Derivada parciales de una función de dos variables

¿Cómo afecta a la función un cambio en una de sus variables independientes?

¿Cómo hallar el ritmo de cambio de una función f con respecto a una de sus variables independientes?

El procedimiento se llama derivación parcial y el resultado se llama derivada parcial

Derivada parciales de una función de dos variables

Si z=f(x, y), las primeras derivadas parciales de f con respecto a x e y son las funciones fx y fy definidas:

x

yxfyxxfyxf

xx

),(),(lim),(

0

y

yxfyyxfyxf

yy

),(),(lim),(

0

y= constante

x= constante

Notación para las derivadas parciales

Dada , sus derivadas parciales se denotan por:

),( yxfz yx ff ,

x

f

x

zzyxfyxf

x xx

),(),(

El valor de las primeras derivadas parciales en el punto (a, b) se denota por:

),(),(),(),(

bafy

zbaf

x

zy

ba

xba

y

f

y

zzyxfyxf

y yy

),(),(

2234),( yyxxyxf

yexyxg 22),(

Ejercicio: Determina las derivadas parciales de las siguientes funciones.

yx

yxyxh

ln),(

Derivadas parciales de orden superior

Derivar dos veces con respecto a x

Derivar dos veces con respecto a y

Derivar dos veces, primero respecto a x y luego a y

Derivar dos veces, primero respecto a y y luego a x

x

z x

z

zx zy

zxx zxy zyxzyy

x

z y

x

z

y

z

y

z x

y

z y

Derivadas parciales de orden superior

Dada , sus derivadas parciales de segundo orden se denotan por:

),( yxfz

xxxx zfx

f

x

f

x

2

2

yyyy zfy

f

y

f

y

2

2

xyxy zfxy

f

x

f

y

2

yxyx zfyx

f

y

f

x

2

Derivar dos veces con respecto a x

Derivar dos veces con respecto a y

Derivar dos veces, primero respecto a x y luego a y

Derivar dos veces, primero respecto a y y luego a x

Igualdad de las derivadas parciales cruzadas o mixtas

Sea f una función de x e y con fxy y fyx continuas en una región abierta R, entonces para todo (x, y) en R

),(),( yxfyxf yxxy

Interpretación geométrica de la derivada parcial

y=b ),(/),,( yxfzzyx

byyxfzzyxC ),(/),,(

),(,, bafba

Interpretación geométrica de la derivada parcial

x

y

a

f(a, b)

f(a+dx, b)

a+dx

by

x

bafbxafm

),(),(

sec

x

bafbxafm

xtag

),(),(lim

0

tagx mbaf ),(

es la pendiente de la recta tangente a la curva , intersección de la superficie con el plano , en el punto

),( baf xby

),(,, bafba

C

En forma análoga es la pendiente de la recta tangente a la curva , intersección de la superficie con el plano , en el punto

C

),( baf y

ax ),(,, bafba

Interpretación geométrica de la derivada parcial

En lenguaje coloquial más simplificado, los valores de

y en el punto dan la pendiente de la superficie en las direcciones x e y.

xz

yz ),(,, bafba

Halla la pendiente de la superficie dada por en el punto en las direcciones e .

229),( yxyxf )7,1,1( x y

Interpretación geométrica de la derivada parcial

Ejemplo:

Interpretación geométrica de la derivada parcial