208046_2 ECUACIONES DIFERENCIALES

TRABAJO COLABORATIVO

ELIDA GUERRERO GONZÁLEZ

CÓDIGO: 37.336.894

Tutor

MIGUEL ANDRES HEREDIA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

CEAD PASTO

MARZO 2013

CONTENIDO

Página INTRODUCCIÓN .................................................................................................... 3

1. OBJETIVOS ........................................................................................................ 4

1.1 Objetivo General ............................................................................................... 4

1.2 Objetivos Específicos ........................................................................................ 4

2. Desarrollo de ejercicios planteados ..................................................................... 5

CONCLUSIONES ................................................................................................ 113

BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................... 124

3

INTRODUCCIÓN

4

1. OBJETIVOS

1.1 Objetivo General:

1.2 Objetivos Específicos:

5

2. DESARROLLO DE EJERCICIOS PLANTEADOS

1. Defina de las siguientes ecuaciones diferenciales el orden y linealidad. A. (1-y)y’’ – 4xy’ + 5y = cos x

Es una ecuación diferencial de orden dos (2) y no lineal

B. xy’’’ – 2(y’)4 + y = 0

Es una ecuación de orden tres (3), no lineal y de grado cuatro (4)

2. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales separables:

A.

Reagrupamos y factorizamos en el numerador y en el denominador con el fin de obtener ecuaciones que dependan solo de X y solo de Y

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( )( )

( )

( )

( )

( )

Integramos en ambos lados

∫( )

( ) ∫

( )

( )

6

Sumamos y restamos términos tal que las ecuaciones no varíen y reorganizamos

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫ ∫

∫ ∫

| | | |

| | | |

| | | |

( )

( )

b.

( )

Aplicando leyes de la función exponencial tenemos:

Integramos en ambos lados

∫

∫

∫ ∫

Hacemos un cambio de variables:

7

∫

∫

3. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales exactas: A.

(2xy2 + yex)dx + (2x2y + ex -1)dy = 0 Verificamos si es exacta o no: ( )

( )

Es una ecuación exacta

Encontremos la solución

( ) ∫ ( ) ∫( )

( ) ( )

( ) ( )

8

( )

( )

( ) ∫

( )

B. Hallar el valor de b para que sea exacta la E.D:

( ) ( )

( )

( )

( )

Para que sea exacta se debe cumplir:

Para que la ecuación sea exacta b debe valer 3

Encontremos la solución de la ecuación

( )

( )

9

( )

( ) ∫ ( ) ∫( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ∫ ( )

4. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales hallando el factor integrante:

( )

( )

Encontremos el factor integrante:

( ) El resultado solo depende de y

( ) ∫

Reemplazamos µ(y) en la ecuación:

( ) ( )

10

( )

(

)

(

)

( ) ∫ ( ) ∫ ∫ ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ∫

( )

( )

( ) ( )

11

CONCLUSIONES

12

BIBLIOGRAFÍA