Post on 10-Dec-2015
description
STEVEN KLEBER CAICEDO MEJILLONES
JEANNETH MIRELLY PAREDES CEDEÑO
FIEC-ESPOL
MAESTRÍA EN TELECOMUNICACIONES
DISEÑO DE REDES DE TELECOMUNICACIONES
TAREA 1 Y 2 Demostración De Distancia Entre Dos Celdas Con Reuso De Frecuencia (Sistema de celdas HEXAGONALES y TRIANGULARES)
Para efectos de generalización, primero definiremos la distancia entre dos puntos 𝑷= (𝒖𝟏,𝒗𝟏,) y
𝑸 = (𝒖𝟐,𝒗𝟐,) en un sistema donde sus ejes no son necesariamente ortogonales, ademas las
coordenadas de (𝒖𝒙𝒗𝒙 ) no estan referenciadas al sistema cartesiano sino al sistema de ejes
definidos por los vectores �⃗⃗� y �⃗⃗� .
Los Los ejes en este caso estan definidos por los vectores �⃗� y 𝑣 . Para calcular la distancia D nos
ayudaremos con el algebra vectorial:
Definiremos 𝐴 un vector desde el origen hacia el punto P
Definiremos �⃗� un vector desde el origen hacia el punto Q
Entonces:
La distancia |𝐷| = |�⃗� − 𝐴 |
Por concepto de vectores sabemos que:
|�⃗� − 𝐴 |2
= (�⃗� − 𝐴 ). (�⃗� − 𝐴 )
Calculamos �⃗� − 𝐴
�⃗� − 𝐴 = (𝒖𝟐 − 𝒖𝟏) ∗ 𝒖⃗⃗ ⃗ + (𝒗𝟐 − 𝒗𝟏) ∗ �⃗⃗�
Definimos:
𝑖 = (𝒖𝟐 − 𝒖𝟏)
𝑗 = (𝒗𝟐 − 𝑣𝟏)
Por lo que:
�⃗� − 𝐴 = 𝑖 ∗ 𝒖⃗⃗ ⃗ + 𝑗 ∗ �⃗⃗�
Efectuamos el producto punto (�⃗� − 𝐴 ). (�⃗� − 𝐴 )
|𝐷|2 = |�⃗� − 𝐴 |2
= (�⃗� − 𝐴 ). (�⃗� − 𝐴 ) = ( 𝑖 ∗ 𝒖⃗⃗ ⃗ + 𝑗 ∗ �⃗⃗� ) ( 𝑖 ∗ 𝒖⃗⃗ ⃗ + 𝑗 ∗ �⃗⃗� )
Entonces obtenemos la ecuación para la distancia entre dos puntos 𝑃= (𝒖𝟏,𝒗𝟏,) Y 𝑄 = (𝒖𝟐,𝒗𝟐,)
donde los ejes estan dados por los vectores �⃗� y �⃗⃗� es:
|𝑫|𝟐 = 𝒊𝟐( 𝒖⃗⃗ ⃗. 𝒖⃗⃗ ⃗) + 𝟐𝒊𝒋( 𝒖⃗⃗ ⃗. 𝒗⃗⃗ ⃗) + 𝒋𝟐( 𝒗⃗⃗ ⃗. 𝒗⃗⃗ ⃗) 𝑬𝑸𝟏
Ahora definiremos un sistema de celdas hexagonales:
�⃗⃗� �⃗⃗�
�⃗⃗�
∅⃗⃗
De la gráfica notamos que:
|�⃗⃗� | = |�⃗⃗� | = √𝟑𝑹 𝑦 ∅ = 𝜋3⁄
Por lo que:
�⃗⃗� . �⃗⃗� = �⃗⃗� . �⃗⃗� = √𝟑𝑹. √𝟑𝑹. 𝒄𝒐𝒔(𝟎) = 𝟑𝑹𝟐
�⃗⃗� . �⃗⃗� = √𝟑𝑹. √𝟑𝑹. 𝒄𝒐𝒔(𝜋 3⁄ ) =𝟑𝑹𝟐
𝟐
Entonces usando EQ1:
|𝐷|2 = 𝑖2( 𝑢⃗⃗⃗ . 𝑢⃗⃗⃗ ) + 2𝑖𝑗( 𝑢⃗⃗⃗ . 𝑣⃗⃗⃗ ) + 𝑗2( 𝑣⃗⃗⃗ . 𝑣⃗⃗⃗ )
Reemplazamos:
|𝐷|2 = 𝑖2(3𝑅2) + 2𝑖𝑗 (
3𝑅2
2) + 𝑗2(3𝑅
2)
|𝐷|2 = 𝑖2(3𝑅2) + 𝑖𝑗(3𝑅
2) + 𝑗2(3𝑅2)
|𝐷|2 = (3𝑅2)(𝑖2 + 𝑖𝑗 + 𝑗2 )
|𝑫| = √𝟑𝑹√𝒊𝟐 + 𝒊𝒋 + 𝒋𝟐 𝑬𝑸𝟐
Haciendo una relación entre el area de la celda y el area del cluster encontraremos el numero de
celdas que conforman un cluster
𝑁 =𝐴
𝑎=
|𝐷|2
3𝑅2
Finalmente, usamos EQ2 para demostrar que :
𝑵 = 𝒊𝟐 + 𝒊𝒋 + 𝒋𝟐
|𝑫| = √𝟑𝑹√𝑵
Finalmente definiremos un sistema de celdas
triangulares:
Donde:
|�⃗⃗� | = |�⃗⃗� | = 𝑹 𝑦 ∅ = 2𝜋3⁄
Entonces:
�⃗⃗� . �⃗⃗� = �⃗⃗� . �⃗⃗� = 𝑹.𝑹. 𝒄𝒐𝒔(𝟎) = 𝑹𝟐
�⃗⃗� . �⃗⃗� = 𝑹.𝑹. 𝒄𝒐𝒔(2𝜋3⁄ ) = −
𝑹𝟐
𝟐
Reemplazando en EQ1:
|𝐷|2 = 𝑖2( 𝑢⃗⃗⃗ . 𝑢⃗⃗⃗ ) + 2𝑖𝑗( 𝑢⃗⃗⃗ . 𝑣⃗⃗⃗ ) + 𝑗2( 𝑣⃗⃗⃗ . 𝑣⃗⃗⃗ )
|𝐷|2 = 𝑖2(𝑅2) + 2𝑖𝑗 (−
𝑅2
2) + 𝑗2(𝑅
2)
|𝐷|2 = 𝑅2(𝑖2 − 𝑖𝑗 + 𝑗2 )
|𝐷| = 𝑅√𝑖2 − 𝑖𝑗 + 𝑗2 𝐸𝑄3