2portico Demostracion Matriz
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ING. RONALD SANTANA TAPIA II - 1 DEMOSTRACIÓN: Sea un elemento cualquiera representado en la figura adjunta con sus 6 grados de libertad y sus respectivas características del material dado procederemos a hallar cada una de las columnas pertenecientes a la matriz general de un análisis de segundo orden con el efecto P-Delta. COEFICIENTES DE LA COLUMNA “1” La columna “1” de la matriz de rigidez, será el conjunto de fuerzas que equilibran el sistema en donde existe un desplazamiento u i =1 y el resto de desplazamientos será igual a cero. Convención de signos: Entonces con la ecuación de desplazamientos Pero
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ING. RONALD SANTANA TAPIA
II - 1
DEMOSTRACIN:
Sea un elemento cualquiera representado en la figura adjunta con sus 6 grados
de libertad y sus respectivas caractersticas del material dado procederemos a
hallar cada una de las columnas pertenecientes a la matriz general de un anlisis
de segundo orden con el efecto P-Delta.
COEFICIENTES DE LA COLUMNA 1
La columna 1 de la matriz de rigidez, ser el conjunto de fuerzas que equilibran
el sistema en donde existe un desplazamiento ui=1 y el resto de
desplazamientos ser igual a cero.
Convencin de signos:
Entonces con la ecuacin de desplazamientos
Pero
-
EFECTO P-DELTA EN PORTICOS
II - 2
Por lo tanto:
Entonces:
Y
Por lo tanto:
{
}
COEFICIENTES DE LA COLUMNA 2:
La columna 2 de la matriz de rigidez, ser el conjunto de fuerzas que equilibran
el sistema en donde existe un desplazamiento Vi=1 y el resto igual a cero, en
este caso especial tendremos en cuenta tambin los momentos generados por el
desplazamiento unitario.
-
ING. RONALD SANTANA TAPIA
II - 3
Convencin de signos:
Ecuacin diferencial de la elstica:
Considerando solo deformacin por flexin, pero en este caso se tiene en cuenta
el desplazamiento.
( )
Despejando EI:
( )
Llamando:
Remplazando
queda:
( )
(Ecuacin diferencial no homognea de 2do orden)
Resolviendo la ecuacin diferencial no homognea de segundo orden resulta:
-
EFECTO P-DELTA EN PORTICOS
II - 4
( )
( )
Que ser la ecuacin general de las deformaciones generadas por los
desplazamientos unitarios.
Derivando la ecuacin (I) queda
( )
( )
Que es la ecuacin general de las deformaciones angulares producidas por los
desplazamientos planteados.
Ahora nuestras incgnitas sern: , , y
Planteando las condiciones de borde para las ecuaciones (I) y (II):
( ) ( ) ( ) (c)
( ) ( ) ( ) 0 (d)
Desarrollando:
Condicin (a):
Condicin (b):
Remplazando
-
ING. RONALD SANTANA TAPIA
II - 5
( )
Condicin (c):
Condicin (d):
Remplazando:
y
( )
( ) ( )
(2) en (1):
[
( )]
*
( )+
[
( )]
*
( )
( ) +
Como:
Entonces multiplicando los dos miembros por L queda:
-
EFECTO P-DELTA EN PORTICOS
II - 6
Llamando:
entonces y simplificando resulta
Ahora utilizando esta expresin para poder simplificar la ecuacin previa,
resultar:
*
( )
( ) +
*
( ) ( )+
*
( )
( ) +
*
( )+
[
( )]
(
)
(
)
Pero:
y despejando Ni resulta
remplazando este trmino
en la ecuacin previa resulta:
(
)
*
(
)+ (3)
Llamando:
-
ING. RONALD SANTANA TAPIA
II - 7
Estas dos expresiones son presentadas por comodidad para poder simplificar las
ecuaciones propuestas y de esa manera reducir los trminos presentes en estos.
Continuando con la ecuacin (3) y ahora sumando y restndole resulta:
*
(
)+
*
(
)+
Se presenta el trmino
el cual por comodidad lo hemos
nombrado S entonces:
*
(
( )
( )
( ) )+
*
(
( )
( )
)+
Se presenta el trmino
( ) el cual por comodidad lo hemos
nombrado C. Tambin notamos que se presenta S entonces:
[
( )]
[
( )]
-
EFECTO P-DELTA EN PORTICOS
II - 8
Llamado:
( )
Ahora (3) en (2):
( )
*
(
)+
Remplazando ya demostrado anteriormente:
*(
)(
)+
* (
)(
( )
)+
Simplificando:
*(
)+
*
(
( ))+
Haciendo un artfico el cual consta en aumentar y reducir
resulta:
*
( ( ) ( )
( ))+
*
(
( )
( )
( ))+
*
(
( )
( )
( )
( ))+
-
ING. RONALD SANTANA TAPIA
II - 9
*
(
( )
( )
)+
Como
entonces:
*
(
( )
( )
)+
De la ecuacin (3) sabemos que ( ) ( )
( ) entonces:
*
( ( )
)+
Llamando
* ( )
+
Por equilibrio de fuerzas:
Calculo de : ( )
Reemplazando los valores de hallados anteriormente resulta:
*
( ( )
)+
[
( )]
[ ( )]
*
+
[ ( )]
[ ( )]
-
EFECTO P-DELTA EN PORTICOS
II - 10
[
( )]
Como:
( )
Calculo de
Si
Por lo tanto la matriz de la columna 2 queda como sigue:
{
}
COEFICIENTES DE LA COLUMNA 3
La columna 3 de la matriz de rigidez, ser el conjunto de fuerzas que equilibran
el sistema en donde existe un desplazamiento (giro) y el resto igual a
cero.
-
ING. RONALD SANTANA TAPIA
II - 11
Ecuacin diferencial de la elstica:
De la figura se obtienen los siguientes momentos:
Despejando EI:
Llamando
entonces:
Resulta una Ecuacin diferencial no homognea de 2do orden y la solucin es:
( )
.. (I)
Que ser la ecuacin general de los desplazamientos en la direccin (y) y
derivando resulta:
-
EFECTO P-DELTA EN PORTICOS
II - 12
( )
.. (II)
Que es la ecuacin general de los giros en el plano x-y. Ahora las condiciones de
borde resultantes de las ecuaciones (I) y (II) sern:
( ) ..(a) ( ) (c)
( ) . (b) ( ) .... (d)
Desarrollando:
Condicin (a):
Condicin (b):
Remplazando
:
.. (1)
Condicin (c):
. (2)
Condicin (d):
-
ING. RONALD SANTANA TAPIA
II - 13
Despejando C1
. (3)
(3) en (1)
(
)
Simplificando :
( ) (
)
(
( )) .. (4)
Ahora (3) en (2):
(
)
. (5)
Reemplazando (4) en (5):
(
( ))
*( )
( )
+
Pero
-
EFECTO P-DELTA EN PORTICOS
II - 14
Multiplicando a ambos miembros por
y llamando
entonces . Remplazando el valor de KL por en la ecuacin
anterior, resulta:
*( )
( )
+
* ( )
+
[
]
[
]
[
]
Como
y despejando
Remplazando en la ecuacin precedente resulta:
[
]
[
]
*
(
)+
*
(
)+ .. (6)
-
ING. RONALD SANTANA TAPIA
II - 15
*
( )+;
Donde
( )
Ahora (6) en (4):
*
(
)(
( ))+
Remplazando :
*(
)(
( ))+
[ (
) (
( ))]
[ (
) (
( ))]
*(
)+
*
(
)+(7)
Como:
*
+;
-
EFECTO P-DELTA EN PORTICOS
II - 16
Llamando:
Por lo tanto:
Por equilibrio de fuerzas:
. (8)
Reemplazando (6) y (7) en (8):
*
(
)+
*
(
)+
*(
)+
*(
( )
)
( )
( )+
*
(
( )
)
( )
( )+
Dos damos cuenta que aparecen los trminos S y C, de esta manera se puede
simplificar an ms la expresin, quedando como sigue:
*
+;
Llamado
Por lo tanto:
Por equilibrio de fuerzas verticales:
-
ING. RONALD SANTANA TAPIA
II - 17
Calculo de
Si
Quedando la columna nmero 3 de la siguiente forma:
{
}
De forma similar se encontraran las otras 3 columnas de la matriz de rigidez para
la viga tanto en eje global como en eje local que coinciden:
[
]
-
EFECTO P-DELTA EN PORTICOS
II - 18
Para encontrar la matriz de rigidez general de los elementos considerando el
efecto P-delta, es como sigue:
En donde:
[
]
[
]
Para el desarrollo de un elemento cualquiera con efecto p-delta
Por lo tanto la ecuacin general del efecto P-Delta queda como:
-
ING. RONALD SANTANA TAPIA
II - 19
( )
[
EA
LCX
2+ 1
12EI
L3
CY2
(EA
L- 1
12EI
L3
)CXCY EA
LCY
2+ 1
12EI
L3
CX2
R O
- 26EI
L2CY 2
6EI
L2CX 3
4EI
L
- (EA
LCX
2+ 1
12EI
L3
CY2) (
EA
L- 1
12EI
L3
)CXCY 26EI
L2
CY
(EA
L+ 1
12EI
L3
)CXCY
- 26EI
L2
CY
(EA
LCX
2+ 1
12EI
L3
CY2)
26EI
L2
CX
26EI
L2
CX
42EI
L
EA
LCX
2+ 1
12EI
L3
CY2
(EA
L+ 1
12EI
L3
)CXCY
26EI
L2
CY
EA
LCY
2+ 1
12EI
L3
CX2
- 26EI
L2
CX
34EI
L ]
( )
-
EFECTO P-DELTA EN ARMADURAS
II - 20
Para un anlisis de 2do orden:
* ( )
+
[ ( )]
Adems:
( )
Donde:
N: fuerza axial del elemento.
Criterio de convergencia:
|
|
e
e
A continuacin presentaremos un ejemplo el cual vamos a resolver en forma
lineal y en forma no lineal, para de esta manera comparar los resultados y ver las
diferencias que tiene la no linealidad con respecto a la linealidad.
