11

Cálculo diferencial e integral de una variable

Derivadas de Orden superior,

Funciones logarítmicas.

Tasas relacionadas

22

Cálculo diferencial e integral de una variable

Habilidades

• Calcula derivadas de orden superior.• Grafica f, f´y f´´ .• Resuelve problemas relacionados con velocidad y

aceleración.• Calcula derivadas de funciones logarítmicas.• Utiliza el método de derivación logarítmica.• Resuelve problemas de tasas relacionadas.

33

Cálculo diferencial e integral de una variable

Ejemplo 1

La posición de una partícula está dada por la ecuación S(t) = t3 – 6t2 +9t.a) Halle la aceleración en el instante en que t ¿Qué

valor tiene la aceleración a los 4 seg.?b) Grafique la aceleración, la velocidad y la posición

en un mismo sistema de coordenadas para c) ¿Cuándo va aumento la rapidez de la partícula?

¿ cuándo va perdiendo rapidez?

50 t

44

Cálculo diferencial e integral de una variable

Derivadas de segundo orden en funciones implícitas.

Determine y´´ de x 4 + y4 = 16

Resolver ejercicios 3.7: 1, 4, 18, 20, 31, 48, 49, 54, 55, 56. PÁG. 237

55

Cálculo diferencial e integral de una variable

Derivas de funciones logarítmicas.

1. Derive

2

1

x

xyb

senxxfa

ln)

ln)

2. Derive

2

24 3

23

12

1

x

xxy

xy x

.

.

3. Halle la ecuación de la recta tangente y=ln (lnx); (e , 0)

66

Cálculo diferencial e integral de una variable

Funciones Hiperbólicas

• Definición de funciones hiperbólicas Pág. 246

77

Cálculo diferencial e integral de una variable

TASAS RELACIONADAS

Una de las aplicaciones interesantes de la regla de la cadena la encontramos en la resolución de problemas de razón de cambio relacionados o ligados. En la resolución de estos problemas esta presente la regla de la cadena, preferiblemente en la notación de Leibniz.

88

Cálculo diferencial e integral de una variable

En el rectángulo ABCD los lados opuestos AB y CD son fijos y miden 40 cm mientras que los restantes lados son variables y aumentan su longitud a razón de 0.5 cm/min.

¿Cómo varían las siguientes magnitudes?

• El área del rectángulo

• La diagonal, cuando el lado mide 2 cm.

Ejemplo 1

99

Cálculo diferencial e integral de una variable

Ejemplo 2

Un tanque de agua tiene forma de cono circular invertido, con radio de la base igual a 2 m y 4 m de altura. Si se le bombea agua, con una velocidad de 2 m3/min. Calcula la velocidad con que sube el nivel del agua cuando la profundidad alcanza 3 m.

1010

Cálculo diferencial e integral de una variable

r

2

h

4

hr31

V 2

Planteamiento

1111

Cálculo diferencial e integral de una variable

hr31

V 22

r

h

442

hr

min/m2dtdV 3 ?

dtdh

h21

r

El nivel de agua sube con con una velocidad de 8/(9p) m/min ó 0.28 m/min

Planteamiento

1212

Cálculo diferencial e integral de una variable

A mediodía el barco A está a 150 Km. al oeste del barco B. La embarcación A navega hacia el este a 35 Km/h y B hacia el norte a 25 Km/h ¿Con qué velocidad cambia la distancia entre ambos barcos a las 4:00 PM.?

Ejemplo 3

1313

Cálculo diferencial e integral de una variable

150 - XX

B

YZ

A

X: Distancia que recorre el barco A hacia el este en un determinado tiempo en Km. Y: Distancia que recorre el barco B hacia el norte en un determinado tiempo en Km.Z: Distancia entre los barcos en un determinado tiempo en Km.

1414

Cálculo diferencial e integral de una variable

Estrategias

1. Leer detenidamente el problema.

2. Hacer un dibujo ilustrativo si el

problema lo requiere.

3. Identificar adecuadamente las

variables que intervienen.

4. Establecer las relaciones de

dependencia.

1515

Cálculo diferencial e integral de una variable

Estrategia

6. Derivar.

7. Expresar el resultado en las unidades

de medida adecuadas y la respuesta completa.

5. Formular la regla de la cadena adecuadamente.

1616

Cálculo diferencial e integral de una variable

¿Con qué velocidad se desliza el extremo superior de la escalera sobre el muro cuando el extremo inferior esta a 1.80 m de la pared?.

Una escalera de 3 m de longitud descansa en un muro vertical. Si su extremo inferior se resbala y se aleja de la pared a una velocidad de 2.6 m/s.

Ejemplo 4

1717

Cálculo diferencial e integral de una variable

Respuesta

3 m

x

y

3 my

x

?dtdy

sm

dt

dx6.2

1818

Cálculo diferencial e integral de una variable

El extremo superior de la escalera se desplaza hacia abajo a una velocidad de 1,95 m/s.

Respuesta

1919

Cálculo diferencial e integral de una variable

Un hombre de 6 pies de estatura camina hacia un edificio a una tasa de , si en el piso se encuentra una lámpara a 50 pies del edificio, ¿qué tan rápido se acorta la sombra del hombre proyectada enel edificio cuando el está a 30 pies de este.

spies5

Ejemplo 5

2020

Cálculo diferencial e integral de una variable

Ejemplo 6

Se bombea aire a un globo esférico, de tal modo que su volumen aumenta con una rapidez de 100 cm3/s. ¿Con qué rapidez aumenta el radio del globo cuando el diámetro es de 50 cm?

2121

Cálculo diferencial e integral de una variable

Planteamiento

dr

r 3100dV

cm / sdt

?dtdr

3r34

V

El radio del globo aumenta con una rapidez o tasa de 0.0127 cm/s

2222

Cálculo diferencial e integral de una variable

Una piscina está siendo llenada mediante una bomba que suministra 500 galones por minuto.

20’ 40’

Ejemplo 7

Una vez que se llene, el agua alcanza una profundidad de 9’ en la parte más profunda y 4’ en el otro extremo. El ancho es 30’. Determinar la velocidad con que se está elevando el nivel cuando hay 4’ de agua en el lado más profundo.

1g = 0.1337p

2323

Cálculo diferencial e integral de una variable

4’5’

h

L

20’ 40’

El nivel del agua se está elevando a razón de 0,514 pulgadas/minuto en ese instante.

2424

Cálculo diferencial e integral de una variable

En una reserva forestal se produjo un incendio que se ha ido propagando en forma circular. Se ha calculado que las llamas avanzan a razón de 2 metros por minuto. Después de 6 horas de comenzar el incendio,

Ejemplo 8

• ¿Qué área tiene la región quemada?

• Con qué rapidez está aumentando el área quemada?

• Si se estima en 400 árboles por hectárea (1h = 10000 m2) la densidad del bosque, ¿cuántos árboles por minuto se están quemando?

2525

Cálculo diferencial e integral de una variable

Respuestas

• En ese momento el área quemada es 144 m2.

• Está aumentando a una razón aproximada de 9050 m2/min.

• Se están quemando aproximadamente 362 árboles por minuto.

2626

Cálculo diferencial e integral de una variable

Un canal de agua tiene 10 m de longitud y sus sección transversal posee la forma de un trapezoide isósceles, de 30 cm de ancho en el fondo, 80 cm de ancho en la parte superior y 50 cm de altura. Si el canalón se llena con 0.2 m3/min de agua ¿Con qué velocidad sube el nivel del agua cuando la profundidad de ésta es de 30cm?

Ejemplo 9

2727

Cálculo diferencial e integral de una variable

Se emplea una cámara de TV a 4000 pies de la base de una plataforma de lanzamiento de cohetes. Un cohete asciende verticalmente, con una velocidad de 600 pies/s cuando ya se encuentra a 3,000 pies del suelo.

a) ¿Con qué velocidad crece la distancia de la cámara de TV al cohete en ese momento?

b) Si la cámara siempre se encuentra enfocada en el cohete, ¿a qué tasa se modifica su ángulo de elevación en ese momento?

Ejemplo 10

2828

Cálculo diferencial e integral de una variable

y

4000

x

θ

Solución:

Declaración de variables

X: Distancia vertical del cohete en pies.

Y: Distancia entre la cámara y la altura del cohete en pies.

 Incógnita.

2929

Cálculo diferencial e integral de una variable

Un faro se encuentra en una isleta a 3 Km del punto más cercano P de una costa recta, y su linterna gira a 4 rpm. ¿Con qué velocidad el haz luminoso barre la costa cuando pasa por un punto a 1 Km. de P?

Ejemplo 11

3 P

θ

X

1 rpm = 2 rad/min

3030

Cálculo diferencial e integral de una variable

Ejemplo 12

Un hombre de 1,75 m de estatura camina a 5 Km/h alejándose de una lámpara que se halla a 4 m de altura. ¿A qué velocidad se desplaza el extremo de su sombra?

3131

Cálculo diferencial e integral de una variable

Respuesta 1

3232

Cálculo diferencial e integral de una variable

Planteamiento

1.75m

F

P

x s

4m

Vx

Vs

3333

Cálculo diferencial e integral de una variable

Respuesta

El extremo de la sombra se desplaza a 8,89 Km/h