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CUADERNO DE VERANO
MATEMÁTICAS “B” 4º E.S.O.
COLEGIO MAESTRO ÁVILA Y SANTA TERESA
ALUMNO:_____________________________________________________________________
Benito Prieto Berzal MATEMÁTICAS “B” 4º E.S.O.
2
TEMA 1
NÚMEROS REALES 1. Completa el siguiente cuadro:
[–1,3]
0 2
–2 4
[–2,1)
–1
– 3
x > 2
(0,)
1 x < 5
(–1,5)
x 0
[2/3,)
–2 < x 2
–3 x 3
x < –3, x > 3
2. Calcula en los casos que sea posible las siguientes raíces:
3. Extrae todos los factores que sea posible en los siguientes radicales:
3 33435 ab27 e) ;a4 )d ;x c) ;243 b) ; 64 )a
4. Reduce a común índice los siguientes radicales:
34 31233 x ; x ; x c) 64 ; 5 b) 6 ; 2 )a
0025,0 f) ; 400 e) ; 216 d) ; 216 )c; 144- b) ; 144)a 33
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3
5. Escribe como potencia de exponente fraccionario:
1x2 g) ; 1x f) ; y
x5 e) ; xy d) ; x c) ;
3
2b) ; 5 )a
4
2
5 34
5
3
6. Escribe en forma de radical:
3
12
1
5
1
2
12
1
x8 e) ; 4 d) ; xy c) ; x3 b) ; 2 )a
7. Calcula:
43124333 9612 d) 432 ) 53) 632 ) cba
75
118)e f)
27
93
g) x
x
4
2 3
h) 34
2
x
x i)
4 5
3 2
x
xx
8. Simplifica:
a) 3 8 b) 3 c) 32 d) 6 53
3 2
xax
xaax
e) xxx f)
3
2.3.2 2
3
5
3
2
1
g) y
xx
23 h) 5 303015 ..2 yx i)
3
1
xx
9. Racionaliza y simplifica:
a) 5
5 b)
3 5
25 c)
4 4
2 d)
23
3
e)
23
1
f)
522
1
g)
yx
yx
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4
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5
TEMA 2
POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS
1 Calcula:
a. 3x5x3x1x2x5x2 3434
b. x5x4x2x1x2x3x 23434
c.
5x
7
2x
2
5x
5
2
3
1x
2
7x
2
1x
5
2x
3
1 53354
d. 5xx3 2
e.
5
1x
5
2x
7
5 34
f.
3
2x
2
5x
7
2
5
xx5 34
5
g.
3
2x
7
1x
5
4
3
x2x 2
3
2 Calcula:
a. 24 x3:x5
b. x6
2:x
5
7 5
c. 5
2:x
2
5
3 Efectúa las siguientes divisiones:
a. 1xx:3x2x3x 223
b. 1x:5x3x5xx2 234 =
c. 1x3x2:5xx3x2x 2234
4 Aplica la regla de Ruffini para calcular el cociente y el resto de las siguientes divisiones:
a. 1x:3x2x3x 23
b. 2x:32x5
c. 3x:5xx3x2x 234
5 Calcula el valor numérico de P(x) para x = –1 en los siguientes casos:
a. 6x2x)x(P 2
b. 3x2
1x
5
2)x(P 23
6 Dado el polinomio 3xx5x)x(P 23 , calcula:
a. El valor numérico del polinomio en x = 2
b. El resto de la división )2x(:)x(P
¿Qué observas en las soluciones de los apartados anteriores?
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6
7 Calcula el reto de las siguientes divisiones aplicando el teorema del resto:
a. 3x:60x23x2x 23
b. 4x:3x5x3x2 23
8 Comprueba si los valores 1, –1, 2, –2 son raíces de los siguientes polinomios:
a. 1x2x)x(P 2
b. 12x16x7x)x(Q 23
9 ¿Cuánto ha de valer m para que las siguientes divisiones sean exactas?
a. 1x:1mxx2
b. 2x:mx7x5x 23
10 Calcula el valor de K para que al efectuar las divisiones se obtengan los restos adecuados:
a. -12resto ;1x:kx7x3
b. 10resto ;2x:2kxx3
11 Descompón en factores los siguientes polinomios:
a. 2xx2x 23
b. 4x3x 23
c. 2x5x4x 23
d. x60x32x11x8x 2345
e. 36x32x5x 23
12 Escribe un polinomio que cumpla las siguientes condiciones en cada caso:
a. Que tenga como raíces los valores 1, 2 , –3.
b. Que sea divisible entre x–1 y x+3.
c. Que sea de primer grado, que al dividirlo entre x+1 se obtenga de resto 1 y al dividirlo entre
x–2 se obtenga de resto 7.
13 Simplifica las siguientes fracciones:
a.
1x2x
1x2
2
b.
8x
4x3
2
c.
2
2
aax
aaz
d. 32
244
cab3
cba5
e.
x4x4xx
4x5x234
24
14 Efectúa:
a.
3x
1
2x
3x
3x
2x c.
1x
x
1x
x
x
1 b.
1x
x3
1x
x2
1x
1
1x
x
1x
1x f.
x
1x:
x
2x e.
1x
1x
1x
x
1x
5 .d
2
2
Recuerda los productos notables:
bababa
abbaba
abbaba
22
222
222
2
2
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TEMA 3
ECUACIONES Y SISTEMAS 1. Resolver:
2. Resolver:
3. Resolver:
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8
4. Resolver:
5. Resolver:
6. Resolver:
7. Resolver:
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9
TEMA 4
INECUACIONES
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11
TEMA 5
TRIGONOMETRÍA
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12
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
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13
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TEMA 6
GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA 1. Calcula las coordenadas del vector que nace en el punto A (4, 5) y tiene el extremo en el punto B (–1,
2).
2. Halla el módulo de los vectores: a = (–1, 5); b = (3, –2); c = (–4, 2); d = (5, 0)
3. Determina el valor de k de manera que el vector u = (k, 1/4) sea unitario (módulo 1).
4. Halla las coordenadas del origen de un vector cuyo extremo es B (0, 2) y es equipolente al vector v =
(2, –1).
5. Si A (3, –1) y el vector libre v = (–1, 2), halla las coordenadas del punto B tal que AB sea un
representante de v.
6. Las coordenadas del punto A y del vector AB son A (5, –1) y AB = (2, 4). Halla las coordenadas del
vector de posición del punto B.
7. El vector AB tiene coordenadas AB = (2, 5).
a) Determina las coordenadas de BA y dibuja los dos vectores.
b) Calcula AB + BA y AB – BA .
c) Calcula 2AB y 2 BA . Compara los resultados.
8. Dados los siguientes vectores a = (5, 0); b = (–2, –3); c = (–1, 4), calcula:
a) (a + b) + c
b) a + (b + c)
c) Compara los resultados anteriores.
9. Si b = (5, –1) y c = (3, 0), halla las coordenadas del vector a que verifica 2b + a = 3 c.
10. Demuestra que el triángulo de vértices A (6, 4), B (2, 10) y C (3, 2) es rectángulo.
11. Comprueba que los vectores AB y CD tienen el mismo módulo siendo A, B, C, D los puntos de
coordenada A (2, 1), B (4, 2), C (0, –4) y D (–1, –2). 12. Halla el perímetro del triángulo de vértices A (1, 2), B (1, 5), C (4, 2). ¿Qué clase de triángulo es? 13. Los puntos medios de los lados de un triángulo son M (0, 3), N (3, 2), P (2, 0). Halla las coordenadas de
los vértices del triángulo. 14. En el cuadrilátero ABCD, sus vértices tienen por coordenadas A (2, 0), B (0, –4), C (–2, 2), D (2, 4). Si
se unen los puntos medios de cada dos lados consecutivos, ¿cómo es el cuadrilátero que resulta? 15. Encuentra la ecuación de cada una de las siguientes rectas:
a) perpendicular a 6x + 5y = 2 conteniendo el punto (0, 4). b) paralela a 3x + 4y –15 = 0 conteniendo al punto (0, 3). c) paralela a 5y – 5x + 12 = 0 conteniendo al punto (0, –3). d) pendiente m = 2 pasando por el punto de intersección de x + y = 3, y de 2x – 3y + 9 = 0.
16. Dos lados de un rombo están sobre las rectas 3x – y – 2 = 0, x – y – 5 = 0. Encuentra las ecuaciones de
las rectas que contienen a los otros dos lados si un vértice es (4, 3). 17. Calcula el punto de intersección de las diagonales de un cuadrilátero de vértices A, B, C, y D siendo A
(–3, –3), B (4, –1), C (3, 2) y D (–1, 6). Explica los pasos que sigues. 18. Calcula la pendiente de las rectas que tienen como vector director:
a) u = (3, 2) b) u = (9, 6) c) u = (–6, –4) d) u = (–3, 0)
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19. Halla la ecuación vectorial de los ejes de coordenadas. 20. Halla las ecuaciones en todas sus formas de:
a) los ejes de coordenadas. b) la bisectriz del primer y tercer cuadrante. c) la bisectriz del segundo y cuarto cuadrante.
21. Averigua si los puntos A (–2, 3), B (1, 5), C (2, 6) están alineados. 22. Halla la ecuación continua de la recta que pasa por los puntos A (1, 3) y B (2, 1). Calcula el punto medio
del segmento AB y halla la ecuación general de la recta perpendicular que pasa por dicho punto medio.
23. La ecuación de una recta en forma continua es4
1y
3
2x
. Halla un punto y un vector director de la
misma. 24. Halla la ecuación en forma continua de la recta que pasa por los puntos:
a) A (–2, –3), B (–1, –4) b) A (0, 1), B (1, 0)
25. Expresa la recta de ecuación implícita 3x + 4y – 6 = 0 en forma continua, explícita y puntopendiente. 26. Dada la recta de ecuación general 3x + 4y – 12 = 0; Halla sus puntos de intersección con los ejes y
dibuja la recta. 27. Halla el valor que debe tomar k para que las rectas (4 – k)x + 4y + 3 = 0 y 4x + (4 + k)y –1 = 0 sean
paralelas. 28. Encuentra la distancia entre (2, 1) y la recta de ecuación x – 2y = 8. 29. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P y es paralela a la recta 2x – 9y + 14 = 0. a) P (1, 8) b) P (–3, 5) c) P (7, –2) d) P (–6, –4) 30. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P y es perpendicular a la recta 2x – 9y + 14 = 0. a) P (1, 8) b) P (–3, 5) c) P (7, –2) d) P (–6, –4)
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TEMA 8
FUNCIONES I 1. Representa las siguientes funciones:
2. Calcula el dominio de las siguientes funciones:
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3. Estudia la simetría de las siguientes funciones:
i) Calcula también: fog; gof; f -1
; fof -1
;
ii)
iii)
4. Calcular los siguientes límites:
a) 2
2
x x
3x86x Lim
b) 3x x
1)-2)(x1)(5x-(3x Lim
c) 1x3x5
2x37x Lim
4
4
x
d) 3x5
x31)(2x Lim
2
2
x
e) )3x()3x2(
)2x(2)-(3x Lim
2
33
x
f)
x8x5
7x
25x
93x
Lim
2
2x
g) 2xx
1x52x Lim
34
49
x
h) 2x3 xLim 3
x
i) 4x3x2
1x4x Lim
2
2
x
j) 6x51x
32x Lim
x
k) 3x2x
6xx Lim
2
2
3 x
l) 10x7x
6x5x Lim
2
2
2 x
m) 4x
12x4x3x Lim
2
23
2 x
n) 2x13x8x
2xx2x Lim
23
34
2 x
o) 9x
27x Lim
2
3
3 x
p) 1x
x
1x
x Lim
2
3
2
3
x
q) 5x3x Lim 2
2 x
r) 32x
1
2x
1 Lim
2 x
s) 1xxx
6x6x Lim
34
23
1 x
t) 23
4
0 x xx
3x Lim
u) 5x3x Lim 2
x
v) 32x
1
2x
1 Lim
x
w) 3x
1-x Lim
2 x
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TEMA 9
EXPONENCIALES Y LOGARITMOS
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TEMA 10
FUNCIONES II
Representa gráficamente y estudia las siguientes funciones a trozos:
1x,5x6x
1x2,1x3
2x,2x
1
)x(f)a
2
1x,x2x
1x3,5x2
3x,3x
1
)x(f)b
2
1x,3x2
1x3,2x4x
3x,4x
1
)x(f)c 2
1x,x2x
1x3,5x2
3x,3x
1
)x(f)d
2
0x,x2x
0x2,4x2
2x,2x
1
)x(f)e
2
2x,2x
1
2x0,2x2x
0x,2x
)x(f)f2
0x,2x2x
0x1,2x2
1x,1x
1
)x(f)g
2
2x,2x
1
2x1,1x2x
1x,2x2
)x(f)h2