYt2Y

t2

Yh,th YFK

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

+

++

+

+

+

+

+

−

+

=

++=

h21tlnh

21tK

21Y

h21t

2K21Y

h21t

2

K21Y

h

21,h

21th

kk2

12

k

k

11

1k2

k

21

2k

1kk2 KYFK

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

+

++

+

+

+

+

+

−

+

=

++=

h21tlnh

21tK

21Y

h21t

2K21Y

h21t

2

K21Y

h

21,h

21th

kk2

22

k

k

12

1k2

k

22

2k

2kk3 KYFK


( )( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

+++++

+++

−

+=

++=

htlnhtKYht

2KYht

2KY

h

,hth

kk2

32

kk

13

1k2

k

23

2k

3kk4 KYFK

♦

Como ejercicio use la forma vectorial del método de Runge-Kutta de orden cuatropara calcular las aproximaciones de la solución exacta del P.V.I. del ejemplo 6.17.

TALLER 6.

1. Use el teorema 6.1 para demostrar que el P.V.I.

( )′ =

=

y tanyy 0 0

tiene una solución en el intervalo t ≤ π4

.

2. Use cada uno de los teoremas 6.1, 6.2, 6.3 y 6.4 para predecir dónde tiene soluciónel siguiente P.V.I., y luego resuélvalo explícitamente para comparar la teoría conlos hechos:

( )′ =

=

y yy

2

0 1

3. Demuestre que el P.V.I.

( )′ = +

=

y yy

10 0

2

tiene una solución en el intervalo [ ]−11, . Pruebe que este ejemplo no satisface lahipótesis del teorema 6.4. Explique por qué este ejemplo no contradice al teorema6.4.


4. Encuentre un intervalo para el cual se pueda asegurar que el P.V.I.

( )′ =

=

y yy

sec0 0

tiene una única solución.

5. Use el teorema 6.4 para demostrar que cada uno de los siguientes P.V.I. tienensolución única en el intervalo [ ]01, :

i) ( )′ =

=

y y ty

cos0 1 ii)

( )( )′ = +

=

y t ty

y

1

0 0

sen

6. Verifique que ( )y t t1

2

4= − y ( )y t t2 1= − son soluciones del P.V.I.

( )2 4

2 1

2′ = + −

= −

y t y ty

Por qué no contradice este hecho al teorema 6.2?

7. Para cada una de las funciones ( )f t y, siguientes

i) ( )f t y t y, = +2 1 ii) ( )f t y tan y, = −1

iii) ( )f t y ty, = iv) ( )f t y ty ty

, = − +4

a) Satisface f una condición de Lipschitz en la segunda variable y en el dominio

( ){ } / D = ≤ ≤ − ∞ < < ∞t y t y, , ?0 1

b) Determine si el P.V.I.( )

( )

y

′ = ≤ ≤

=

y f t y t, , 0 1

0 1


tiene solución única.8. a) Demuestre que cada uno de los siguientes problemas de valor inicial tiene

solución única

a) ( ) y

′ = ≤ ≤=

y y t tcos , 0 10 1 b)

( )( )

y

′ = + ≤ ≤

=

y t ty t1 0 1

0 0

sen ,

b) Use dos pasos de los métodos de Euler, Euler mejorado, Heun, Taylor de ordendos y método de Runge-Kutta de orden cuatro para aproximar ( )y 0 2. .

9. Considere el P.V.I.

( ) y

′ = − ≤ ≤=

y y t10 0 20 1

,

el cual tiene solución exacta ( )y t e t= −10 . Qué pasa cuando el método de Euler seaplica a este problema con tamaño de paso h = .1?

10. Encuentre valores aproximados de la solución de cada uno de los siguientesproblemas de valor inicial, usando el método de los tres primeros términos de laserie de Taylor y el método de Runge-Kutta de orden cuatro con tamaño de pasoh = =. .5 25 y h . Haga una gráfica que muestre los puntos ( )t Yk k, correspondientes

a las aproximaciones calculadas y la gráfica de la solución exacta. Discuta susresultados.

a) ( ) y

′ = − ≤ ≤=

y y t2 0 40 1

, con solución exacta ( )y tt

=+1

1

b) ( ) y

′ = − + ≤ ≤=

y y t t2 0 40 1

cos , con solución exacta ( )y t t t= +sen cos

c) ( ) y

′ = − ≤ ≤=

y y t t2 0 40 1

sen , con solución exacta ( )y t t t= +sen cos


11. Un proyectil de masa m = 0 11. Kgrs. se lanza verticalmente hacia arriba desde elsuelo con una velocidad inicial ( )v m seg0 8= ./ . y se va frenando debido a la fuerza

de la gravedad F mgg = − y a la resistencia del aire F kvr = − 2 , donde

g m seg= 9 8 2. ./ . y k kg m= 0 002. ./ .

a) Demuestre que la ecuación diferencial para la velocidad ( )tv del proyectil encada instante t es

( ) ( )( )( )( )

+−

−−=′

bajando está proyectil el mientras ,tvkmg

subiendo está proyectil el mientras ,tvkmgtvm

2

2

b) Demuestre que el problema de valor inicial

( ) ( )( )

=

≤≤−−=′

080v

Tt0 ,tvtvmkgv

.

correspondiente a la situación descrita en el enunciado tiene solución única enel intervalo [ ]T,0 , siendo T el tiempo que tarda el proyectil en caer.

c) Utilice el método de Runge-Kutta de cuarto orden para estimar la velocidad delproyectil en cada uno de los instantes .1, .2, .3,..., 1.0 segundos, tomandotamaño de paso 1h .= .

d) Estime el tiempo para el cual el proyectil alcanza la altura máxima y empieza acaer.

e) Estime la altura máxima alcanzada por el proyectil.

12. a) Convierta cada uno de los siguientes problemas de valor inicial en un sistemade ecuaciones diferenciales de primer orden con condición inicial

i) ( ) ( ) ( ) y

′′′ + ′′ + ′ + = − − ≤ ≤= ′ = ′′ = −

y y y y t t ty y

4 5 2 4 2 0 10 1 0 0 0 1

sen cos ,, ,

ii)

( ) ( ) y

′′ + ′ + = ≤ ≤= ′ = −

y ty t y e ty

t2 0 10 1 0 1

2 ,,


b) Use el método de Euler, el método de los tres priemros términos de la serie deTaylor y el método de Runge-Kutta de cuarto orden para aproximar la solución

( )y t de cada uno de los P.V.I. dados en i) y ii), usando tamaño de paso h = .1 .

13. Considere el problema de valor inicial

( ) y

′ = ≤ ≤=

−y e tt20 1

0 0,

a) Demuestre que el P.V.I. dado tiene solución única.

b) Verifique que ( )y t e dsst

= −∫2

0

es la solución del P.V.I. dado.

c) Use la regla de integración numérica de los Trapecios con h = .25 paraaproximar la solución ( )y t , dada en b), en los puntos

t1 2 3 425 50 75 10= = = =. . . ., , t t y t .

d) Use el método de los tres primeros términos de la serie de Taylor con tamañode paso h = .25 para aproximar la solución ( )y t , dada en b), en los puntos

t1 0 25= . , t2 0 50= . , t3 0 75= . , y t4 10= . .

e) Encuentre el polinomio interpolante de Newton (diferencias divididas) para lafunción ( )f x e x= − 2

en [0,10]. usando como nodos 0, .25, .50, .75, 1.0 y úselo

para aproximar e dxx−∫2

0

1 0.

.

f) Compare los resultados obtenidos en c), d) y e).

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