Teoremas energeticos

75
1

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mecanica

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Page 1: Teoremas energeticos

1

Page 2: Teoremas energeticos

2

P3 2

P2

Ni

P11

Pi

Nj

Introducción

Celosía plana. Isostática (cualquier tipo)o hiperestática. Fuerzas sólo aplicadas en los nudos Pi

Deformaciones en la dirección de las fuerzas i

Fuerzas interiores en las barras Nj

En equilibrio con las exteriores Pi

Page 3: Teoremas energeticos

N N

0

NA

L

L

3

Resumen del comportamiento de la barra articulada

0 0

0

Esfuerzo interior: fuerza axial N

Tensión axial:

Deformación unitaria constante

Page 4: Teoremas energeticos

E

4

Ecuación constitutiva Relación entre la tensión y la deformación unitaria

Material elástico: La tensión depende sólo de la

en ese instante, no de su historia. Proceso de carga y descarga por

la misma línea (curva). Materialsiempre en un punto de la línea.

Material lineal. Ecuación constitutiva es una línea recta.

Page 5: Teoremas energeticos

=E(-

E

0 T

E 0 E T

0 / E5

Material lineal con temperatura

Deformaciones iniciales térmicas

0)

Relación tensión – deformación

unitaria

Deformación unitaria total: suma de deformación unitaria térmica T y la debida a la tensión /E

Page 6: Teoremas energeticos

) d0

U0

U0d

dU 0d

6

Densidad de energía de deformación (I) Se define como:

U0(

Con la condición de que sea función sólo del estado final de deformación unitaria (independiente del camino). Es decir U0()

Existe si el material es elástico (lineal o no) Energía elástica por unidad de volumen Representa el trabajo (por unidad de volumen) efectuado

por las tensiones (fuerzas interiores) al deformarse el sólido. Trabajo interno unitario

dU0

Page 7: Teoremas energeticos

U0

d Ed0 0

1 E2

2 12

U0 C

D

A B

d E 0)d0 0

1 E2

20E

7

Densidad de energía de deformación (II)

Material lineal, sin temperatura:

U0

Material lineal, con temperatura

U0

ABC OABD

Page 8: Teoremas energeticos

U 0dvv

1 E2

20E Adx

v

L 1 EA

0 2 L22L 0EA L

Ldx

L

L

1 EA2

L2L EA 0 L

1 k2 A

2L E AT L

8

Energía de deformación elástica (I)

Energía total acumulada en el sólido: U

En una barra: Ub

SustituyendoUb

Barra de propiedades uniformes:

Ub

Page 9: Teoremas energeticos

N C

O kA L

D

A B

1 k2

2AL E AT L

L

1 k2

2AL kA L

EAL T L

9

Energía de deformación elástica (II)

Barra de propiedades uniformes:

Ub

L

Ub

ABC OABD

kA

Page 10: Teoremas energeticos

1 E2

20E Adx

v

0 / E 0 N / EA

1L EAL2

2 EAN 2 0

2N C

O kA L

BD

A

Ub

N 22

E A2L

2

1

LEA

Energía de deformación elástica (III)

En función del esfuerzo axial N: Ub

Sustituyendo

Ub

BDC OAB Flexibilidad axial

Page 11: Teoremas energeticos

U0

U0

U0 d d

Ub U0dv ALv

U j Aj j Lj

j1,b

1

Variación de la energía de deformación elástica

Se aplica una variación virtual a los desplazamientos ,manteniendo fijas las fuerzas P (y por lo tanto las N y )

La produce una variación de las deformaciones unitarias

La energía sufre una variación

Para una barra:

La celosía: Válido también en no lineal

Page 12: Teoremas energeticos

P

W

12 Pi i

12 Pi i U

1

Fórmula de Clapeyron

Trabajo efectuado por las fuerzas exteriores en un sistema lineal.

W

Conservación de la energía: Trabajo de las fuerzas = energía elástica acumulada

W

Poco útil. Si conocemos U, podemos hallar una . B. Clapeyron (Lamé, 1852)

Page 13: Teoremas energeticos

i i

Wi Pdi i Pi i

i

3

3

P32P2

P11

1

P

WW W Pi i

i1,n

1

Principio del Trabajo Virtual (1)

Se aplica una variación virtual a las deformaciones Manteniendo las fuerzas ext. P constantes: N y constantes

Trabajo virtual de todas las fuerzas exteriores:

Page 14: Teoremas energeticos

Lj Lj

Wj Ndj Lj N j Lj

Lj

N

W

W L

L

Principio del Trabajo Virtual (2) La produce una variación en el alargamiento de las barras L

Fuerzas exteriores constantes se mantiene constante el axial N

Trabajo Virtual efectuado por el esfuerzo en una barra N:

L N

s

Page 15: Teoremas energeticos

W N N j Ljj1,b

3

3P3

NL

L

1

1 P1

N

W

W L

L

W WN

Principio del Trabajo Virtual (3) Trabajo Virtual de todos los esfuerzos interiores N

Ambos trabajos son iguales (equilibrio):

Page 16: Teoremas energeticos

L

L

W Pi i Nj Lj Ui1,nj1,b

P

W

W

U0

U0

Principio del Trabajo Virtual (y 4)

W Pi i N j Lj Aj j jLji j j

Variación de U

Sustituyendo N A

Condición necesaria. También suficiente

LL

Page 17: Teoremas energeticos

P3 2

P2

P11

2 1

P1

W Pi i Ui1,n

U (i )i1,n

Ui i

Primer Teorema de Castigliano (1)

Estructura elástica. Fuerzas y momentos puntuales P. Deformaciones y giros en la dirección de las cargas .

P2

Energía elástica en función de las deformaciones U(i)

Principio del Trabajo Virtual:

La variación de U es:

Page 18: Teoremas energeticos

2

W Pi i Ui1,n

Ui i

i1,n

PiU

ii 1, n

kA2L /2 kA L

Primer Teorema de Castigliano (y 2)

Por lo tanto:

La variación de las i es arbitraria:P3 U=kAL/2

2

P2

L

Ub P11

Primer Teorema de C. A. Castigliano (1879) Fundamento del método de rigidez. Requiere conocer U(i).Relacionar con L

Page 19: Teoremas energeticos

1847-1884

Page 20: Teoremas energeticos

0

*

) d0

U*0

U*0

Densidad de energía de deformación complementaria (I)

Se define como:

U *( Con la condición de que sea función sólo del estado final

de tensiones (independiente del camino). Es decir U0 ()

Existe si el material es elástico (lineal o no) Energía elástica complementaria por unidad de volumen Representa el trabajo complementario (por unidad de

volumen) efectuado por las deformaciones al tensionarse el sólido.

Page 21: Teoremas energeticos

E2

d d0 0 E 2E

12 U0

U0*

U0*E E 02

d 0 d0 0 E 2E 0

Densidad de energía de deformación complementaria (II)

Material lineal, sin temperaturas:

*0

Material lineal, con temperatura

* 0

U

U

Page 22: Teoremas energeticos

0

dx2EA

N 2TNdx

LL

Energía de deformación complementaria (I)

Energía complementaria total acumulada en el sólido:

U *

En una barra

U *dvv

N A

2 2

U * Adx

N NAdx

b 2E02EA2 0 A

L L

U *b

Page 23: Teoremas energeticos

dx LL

U *b

2 E AN 2 L

T LNN 22 N

1/ L

LEA

T L

Energía de deformación complementaria (II)

Propiedades uniformes:

N

Flexibilidad axial

Alargamiento inicial

Page 24: Teoremas energeticos

U *0 d d

U *b U *dv0 Adxb

LU *

b A L

Variación de la energía de deformación complementaria

Se aplica una variación virtual a las fuerzas P, manteniendo fijos los desplazamientos (y por lo tanto las )

La P produce una variación de los esfuerzos Ny de las tensiones

La energía complementaria sufre una variación:

U0*

En una barra:

Page 25: Teoremas energeticos

N 2jj L

j Tj Lj N j

N 2j j

j1,b 2 Ej Aj j1,b j1,b 2 j Nj

j1,b

j j Tj Lj

Lj

j E Ajj

U * U *j j jjjA Lj1,b j1,b

Para toda la celosía (propiedades uniformes)

Energía complementaria:

U *

Flexibilidad axial Alargamiento inicial

Variación de la energía complementaria:

Page 26: Teoremas energeticos

P

dP0

12 P

PP

W * dP PP

Principio del Trabajo VirtualComplementario (0)

Definición previa: Trabajo complementario de una fuerza: P

W * W*

Trabajo complementario virtual de una fuerza: Se varía la fuerza P Deformación constante W*

P

W*P

Page 27: Teoremas energeticos

3

P3

P3

P2 P2 PW*

PW*

P1

P1

1

W * i Pii1,n

Principio del Trabajo VirtualComplementario (1)

Se aplica una variación virtual de las fuerzas P. Produce N y Manteniendo las deformaciones constantes: constantes

Trabajo virtual complementariode las fuerzas exteriores P:

Page 28: Teoremas energeticos

27

N jNj N jNj

W N *j Lj dNj Lj dN j Lj N j

N

Principio del Trabajo Virtual Complementario (2)

La P produce una variación en el axial de las barras N Se mantienen constante la deformación y el alargamiento L

Trabajo virtual comp. efectuado por el esfuerzo en una barra

Nj N j

N

W*N

W*N

L

Page 29: Teoremas energeticos

2 Teoremas energéticos - Aplicación a celosías

W N *Lj N j

j 1,b

3

P3

P3

L

P1

1P1

W * WN *

Principio del Trabajo Virtual Complementario (3)

Trabajo virtual compl. de todos los esfuerzos interiores N

W*N

W*N

L

Ambos trabajos virtuales son iguales (equilibrio)

Page 30: Teoremas energeticos

29 Teoremas energéticos - Aplicación a celosías

N A

W * i Pi jjjL A j U *i1,n j1,b

U0*

U*0

Principio del Trabajo Virtual Complementario (y 4)

W * P WN *

N L Ai i Lj j j j j j

i j j

Sustituyendo L L Variación de U*

PW*

PW* Condición necesaria.

También suficiente

Page 31: Teoremas energeticos

i

P

P3 2

P2

P11

2 1

P1

Segundo Teorema de Castigliano (1) Estructura elástica. Fuerzas y momentos puntuales P.

Deformaciones y giros en la dirección de las cargas .P2

Energía elástica complementaria en función de las fuerzasU *(P

) Principio del Trabajo Virtual Compl.: W

*

* U

*i i

i 1,n

*

Page 32: Teoremas energeticos

La variación de U* es: U Pi

i 1,n Pi

Page 33: Teoremas energeticos

W *i Pi

i1,n

U *Pi Pi

i1,n

U *i P

i 1, ni

P3

2P2

T

P11

U*=N2/2+NN 2 /2 N

Segundo Teorema de Castigliano (2)

Por lo tanto:

La variación de las Pi es arbitraria, luego

*b

Teorema de Crotti (1888) - Engesser (1889) Fundamento de: método de flexibilidad y cálculo de i

Requiere conocer U(Pi) Relacionar Nj con Pi

U

Page 34: Teoremas energeticos

U *

Ui P

i 1, ni

U=N2/2

P32

P2

P11

N 2 /2

Segundo Teorema de Castigliano (Por fin)

Si no hay temperaturas U

Ub

Segundo Teorema de C. A. Castigliano (1879) Fundamento del método de flexibilidad. Permite el cálculo de i

Requiere conocer U(Pi) Relacionar Nj con Pi

Page 35: Teoremas energeticos

t

A

NNj

j

2º Teorema de Engesser (I) Celosía elástica. Se aplica variación de las cargas:

Fuerzas exteriores P: todas constantes Esfuerzos axiales N: todos constantes salvo una de las

barras (j) Esfuerzo Nj. Se aplica variación Nj

Dos fuerzas iguales y de sentido contrario. Cumple el equilibrio (!)

Deformación: en la dirección del esfuerzo A, perpendicular al esfuerzo t.

Nj

Nj

Page 36: Teoremas energeticos

t

A

NjNj

W * ( N )j A ( N )j A 0

W * 0 U *

U * U *N

N j 0j

2º Teorema de Engesser (II) Trabajo virtual complementario. Sólo debido a la A

P. T. V. complementario:

Nj

Nj

Si somos capaces de expresar U* en función de la Nj (fácil)

Page 37: Teoremas energeticos

U *N j

0 Nj

U *M 0 U *

Q 0Q

2º Teorema de Engesser (III) La Nj es cualquiera:

Segundo Teorema de F. Engesser Muy útil para establecer condiciones de compatibilidad

de deformaciones

Generalización: Válido con cualquier esfuerzo interior (Flector, Cortante)

Mt Q

1848-1931

M

Page 38: Teoremas energeticos

UN 0 N j

j

Teorema de Ménabréa

Si no hay temperaturas:

Enunciado en 1858 para celosías hiperestáticas por L. F. Ménabréa

1809-1896

Page 39: Teoremas energeticos

21 P A

AA 21 P

BBB PA

BA

BA PB

AB

21 P B

BB 21 P

AAA PB

AB

PA A

PB

B

Teorema del trabajo recíproco (Betty – Rayleigh)

Sistema A + Sistema B W A,B

Sistema B + Sistema A

Trabajos iguales:

W B,A

PA

Sistema A A

BSistema B B

B

Page 40: Teoremas energeticos

BA

AB

1

1

BA

AB 1

Teorema de la deformación recíproca (Maxwell - 1864)

Sistemas A y B con fuerzas unidad

Sistema A A

BSistema B

A B

B1 A

Page 41: Teoremas energeticos
Page 42: Teoremas energeticos

U

U

U

U

N

M

Q

M

*

L

dx2EA

N 2T Ndxm

L

N 22 N

L

dx2EI

M 2T Mdxg

L

TS TI

h

L

dx2GA 'Q2

M 2T

L2GJ

dx

Expresiones de la energía elástica complementaria

Axial N: *

Flector M: * Tg

Q

Cortante Q: *

Torsor MT: T

U *b

Page 43: Teoremas energeticos