ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DE

CHIMBORAZO

FACULTAD DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA

ESCUELA DE INGENIERÍA ELÉCTRONICA EN

TELECOMUNICACIONES Y REDES

NOMBRE: Marllory Corina Cobos MaldonadoCODIGO: 318NIVEL: PRIMERO PARALELO: “A”

TEMA: Métodos Demostración

matemática

x

y z

Z Y

X

Demostración matemática.

El propósito de este capítulo es describir y ejercitarse en algunas de las técnicas de

demostración más importantes: la demostración directa, la demostración indirecta, la

demostración por contraposición y la demostración por reducción al absurdo.

Cuando veamos las características de cada uno de estos métodos, podremos ver con

cierta claridad cuándo es uno de ellos preferible a los otros. Empecemos estudiando

conjuntamente los dos primeros: demostración directa y demostración indirecta.

Los métodos de demostración directa e indirecta

Cuando quieres probar que la proposición “Si A entonces B” es verdadera, lo primero que

tienes que hacer es reconocer quién es la proposición A y quién es B. Por lo general, todo

lo que está entre las palabras “si” y “entonces” constituye la proposición A, y todo lo que

está después de “entonces”, la B.

Otra forma de reconocerlo: todo lo que supones que es cierto, o sea, la hipótesis, es A y

todo lo que tienes que probar que es cierto, o sea, la tesis, es B.

Consideremos el siguiente ejemplo:

Proposición: Si el triángulo rectángulo XYZ de catetos x e y e hipotenusa z tiene de área z2

4 , entonces es isósceles.

En este ejemplo tenemos las proposiciones A “El triángulo rectángulo XYZ de catetos x e y 

e hipotenusa z tiene de área

z2

4 ” y B “ El triángulo rectángulo XYZ es isósceles”. Si recuerdas los ejercicios que has hecho en el capítulo 1 en el apartado «Algo sobre la

proposición “Si A entonces B”», cuando quieres probar que “A implica B”, puedes suponer

que A es verdadera y usar de alguna forma esta información para concluir que B es

verdadera.

El método de demostración indirecta

En el método de demostración indirecta, debes empezar preguntándote: “¿Cómo, o

cuándo, debo concluir que la proposición B es verdadera?” Esta pregunta debes hacerla

de forma general. En el ejemplo anterior, pongamos por caso, la pregunta (general) es:

“¿Cómo puedo probar que un triángulo es isósceles?”

Esta pregunta, obtenida de la proposición B, la llamaremos en lo que sigue la pregunta

clave. Una pregunta clave bien planteada no debería contener ni símbolos ni otras

notaciones (salvo números) del problema que se está considerando. La llave para muchas

demostraciones es formular correctamente la tal pregunta clave.

Una vez que has planteado la pregunta clave, tu paso siguiente en este método será

responderla. Volviendo al ejemplo anterior, ¿cómo puedo probar que un triángulo es

isósceles? Obviamente, una forma es probando que dos de sus lados tienen la misma

longitud. Considerando nuestra figura, deberías probar que x y. Observa que en la

respuesta a la pregunta clave hay dos fases: en primer lugar, das una respuesta general

que no contiene símbolos del problema planteado: demostrar que un triángulo es

isósceles, es demostrar que dos de sus lados tienen igual longitud. Luego, aplicas esta

respuesta a la situación en cuestión: demostrar que dos de sus lados tienen igual longitud,

significa demostrar que x y (no que x z ó y z).

Con el método de demostración indirecta, has construido una nueva proposición, B1, que

tiene la propiedad de que si puedes demostrar que B1, es verdadera, entonces B lo será.

En nuestro ejemplo, la nueva proposición es B1: x  y.

Si puedes probar que x y, entonces el triángulo XYZ es isósceles. Una vez que has

planteado la proposición B1, todos tus esfuerzos deberían dirigirse a intentar llegar a la

conclusión de que B1 es verdadera, pues entonces seguiría que B es verdadera. ¿Cómo

puedes demostrar que B1 es verdadera? ¿Cómo puedes plantear una nueva pregunta

clave para B1?

Puesto que x e y son longitudes de dos lados de un triángulo, una pregunta clave

razonable podría ser “¿cómo puedo probar que las longitudes de dos lados de un

triángulo son iguales?”. Otra, igualmente razonable, sería “¿cómo puedo probar que dos

números reales son iguales?” Al fin y al cabo, x e y son números reales.

Una de las dificultades que pueden surgir en el método de demostración indirecta es la

posibilidad de más de una pregunta clave en algún paso. Elegir la correcta tiene más de

arte que de ciencia. En algunos casos, habrá solamente una pregunta clave obvia; en otros

casos, deberás proceder por ensayo y error. Aquí es donde tu intuición, esfuerzo,

creatividad, tus diagramas, etc., pueden jugar un papel importante. Una norma general, es

dejar que la información que encierra A (que estás suponiendo cierta) te ayude a elegir la

tal pregunta. Al margen de la pregunta clave que finalmente plantees, el siguiente paso

será responderla, primero en general y luego aplicada a la situación en cuestión. ¿Puedes

hacer esto para las dos preguntas clave que supuestamente has planteado para B1? Para la

primera, podrías demostrar que dos lados de un triángulo tienen igual longitud, probando

que los ángulos opuestos son iguales. En nuestro triángulo significaría probar que los

ángulos X e Y son iguales. Un rápido examen de la proposición A nos hace ver que no

aporta mucha información sobre los ángulos del triángulo XYZ. Así pues, debemos elegir la

otra pregunta clave.

Ahora estás ya frente a la pregunta “¿Cómo puedo probar que dos números reales (a

saber, x e y) son iguales? Una respuesta es probar que su diferencia es cero.

Desafortunadamente hay otra respuesta perfectamente razonable: demostrar que el

primer número es menor o igual que el segundo y que el segundo es menor o igual que el

primero. Así pues, surge una segunda dificultad en el método de demostración indirecta:

puedes, incluso, elegir bien la pregunta clave pero puede haber más de una respuesta

para ella. Por otra parte, puedes incluso elegir una respuesta que impida completar la

demostración. Por ejemplo, para la pregunta clave “¿Cómo puedo demostrar que un

triángulo es isósceles?” estaría la respuesta “Demostrando que es equilátero”. Como

puedes observar, es imposible demostrar que el triángulo de nuestro ejemplo es

equilátero, pues uno de sus ángulos es recto.

Volviendo a la pregunta clave asociada a B1 “¿Cómo puedo demostrar que dos números

reales (a saber, x e y) son iguales”, supón, por razones que seguro ya estás viendo, que

eliges la respuesta de probar que su diferencia es cero. Has vuelto, en el método de

demostración indirecta, a construir una nueva proposición B2 con la propiedad de que si

puedes probar que B2 es verdadera, así lo será B1 y, por tanto, también B. Concretamente,

la nueva proposición B2 es

B2: x y 0.

Todos tus esfuerzos deben ahora dirigirse a llegar a la conclusión de que B2 es verdadera.

Deberás, en último lugar, hacer uso de la información de A pero, de momento,

continuemos una vez más con el método de demostración indirecta aplicado a B2.

Una pregunta clave asociada a B2 sería: ¿Cómo puedo probar que la diferencia de dos

números reales es cero? Después de alguna reflexión, parece que no hay una respuesta

razonable a esta pregunta. Un nuevo problema surge en el método de demostración

indirecta: ¡La pregunta clave aparentemente no tiene respuesta! No hay que desanimarse;

no todo está perdido. Recuerda que cuando quieres probar “A implica B”, debes suponer

que A es verdadera. Es ahora el momento de hacer uso de ello.

El método de demostración directa

El método de demostración directa parte de la proposición A, que supones verdadera, y

deducir de ella una nueva proposición A1 que puedas ver que es verdadera como

resultado de que A lo es. Es importante resaltar que las proposiciones deducidas de A no

deben ser hechas de cualquier modo, deben estar enfocadas hacia la última proposición

obtenida en el método indirecto. Volviendo a nuestro ejemplo, recordemos que la última

proposición obtenida en el método indirecto era B2 : x y 0.

En este ejemplo, la proposición A es “ El triángulo rectángulo XYZ de catetos de longitud x 

e y e hipotenusa de longitud z, tiene por área

z2

4 ”.Como bien sabes, de A deducimos

A1:

xy2

= z2

4

Otra proposición útil deducida de A es

A2: x2 y2 z2.

Naturalmente que podemos combinar A1 y A2 y construir más proposiciones verdaderas.

Así, en nuestro caso, tendríamos

A3:

xy2

= x2+ y2

4 .Uno de los problemas de este método es que es también posible construir algunas

proposiciones carentes de utilidad, por ejemplo: “El ángulo X es menor de 90º”.

Como no hay normas específicas para construir nuevas proposiciones, tengamos presente

que, en nuestro caso, el método de demostración directa está dirigido a probar la

proposición B2: x y 0, que fue la última que dedujimos en el método de demostración

indirecta. El hecho de que B2 no contenga el número z es la razón por la que hemos

eliminado z2 de A1 y A2 para construir A3.

Continuando con el método de demostración directa, debes intentar volver a escribir A3

para que se parezca más a B2. Por ejemplo

A4: x2 2xy y2 0, que factorizándola da A5: (x y)2 0.

Es interesante hacer notar que el método de demostración directa nos ha dado una

respuesta a la pregunta clave que habíamos asociado con B2: “¿Cómo puedo demostrar

que la diferencia de dos números reales es cero?”, que, en este caso, sería demostrando

que el cuadrado de su diferencia es cero.

Como ves, normalmente mezclamos los dos métodos vistos. Un resumen de nuestra

demostración podría ser:

Proposiciones Justificaciones

A: Área de XYZ es

z2

4Dado

A1:

xy2

= z2

4 Área

base⋅altura2

A2: x2 y2 z2 Teorema de Pitágoras

A3:

xy2

= x2+ y2

4De A2 y A1

A4: x2 2xy y2 0 De A3

A5: (x y)2 0 Factorizando A4

B2: x y 0. De A5

B1 : x y De B2

B: XYZ es isósceles De B1

Como te habrás dado cuenta, no es normal escribir todos estos pasos en una

demostración; suelen aparecer versiones mucho más condensadas. Por ejemplo, en

nuestro caso, aparecería algo así como

Demostración. La hipótesis, junto al teorema de Pitágoras, nos lleva a x2 y2 2xy, de

donde (x  y)2 0 y el triángulo es isósceles como queríamos probar.

El método de demostración por reducción al absurdo

Aunque hayas creído por un momento que el método de demostración que acabas de ver,

demostración directa-indirecta, te va a resolver casi cualquier tipo de demostración que te

aparezca, existen casos muy simples donde fracasa estrepitosamente. Por ejemplo:

Proposición: Si n es un entero positivo y n2 es par, entonces n es par.

Si pensamos en el método de demostración indirecta, empezamos con la pregunta clave:

“¿Cómo puedo demostrar que un entero (a saber, n) es un número par? Una respuesta

sería demostrar

B1: Existe entero k tal que n 2k.

La aparición del cuantificador existe sugiere proceder mediante un método de

construcción, de forma que usaremos el método directo de demostración para intentar

construir el entero buscado k.

Trabajando así, de la hipótesis de que n2 es par, podemos afirmar

A1: Existe un entero, digamos m, tal que n2 2m.

Como nuestro objetivo es encontrar el entero k para el que n 2k, parece natural tomar

la raíz cuadrada positiva de los dos términos en A1 y escribir:

A2: n=√2m y ¿cómo volver a escribir ahora √2m para que se parezca a 2k? ¡Parece que

el método de demostración directa-indirecta falla aquí!

Afortunadamente existen otras técnicas de demostración. Una de ellas, el método de

demostración por reducción al absurdo es la que vamos ahora a ver, junto con unas

indicaciones de cuándo y cómo debe utilizarse.

En el método de demostración de reducción al absurdo, debes empezar suponiendo que A 

es verdadera, al igual que hacías en el método de demostración directa. Ahora, sin

embargo, para llegar a la conclusión buscada, a saber, que B es verdadera puedes

proceder haciéndote una pregunta muy simple: “¿Por qué no puede B ser falsa?”

Después de todo, si B tiene que ser verdadera, debe haber alguna razón por la que no

pueda ser falsa. El objetivo del método de demostración por reducción al absurdo es,

precisamente, descubrir esa razón.

En otras palabras, la idea de la demostración por reducción al absurdo es suponer que A 

es verdadera y B falsa y ver que no puede ocurrir esto.

¿Y qué significa “ver por qué no puede ocurrir esto”? Supón, por ejemplo, que después de

suponer que A es verdadera y B falsa (en lo que sigue escribiremos no B) eres capaz de

demostrar que 1 0. ¿No te convencería eso de la imposibilidad de ser A verdadera y B 

falsa simultáneamente?

Así pues, en una demostración por reducción al absurdo, debes suponer que A y no B son

verdaderas y usar esta información para llegar a una contradicción de algo que tú estás

seguro de que es verdadero.

Una vez llegados aquí surgen, de forma natural, varias preguntas:

1. ¿Qué contradicción debemos buscar?

2. ¿Cómo utilizar exactamente la suposición de que A es verdadera y B falsa para llegar a

esa contradicción?

3. ¿Por qué y cuándo debemos utilizar este método en lugar del de demostración

directa-indirecta?

La primera pregunta es, con mucho, la más difícil de responder, porque no hay normas

específicas. Cada problema origina su propia contradicción, hay normalmente que tener

creatividad, esfuerzo, persistencia ... y suerte para llegar a esa contradicción.

Respecto de la segunda pregunta, el método más normal para llegar a una contradicción

es trabajar conjuntamente, mediante demostración directa, partiendo de que A y no B son

verdaderas. Esta última observación también puede indicar la conveniencia de usar a

veces el método de demostración por reducción al absurdo en lugar del de demostración

directa-indirecta: mientras que en este último, supones únicamente que A es verdadera,

en el método de reducción al absurdo supones que tanto A como no B son verdaderas. Así

pues, tienes dos proposiciones para empezar a andar en vez de una sólo. Como

contrapartida no tienes una idea exacta de cómo va a surgir la contradicción.

Como regla general, utiliza el método de demostración por reducción al absurdo cuando la

proposición no B te dé alguna información útil. Hay al menos dos casos fácilmente

reconocibles en los que esto ocurre: Recuerda la proposición B asociada a nuestro

ejemplo del comienzo: “n es un entero par”. Puesto que un entero solamente puede ser

par o impar, cuando supones que B no es verdadera, debe ocurrir que n es un entero

impar. Aquí, la proposición no B te da alguna información útil.

En general, cuando la proposición B es una de dos posibles alternativas (como ocurre en

nuestro ejemplo), el método de demostración por reducción al absurdo puede ser útil, en

tanto que, suponiendo no B, sabes que ocurre la otra alternativa.

Un segundo caso en el que el método de demostración por reducción al absurdo puede

tener éxito es aquel en el que la proposición B contiene la palabra no, como se muestra en

el ejemplo más clásico y más hermoso de demostración por reducción al absurdo que

verás en el problema 2-28:

Proposición: Si r es un número real tal que r2 2, entonces r no es racional.

Uno de los matemáticos más importantes de este siglo, el inglés G.H. Hardy, decía que “el

método de reducción al absurdo, que tanto complacía a Euclides, es una de las armas más

finas que puede emplear un matemático. Es un gambito mucho más hermoso que

cualquiera de los que pueda ofrecernos el juego del ajedrez. Un jugador de ajedrez puede

sacrificar un peón o incluso una pieza, pero un matemático sacrifica la partida completa”.

Otros casos en los que es útil el método de demostración por reducción al absurdo son

aquellos en los que la proposición B contiene el cuantificador existe. Con el método de

construcción tenemos la dificultad de tener que construir el objeto buscado. El método

por reducción al absurdo abre ahora un nuevo enfoque. En lugar de demostrar que existe

un objeto con la propiedad de que tal cosa ocurre, ¿por qué no proceder con la

suposición de que no existe tal objeto? Nuestra tarea sería ahora usar esta información

para llegar a algún tipo de contradicción. El cómo y dónde va a surgir la contradicción

puede no estar claro pero puede resultar mucho más fácil que construir el objeto

buscado.

Considera el siguiente ejemplo: Supón que quieres demostrar que en una fiesta con 367

personas, al menos hay dos con el mismo cumpleaños. Si usas el método de construcción,

tendrías que ir a la fiesta y encontrar las dos personas en cuestión. Supón, por el

contrario, que no hubiera ningún par de personas con el mismo cumpleaños e intenta

llegar tú solo a una contradicción.

La demostración por contraposición

Acabamos de ver que en el método de demostración por reducción al absurdo, partes de

las proposiciones A y no B y, por demostración directa, intentas alcanzar algún tipo de

contradicción. La dificultad de este método es que no sabes a qué contradicción te vas a

dirigir. El método que veremos ahora, la demostración por contraposición, tiene la ventaja

de que te vas a dirigir hacia una contradicción concreta.

En la demostración por contraposición, al igual que la demostración por reducción al

absurdo, supones que tanto A como no B son verdaderas. En el método por

contraposición, sin embargo, no partes de A y no B, sino que empiezas a trabajar

solamente con no B y tu objetivo es llegar a que A es falsa, con lo que ya has llegado a una

contradicción ¿Qué mejor contradicción? ¿Cómo puede ser A a la vez verdadera y falsa?

Intenta demostrar por contraposición la siguiente proposición:

Proposición: Si m y b son números reales con m 0, entonces la función f (x) mx b es

inyectiva. (Recuerda que una función es inyectiva si para cualesquiera nos reales x e y con x 

y es f (x) f (y)).

Hemos dicho que la demostración por contraposición es un cierto tipo de demostración

por reducción al absurdo. Cada uno de estos dos métodos tiene sus ventajas y sus

inconvenientes. La desventaja del método de demostración por contraposición frente al

de reducción al absurdo consiste en que en aquél partes de una sola proposición, no B, en

lugar de dos. La ventaja es que sabes exactamente a donde quieres llegar, a no A, con lo

que puedes aplicar el método de demostración indirecta a la proposición no A. La opción

de trabajar con demostración indirecta no es aplicable en el método por reducción al

absurdo pues no sabes qué contradicción estás buscando.

Si comparas el método de demostración directa-indirecta (A implica B) con el de

contraposición (no B implica no A) observarás que tienen la misma estructura y, por tanto,

no hay, en principio, razones aparentes para preferir uno a otro.

Hay, sin embargo, algunos casos en los que el método de contraposición o el de por

reducción al absurdo deberían elegirse o, al menos, considerarse seriamente. Son aquellos

en los que en la proposición B aparece la palabra no, pues, en estos casos, es bastante

normal que la proposición no B contenga alguna información útil.

Para terminar, he aquí un cuadro que resume los tres métodos:

Método Supongo Concluyo

Demostración directa-

indirecta    A

directa . . . Indirecta B

Reducción al absurdo A  y no B directa . . . contradicción

Contraposición  no B directa . . . Indirecta

no A

Demostración por inducción matemática

En una demostración por inducción matemática, antes que nada se tiene que demostrar que un "caso inicial " es cierto, y entonces la "regla de inducción" se utiliza para probar una serie de otro casos (a menudo infinitos casos). Cómo que se ha demostrado que el caso inicial es cierto, el resto de infinitos otros casos también tienen que ser ciertos, aunque todos no se puedan demostrar directamente puesto que son un número infinito. Un subconjunto de inducción es un método de descenso infinito. Se utilizó un método de descenso infinito para demostrar que el raíz de 2 es irracional. El principio de inducción matemática dice que: Sea ' = { 1, 2, 3, 4, ... } el conjunto de los números naturales y P( ') una afirmación matemática en la que interviene el número natural ' perteneciente a tal que (y) P(1) es cierto, ie, P( ') es cierto por ' = 1 (ii) P(me ' + 1) es cierto si P(me ') es cierto, ie, P(me ') es cierto implica que P(me ' + 1) es cierto. Entonces P( ') es cierto para todos los números naturales '.Los matemáticos utilizan a menudo el término "demostración por inducción " como abreviatura para demostración por inducción matemática.[4] A pesar de esto, el término "demostración por inducción" también se puede utilizar en lógica para significar una argumentación que utiliza razonamiento inductivo.

Demostración por transposiciónLa demostración por transposición establece la conclusión "si p entonces q" demostrando el enunciado equivalente contrapositive "si no q entonces no p".

Demostración por construcciónLa demostración por construcción, o demostración por ejemplo consiste al construir un ejemplo concreto con la propiedad que demuestra que existe algo con una propiedad determinada. Por ejemplo, Joseph Liouville, demostró la existencia de los números trascendentes construyendo un ejemplo explícito.

Demostración por exhaustióEn una demostración por exhaustió, se llega a la conclusión mediante la división de la afirmación en un número fenecido de casos y probando cada caso independientemente. El número de casos puede ser a veces muy grande. Por ejemplo, la primera demostración del teorema de los cuatro colores se hizo por exhaustió con 1936 casos. Esta prueba fue bastante controvertida porque la mayoría de los casos fueron comprobados por un programa de ordenador y no con lápiz y papel. La demostración hecha de este teorema hasta la actualidad que tiene menos casos todavía tiene más de 600.

Demostración probabilísticaUna demostración probabilística es una en la que se demuestra que existe un ejemplo, con seguridad, utilizando métodos probabilísticos. No se tiene que confundir con la afirmación que un teorema es 'probablemente' cierto. Este último tipo de razonamiento se puede denominar 'argumento plausible' y no es una prueba; en el caso de la conjetura de Collatz está clara la diferencia entre este tipo de demostraciones y una demostración auténtica. La demostración probabilística, como las demostraciones por construcción, es una de las muchas maneras de demostrar teoremas de existencia.

Demostración combinatóricaUna Demostración combinatórica establece la equivalencia de las diferentes expresiones demostrando que cuentan el mismo objeto de diferentes maneras. Normalmente se utiliza una biyección para demostrar que las dos interpretaciones dan el mismo resultado.

Demostración no-constructivaUna Demostración no-constructiva establece que un determinado objeto matemático tiene que existir (e.g. "Algún X satisface f(X)"), sin explicar como se puede encontrar este objeto. A menudo este tipo de demostraciones toma la forma de una demostración por reducción al absurdo en la que se demuestra la imposibilidad de la no existencia del objeto. En un demostración constructiva se demuestra que este objeto existe dando un método para encontrarlo. Un ejemplo famoso de una demostración no constructiva demuestra que existen dos números irracionales a y b tal que enb es un número racional:O bien es un número racional y, entonces, ya hemos acabado (tomamos ), o es irracional, por lo tanto escribimos y . Esto da , que es por lo tanto un número racional de la forma ab.

Demostración visual

Demostración visual al triángulo (3, 4, 5) cómo en el Chou Pei Suan Ching 500–200 BC.

A pesar de que no es una demostración formal, una demostración visual de un teorema matemático toma a veces el nombre de "demostración sin palabras". La imagen de la derecha es un ejemplo de una demostración visual histórica del teorema de Pitàgores en el caso del triángulo (3,4,5).

Demostración elementalUna demostración elemental es una demostración en la que se utilizan únicamente técnicas básicas. Este término se utiliza en la teoría de números para referirse a demostraciones que no utilizan análisis complejo. Durante tiempo se creía que algunos teoremas como el teorema de números primos sólo se podían demostrar utilizando matemáticas "de alto nivel". Con el tiempo, muchos de estos resultados se han demostrado utilizando sólo técnicas elementales.

Demostración a dos columnas

Una forma particular de demostración utilizando dos columnas paralelas se utiliza a menudo en las clases de geometría elemental.[6] La demostración se escribe como una serie de líneas en dos columnas. A cada línea, la columna de la izquierda contiene una proposición, mientras que la columna de la derecha contiene la explicación de si esta proposición es, o bien un axioma, o bien una hipótesis, o bien puede ser obtenida a partir de las líneas anteriores.

Demostraciones estadísticas en matemáticas purasLa expresión "demostración estadística" se puede utilizar técnicamente o coloquialment en las áreas de matemáticas puras como la criptografía, las series caóticas y la teoría de números probabilística o analítica.[7][8][9] Se utiliza menos frecuentemente para referirse a una demostración matemática en la rama de estadística matemática. Ved también la sección "Demostración estadística utilizando datos" más adelante.[4].

Demostraciones asistidas por ordenadorHasta el siglo XX se creía que toda demostración podía ser, en principio, comprobada por cualquier matemático competente para confirmar su validez.[1] Pero hoy en día, se utilizan los ordenadores tanto para demostrar teoremas como para hacer cálculos que son demasiado largos para hacer por cualquier persona o grupo de personas; la primera demostración del teorema de los cuatro colores es un ejemplo de una demostración asistida por ordenador. Algunos matemáticos están preocupados por la posibilidad de algún error en el programa de ordenador o un error en el tiempo de ejecución de los cálculos. Estos posibles problemas pondrían en cuestión la validez de esta demostración asistida por ordenador. A la práctica, las posibilidades de un error que invalidara la demostración asistida por ordenador se pueden reducir incorporando redundancia y auto-comprobaciones en los cálculos, y desarrollando múltiples y diferentes programas, así como aproximaciones independientes.

Proposiciones indemostrablesUna proposición de la cual no se puede demostrar ni la veracidad ni la falsetat a partir de un conjunto de axiomas se denomina indecidible (por este conjunto de axiomas). Un ejemplo es el postulado de las paralelas, que no se puede ni probar ni refutar a partir de los axiomas de la geometría euclídea.Se ha demostrado que hay muchas proposiciones que no son ni demostrables ni refutables en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de la elección (ZFC), el sistema estándar de la teoría de los conjuntos en matemáticas (suponiendo que ZFC es consistente); ved lista de las proposiciones indecidibles a ZFC.

Webgrafia:

* http://es.wikilingue.com/ca/Demostraci%C3%B3n_matem%C3%A1tica