Contando y Algo Ms

con la Funcin Generatriz Carlota Andrs Rodrguez, Ricardo Daz Santos

Instituto Tecnolgico de Oaxaca

Didctica

Resumen El presente trabajo pretende que el estudiante (profesor) incorpore a su acervo de herramientas

una poco utilizada tanto para contar como para otras aplicaciones: la funcin generadora o

generatriz. An cuando se tienen planteamientos de su uso por A. DeMoivre (1667-1754) en

la solucin de problemas de probabilidad, su uso es limitado en cursos de Probabilidad y

Estadstica.

Tomando como punto de partida problemas sencillos que se pueden resolver sin conocimiento

de tcnicas conteo se involucra a la funcin generadora y posteriormente se dan varias

definiciones y aplicaciones de diversas como solucin de relaciones de recurrencia y funciones

generadoras de probabilidad.

Introduccin El proceso educativo involucra necesariamente al proceso de aprendizaje. En el caso de la

matemtica, una referencia central acerca de su aprendizaje est ligada con saber resolver

problemas: Si sabes matemticas entonces, sabes resolver problemas. Con la presente

estrategia de trabajo se pretende que el estudiante estructure procesos de pensamiento que le

resulten de gran utilidad no solamente en el planteamiento de problemas cuantitativos sino

tambin en los no cuantitativos.

Se considera que el estudiante conoce las reglas de conteo: aditiva, multiplicativa,

permutaciones y combinaciones. Estas son fundamentales en muchas situaciones pero, cuando

se aplican restricciones en aquellas relacionadas con el reparto de elementos en diferentes

recipientes resultan insuficientes o son demasiado laboriosas. Por este hecho, se presenta la

definicin de funcin generatriz desde la visin de diferentes autores en el tiempo (la primera

1

de P.S. de Laplace en 1782), con la finalidad de tener una mejor comprensin de la misma y

de sus aplicaciones. Es probable que el alumno resuelva algunos de los problemas que se

plantean y a partir de la definicin de funcin generadora logre encadenarla con las

herramientas que ya usa y fortalezca su conocimiento acerca del conteo. Tambin, se

presentan algunos ejercicios y problemas de conteo que llevan implcita una relacin de

recurrencia y se aborda la solucin de sta con la funcin generatriz. Por ltimo, se plantean

situaciones que tienen que ver directamente con la probabilidad como son: funcin generadora

de probabilidad, funcin generadora de momentos factoriales y funcin generadora de

momentos.

Planteamiento del problema Contar, constituye un verdadero reto. No es aplicar reglas o frmulas, es un proceso mental

en el que se deben considerar cuidadosamente las relaciones entre los diversos elementos

participantes. Como ocurre en algunos juegos, digamos ajedrez, conocer o saber de

memoria las reglas no implica saber jugar tal juego. Es necesario ponerse a jugar para

adquirir algn dominio del mismo.

Cuando se abordan problemas de conteo como paso previo para la determinacin de la

probabilidad de un evento, el estudiante pregunta: es de permutaciones o de

combinaciones? Desea una herramienta que le conteste en forma casi automtica su

problema. No quiere plantear cuidadosamente como se relacionan los datos o informacin

de su problema y descubrir por s mismo que reglas debe aplicar para lograr su respuesta.

Creemos que la funcin generatriz obliga al aprendiz de la mima a ser ms analtico en sus

planteamientos de conteo.

Desarrollo de la propuesta En primer lugar, se describe lo que se considera un problema e inmediatamente una lista de

situaciones que se cree son problemas con la finalidad de que el estudiante se interese en

hallar la solucin de algunos de ellos. Si no existe este deseo, el camino ser difcil. Se

pretende que con las herramientas que dispone, sean las que fueren, logre alguna solucin

an cuando sea por un proceso largo y laborioso.

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Luego, se presentarn algunas definiciones de funcin generadora que se han dado a travs

del tiempo y retomar algunos de los problemas resueltos para resolverlos ahora con la

funcin generadora.

Finalmente se presentan algunos teoremas y definiciones que logran darle una estructura

ms slida a la definicin y a las diversas aplicaciones de la funcin generatriz.

Se est elaborando una lista de ejercicios resueltos de nivel bsico que apoyen en la

solucin de otra lista de problemas que contiene aplicaciones de diferente naturaleza.

PROBLEMA:

Tengo un verdadero problema cuando me encuentro en una situacin desde la que quiero

llegar a otra, unas veces bien conocida, otras un tanto confusamente perfilada, y no conozco el

camino que me puede llevar de una a otra Miguel de Guzmn.

Cules de las siguientes situaciones considera usted que son problemas?, o bien, cules de

ellas, adems de ser un problema, quiere resolver?

1. De cuntas formas se pueden repartir 10 cuadernos iguales entre cuatro nios si cada

nio recibe al menos dos cuadernos?

2. De cuntas formas se puede cambiar un billete de k pesos utilizando monedas de

$1.00, $2.00, $5.00 y $10.00?

3. De cuntas formas se puede franquear una carta con r pesos utilizando timbres

(estampillas) de $3.00, $4.00 y $20.00?

a) suponga que no se toma en cuenta el orden en que se pegan las estampillas en

el sobre.

b) Suponga que las estampillas se pegan en una fila y que se tiene en cuenta el

orden en que pegan.

4. De cuntas formas se pueden separar 3000 sobres idnticos en paquetes de 25, entre

cuatro grupos de estudiantes, de modo que cada grupo tenga al menos 150, pero no

ms de 1000 sobres?

5. Una empresa contrata a 11 nuevos empleados, cada uno de los cuales es asignado a una

de cuatro subdivisiones. Si cada subdivisin recibe al menos a uno de ellos, de

cuntas formas se pueden hacer las asignaciones?

6. Encuentre el nmero de formas en que se puede descomponer un entero positivo n

como suma de enteros positivos impares. ( L. Euler )

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En los seis planteamientos anteriores la pregunta especfica es de cuntas formas, por lo que

la solucin es el resultado de un proceso de conteo. An cuando nuestro inicio con la

matemtica es precisamente el conteo y seguimos hacindolo en niveles educativos

posteriores, no es fcil dar respuesta a algunos de los planteamientos hechos anteriormente.

Consideremos las siguientes situaciones:

7. Si se lanza un dado n veces, cul es la probabilidad de que la suma de los resultados

obtenidos sea m, n m 6n? ( Abraham DeMoivre)

8. Cul es la probabilidad de obtener 8 como suma cuando se tira un dado repetidamente

y se tiene en cuenta el orden de los resultados obtenidos?

En estas dos situaciones la pregunta especfica est referida a la probabilidad de un evento.

Como el total de posibles resultados es un nmero finito, se requiere determinarlo al igual que

el de aquellos que favorecen el evento definido y as poder calcular la probabilidad. Esto es,

dependemos de saber contar.

9. Suponga que las palabras vlidas en cierto cdigo son los nmeros de n dgitos en notacin decimal que contienen un nmero par de ceros. Sea an el nmero de

palabras vlidas de longitud n. Si la sucesin { an } satisface la relacin de

recurrencia

an = 8n-1 +10n-1

y la condicin inicial es a1 = 9. Encuentre una frmula explcita para { an }.

Algunas de las situaciones descritas arriba se pueden resolver a fuerza bruta o aplicando

algunas reglas de conteo como pueden ser: regla aditiva, regla multiplicativa, permutaciones o

combinaciones. Sin embargo, al establecer mayor nmero de restricciones para realizar un

reparto o distribucin de elementos ya sean iguales o diferentes la dificultad se incrementa

notablemente.

Si alguien le ofrece una herramienta que le permita trabajar con tan variadas situaciones,

est usted dispuesto a adquirirla?

Ms todava, le aseguro que le permitir trabajar situaciones mucho ms interesantes que las

consideradas hasta ahora, tales como las que se indican posteriormente.

Seguramente usted pregunte: es difcil de operar esta herramienta?, es alto el costo de

aprender a manejarla?

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Le contestamos con preguntas: Cunto est dispuesto(a) a pagar por ella?, mejor: cunto

est dispuesto(a) a invertir por ella?

Cmo se llama la herramienta? FUNCIN GENERADORA O GENERATRIZ.

En los siguientes ejercicios est involucrada la funcin generadora y nos percataremos de su

amplia aplicacin en el campo de la probabilidad.

10. Se tira una moneda al aire hasta que salga un guila, con W igual al nmero de tiradas

necesarias para determinar el experimento. Entonces,

PW( k ) = k21 k= 1,2.3.

a) Obtenga el valor esperado de , esto es, wt ( )wtE : Funcin generadora de momentos factoriales o de probabilidad.

b) Obtenga ( )tweE : funcin generadora de momentos. 11. Sea X una variable aleatoria con funcin generadora ( )sP . Encuentre las funciones

generadoras de 1+X y de X2 .

12. Si X es una variable aleatoria con distribucin de probabilidad

!);(

xekP

x

= ,...3,2,1,0=k

Obtenga ( )xsE . 13. Si X y Y son variables aleatorias independientes con distribucin Poisson y

parmetros y respectivamente, entonces para la suma de YX + encuentre

( )YXsE + . REAS DE APLICACIN

Entre algunos temas o reas de aplicacin de la FUNCIN GENERADORA se pueden

mencionar: Procesos de ramificacin, Convergencia de una sucesin de funciones de masa,

Procesos regenerativos, Caminatas aleatorias, Ruina del jugador, Problemas de ocupacin,

Cruce de una carretera, Teora de secuencias (carreras) de xitos, Procesos de difusin,

Cadenas de Markov.

DEFINICIONES DE FUNCIN GENERATRIZ

A continuacin se presentan algunas definiciones de la funcin generadora, tomando como

referencia el orden de aparicin en el tiempo. La primera definicin que se presenta fue dada a

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conocer por Pierre Simon de Laplace (1749-1827) en su Memoria de las series (1782). Sin

embargo, ya la haban utilizado anteriormente Abraham DeMoivre (1667-1754) en la solucin

de un problema de probabilidad relacionado con el lanzamiento de dados, (Doctrine of

Chances,1718). Leonhard Euler (1707- 1783) tambin la utiliz en la determinacin del

nmero de formas en que se puede descomponer un entero positivo como suma de enteros

positivos. Otro renombrado matemtico pionero en el desarrollo de las funciones generatrices

fue James Stirling (1692-1770).

1) FUNCIN GENERATRIZ (P.S.Laplace,1782): Si se imagina una funcin A de una

variable, desarrollada en una serie ascendente respecto a las potencias de dicha variable, el

coeficiente de una cualquiera de estas potencias ser una funcin del ndice o exponente de la

misma. Es a A a lo que yo llamo funcin generatriz de dicho coeficiente o de la funcin del

ndice.

2) FUNCIN GENERATRIZ (W. Feller,1950): Sea una sucesin de nmeros

reales. Si

,...,, 210 aaa

( ) ++++= 332210 sasasaasA

Converge en algn intervalo 00 sss

Por ejemplo, la funcin generadora de la funcin numrica ( ) ,3,,3,3,3 210 r es ++++++ rr zzzz 33333 33220

Observemos que la serie infinita anterior se puede escribir en forma cerrada (explcita) como

z31

1

que es una forma ms compacta de representar a la funcin numrica ( 1, 3, 32, . . . , 3r, . . . ).

4) FUNCIN GENERATRIZ (D. Stirzaker, 1994): Dada una coleccin de nmeros

la funcin ( 0; iai )

ii

ia xaxg

=

=0

)(

Es llamada la funcin generatriz de { }. (Por supuesto, es necesario que converga en

alguna parte si est definida como una funcin de . Si consideramos a como un

elemento de un anillo de polinomios, tal convergencia no es necesaria).

iai

ii xa

=0

ag x ag

5) FUNCIN GENERATRIZ ORDINARIA (V.K.Balakrishnan, 1991): Si ( ),2,1,0=rar es el nmero de formas de seleccionar r objetos en un determinado problema combinatorio (

o, ms generalmente, el nmero de soluciones de un problema combinatorio ), la funcin

generatriz ordinaria para este problema combinatorio es la serie de potencias

++++ 332

210 xaxaaa

Cualquier polinomio en es una serie de potencias en . Por ejemplo, el polinomio

se puede escribir como

x x42 23 xx + +++++++ 65432 0020300 xxxxxx

Considere ahora el problema rcba =++ , donde y c valen al menos 2 y cuando mucho

4. Entonces

ba,

r vara de 6 a 12. Para una r fija seleccionada, sea el nmero de soluciones

en los enteros. Por lo tanto es el coeficiente de en la funcin generadora

ra

rarx ( )xg del

problema, donde ( ) ( )3432 xxxxg ++= , que es igual a . 1211109876 36763 xxxxxxx ++++++

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Ejemplo. El nmero de formas de seleccionar r elementos de un conjunto de n elementos es

, y la funcin generadora para este problema combinatorio es ( rnC , ) ( )xg , donde

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( nr xnnCxrnCxnCxnCnCxg ,,2,1,0, 2 ++++++= )

que corresponde a la expansin binomial de ( )nx+1 .

En el ejemplo anterior, es la funcin generadora de las formas de seleccionar ( ) ( )nxxg += 1r elementos de un total n cuando el orden no es relevante. Sin embargo, existen muchos

problemas en donde el orden es crucial, para lo cual se requiere una herramienta semejante.

Tomemos como punto de partida a la presente ( )xg . Recordemos que

( ) ( )( ) ( )rnP

rrrnP

rnrnrnC ,

!1

!,

!!!,

==

=

donde es el nmero de permutaciones de objetos tomados de ( rnP , ) n r en r , en donde el orden de los elementos es significativo. As,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) nn xnnCxnCxnCxnCxnCx ,3,2,1,0,1 3210 +++++=+

= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )!

,!3

3,!2

2,!1

1,!0

0,3210

nxnnPxnPxnPxnPxnP

n

+++++

Si observamos cuidadosamente el coeficiente de !r

xr en la expresin anterior, encontramos

que es precisamente . Con base en esto, se da la siguiente definicin. ( rnP , )6) FUNCIN GENERATRIZ EXPONENCIAL (R.P.Grimaldi,1999): Para una sucesin de

nmeros reales ++++ 3210 aaaa

( )!!4!3!2 0

4

4

3

3

2

210 ixaxaxaxaxaaxf

i

i i

==+++++=

es la funcin generatriz exponencial de la sucesin dada.

Si analizamos el desarrollo en serie de MacLaurin para , tenemos que xe

==++++++= 05432

!!5!4!3!21

i

ix

ixxxxxxe

8

de modo que es la funcin generatriz exponencial de la sucesin 1, 1, 1, 1, 1, 1, .( es

la funcin generatriz ordinaria de

xe xe

,!4

1,!3

1,!2

1,1,1 ).

Ejemplo. De cuntas formas se pueden ordenar cuatro letras de la palabra ANTENA?

AANN 4!/2!2! ATNN 4!/2!

AATN 4!/2! AENN 4!/2!

AAEN 4!/2! TENN 4!/2!

AATE 4!/2! AETN 4!

Cul es la funcin generatriz exponencial asociada a este problema?

TEOREMAS BSICOS

Teorema. (a) Sea el coeficiente de en rarx ( ) ( )nxxxxg ++++= 321 . Entonces

. ( )rnrCar ,1+=

(b) ( ) ( ) ( ) ( ) .12,1,11 2 nmnmmnm xxnCxnCx ++= (c) ( ) ( ) ( ) .111 3212 nnmnm xxxxxxx ++++=++++ Teorema. Si es la funcin generadora para y ( )xg ra ( )xh es la funcin generadora para

entonces: rb

a) es la funcin generadora para ( ) ( )xBhxAg + .rr BbAa + b) ( ) es la funcin generadora para (xgx1 ) 1 rr aa .

c) ( ) ( )xgxx +++ 21 es la funcin generadora para ( ).210 raaaa ++++ d) es la funcin generadora para ( ) ( )xhxg ( ).022110 babababa rrrr ++++

e) es la funcin generadora para , donde ( )xxg ' rra ( )xg ' es la derivada de ( )xg con respecto a . x

Conclusin La presente propuesta de enseanza- aprendizaje de la funcin generadora est considerada

para llevarla a cabo en un curso- taller durante la jornada acadmica de Ciencias Bsicas del

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12 al 16 de noviembre del presente ao. Posteriormente tendremos conclusiones y sugerencias

para un mejor desarrollo del mismo.

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