Cálculo. Derivadas, Aplicaciones y Teoremas de Derivabilidad · 2016. 10. 25. · Cálculo....

Cálculo. Derivadas, Aplicaciones y Teoremas de Derivabilidad2◦ Bachillerato de Ciencias de la Naturaleza y Tecnología

Departamento de Matemáticas

I.E.S. Virgen del Puerto - PLASENCIA

Curso 2016/17

J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 1 / 54

Índice

1 IntroducciónIntroducciónEl problema de la tangenteEl problema de la velocidadDerivada de una función en un puntoRecta tangente y normalFunción derivada

2 Operaciones con DerivadasOperaciones

3 Cálculo de DerivadasDerivadas de funciones básicasEjemplos de cálculo

4 Características de las funciones. OptimizaciónCrecimiento y decrecimientoMáximos y mínimosProblemas de optimización

5 Concavidad y convexidadConcavidad y convexidad

Puntos de inflexión6 Teoremas de funciones derivables

Teorema de RolleEjemplo de aplicaciónTeoremas de Cauchy y de Lagrange

7 Cálculo de límitesRegla de L’HopitalEjemplos

8 Representación de funciones¿Cómo representamos una función?Ejemplos IEjemplos II

9 Problemas Propuestos10 ¡No me cuentes historias!

Euler y Agnesi11 Geometría básica

Áreas12 Bibliografía13 Créditos

Introducción

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1| Introdu ión

Introducción Introducción

Uno de los problemas que dio origen al concepto de derivada fue el problema de determinar larecta tangente a una curva cualquiera en un punto. Este problema estaba relacionado con laóptica, pues para la fabricación de lentes se necesita la recta normal a la superficie de la mismapara poder determinar el ángulo de refracción, y se dieron cuenta que determinar la tangente eramás "fácil" que la normal. Teniendo la tangente, calcular la normal es muy sencillo.

Galileo Galilei (1564-1642) descubrió experimentalmente la fórmula que nos da el espaciorecorrido por un cuerpo que cae por la acción de la gravedad en función del tiempo;esto es

Donde g es la aceleración de la gravedad. Pero no supo calcular la fórmula que relaciona lavelocidad de caída con el tiempo. La solución del problema lleva al concepto de derivada.

Otro problema, que no parece tener relación con los anteriores, es el cálculo de máximos ymínimos. El problema que tenían era el de la fabricación de barriles de cerveza con superficiemínima (lo que supone un ahorro en madera, muy cara en aquella época), problema cuyasolución pasa por el concepto de derivada. La solución de este tipo de problemas lo veremos alfinal del tema.

Hubo otros muchos problemas que llevaron al concepto de derivada. Vamos a ver a continuacióncomo resolvieron el problema de la tangente (que ya vimos el curso pasado) y el de la velocidadde caída.

Introducción El problema de la tangente

Queremos calcular la pendiente de la recta tangente a la curva en A

Para ello, partimos de la recta secante

que pasa por los puntos A y B

De la trigonometría sabemos que

mAB =f (x0 + h) − f (x0)

Ahora aproximamos B hacia A

mAB =f (x0 + h) − f (x0)

Cuanto más nos aproximamos,

más pequeño se hace h

mAB =f (x0 + h) − f (x0)

Estamos haciendo que h → 0

mAB =f (x0 + h) − f (x0)

La pendiente de la tangente en A

mAB =f (x0 + h) − f (x0)

La pendiente de la tangente en A

limh→0

mAB = limh→0

f (x0 + h)− f (x0)

A este límite le llamamos

derivada de f (x) en x = x0

f′(x0) = lim

f (x0 + h) − f (x0)

Introducción El problema de la velocidad

s1 = s(t)

s2 = s(t +∆t)

s = 12gt

Queremos calcular la velocidad instantánea v en la posición s1de una masa m que cae desde O

s1 = s(t)

s2 = s(t +∆t)

s = 12gt

Queremos calcular la velocidad instantánea v en la posición s1de una masa m que cae desde O Para ello, calculamos la velocidad media

entre las posiciones 1 y 2

s1 = s(t)

s2 = s(t +∆t)

s = 12gt

De la física sabemos que

vm =s2 − s1

t2 − t1=

s(t +∆t)− s(t)

s1 = s(t)

s2 = s(t +∆t)

s = 12gt

Para ello, calculamos la velocidad media

vm =s2 − s1

t2 − t1=

s(t +∆t)− s(t)

Ahora aproximamos 2 hacia 1

s1 = s(t)

s2 = s(t +∆t)

s = 12gt

vm =s2 − s1

t2 − t1=

s(t +∆t)− s(t)

más pequeño se hace ∆t y más se parecen vm y v .

s1 = s(t)

s2 = s(t +∆t)

s = 12gt

vm =s2 − s1

t2 − t1=

s(t +∆t)− s(t)

Estamos haciendo que ∆t → 0

s1 t1s2 t2

s1 = s(t)

s2 = s(t +∆t)

s = 12gt

vm =s2 − s1

t2 − t1=

s(t +∆t)− s(t)

La velocidad instantánea en 1

bb s1 t1

s1 = s(t)

s2 = s(t +∆t)

s = 12gt

vm =s2 − s1

t2 − t1=

s(t +∆t)− s(t)

La velocidad instantánea en 1

lim∆→0

vm = lim∆t→0

s(t +∆t)− s(t)

bb s1 t1

s1 = s(t)

s2 = s(t +∆t)

s = 12gt

Queremos calcular la velocidad instantánea v en la posición s1de una masa m que cae desde O

A este límite le llamamos

derivada de s(t) en t = t1

s′(t) = lim

∆t→0

s(t +∆t)− s(t)

Introducción Derivada de una función en un punto

Derivada de una función en un punto

La derivada de una función en un punto de abscisa x0, que denotamos como f′(x0), es el límite,

si existe y es finito

f′(x0) = lim

f (x0 + h)− f (x0)

También se usa la definición equivalente

f′(x0) = lim

x→x0

f (x)− f (x0)

x − x0

f′(x0) = lim

f (x0 + h)− f (x0)

f′(x0) = lim

x→x0

f (x)− f (x0)

x − x0

Como ejemplo, calculemos la derivada de f (x) =1

x2en x0 = 1.

f′(x0) = lim

f (x0 + h)− f (x0)

f′(x0) = lim

x→x0

f (x)− f (x0)

x − x0

x2en x0 = 1.

f (1 + h) − f (1) =1

(1 + h)2− 1

−2h − h2

(1 + 2h + h2)

f′(x0) = lim

f (x0 + h) − f (x0)

h= lim

−2h − h2

(1 + 2h + h2)

h= lim

−2 − h

1 + 2h + h2= −2

f′(x0) = lim

f (x0 + h)− f (x0)

f′(x0) = lim

x→x0

f (x)− f (x0)

x − x0

x2en x0 = 1.

f (1 + h) − f (1) =1

(1 + h)2− 1

−2h − h2

(1 + 2h + h2)

f′(x0) = lim

f (x0 + h) − f (x0)

h= lim

−2h − h2

(1 + 2h + h2)

h= lim

−2 − h

1 + 2h + h2= −2

Como vemos el cálculo de derivadas aplicando la definición se hace algo "pesado". Más adelanteestudiaremos una tabla de derivadas de funciones elementales, que junto con las operaciones conderivadas, nos permitirán un cálculo rápido de las mismas.

Introducción Recta tangente y normal

En la introducción vimos que la derivada de una función en un punto de abscisa x0 representabala pendiente de la recta tangente a la curva (función) en ese punto. Por tanto tenemos que

Recta tangente y recta normal

La ecuación de la recta tangente a una curva en el punto P = (x0, f (x0)) es, en formapunto-pendiente

y − f (x0) = f′(x0) · (x − x0)

y la recta normal en el punto P = (x0, f (x0)) es

y − f (x0) = − 1

f′ (x0)

· (x − x0)

y − f (x0) = f′(x0) · (x − x0)

y − f (x0) = − 1

f′ (x0)

· (x − x0)

Como ejemplo, calculemos las recta tangente y normal de la función f (x) =1

x2en x0 = 1.

y − f (x0) = f′(x0) · (x − x0)

y − f (x0) = − 1

f′ (x0)

· (x − x0)

Como ejemplo, calculemos las recta tangente y normal de la función f (x) =1

x2en x0 = 1.

Del ejercicio anterior sabemos que f′(1) = −2 y el punto será P = (x0, f (x0)) = (1, 1)

Así pues, la recta tangente será

y − 1 = −2 · (x − 1)

y la normal

y − 1 =1

2· (x − 1)

Introducción Función derivada

Función derivada

La función derivada de una función f dada o simplemente derivada de f , es una función queasocia a cada x donde la función es derivable (existe el límite y es finito) su derivada f

′(x); es

decirf′: IR −→ IR

x −→ y′= f

′(x)

f′(x) = lim

f (x + h) − f (x)

Función derivada

′(x); es

x −→ y′= f

′(x)

f′(x) = lim

f (x + h) − f (x)

Nota I: cuando hablamos de derivada en un punto estamos obteniendo un valor numérico(la pendiente), mientras que cuando hablamos de función derivada estamos obteniendo unanueva función.

Función derivada

′(x); es

x −→ y′= f

′(x)

f′(x) = lim

f (x + h) − f (x)

Nota I: cuando hablamos de derivada en un punto estamos obteniendo un valor numérico(la pendiente), mientras que cuando hablamos de función derivada estamos obteniendo unanueva función.Nota II: cuando hallamos la derivada de la función derivada obtenemos la derivada segundade f y lo representamos como f

′′(x). De igual forma hallamos la tercera, cuarta y sucesivas

derivadas, que representamos como f′′′(x), f IV (x), f V (x), etc.

Función derivada

′(x); es

x −→ y′= f

′(x)

f′(x) = lim

f (x + h) − f (x)

Como ejemplo, calculemos la función derivada de f (x) =1

Función derivada

′(x); es

x −→ y′= f

′(x)

f′(x) = lim

f (x + h) − f (x)

Como ejemplo, calculemos la función derivada de f (x) =1

f (x + h) − f (x) =1

(x + h)2− 1

−2xh − h2

(x2 + 2xh + h2)x2

f′(x) = lim

f (x + h)− f (x)

h= lim

−2xh − h2

(x2 + 2xh + h2)x2

h= lim

−2x − h

(x2 + 2h + h2)x2=

Operaciones con Derivadas

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2| Opera iones

on derivadas

Operaciones con Derivadas Operaciones

Derivadas de las operaciones con funcionesSean f (x) y g(x) dos funciones derivables. Entonces tenemos:

Derivada de las suma o diferencia de dos funciones

(f ± g)′= f

′ ± g′

(f ± g)′= f

′ ± g′

Derivada del producto de un número real por una función

(k · f )′ = k · f ′

(f ± g)′= f

′ ± g′

(k · f )′ = k · f ′

Derivada del producto de dos funciones

(f · g)′ = f′ · g + f · g ′

(f ± g)′= f

′ ± g′

(k · f )′ = k · f ′

(f · g)′ = f′ · g + f · g ′

Derivada del cociente de dos funciones

=f′ · g − f · g ′

(f ± g)′= f

′ ± g′

(k · f )′ = k · f ′

(f · g)′ = f′ · g + f · g ′

Derivada del cociente de dos funciones

=f′ · g − f · g ′

Derivada de una función de función. Regla de la cadena

[g(f )]′= g

′(f ) · f ′

Cálculo de Derivadas

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3| Cál ulo de

derivadas

Cálculo de Derivadas Derivadas de funciones básicas

Tabla de derivadas

f (x) = k, k ∈ IR f′(x) = 0

f (x) = x f′(x) = 1

f (x) = xa o f (x) = gaf′(x) = a · xa−1 o f

′(x) = a · ga−1 · g ′

f (x) = n√x o f (x) = n

√g f

′(x) = 1

n·n√xn−1

o f′(x) = g

n· n√

gn−1

f (x) = ex o f (x) = eg f′(x) = ex o f

′(x) = eg · g ′

f (x) = ax o f (x) = ag f′(x) = ax · ln a o f

′(x) = ag · ln a · g ′

f (x) = ln x o f (x) = ln g f′(x) = 1

′(x) = g

f (x) = loga x o f (x) = loga g f′(x) = 1

x·ln ao f

′(x) = g

g·ln a

f (x) = sin x o f (x) = sin g f′(x) = cos x o f

′(x) = cos g · g ′

f (x) = cos x o f (x) = cos g f′(x) = − sin x o f

′(x) = − sin g · g ′

Función simple y compuesta Derivadas

Cálculo de Derivadas Derivadas de funciones básicas

Tabla de derivadas

f (x) = tan x f′(x) = 1 + tan2 x =

cos2 x

f (x) = tan g f′(x) = [1 + tan2 g ] · g ′

cos2 g(x)

f (x) = arcsin x o f (x) = arcsin g f′(x) =

1√1 − x2

o f′(x) =

1 − g2

f (x) = arccos x o f (x) = arccos g f′(x) = − 1√

1 − x2o f

′(x) = − g

1 − g2

f (x) = arctan x o f (x) = arctan g f′(x) =

1 + x2o f

′(x) =

1 + g2

f (x) = g(x)h(x) f′(x) = g(x)h(x) · ln g(x) · h′

(x) + h(x) · g(x)h(x)−1 · g ′(x)

f (x) =(

x2 + 1)3x

f′(x) =

x2 + 1)3x · ln

x2 + 1)

· 3 + 3x ·(

x2 + 1)3x−1 · 2x

Función simple y compuesta Derivadas

Cálculo de Derivadas Ejemplos de cálculo

Veamos algunos ejemplos de cálculo de derivadas:

f (x) =(

3x2 + x)2 ⇒ f

′(x) = 2

3x2 + x)

(6x + 1)

f (x) =(

3x2 + x)2 ⇒ f

′(x) = 2

3x2 + x)

(6x + 1)

f (x) =√x + 1 ⇒ f

′(x) =

2√x + 1

f (x) =(

3x2 + x)2 ⇒ f

′(x) = 2

3x2 + x)

(6x + 1)

f (x) =√x + 1 ⇒ f

′(x) =

2√x + 1

f (x) =√x2 + x ⇒ f

′(x) =

2x + 1

2√x2 + x

f (x) =(

3x2 + x)2 ⇒ f

′(x) = 2

3x2 + x)

(6x + 1)

f (x) =√x + 1 ⇒ f

′(x) =

2√x + 1

f (x) =√x2 + x ⇒ f

′(x) =

2x + 1

2√x2 + x

f (x) = ex+1 ⇒ f′(x) = ex+1

f (x) =(

3x2 + x)2 ⇒ f

′(x) = 2

3x2 + x)

(6x + 1)

f (x) =√x + 1 ⇒ f

′(x) =

2√x + 1

f (x) =√x2 + x ⇒ f

′(x) =

2x + 1

2√x2 + x

f (x) = ex+1 ⇒ f′(x) = ex+1

f (x) = ex2+x ⇒ f

′(x) = (2x + 1)ex

f (x) =(

3x2 + x)2 ⇒ f

′(x) = 2

3x2 + x)

(6x + 1)

f (x) =√x + 1 ⇒ f

′(x) =

2√x + 1

f (x) =√x2 + x ⇒ f

′(x) =

2x + 1

2√x2 + x

f (x) = ex+1 ⇒ f′(x) = ex+1

f (x) = ex2+x ⇒ f

′(x) = (2x + 1)ex

f (x) = sin(x + 1) ⇒ f′(x) = cos(x + 1)

f (x) =(

3x2 + x)2 ⇒ f

′(x) = 2

3x2 + x)

(6x + 1)

f (x) =√x + 1 ⇒ f

′(x) =

2√x + 1

f (x) =√x2 + x ⇒ f

′(x) =

2x + 1

2√x2 + x

f (x) = ex+1 ⇒ f′(x) = ex+1

f (x) = ex2+x ⇒ f

′(x) = (2x + 1)ex

f (x) = sin(x + 1) ⇒ f′(x) = cos(x + 1)

f (x) = sin(x2 + x) ⇒ f′(x) = (2x + 1) cos(x2 + x)

f (x) =(

3x2 + x)2 ⇒ f

′(x) = 2

3x2 + x)

(6x + 1)

f (x) =√x + 1 ⇒ f

′(x) =

2√x + 1

f (x) =√x2 + x ⇒ f

′(x) =

2x + 1

2√x2 + x

f (x) = ex+1 ⇒ f′(x) = ex+1

f (x) = ex2+x ⇒ f

′(x) = (2x + 1)ex

f (x) = sin(x + 1) ⇒ f′(x) = cos(x + 1)

f (x) = x2ex+1 ⇒ f′(x) = 2xex+1 + x2ex+1

f (x) =(

3x2 + x)2 ⇒ f

′(x) = 2

3x2 + x)

(6x + 1)

f (x) =√x + 1 ⇒ f

′(x) =

2√x + 1

f (x) =√x2 + x ⇒ f

′(x) =

2x + 1

2√x2 + x

f (x) = ex+1 ⇒ f′(x) = ex+1

f (x) = ex2+x ⇒ f

′(x) = (2x + 1)ex

f (x) = sin(x + 1) ⇒ f′(x) = cos(x + 1)

f (x) = x2ex+1 ⇒ f′(x) = 2xex+1 + x2ex+1

f (x) =x2

ex+1⇒ f

′(x) =

2xex+1 − x2ex+1

(ex+1)2

f (x) =(

3x2 + x)2 ⇒ f

′(x) = 2

3x2 + x)

(6x + 1)

f (x) =√x + 1 ⇒ f

′(x) =

2√x + 1

f (x) =√x2 + x ⇒ f

′(x) =

2x + 1

2√x2 + x

f (x) = ex+1 ⇒ f′(x) = ex+1

f (x) = ex2+x ⇒ f

′(x) = (2x + 1)ex

f (x) = sin(x + 1) ⇒ f′(x) = cos(x + 1)

f (x) = x2ex+1 ⇒ f′(x) = 2xex+1 + x2ex+1

f (x) =x2

ex+1⇒ f

′(x) =

2xex+1 − x2ex+1

(ex+1)2

f (x) = xcos x ⇒ f′(x) = xcos x · ln x · (− sin x) + cos x · xcos x−1 · 1

f (x) =(

3x2 + x)2 ⇒ f

′(x) = 2

3x2 + x)

(6x + 1)

f (x) =√x + 1 ⇒ f

′(x) =

2√x + 1

f (x) =√x2 + x ⇒ f

′(x) =

2x + 1

2√x2 + x

f (x) = ex+1 ⇒ f′(x) = ex+1

f (x) = ex2+x ⇒ f

′(x) = (2x + 1)ex

f (x) = sin(x + 1) ⇒ f′(x) = cos(x + 1)

f (x) = x2ex+1 ⇒ f′(x) = 2xex+1 + x2ex+1

f (x) =x2

ex+1⇒ f

′(x) =

2xex+1 − x2ex+1

(ex+1)2

f (x) = xcos x ⇒ f′(x) = xcos x · ln x · (− sin x) + cos x · xcos x−1 · 1

f (x) = (ln x)sin x ⇒ f′(x) = (ln x)sin x · ln(ln x) cos x + cos x · (ln x)sin x−1 · 1

Características de las funciones. Optimización

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Cara terísti as

de las

fun iones.

Optimiza ión

Características de las funciones. Optimización Crecimiento y decrecimiento

Si observamos la gráfica anterior vemos que en el tramo donde hemos representado la tangente(en verde), la pendiente de ésta es positiva. Este hecho nos lleva a la siguiente definición defunción creciente:

Función creciente

Decimos que una función f (x) es creciente en un punto de abscisa x0 cuando la derivada en esepunto es positiva; es decir

f′(x0) > 0 ⇒ f (x) creciente en x = x0

Para estudiar los intervalos de crecimiento debemos resolver la inecuación

f′(x) > 0

De la misma manera que antes, de la gráfica vemos que en el tramo donde hemos representado latangente (en marrón), la pendiente de ésta es negativa. Este hecho nos lleva a la siguientedefinición de función decreciente:

Función decreciente

Decimos que una función f (x) es decreciente en un punto de abscisa x0 cuando la derivada en esepunto es positiva; es decir

f′(x0) < 0 ⇒ f (x) decreciente en x = x0

Para estudiar los intervalos de decrecimiento debemos resolver la inecuación

f′(x) < 0

Ejemplo

Dada la función f (x) = 13x3 − 3

2x2 − 4x + 1, determina los intervalos de crecimiento y

decrecimiento de la misma .

Ejemplo

Solución.-

Hallamos en primer lugar su derivada

f′(x) = x2 − 3x − 4

Ejemplo

Solución.-

f′(x) = x2 − 3x − 4

Para estudiar el crecimiento o decrecimiento resolvemos la inecuación

x2 − 3x − 4 > 0

cuya solución gráfica es

−1 4

+ − +

Ejemplo

Solución.-

f′(x) = x2 − 3x − 4

Para estudiar el crecimiento o decrecimiento resolvemos la inecuación

x2 − 3x − 4 > 0

cuya solución gráfica es

−1 4

+ − +

Así pues, la función es creciente en (−∞,−1) ∪ (4,∞) y decreciente en (−1, 4).

Características de las funciones. Optimización Máximos y mínimos

En la figura tenemos representadas las rectastangentes a la curva en los puntos máximoy mínimo, y lo que observamos es que estasrectas no tienen inclinación, es decir, su pen-diente es cero. Esto nos lleva a las siguientesdefiniciones:

Máximos y mínimos

Si una función f (x) presenta un máximo o un mínimo en el punto de abscisas x0, se cumple quef′(x0) = 0. Así pues, para determinar los máximos y mínimos de una función debemos resolver la

ecuaciónf′(x) = 0

Además, si f′′(x0) < 0, entonces tenemos un máximo en x0, y si f

′′(x0) > 0 tenemos un mínimo

en x0.

Máximos y mínimos

Si una función f (x) presenta un máximo o un mínimo en el punto de abscisas x0, se cumple quef′(x0) = 0. Así pues, para determinar los máximos y mínimos de una función debemos resolver la

ecuaciónf′(x) = 0

Además, si f′′(x0) < 0, entonces tenemos un máximo en x0, y si f

′′(x0) > 0 tenemos un mínimo

en x0.

Si f′(x0) = f

′′(x0) = f

′′′(x0) = · · · = f n−1(x0) = 0, entonces

f n(x) < 0 n par ⇒ Máx. relativo

f n(x) > 0 n par ⇒ Máx. relativo

Ejemplo

Determinar los máximos y mínimos de la función f (x) = x3 − 6x2 + 9x + 1.

Ejemplo

Determinar los máximos y mínimos de la función f (x) = x3 − 6x2 + 9x + 1.Solución.-

Primero: calculamos la derivada primera y segunda de la función

f′(x) = 3x2 − 12x + 9

f′′(x) = 6x − 12

Ejemplo

f′(x) = 3x2 − 12x + 9

f′′(x) = 6x − 12

Segundo: resolvemos la ecuación f′(x) = 3x2 − 12x + 9 = 0, cuyas soluciones son x = 1 y

x = 3. Estos son los posibles máximos y mínimos.

Ejemplo

f′(x) = 3x2 − 12x + 9

f′′(x) = 6x − 12

Segundo: resolvemos la ecuación f′(x) = 3x2 − 12x + 9 = 0, cuyas soluciones son x = 1 y

x = 3. Estos son los posibles máximos y mínimos.

Tercero: llevamos estos valores a la segunda derivada y vemos el signo

f′′(1) = 6 · 1 − 12 = −6 < 0 ⇒ x = 1 es un máximo

f′′(3) = 6 · 3 − 12 = 6 > 0 ⇒ x = 3 es un mínimo

Máximo = (x , f (x)) = (1, 5)

Mínimo = (x , f (x)) = (3, 1)

Características de las funciones. Optimización Problemas de optimización

Optimización

Optimizar una magnitud (función) es encontrar los valores que hacen que esa magnitud, sujeta aciertas restricciones, sea máxima o mínima. A las restricciones se las llaman ligaduras.

Optimización

Optimizar una magnitud (función) es encontrar los valores que hacen que esa magnitud, sujeta aciertas restricciones, sea máxima o mínima. A las restricciones se las llaman ligaduras.Para optimizar una función seguimos los siguientes pasos:

Escribir la función a optimizar.

Optimización

Si la función tiene más de una variable, obtener la relación entre éstas mediante lasligaduras.

Optimización

Hallar los máximos y mínimos de la función, y comprobar que cumplen las condiciones delenunciado del problema.

Optimización

Veamos un ejemplo: Hallar dos números naturales cuya suma sea 60 y sabiendo que su productoes un máximo.

Optimización

Si x es un número e y el otro, la función a optimizar es f (x , y) = x · y .

Optimización

La ligadura es que la suma de los dos es 60, esto es x + y = 60. Si despejamos la y

(y = 60 − x) y sustituimos su valor en la función, tenemos f (x) = x · (60 − x) = 60x − x2.

Optimización

Hallamos la deriva : f′(x) = 60 − 2x e igualamos a cero. f

′(x) = 0 ⇒ x = 30, que

efectivamente es un máximo (comprobar).

Optimización

Hallamos la deriva : f′(x) = 60 − 2x e igualamos a cero. f

′(x) = 0 ⇒ x = 30, que

efectivamente es un máximo (comprobar).

Así, los números pedidos son x = y = 30.

Concavidad y convexidad

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5| Con avidad y

onvexidad

Concavidad y convexidad Concavidad y convexidad

Figure: Figura 1 Figure: Figura 2

La concavidad y la convexidad son conceptos que nos hablan de como se curva la gráfica. Lasfunciones cóncavas se "curvan" hacia abajo (figura 1) y las pendientes de sus rectas tangentesvan creciendo. Las funciones convexas se "curvan" hacia arriba (figura 2)y las pendientes de susrectas tangentes van decreciendo. Tenemos por tanto la siguientes definiciones:

Concavidad y convexidad Concavidad y convexidad

Figure: Figura 1 Figure: Figura 2

La concavidad y la convexidad son conceptos que nos hablan de como se curva la gráfica. Lasfunciones cóncavas se "curvan" hacia abajo (figura 1) y las pendientes de sus rectas tangentesvan creciendo. Las funciones convexas se "curvan" hacia arriba (figura 2)y las pendientes de susrectas tangentes van decreciendo. Tenemos por tanto la siguientes definiciones:

Concavidad y convexidad

Una función f (x) es cóncava en el punto de abscisas x0 si se cumple que f′′(x0) > 0.

Una función f (x) es convexa en el punto de abscisas x0 si se cumple que f′′(x0) < 0.

Los puntos donde f′′(x0) = 0 se llaman puntos de inflexión. La función cambia de cóncava o

convexa o viceversa.

Concavidad y convexidad Puntos de inflexión

Puntos de inflexión

Se llaman puntos de inflexión de una función a los puntos en los cuales la función pasa decóncava a convexa o de convexa a cóncava.

Si para un punto de abscisa x0 una función verifica que f′′(x0) = 0 y f

′′′(x0) 6= 0, decimos que

en x0 hay un punto de inflexión.

Si f′(x0) = f

′′(x0) = f

′′′(x0) = · · · = f n−1(x0) = 0 y n impar, entonces hay un punto de

inflexión en x0.

Si f′(x0) = f

′′(x0) = f

inflexión en x0.

Veamos dos ejemplo: Hallar los puntos de inflexión de la función f (x) = x3 − 3x2 y deg(x) = x5 − 2.

Si f′(x0) = f

′′(x0) = f

inflexión en x0.

Para f (x) calculamos la segunda derivada: f′(x) = 3x2 − 6x f

′′(x) = 6x − 6.

Si f′(x0) = f

′′(x0) = f

inflexión en x0.

′′(x) = 6x − 6.

Resolvemos la ecuación f′′(x) = 0 ⇒ 6x − 6 = 0, cuya solución es x = 1.

Si f′(x0) = f

′′(x0) = f

inflexión en x0.

′′(x) = 6x − 6.

Hallamos la tercera derivada y comprobamos si f′′′(x) 6= 0. Como f

′′′(x) = 6, entonces en

x = 1 hay un punto de inflexión. Para determinar el punto de inflexión llevamos el valorx = 1 a la función: f (1) = 13 − 3 · 12 = −2. Por tanto = (1,−2) es el P.I..

Si f′(x0) = f

′′(x0) = f

inflexión en x0.

′′(x) = 6x − 6.

Si f′(x0) = f

′′(x0) = f

inflexión en x0.

′′(x) = 6x − 6.

Para g(x) calculamos la segunda derivada: g′(x) = 5x4 g

′′(x) = 20x3.

Si f′(x0) = f

′′(x0) = f

inflexión en x0.

′′(x) = 6x − 6.

′′(x) = 20x3.

Resolvemos la ecuación g′′(x) = 0 ⇒ 20x = 0, cuya solución es x = 0.

Si f′(x0) = f

′′(x0) = f

inflexión en x0.

′′(x) = 6x − 6.

′′(x) = 20x3.

Como g′(x) = 5x4 g

′′(x) = 20x3 g

′′′(x) = 60x2 g IV (x) = 120x gV (x) = 120, es

g′′(0) = g

′′′(0) = g IV (x) = 0, y gV (x) = 120 6= 0

Si f′(x0) = f

′′(x0) = f

inflexión en x0.

′′(x) = 6x − 6.

′′(x) = 20x3.

Como g′(x) = 5x4 g

′′(x) = 20x3 g

′′′(x) = 60x2 g IV (x) = 120x gV (x) = 120, es

g′′(0) = g

′′′(0) = g IV (x) = 0, y gV (x) = 120 6= 0

Por ser n = 5 impar hay un punto de inflexión en x = 0, es decir en (0,−2).

Teoremas de funciones derivables

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6| Teoremas de

fun iones

derivables

Teoremas de funciones derivables Teorema de Rolle

El teorema de Bolzano nos informaba sobre las posibles raíces de una ecuación, pero no delnúmero de las mismas. Vamos a ver un teorema que pone un límite superior al número de raícesen un intervalo. Este teorema, el teorema de Rolle, es además un teorema fundamental delcálculo infinitesimal.

Teorema de Rolle

Sea f (x) una función continua en el intervalo cerrado [a, b], derivable en el intervalo abierto (a, b)y que verifica f (a) = f (b); entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que la derivada

primera en él se anula, f′(c) = 0.

Teorema de Rolle

Sea f (x) una función continua en el intervalo cerrado [a, b], derivable en el intervalo abierto (a, b)y que verifica f (a) = f (b); entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que la derivada

primera en él se anula, f′(c) = 0.

La interpretación geométrica de este teorema la vemos en las siguientes gráficas.

f (c)f′(c) = 0

b bf (a) = f (b)

Pero, ¿cómo nos ayuda este teorema a calcular el número máximo de raíces?. Esto lo vemos en lasiguiente diapositiva.

Gráfica A Gráfica Bf(a)=

f (a) b

El teorema de Rolle junto con el de Bolzano nos facilita encontrar intervalos donde la ecuaciónf (x) = 0 tiene, como mucho, una solución. En las gráficas A y B tenemos representada unafunción f (x) que es continua y cumple el teorema de Bolzano en ambos casos. Sabemos portanto que tienen, al menos una raíz en cada intervalo, aunque no sabemos cuantas.

f (a) b

Por el teorema de Rolle, si ahora igualamos a cero la primera derivada, f′(x) = 0, vemos que en

los dos casos tiene dos soluciones y por tanto un máximo de tres raíces (tres la gráfica A y una laB).

f (a) b

Por el teorema de Rolle, si ahora igualamos a cero la primera derivada, f′(x) = 0, vemos que en

los dos casos tiene dos soluciones y por tanto un máximo de tres raíces (tres la gráfica A y una laB).

¡Piensalo detenidamente!

Teoremas de funciones derivables Ejemplo de aplicación

Ecuación x − sin x = 1

Queremos saber cuántas raíces, como máximo, tiene la ecuación x − sin x = 1 en el intervalo[−π,π].

Queremos saber cuántas raíces, como máximo, tiene la ecuación x − sin x = 1 en el intervalo[−π,π].Para ello procedemos de la siguiente forma:

Se pasan todos los términos de la ecuación al primer miembro: x − sin x − 1 = 0.

Construimos la función a la que aplicar el teorema, f (x) = x − sin x − 1, y comprobamos quees continua y verifica el teorema de Bolzano en el intervalo.

Hallamos la derivada e igualamos a cero: f′(x) = cos x − 1 = 0 ⇒ x = 0. Como la

derivada sólo tiene una raíz, como mucho la ecuación x − sin x − 1 = 0 tendrá dos soluciones.

NOTA: El teorema de Bolzano sólo nos dice si hay o no solución, pero no cual es. El teorema deRolle cuantas como máximo.

Teoremas de funciones derivables Teoremas de Cauchy y de Lagrange

Teorema de Cauchy o del valor medio generalizado

Sean f (x) y g(x) dos funciones continuas en el intervalo cerrado [a, b], derivables en el intervaloabierto (a, b). Si g

′(x) no se anula en el intervalo (a, b) entonces existe un c ∈ (a, b) que verifica

f′(x)

g′ (x)

=f (b) − f (a)

g(b) − g(a)

f′(x)

g′ (x)

=f (b) − f (a)

g(b) − g(a)

Teorema de Lagrange o de los incrementos finitos

Sea f (x) una función continua en el intervalo cerrado [a,b], derivable en el intervalo abierto(a, b). Entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) que verifica

f′(x) =

f (b) − f (a)

b − a

f′(x)

g′ (x)

=f (b) − f (a)

g(b) − g(a)

Teorema de Lagrange o de los incrementos finitos

Sea f (x) una función continua en el intervalo cerrado [a,b], derivable en el intervalo abierto(a, b). Entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) que verifica

f′(x) =

f (b) − f (a)

b − a

La interpretación geométrica de este teorema la vemos en la siguiente gráfica.

m = f′(c)

Cálculo de límites

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7| Cál ulo de

límites

Cálculo de límites Regla de L’Hopital

Vimos en el tema de límites que había algunos que no se podían o eran muy difíciles de hallar pormétodos algebraicos, como por ejemplo

limx→0

Vamos a ver ahora la llamada Regla de L’Hôpital que nos permite el cálculo de límites a travésde las derivadas, y cuya demostración, que no damos, se sirve del teorema de Cauchy.

limx→0

Vamos a ver ahora la llamada Regla de L’Hôpital que nos permite el cálculo de límites a travésde las derivadas, y cuya demostración, que no damos, se sirve del teorema de Cauchy.

Regla de L’Hôpital

Sean f (x) y g(x) dos funciones continuas que verifican las siguientes hipótesis:

limx→x0

f (x) = limx→x0

g(x) = 0

g′(x) 6= 0 si x ∈ E∗(x0)

Existe limx→x0

f′(x)

g′ (x)

Entonces se cumple para cualquier x0 ∈ IR que

limx→x0

g(x)= lim

x→x0

f′(x)

g′ (x)

ATENCIÓN: Aunque la regla de L’Hôpital se ha dado para la indeterminación0

0, es válida

también para las indeterminaciones∞∞

, ∞−∞ y 0 · ∞, pues mediante transformaciones se

pueden expresar como0

0, es válida

Además, la indeterminación 1∞ que vimos en el curso anterior y las indeterminaciones 00 y ∞0

se pueden calcular por L’Hôpital del siguiente modo:

0, es válida

limx→x0

f (x)g(x) = limx→x0

f (x)g(x)]

= limx→x0

eg(x)·ln[f (x)] = elim

x→x0[g(x) · ln (f (x))]

0, es válida

limx→x0

f (x)g(x)]

= limx→x0

x→x0[g(x) · ln (f (x))]

y limx→x0

[g(x) · ln (f (x))] es una indeterminación 0 · ∞ que se puede resolver por L’Hôpital.

0, es válida

limx→x0

f (x)g(x)]

= limx→x0

x→x0[g(x) · ln (f (x))]

y limx→x0

[g(x) · ln (f (x))] es una indeterminación 0 · ∞ que se puede resolver por L’Hôpital.

Vemos algunos ejemplos en la siguiente diapositiva.

Cálculo de límites Ejemplos

Veamos algunos ejemplos de cálculo de límites con L’Hôpital:

limx→0

0= L’Hôpital = lim

limx→0

limx→∞

x2 + 1=

∞∞

= L’Hôpital = limx→∞

2x= lim

x→∞

2x2= 0

limx→0

limx→∞

x2 + 1=

∞∞

2x= lim

x→∞

2x2= 0

limx→0+

x · ln x = 0 · ∞ = limx→0+

(1/x)= L’Hôpital =

−(1/x2)= 0

limx→0

limx→∞

x2 + 1=

∞∞

2x= lim

x→∞

2x2= 0

limx→0+

x · ln x = 0 · ∞ = limx→0+

−(1/x2)= 0

limx→∞

x = ∞0 = elim

x→∞

x· ln x

= L′Hpital = e0 = 1

limx→0

limx→∞

x2 + 1=

∞∞

2x= lim

x→∞

2x2= 0

limx→0+

x · ln x = 0 · ∞ = limx→0+

−(1/x2)= 0

limx→∞

x = ∞0 = elim

x→∞

x· ln x

= L′Hpital = e0 = 1

limx→∞

x2 − 1

x− x3 − 1

= ∞−∞ = limx→∞

x3 − x − x3 + 1

= limx→∞

(−x + 1

∞∞

Representación de funciones

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Representa ión

de fun iones

Representación de funciones ¿Cómo representamos una función?

Para representar gráficamente una función cualquiera y = f (x) estudiaremos sus característicassiguientes:

Dominio y continuidad

Dominio y continuidadSimetría y periodicidad

Dominio y continuidadSimetría y periodicidadAsíntotas

Dominio y continuidadSimetría y periodicidadAsíntotasPuntos de corte con los ejes

Monotonía. Máximos y mínimos

Concavidad y Convexidad. Pts. inflexión

Tabla de valores

Nota: A veces, dependiendo de la función, no es necesario hacer un estudio tan completo. Porejemplo una función lineal o una parábola. Estas hay que conocerlas bien.

Tabla de valores

Nota: A veces, dependiendo de la función, no es necesario hacer un estudio tan completo. Porejemplo una función lineal o una parábola. Estas hay que conocerlas bien.

Como ejemplos vamos a representar la función polinómica y = x3 − 3x + 2, y la función racional

x − 2.

Representación de funciones Ejemplos I

Función y = x3− 3x + 2

Las funciones polinómicas son las más sencillas de representar. Antes de empezar conviene tenercalculadas las derivadas primera y segunda:

y′= 3x2 − 3 y

′′= 6x

y′= 3x2 − 3 y

′′= 6x

Dominio y continuidadLas funciones polinómicas son siemprecontinuas y su dominio es IR

y′= 3x2 − 3 y

′′= 6x

Simetría y periodicidadNo par: f (x) 6= f (−x)No impar: f (x) 6= −f (−x)No periódica.

y′= 3x2 − 3 y

′′= 6x

Simetría y periodicidadNo par: f (x) 6= f (−x)No impar: f (x) 6= −f (−x)No periódica.Asíntotas: No tiene. Las funcionespolinómicas no tienen asíntotas.

y′= 3x2 − 3 y

′′= 6x

Simetría y periodicidadNo par: f (x) 6= f (−x)No impar: f (x) 6= −f (−x)No periódica.Asíntotas: No tiene. Las funcionespolinómicas no tienen asíntotas.Puntos de corte con los ejes

P.C . =

Ejex (y = 0) ⇒ x1 = 1x2 = −2

Ejey (x = 0) ⇒ y = −8

y′= 3x2 − 3 y

′′= 6x

Simetría y periodicidadNo par: f (x) 6= f (−x)No impar: f (x) 6= −f (−x)No periódica.Asíntotas: No tiene. Las funcionespolinómicas no tienen asíntotas.Puntos de corte con los ejes

P.C . =

Ejex (y = 0) ⇒ x1 = 1x2 = −2

Ejey (x = 0) ⇒ y = −8

y′= 3x2 − 3 = 0 ⇒ x1 = 1

x2 = −1

y′′= 6(1) > 0 Mínimo

m = (1, 0)

y′′= 6(−1) < 0 Máximo

M = (−1, 4)

Los intervalos de crecimiento ydecrecimiento son:

Creciente (−∞,−1) ∪ (1,∞)

Decreciente (−1, 1)

ContinúaJ.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 37 / 54

Concavidad y Convexidad. Puntos deinflexión

y′′= 6x = 0 ⇒ x = 0

P.I. = (0, 2)

Los intervalos de concavidad y convexidadson:

Convexa (−∞, 0)

Concava (0,∞)

y′′= 6x = 0 ⇒ x = 0

P.I. = (0, 2)

Convexa (−∞, 0)

Concava (0,∞)

Tabla de valores

y′′= 6x = 0 ⇒ x = 0

P.I. = (0, 2)

Convexa (−∞, 0)

Concava (0,∞)

Tabla de valores

Gráfica:

Representación de funciones Ejemplos II

Función y =x2

x − 2

Las funciones racionales son algo más complejas de representar. Como antes conviene tenercalculadas las derivadas primera y segunda:

x2 − 4x

(x − 2)2y′′=

(x − 2)3

Función y =x2

x − 2

x2 − 4x

(x − 2)2y′′=

(x − 2)3

Dominio y continuidadLas funciones racionales son continuas enIR menos en el valor que hace cero eldenominador; es decir IR − {2}

Función y =x2

x − 2

x2 − 4x

(x − 2)2y′′=

(x − 2)3

Función y =x2

x − 2

x2 − 4x

(x − 2)2y′′=

(x − 2)3

Asíntotas:Verticales: x = 2

Horizontales: limx→∞

x − 2= ∞, No tiene

Oblicuas:y = mx + n

m = limx→∞f (x)x

n = limx→∞ [f (x)−mx ] = 2

y = x + 2

Función y =x2

x − 2

x2 − 4x

(x − 2)2y′′=

(x − 2)3

Asíntotas:Verticales: x = 2

Horizontales: limx→∞

x − 2= ∞, No tiene

Oblicuas:y = mx + n

m = limx→∞f (x)x

n = limx→∞ [f (x)−mx ] = 2

y = x + 2

Puntos de corte con los ejes

P.C . =

Ejex (y = 0) ⇒ x = 0

Ejey (x = 0) ⇒ y = 0

Continúa

Función y =x2

x − 2

x2 − 4x

(x − 2)2= 0 ⇒ x1 = 0

x3 = 4

y′′=

(0 − 2)3< 0 Máximo

M = (0, 0)

y′′=

(4 − 2)3> 0 Mínimo

m = (4, 8)

Creciente (−∞, 0) ∪ (4,∞)

Decreciente (0, 2) ∪ (2, 4)

Función y =x2

x − 2

x2 − 4x

(x − 2)2= 0 ⇒ x1 = 0

x3 = 4

y′′=

(0 − 2)3< 0 Máximo

M = (0, 0)

y′′=

(4 − 2)3> 0 Mínimo

m = (4, 8)

Creciente (−∞, 0) ∪ (4,∞)

Puntos Inflexión:No tiene

Función y =x2

x − 2

x2 − 4x

(x − 2)2= 0 ⇒ x1 = 0

x3 = 4

y′′=

(0 − 2)3< 0 Máximo

M = (0, 0)

y′′=

(4 − 2)3> 0 Mínimo

m = (4, 8)

Creciente (−∞, 0) ∪ (4,∞)

Tabla de Valores:

Función y =x2

x − 2

x2 − 4x

(x − 2)2= 0 ⇒ x1 = 0

x3 = 4

y′′=

(0 − 2)3< 0 Máximo

M = (0, 0)

y′′=

(4 − 2)3> 0 Mínimo

m = (4, 8)

Creciente (−∞, 0) ∪ (4,∞)

Tabla de Valores:

Gráfica:

Problemas Propuestos

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9| Problemas

Propuestos

Derivada en un punto

Calcula las derivadas de las siguientes funciones en x0 = 1 aplicando la definición:

f (x) = x + 1

f (x) = 2x + 1

f (x) = x2

f (x) = x2− 1

f (x) = x3

f (x) =√

Rectas tangente y normal

Calcula las rectas tangente y normal de las siguientes funciones en x0 = 1 :

f (x) = x + 1

f (x) = 2x + 1

f (x) = x2

f (x) = x2− 1

f (x) = x3

f (x) =√

Dada la parábola y = x2 − 2x + 5, determina la ecuación de la recta tangente a ésta que esparalela a la recta de ecuación y = 2x + 2.

Función derivada

Calcula la función derivada de las siguientes funciones aplicando la definición de derivada :

f (x) = x + 1

f (x) = 2x + 1

f (x) = x2

f (x) = x2− 1

f (x) = x3

f (x) =√

Cálculo de derivadas

Calcula las derivadas de las siguientes funciones::

f (x) = 4

f (x) = 2x

f (x) = 2x + 1

f (x) = x2

f (x) = 3x2

f (x) = 2x2− 1

f (x) = x2− 2x + 3

f (x) = (x − 3)2

f (x) = (2x − 3)3

f (x) =1

f (x) =5

f (x) =√

x − 1

f (x) =√

3x + 2

f (x) =√

5x2 − 1

f (x) =√

3x2 − 2x − 2

f (x) =2x + 1

3x − 1

f (x) = (2x+3)·(x2−x+5)

f (x) =x2

3x − 1

f (x) = (x3) · (x − 1)

f (x) =2x

f (x) =2x + 1√x

f (x) = 2x

f (x) = 23x−1

f (x) = 33x

f (x) = e2x

f (x) = e√

f (x) =

f (x) = ex2−3x

f (x) = ex2+x+2

f (x) = log 2x

f (x) = log(2x − 1)

f (x) = ln(2x − 1)

f (x) = ln2x + 1

3xf (x) = log2 3x

f (x) = log3

f (x) = ln[(2x + 1)√

f (x) = ln2x

f (x) = ln2 √

f (x) = sin√

f (x) = sin(2x3− x + 1)

f (x) = cos 3x

f (x) = sin23x

f (x) = cos2 √

f (x) = tan(4x − 1)

f (x) = tan

x2 − 2x + 1

f (x) =sin x

cos 3xf (x) = (sin x)2x

f (x) = (1

x)cos x

f (x) = (ln x)x+1

Monotonía y máximos y mínimos

Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los máximos y mínimos de lassiguientes funciones:

f (x) = 4 − 2x

f (x) = 2x2

f (x) = x2 + 1

f (x) = 8x − x2− 4

f (x) = x2 + 2x

f (x) = 6x2− x

f (x) = x4− 8x

f (x) =x

x − 1

f (x) =1

x2 + 1

Problemas de optimización

Entre los rectángulos de 4 m de perímetro, determina el de área máxima. ¿Cuál será el dediagonal mínima?.

Se desea construir botes para conservas de forma cilíndrica con 1 litros de capacidad.Calcular las dimensiones para que el gasto de material sea mínimo.

Sabemos que la suma de todas las aristas de un prisma de base cuadrada es 48 cm.Determina las dimensiones del que tiene volumen máximo.

Divide un segmento de 6 cm de longitud en dos partes tales que sea mínima la suma de lasáreas de los triángulos equiláteros construidos con ellas.

Halla las dimensiones de una ventana de 6m de perímetro para que tenga superficie máxima.

La suma de tres números positivos es 60. El primero más el doble del segundo más el tripledel tercero suman 120. Halla los números que cumplen esta condición y cuyo producto seamáximo.

Concavidad, convexidad y puntos de inflexión

Calcula los intervalos de concavidad y convexidad, así como los puntos de inflexión de lassiguientes funciones:

f (x) = 4 − 2x

f (x) = 2x2

f (x) = x2 + 1

f (x) = 8x − x2− 4

f (x) = x2 + 2x

f (x) = 6x2− x

f (x) = x4− 8x

f (x) =x

x − 1

f (x) =1

x2 + 1

Representación de funciones

Representa gráficamente las siguientes funciones:

f (x) = x3− 3x

f (x) =x2

2 − x

f (x) = x +√

x2 − 1

f (x) =x3

x2 − 1

f (x) =x3

x − 1

f (x) =1

(x − 1)2

f (x) = x · e1/x

f (x) = ln(x2− 4)

Teoremas

Comprueba si la función f (x) = sin x + cos x verifica el teorema de Rolle en el intervalo[0, 2π]

Comprueba si la función f (x) = |x + 1| verifica el teorema de Rolle en el intervalo [−2, 0]

Dada la función f (x) = x(x − 1)(x − 2) comprobar si tiene raíces y su número máximo.

Regla de L’Hôpital

Calcula los siguientes límites:

limx→0

ex − e−x− 2x

x − sin x

limx→0

(1 + sin x)1

limx→∞

(e−x )1/(x+1)

limx→0

1 − cos x

limx→0

x − sin x

limx→∞

ex + 2x

limx→0

(sin x)tan x

¡No me cuentes historias!

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10| ½No me

uentes

historias!

¡No me cuentes historias! Euler y Agnesi

Historia

Leonhard Paul Euler ( 1707 − 1783)

Matemático y físico suizo. Fue director de la academia de Ciencias de San Petesburgo. Hombrede una memoria prodigiosa trabajó en todos los campos de las matemáticas. La solución que dioal problema de los puentes de de Königsberg es el origen de la teoría de grafos. También aclaró lasolución de los llamados problemas variacionales. Su nombre aparece en todas las áreas de lamatemática.

Maria Gaetana Agnesi ( 1718 − 1799)

Matemática italiana considerada una niña prodigio. Estudio matemáticas con profesores comoSaccheri o V. Ricatti (hijo de J.F. Ricatti, famoso por la ecuación diferencial que lleva sunombre). Mujer de gran inteligencia, publicó en 1748 la obra titulada Instituciones del análisis

para el uso de la juventud italiana, obra en la que expone, de forma didáctica, los conocimientosdel cálculo con un tratamiento novedoso de máximos y mínimos y que tuvo que publicar y costearella misma. La calidad de la obra llevó a la Real Academia de Ciencias de París a publicar unaedición francesa en 1775, y dos años después de la muerte de Maria Gaetana se publicó unaedición en lengua inglesa.

Geometría básica

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11| Geometría

bási a

Geometría básica Áreas

Áreas

A = l2 A = b · hA =

b · h2

A =D · d

A = b · hA =

L = 2πR

A = πR2

A = π(R2 − r2)

A =p · a2

Bibliografía

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12| Bibliografía

Bibliografía

Matemáticas II, Miguel Antonio y otros, Proyecto La Casa del Saber, Ediciones Educativasde Santillana Educación S.L.

Matemáticas II, Carlos González García y otros, Editorial EDITEX S.A.

Una Historia de las Matemáticas para Jóvenes, Ricardo Moreno y José Manuel Vegas,Editorial Nivola.

El pensamiento matemático de la Antigüedad a nuestros días, Morris Kline, AlianzaUniversidad.

La matemática: su contenido, métodos y significado., A.D. Aleksandrov y otros, AlianzaUniversidad.

www.amolasmates.es

www.vitutor.com

Créditos

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13| Créditos

Créditos

Acerca del autor

Juan Pedro Expósito ArribaProfesor del Departamento de Matemáticas del I.E.S. Virgen del PuertoPlasencia (Cáceres)e-mail: jpexpositoar@eresmas.com

Cálculo. Derivadas, Aplicaciones y Teoremas de Derivabilidad · 2016. 10. 25. · Cálculo....

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