Post on 25-Jan-2016
Distribución Binomial
Estadística
2
Una persona arroja 1 dado apostando con otro a que saca un Uno. La probabilidad de sacar el Uno es igual a:
La Distribución Binomial
...1666,061
3
Es decir que la probabilidad que tiene de acertar es 17 % aproximadamente.
La Distribución Binomial
4
Ahora, supongamos que la persona arroja 5 dados iguales a la vez. ¿Cuál es la probabilidad de que saque 0, 1, 2, 3... unos?.
La Distribución Binomial
5
La Distribución Binomial
0 Uno
Estadística 6
La Distribución Binomial
1 Uno
Estadística 7
La Distribución Binomial
2 unos
Estadística 8
La Distribución Binomial
3 unos
Estadística 9
La Distribución Binomial
4 unos
Estadística 10
La Distribución Binomial
5 unos
Estadística 11
¿Es tan probable sacar 1 ó 2 unos como sacar 5 unos?.
A priori parecería que no.
La Distribución Binomial
Estadística 12
Cuando realizamos una experiencia individual donde el resultado debe ser sólo uno de dos posibles: acierto/fallo, cara/cruz, etc. decimos que es un ensayo de Bernoulli.
La Distribución Binomial
Estadística 13
En nuestro caso, cada vez que arrojamos un dado podemos definir nuestro experimento registrando sólo dos resultados posibles:
La Distribución Binomial
Ningún Uno
Un Uno
Estadística 14
Cada acto individual de arrojar un dado es independiente de los otros y la probabilidad de obtener un Uno es:
La Distribución Binomial
61
Estadística 15
Y la probabilidad de obtener cualquier otro resultado que no sea un Uno es:
La Distribución Binomial
6
5
Estadística 16
Entonces, cuando arrojamos 5 dados, la probabilidad de obtener 5 unos es:
La Distribución Binomial
61
61
61
61
61
)5( unosP
00013,07776
1
Estadística 17
La probabilidad de no tener ningún Uno (0 unos) también podemos calcularla, porque al arrojar un sólo dado, la probabilidad de que no salga un Uno es:
La Distribución Binomial
65
Estadística 18
Y la probabilidad de no obtener ningún Uno en los 5 dados arrojados es:
La Distribución Binomial
65
65
65
65
65
)0( asP
402,077763125
Estadística 19
Nos falta calcular las probabilidades intermedias, es decir la probabilidad de obtener 1, 2, 3...unos. Es posible calcular todas estas probabilidades con una fórmula binomial.
La Distribución Binomial
Estadística 20
La Distribución Binomial
¿Cuál es la probabilidad de sacar 1 Uno al arrojar 5 dados?
Por ejemplo, una forma es que salga un Uno en el primer dado:
Estadística 21
La probabilidad de sacar 1 Uno en el primer dado y no sacar Uno en los otros cuatro es:
La Distribución Binomial
6
5
6
5
6
5
6
5
6
1)as1(P
Probabilidad
de no sacar Uno
Probabilidad
de sacar 1 Uno
Estadística 22
Pero hay 5 formas diferentes de obtener 1 Uno en cinco dados arrojados:
La Distribución Binomial
Estadística 23
La Distribución Binomial
Estadística 24
Por lo tanto, la probabilidad de sacar 1 Uno al arrojar 5 dados es:
La Distribución Binomial
6
5
6
5
6
5
6
5
6
15)as1(P
Probabilidades
de no sacar Uno
Probabilidad
de sacar 1 Uno
Nº de formas
de sacar 1 Uno
Estadística 25
Para calcular la probabilidad de obtener 1 Uno en cinco dados arrojados debemos calcular:
La probabilidad de que en cinco dados arrojados uno de ellos sea un Uno y los otros cuatro no sean Uno.
El número de combinaciones diferentes en que se puede dar esa situación: un Uno en cinco dados.
La Distribución Binomial
Estadística 26
Hemos visto como hacer lo primero:
La Distribución Binomial
6
5
6
5
6
5
6
5
6
15)as1(P
Cálculo de la Probabilidad de
obtener 1 Uno al arrojar cinco dados
Estadística 27
La Distribución Binomial
6
5
6
5
6
5
6
5
6
15)as1(P
Nº de formas diferentes de
obtener 1 Uno al arrojar cinco dados
Y sabemos que hay cinco maneras diferentes de obtener un Uno en cinco dados arrojados:
Estadística 28
¿Cómo podemos generalizar el cálculo de las distintas formas de obtener 1 Uno, 2 unos, etc. en cinco dados arrojados?
La Distribución Binomial
Estadística 29
La respuesta la dan los números combinatorios:
La Distribución Binomial
mn )!(!
!nmn
m
Estadística 30
donde
La Distribución Binomial
mm ....321!
nn ....321!
son el factorial de m y de n respectivamente.
Estadística 31
La expresión representa el número de combinaciones de m elementos tomados de a n (agrupados de a n).
La Distribución Binomial
mn )!(!
!nmn
m
Estadística 32
Por ejemplo, si tenemos las 5 letras A, B, C, D y E, y queremos saber cuantas son todas las combinaciones posibles agrupándolas de a tres en cualquier orden: ABC, ADC, ...etc., hacemos el cálculo siguiente:
La Distribución Binomial
53
10)!35(!3
!5
Estadística 33
La Distribución Binomial
ABC DBC EBC ADCAEC
ABD ABE DEC DBEADE
ABCDE
Todas las combinaciones agrupando de a tres
Total de Letras
Estadística 34
Supongamos que se realizan n ensayos de Bernoulli, con probabilidad p de tener un acierto (Probabilidad 1-p de tener un fallo).
La Distribución Binomial
Estadística 35
Entonces, la probabilidad de obtener y aciertos en n ensayos de Bernouilli es:
La Distribución Binomial
rnrnr qprP )(
rnr qprnr
n
)!(!
!
Estadística 36
Esta probabilidad es un término del binomio siguiente (Regla de Pascal):
La Distribución Binomial
n
r
rnrnr
n qpqp0
Estadística 37
donde
La Distribución Binomial
porque en un ensayo de Bernouilli ambos eventos acierto/fallo se excluyen mutuamente, es decir, ocurre un acierto o un fallo, pero nunca ambos simultáneamente.
1 qp
Estadística 38
Los términos de la suma son las probabilidades P(x), que determinan la distribución de probabilidades de la variable aleatoria x, la cual es una variable discreta (toma los valores 0, 1, 2, ...etc.).
La Distribución Binomial
Estadística 39
Aplicando la fórmula al caso de 5 dados:
La Distribución Binomial
rr
rrP5
5
65
61
)(
rr
rr
5
65
61
)!5(!!5
Estadística 40
La probabilidad de no sacar ningún Uno es:
La Distribución Binomial
05050 6
5
6
1)0(P
402.06
5
6
1
)!05(!0
!5050
Estadística 41
La probabilidad de obtener 1 Uno:
La Distribución Binomial
15151 6
5
6
1)1(P
402.06
5
6
1
)!15(!1
!5151
Estadística 42
La probabilidad de obtener 2 unos:
La Distribución Binomial
25252 6
5
6
1)2(P
161.06
5
6
1
)!25(!2
!5252
Estadística 43
La probabilidad de obtener 3 unos:
La Distribución Binomial
35353 6
5
6
1)3(P
032.06
5
6
1
)!35(!3
!5353
Estadística 44
La probabilidad de obtener 4 unos:
La Distribución Binomial
45454 6
5
6
1)4(P
003.06
5
6
1
)!45(!4
!5454
Estadística 45
Y la probabilidad de obtener 5 unos:
La Distribución Binomial
55555 6
5
6
1)5(P
0001.06
5
6
1
)!55(!5
!5555
Estadística 46
Resumiendo en una tabla:
La Distribución Binomial
r Pr0 0.4021 0.4022 0.1613 0.0324 0.0035 0.0001
Estadística 47
La Distribución Binomial
0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0
0 As 1 As 2 Ases 3 Ases 4 Ases 5 Ases
P(Y
)
x
Estadística 48
¿Cuál es el promedio de la variable aleatoria x ?
La Distribución Binomial
Estadística 49
La media de la variable aleatoria Y es:
La Distribución Binomial
pnx
Estadística 50
La varianza de Y es:
La Distribución Binomial
qpn2
Estadística 51
Y entonces la desviación standard resulta:
La Distribución Binomial
qpn
Estadística 52
En la experiencia de arrojar 5 dados:
La Distribución Binomial
83.061
5 x
Estadística 53
¿Cómo interpretamos este resultado?
Si bien el promedio resulta un valor fraccionario, nos está diciendo que al arrojar los cinco dados estaremos más cerca de sacar 1 Uno que de sacar 2 o más unos.
La Distribución Binomial
Estadística 54
De una manera más rigurosa, ese valor nos dice que si se repitiera la experiencia muchas veces, el promedio del número de unos que se obtendría en todos los experimentos sería igual a 0.83
La Distribución Binomial
Estadística 55
La varianza de Y resulta:
La Distribución Binomial
69.06
5
6
152
Estadística 56
Y la desviación standard:
La Distribución Binomial
83.06
5
6
15
Estadística 57
Volvamos, ahora a nuestro apostador. Supongamos que arroja 5 dados y apuesta a que va a sacar 3 o más unos.
La Distribución Binomial
Estadística 58
¿Cuál es la probabilidad que tiene de ganar? Esta probabilidad es la suma de los términos del binomio para 3, 4 y 5 aciertos (unos), es decir:
La Distribución Binomial
Estadística 59
La Distribución Binomial
0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0
0 As 1 As 2 Ases 3 Ases 4 Ases 5 Ases
P(Y
) Probabilidad de
obtener 3 o más unos
Estadística 60
La Distribución Binomial
5
3
55 035.0
65
61
3Y
xx
xxP
Estadística 61
Quiere decir que la probabilidad de ganar es aproximadamente del 3,5 %.
La Distribución Binomial
62
Fin de la
presentación