STEVEN KLEBER CAICEDO MEJILLONES

JEANNETH MIRELLY PAREDES CEDEÑO

FIEC-ESPOL

MAESTRÍA EN TELECOMUNICACIONES

DISEÑO DE REDES DE TELECOMUNICACIONES

TAREA 1 Y 2 Demostración De Distancia Entre Dos Celdas Con Reuso De Frecuencia (Sistema de celdas HEXAGONALES y TRIANGULARES)

Para efectos de generalización, primero definiremos la distancia entre dos puntos 𝑷= (𝒖𝟏,𝒗𝟏,) y

𝑸 = (𝒖𝟐,𝒗𝟐,) en un sistema donde sus ejes no son necesariamente ortogonales, ademas las

coordenadas de (𝒖𝒙𝒗𝒙 ) no estan referenciadas al sistema cartesiano sino al sistema de ejes

definidos por los vectores �⃗⃗� y �⃗⃗� .

Los Los ejes en este caso estan definidos por los vectores �⃗� y 𝑣 . Para calcular la distancia D nos

ayudaremos con el algebra vectorial:

Definiremos 𝐴 un vector desde el origen hacia el punto P

Definiremos �⃗� un vector desde el origen hacia el punto Q

Entonces:

La distancia |𝐷| = |�⃗� − 𝐴 |

Por concepto de vectores sabemos que:

|�⃗� − 𝐴 |2

= (�⃗� − 𝐴 ). (�⃗� − 𝐴 )

Calculamos �⃗� − 𝐴

�⃗� − 𝐴 = (𝒖𝟐 − 𝒖𝟏) ∗ 𝒖⃗⃗ ⃗ + (𝒗𝟐 − 𝒗𝟏) ∗ �⃗⃗�

Definimos:

𝑖 = (𝒖𝟐 − 𝒖𝟏)

𝑗 = (𝒗𝟐 − 𝑣𝟏)

Por lo que:

�⃗� − 𝐴 = 𝑖 ∗ 𝒖⃗⃗ ⃗ + 𝑗 ∗ �⃗⃗�

Efectuamos el producto punto (�⃗� − 𝐴 ). (�⃗� − 𝐴 )

|𝐷|2 = |�⃗� − 𝐴 |2

= (�⃗� − 𝐴 ). (�⃗� − 𝐴 ) = ( 𝑖 ∗ 𝒖⃗⃗ ⃗ + 𝑗 ∗ �⃗⃗� ) ( 𝑖 ∗ 𝒖⃗⃗ ⃗ + 𝑗 ∗ �⃗⃗� )

Entonces obtenemos la ecuación para la distancia entre dos puntos 𝑃= (𝒖𝟏,𝒗𝟏,) Y 𝑄 = (𝒖𝟐,𝒗𝟐,)

donde los ejes estan dados por los vectores �⃗� y �⃗⃗� es:

|𝑫|𝟐 = 𝒊𝟐( 𝒖⃗⃗ ⃗. 𝒖⃗⃗ ⃗) + 𝟐𝒊𝒋( 𝒖⃗⃗ ⃗. 𝒗⃗⃗ ⃗) + 𝒋𝟐( 𝒗⃗⃗ ⃗. 𝒗⃗⃗ ⃗) 𝑬𝑸𝟏

Ahora definiremos un sistema de celdas hexagonales:

�⃗⃗� �⃗⃗�

�⃗⃗�

∅⃗⃗

De la gráfica notamos que:

|�⃗⃗� | = |�⃗⃗� | = √𝟑𝑹 𝑦 ∅ = 𝜋3⁄

Por lo que:

�⃗⃗� . �⃗⃗� = �⃗⃗� . �⃗⃗� = √𝟑𝑹. √𝟑𝑹. 𝒄𝒐𝒔(𝟎) = 𝟑𝑹𝟐

�⃗⃗� . �⃗⃗� = √𝟑𝑹. √𝟑𝑹. 𝒄𝒐𝒔(𝜋 3⁄ ) =𝟑𝑹𝟐

𝟐

Entonces usando EQ1:

|𝐷|2 = 𝑖2( 𝑢⃗⃗⃗ . 𝑢⃗⃗⃗ ) + 2𝑖𝑗( 𝑢⃗⃗⃗ . 𝑣⃗⃗⃗ ) + 𝑗2( 𝑣⃗⃗⃗ . 𝑣⃗⃗⃗ )

Reemplazamos:

|𝐷|2 = 𝑖2(3𝑅2) + 2𝑖𝑗 (

3𝑅2

2) + 𝑗2(3𝑅

2)

|𝐷|2 = 𝑖2(3𝑅2) + 𝑖𝑗(3𝑅

2) + 𝑗2(3𝑅2)

|𝐷|2 = (3𝑅2)(𝑖2 + 𝑖𝑗 + 𝑗2 )

|𝑫| = √𝟑𝑹√𝒊𝟐 + 𝒊𝒋 + 𝒋𝟐 𝑬𝑸𝟐

Haciendo una relación entre el area de la celda y el area del cluster encontraremos el numero de

celdas que conforman un cluster

𝑁 =𝐴

𝑎=

|𝐷|2

3𝑅2

Finalmente, usamos EQ2 para demostrar que :

𝑵 = 𝒊𝟐 + 𝒊𝒋 + 𝒋𝟐

|𝑫| = √𝟑𝑹√𝑵

Finalmente definiremos un sistema de celdas

triangulares:

Donde:

|�⃗⃗� | = |�⃗⃗� | = 𝑹 𝑦 ∅ = 2𝜋3⁄

Entonces:

�⃗⃗� . �⃗⃗� = �⃗⃗� . �⃗⃗� = 𝑹.𝑹. 𝒄𝒐𝒔(𝟎) = 𝑹𝟐

�⃗⃗� . �⃗⃗� = 𝑹.𝑹. 𝒄𝒐𝒔(2𝜋3⁄ ) = −

𝑹𝟐

𝟐

Reemplazando en EQ1:

|𝐷|2 = 𝑖2( 𝑢⃗⃗⃗ . 𝑢⃗⃗⃗ ) + 2𝑖𝑗( 𝑢⃗⃗⃗ . 𝑣⃗⃗⃗ ) + 𝑗2( 𝑣⃗⃗⃗ . 𝑣⃗⃗⃗ )

|𝐷|2 = 𝑖2(𝑅2) + 2𝑖𝑗 (−

𝑅2

2) + 𝑗2(𝑅

2)

|𝐷|2 = 𝑅2(𝑖2 − 𝑖𝑗 + 𝑗2 )

|𝐷| = 𝑅√𝑖2 − 𝑖𝑗 + 𝑗2 𝐸𝑄3