Derivadas logarítmicas, exponenciales y regla de la...

©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

1

CDIN06_M2AA1L1_Logarítmicas Versión: Septiembre 2012 Revisor: Sandra Elvia Pérez

Derivadaslogarítmicas,exponencialesyregladelacadena

por Sandra Elvia Pérez

Las funciones logarítmicas y exponenciales se aplican con frecuencia en problemas de crecimiento

de poblaciones, ya sea de personas, bacterias, microorganismos en general, pruebas de carbono

14, temperatura, circuitos eléctricos y varios más.

Una función es exponencial o logarítmica si la variable independiente x aparece dentro de algún

logaritmo o como exponente. Las figuras 1 y 2 muestran la gráfica de las funciones logarítmica y

exponencial.

Funciones logarítmicas Función exponencial

( )xy log= , ( )xy ln= xay = , xey =

Figura 1. Gráfica de funciones logarítmicas

Figura 2. Gráfica de función exponencial

Para calcular la derivada de las funciones logarítmica y exponencial, se aplican teoremas

específicos. La siguiente lista de fórmulas, muestra los teoremas que se utilizan en el cálculo de las

derivadas de esta sección.


2


FormulariodeDerivadasdeFuncionesLogarítmicayExponencial

C representa cualquier constante Las literales u, v, w, representan cualquier función uʼ, vʼ, wʼ, representan la derivada de u, v, w.

1. ( )uuu

dxd ′

=ln

2. ( )au

uudxd

a lnlog

′=

3. ( ) ( )aauadxd uu ln′=

4. ( ) uu euedxd ′=

Figura 3. Formulario de Derivadas de Funciones exponenciales y logarítmicas realizado con base en la nomenclatura de Leibnitz y de Lagrange.

Te recomiendo visites la sección Para aprender más, en donde encontrarás enlaces sobre el origen

de los logaritmos, datos históricos, los personajes que desarrollaron estas teorías, el número e,

entre otros temas de interés.


3


Para no saturarte de fórmulas, cuando se necesite alguna ley de los logaritmos o ley de los

exponentes, ésta se incluirá en el ejemplo específico.

Leyesdeloslogaritmos

( ) BABA logloglog +=⋅

BABA logloglog −=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

( ) AnA n loglog =

( ) An

An log1log =

Figura 4. Formulario de Leyes de los logaritmos (Allen, 2004).

Ejemplo 1

Determina la derivada de la función ( )xy 9ln=

Usando la fórmula

( )uuu

dxd ′

=ln

Tienes:

( )[ ]xx

xdxdu

xu

1999ln

99

==

=′=

Por lo que la derivada queda:

x

y 1=′


4


Ejemplo 2

Determina la derivada de la función ( )23ln xy =

Usando la fórmula

( )uuu

dxd ′

=ln

Tienes:

( )[ ]xx

xxdxd

xuxu

2363ln

63

22

2

==

=′=


x

y 2=′

Ejemplo 3

Determina la derivada de la función ( )13ln 2 −= xy

Usando la fórmula

( )uuu

dxd ′

=ln

Tienes:

( )[ ]13

613ln

613

22

2

−=−

=′−=

xxx

dxd

xuxu

Por lo que la derivada queda

13

62−

=′xxy


5


Ejemplo 4

Determina la derivada de la función ( )xxy ln=

En este ejemplo usa la fórmula del producto

( ) uvvuuvdxd ′+′=

En combinación con la fórmula ( )uuu

dxd ′

=ln , tienes:

1=′=

uxu

( )

xv

xv1ln

=′

=

( )[ ] ( )( )

( )[ ] ( )

( )[ ] ( )xxxdxd

xxxxx

dxd

xx

xxxdxd

ln1ln

lnln

1ln1ln

+=

+=

+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=


( )xy ln1+=′


6


Ejemplo 5

Determina la derivada de la función ( )( )[ ]53ln 2 −+= xxy

En este ejemplo usa la ley número 1 de las leyes de los logaritmos para

transformar la expresión anterior.

( ) ( ) ( )( )( )[ ] ( ) ( )5ln3ln53ln

lnlnln22 −++=−+

+=xxxx

BAAB

Una vez transformada la función original con la ayuda de la ley del producto de

logaritmos, utiliza la fórmula ( )uuu

dxd ′

=ln y tienes lo siguiente:

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]5ln3ln5ln3ln 22 −++=−++ xdxdx

dxdxx

dxd

( )[ ]313ln

13

+=+

=′+=

xx

dxdu

xu

( )[ ]5

25ln

25

22

2

−=−

=′−=

xxx

dxd

xuxu

( ) ( )[ ]5

2315ln3ln 2

2

−+

+=−++

xx

xxx

dxd


52

31

2 −+

+=′

xx

xy


7


Ejemplo 6

Determina la derivada de la función 3ln −= xy

Para facilitar el cálculo de esta derivada recurre nuevamente a las leyes de los

logaritmos. Específicamente a:

An

An ln1ln =

Al aplicar esta ley de los logaritmos, la función se transforma en

( )3ln21

3ln

−=

−=

xy

xy

Derivando:

( ) ( )3ln213ln

21 −=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ − x

dxdx

dxd

( )313ln

13

−=−

=′−=

xx

dxdu

xu

Por lo tanto,

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

−=′

31

21x

y


8


Ejemplo 7

Determina la derivada de la función ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+=xx

xy631ln 4

2

Para facilitar el cálculo de esta derivada, recurre nuevamente a las leyes de los

logaritmos. Específicamente a:

BABA lnlnln −=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

Al aplicar esta ley de los logaritmos, la función se transforma en:

( ) ( )xxxy

xxBxA

xxxy

63ln1ln

63;1

631ln

42

42

4

2

−−+=

−=+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+=

Derivando:

( ) ( )[ ] ( ) ( )xxdxdx

dxdxxx

dxd 63ln1ln63ln1ln 4242 −−+=−−+

( )1

21ln

21

22

2

+=+

=′+=

xxx

dxd

xuxu

( )xx

xxxdxd

xuxxu

6361263ln

61263

4

34

3

4

−−=−

−=′−=

Por lo tanto,

xxx

xxy

63612

12

4

3

2 −−−

+=′


9


Ejemplo 8

Determina la derivada de la función ( )63log2 −= xy

Basándose en la siguiente fórmula:

auuu

dxd

a lnlog

′=

Tienes:

( ) 2ln633

363

2

−=′

=′−=

=

xy

uxu

a

Ejemplo 9

Determina la derivada de la función xy 75=

Usando el teorema

( ) ( )aauadxd uu ln′=

Queda:

( ) 5ln57

77

5

7 xy

uxu

a

=′

=′=

=


10


Ejemplo 10

Determina la derivada de la función ( )32−= xey

Empleando el teorema

( ) uu euedxd ′=

Obtienes:

( )3

2

2

2

23

−⋅=′

=′−=

xexy

xuxu

Ejemplo 11

Determina la derivada de la función xx eey 25 −−=

Y tienes:

xx

xx

eeyeey

uu

xuxu

25

25

25)2(5

25

25

−

−

+=′−−=′

−=′=′

−==


11


Regladelacadena

Una de las fórmulas de derivación más utilizadas es la siguiente:

( ) unuudxd nn ′⋅= −1

A este teorema, con frecuencia se le denomina regla de la cadena. Los siguientes ejemplos

muestran cómo esta regla, en combinación con el resto de fórmulas permite la obtención de

múltiples derivadas.

Ejemplo 1

Calcula la derivada de 4

22⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

−+=xxy .

Solución

Identifica 22

−+=xxu , entonces ( ) ( )

( ) ( )22 24

222

−−=

−+−−=′

xxxxu . Aplicando la fórmula tienes:

( )3

2

3

2216

24

224

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

−+−=′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

−+=′

xxy

xxxy


12


Ejemplo 2

Calcula la derivada de ( )xseny 4= .

Solución

En trigonometría, este tipo de expresión es equivalente a ( )[ ]4xseny = .

De esta última expresión, identifica ( )xsenu = , entonces ( )xu cos=′ . Aplicando la fórmula tienes,

( )[ ] ( )( ) ( )xxseny

xxseny

cos4

cos43

3

=′

=′

En el caso de las funciones trigonométricas, se acostumbra ordenarlas como sigue: seno, coseno,

tangente, cotangente, secante y cosecante.

Ejemplo 3

Calcula la derivada de ( )( ) 5432 −−− xxx .

Solución En este ejercicio, debes aplicar la fórmula del producto y la regla de la cadena; tienes:


13


Sustituyendo en la fórmula del producto queda:

( ) ( ) ( )[ ] ( )( )( )( )( ) ( )5464

3

54364

31

4311225

311124352

xxxxxy

xxxxxy

−+

−

−−−=′

−+−−−−=′ −−

Este último ejemplo, se puede complicar si no se identifica de manera correcta las fórmulas a

utilizar, o si no se sustituye de manera adecuada.

Ejemplo 4

Calcula la derivada de ( )xseney =

Solución

Identificando ( )xsenu = , tienes que ( )xu cos=′ . Aplicando la fórmula ( ) ueedxd uu ′⋅= obtienes:

( ) ( )xey xsen cos=′

En estos ejemplos, se pone de manifiesto que la aplicación de las fórmulas y el orden en el que se apliquen depende de la función a derivar en particular. Con la práctica serás capaz de encontrar la derivada de funciones cada vez más complejas.


14


Referencias

Allen, R. (2004). Álgebra intermedia (6a. ed.; V. H. Ibarra, Trad.). México: Pearson Educación.

Leithold, L. (1987). El Cálculo con Geometría Analítica (5ª. ed.; J. C. Vega, Trad.). México: Harla.

Purcell, E. J. & Varberg, D. (2000). Cálculo Diferencial e Integral (6a. ed.; J. A. Gómez, Trad.). México: Prentice Hall.

Smith, R. T., & Minton, R. B. (2000). Cálculo Tomo 1 (H. A. Castillo y G. A. Villamizar, Trads.). México: McGraw Hill.

Stewart, J., Redlin, L. & Watson, S, (2001). Precálculo. Matemáticas para el cálculo. (3a. ed.; V. González y G. Sánchez, Trads.). México: International Thomson Editores.

Derivadas logarítmicas, exponenciales y regla de la...

Documents

Transcript of Derivadas logarítmicas, exponenciales y regla de la...