Republica Bolivariana de Venezuela Ministerio del poder popular para la educación superiorUniversidad Fermín Toro Cabudare Edo. Lara

Métodos de Demostración

Norbely Yesenia Pérez ColmenarezC.I: 20.472.192

Escuela de Ing. Mecánica

03 de Junio 2012

Cuando se parte de un conjunto de postulados o de proposiciones cuya validez ha sido probada, para inferir como consecuencia la tesis, a través de una serie de inferencias, se establece una demostración directa.

En ella se prueba la validez de una tesis estableciendo que ésta es una consecuencia necesaria de los fundamentos de la disciplina correspondiente (matemática en este caso).

Una demostración directa de una proposición t (que se define como teorema) consiste en n conjunto de proposiciones P1, P2,………Pn (Premisas) que son postulados o proposiciones cuya validez ya ha sido probada y de las cuales se infiere la proposición t como consecuencia inmediata. En una demostración directa, cada paso debe ir acompañado de una explicación que justifique la presencia de ese paso.

Métodos de Demostración Directa

Se dice que t es una consecuencia inmediata de P1, P2,………Pn si se produce la implicación:

Para mayor brevedad, llamaremos h (hipótesis) al antecedente del esquema proposición al anterior.

Si se tiene dificultades en la construcción de una demostración directa, se puede a veces obtener resultados más importantes y mejores, empleando algunos otros métodos. Cuando se establece validez de una tesis ~ t probando, que las consecuencias de su contraria son falsas, entonces se realiza una demostración indirecta. El método de demostración indirecta se basa en el hecho de que si ~ t es falsa, entonces t es verdadera (negar-negando). La mejor manera de hacerlo es mostrando que ~ t no es compatible con las afirmaciones dadas en la hipótesis.De otro modo, suponiendo que la proposición ~ t es verdadera, consideremos el conjunto formado por ella y las otras proposiciones conocidas y tratamos de demostrar que este conjunto así considerado nos lleva a una contradicción. Cuando se llega a la contradicción, sabemos quela verdad de ~ t no es compatible con nuestra hipótesis (verdadera) y, por tanto, que es falsa. Por consiguiente, ~t es verdadera.

Métodos de Demostración Indirecta

 Luego, para demostrar un teorema de la forma , basta deducir alguna contradicción a partir de la hipótesis .Hay diferentes formas para utilizar el método de demostración indirecta; Para demostrar podemos hacerlo demostrando que:  

Los conectivos lógicos son aquellos que sirven para formar proposiciones compuestas. Simbólicamente los conectivos se representan del modo siguiente:

Un enunciado: es un conjunto de símbolos por medio de los cuales expresamos lo pensado en un juicio, ya sea en formal oral o escrita.Enunciados Abiertos o simples: son aquellos que tiene un único valor de verdad. Es el que no tiene otro enunciado como parte componente. Ejemplo: “Las rosas son rojas”.Enunciados Cerrados o compuestos: un enunciado compuesto contiene otro enunciado como componente. Ejemplo: “Las rosas son rojas y las violetas son azules”.

Proposiciones simples o atómicas: son aquellas que constan de un solo enunciado.

Proposiciones compuestas o moleculares: son las que constan de dos o más proposiciones simples entrelazadas por ciertas particularidades lógicas llamadas conectivos lógicos.

Proposiciones CompuestasLa Negación: la conectiva “no” es la que se antepone a una

proposición para cambiar su valor de verdad y se representa por el siguiente símbolo “~”.

La Bicondicional o Doble Implicación: es una proposición que se obtiene al unir dos proposiciones simples mediante el conectivo “si y solo si” y se representa así:”ð”

La Conjunción: es una proposición compuesta que se obtiene al unir dos proposiciones simples unidas o entrelazadas mediante el conectivo “y”, y se representa con el siguiente símbolo: “ð”.

La Disyunción Inclusiva: es una proposición compuesta de dos proposiciones simples unidas por el conectivo lógica “o”, que se representa de la manera siguiente: “V”.

La Disyunción Exclusiva: es una proposición compuesta por dos proposiciones simples entrelazas por el conectivo “o…o” y se representa así: “V”.

La Condicional o Implicación: es la combinación de dos proposiciones unidas por la conectiva “si…entonces…”, que se representa de la forma siguiente: “→“. La proposición que aparece entre las palabras”Si y Entonces”, se denomina antecedente o hipótesis y la que aparece después de la palabra “Entonces”, se le llama consecuente o conclusión.

Así como existen identidades trigonométricas, en el álgebra proposicional se cumplen leyes para cualquier proposición lógica:

Leyes de Conjunción

Leyes de Disyunción Inclusiva

Leyes de Morgan

Leyes de Absorción

Leyes Complementarias

Demostración de la firmatión

Antes de demostrar esto debemos tener claro que existen ciertos axiomas que nos permitirán, en este caso, demostrar nuestra afirmación. Dado que nos basaremos en axiomas, tenemos que nuestra demostración (siendo cada paso lógico correcto) es verdadera.

• Usaremos los siguientes axiomas de los números reales:

Ax1. Ax2. Si y , con a,b,c reales. Entonces

Asumidos ciertos estos axiomas podemos comenzar con nuestra demostración. Supongamos por un momento, contrariamente a lo esperado que, y veamos que llegamos a una contradicción. Puesto que

, aplicando el axioma Ax2 al multiplicar por 1 (que es menor que cero), tenemos que

, lo cual es una contradicción. Como nuestra hipótesis era que , y ésta es falsa, lo único que ahora

podemos decir es que . Pero el axioma Ax1 dice que la única posibilidad donde no existe contradicción es que efectivamente

Razonamiento

Es claro que lo que debemos tener es una contradicción. Para ello, pr imero debemos plantear una hipótesis, y comprobar si es cierta o no. De no serla nos conducirá a una contradicción. Debe tenerse claro que nuestra hipótesis comienza cuando decimos que 1 es menor que cero y no en los axiomas mencionados anteriormente (porque éstos están ya demostrados o bien, asumidos ciertos y no requieren, por lo tanto, mayor análisis) . Como sabemos que la afirmación "'1 es menor que cero" es falsa, debiéramos llegar a una contradicción. Pero no basta sólo con saberlo, ya que debe ser demostrado.

Nuestra hipótesis fue que uno era menor que cero y, luego de ciertos pasos lógicos correctos usando los axiomas, concluimos que uno era mayor que cero, lo cual claramente no puede ser cierto, ya que por la ley de tricotomía, dos números reales deben cumplir una y sólo una de las siguientes relaciones

; o bien ,

pero nunca dos ni tres juntas. Luego, como nuestra hipótesis nos conduce a una contradicción, es falsa, y debemos considerar todas las posibilidades, menos esa. Esto es: como uno no es menor que cero, debe, necesariamente, ser mayor o igual que éste (cero). Pero el axioma primero dice que uno es distinto de cero, por lo que sólo queda la opción de que 1 sea mayor que cero.

Luego

Razonamiento incorrecto

Un error común entre quienes comienzan el estudio de estas materias, es el de pensar que han llegado a una contradicción sin haberlo hecho. Por ejemplo: Suponen que:

, Luego sumando (-1) a ambos lados lo cual es una contradicción ya que .

Este razonamiento tiene un error, ya que no llegamos a una contradicción. Nuestra hipótesis era que 1 era menor que cero y por lo tanto, con los procedimientos realizados , que es verdadero. En esta caso la afirmación es falsa.

Nótese que para llegar a una contradicción debemos tener lo siguiente:

• Una afirmación P (en nuestra hipótesis) que diga que ésta es cierta. • Una conclusión que diga que P es falsa.

Claramente ninguna afirmación puede cumplir con esto. En lógica esto la afirmación sería:

P es cierta y ~P es cierta, que se lee "P es cierta y no P es cierta".

Ingeniería en Computación Necesitamos un procedimiento que calcule el lugar que ocupa el elemento deuna lista que da el mínimo de dicha lista:> minimo:=proc(a)> local c,i,j:> c:=a[1]:> for i from 2 to nops(a) do> if a[i]<c then c:=a[i] fi:> od:> j:=1:> while a[j]<>c do> j:=j+1> od:> j;> end:> minimo([1,2,3,4,5,0.5]);6> minimo([1,4,0.8,67,50]);3

Ahora podemos llamar a este procedimiento para construir el algoritmo de selección. Hay que construir una lista cada vez más pequeña e ir calculando los mínimos para intercambiar los valores si es necesario. En lugar de construir listas cada vez más pequeñas, lo que vamos a hacer es ir poniendo el valor in_nito en el correspondiente término de la lista de modo que, como in_nito es mayor que cualquier número, se tendrá que a la hora de calcular mínimos este término no va a intervenir nunca.> seleccion:=proc(a)> local b,c,i,m:> b:=a:> c:=a:> for i from 1 to nops(a) do> m:=minimo(b):> if b[i]<>b[m] then> b:=Intercambiar(b,i,m):> c:=Intercambiar(c,i,m):> fi:> b[i]:=infinity:> od: c;> end:> seleccion([2,1,3,6,5]);[1; 2; 3; 5; 6]> seleccion([2,5,4,3,1,0]);[0; 1; 2; 3; 4; 5]

f

q

p

r

Circuito que permite selecciona mujeres de más de 50 años y hombres con factor Rh negativo.Este circuito lógico ha sido diseñado de tal manera que f 1 cuando (p.q.r) toma los valores (0,1,0), (0,1,1), (1,0,0),(1,1,0), es decir, solo elige mujeres de más de 50 años y hombres con factor Rh.