1

Capítulo 4

MAXIMIZACIÓN DE LA

UTILIDAD Y ELECCIÓN

2

Críticas a los Métodos Económicos

• Se dice a veces que ningún individuo real

hace el tipo de cálculos requeridos para una

maximización de la utilidad

• El modelo de maximización de la utilidad

predice muchos aspectos del comportamiento

• Por lo tanto, los economistas asumimos que la

gente se comporta cómo sí en realidad

hicieran tales cálculos

3

Críticas a los Métodos Económicos

• El modelo económico de elección es

extremadamente egoísta debido a que

nadie tiene metas tan autorreferentes.

• Nada impide, en el modelo de

maximización de la utilidad, que los

individuos obtengan satisfacción del

“hacer el bien”

4

Principio de Optimización

• Para maximizar la utilidad, fado un monto

fijo de ingreso para gastar, un individuo

comprará los bienes y servicios:

– que agoten su ingreso

– por los cuales la tasa física de intercambio

entre bienes (la TMS) es igual a la tasa a la

que los bienes pueden ser intercambiados

unos por otros en el mercado

5

Ejemplo Numérico

• Asuma que la TMS del individuo es 1

– está dispuesto a cambiar una unidad de x

por una unidad de y

• Suponga que el precio de x = $2 y que

el precio de y = $1

• El individuo puede estar mejor

– cambia 1 unidad de x por 2 unidades de y

en el mercado

6

Restricción Presupuestaria• Asuma que el individuo tiene I dólares

para distribuir entre los bienes x y y

pxx + pyy I

Cantidad de x

Cantidad de y Al individuo solo le alcanza para

escoger las combinaciones de

x y y que se encuentran en el

triángulo gris

Si todo su ingreso se gasta

en y, este es el monto

máximo de y que puede ser

compradoyp

I

Si todo su ingreso se gasta

en x, este es el monto

máximo de x que puede ser

comprado

xp

I

7

Condiciones de Primer Orden (CPO) para un Máximo

Podemos agregar el mapa de utilidad del individuo

para mostrar el proceso de maximización

Cantidad de x

Cantidad de y

U1

A

El individuo puede estar mejor que en

El punto A moviendo su presupuesto

U3

C El individuo no puede acceder al

punto C pues no le alcanza

U2

B

El punto B es el punto en donde

se maximiza la utilidad

8

Condiciones de Primer Orden (CPO) para un Máximo

La utilidad se maximiza en donde la curva de

indiferencia es tangente a la restricción

presupuestaria

Cantidad de x

Cantidad de y

U2

B

n restricció la de pendientey

x

p

p

constante

iaindiferenc de curva la de pendiente

Udx

dy

TMSdx

dy

p

p

Uy

x constante

-

9

Condiciones de Segundo Orden (CSO) para un Máximo

• La regla de tangencia solo es necesaria

pero no suficiente a menos que asumamos

una TMS decreciente

– si la TMS es decreciente, entonces las curvas

de indiferencia son estrictamente convexas

• Si la TMS no es decreciente, debemos

checar las condiciones de segundo orden

para asegurarnos que efectivamente nos

encontramos en un máximo.

10

Condiciones de Segundo Orden (CSO) para un Máximo

• La regla de tangencia solo es una condición

necesaria

– Necesitamos que la TMS sea decreciente

Cantidad de x

Cantidad de y

U1

B

U2

A

Hay tangencia en el punto A, pero

el individuo puede alcanzar un nivel más

alto de utilidad en el punto B

11

Soluciones de Esquina• En algunas situaciones, las preferencias de los

individuos pueden ser tales que solo pueden

maximizar su utilidad decidiendo consumir solo

uno de los bienes

Cantidad de x

Cantidad de y

En el punto A, la curva de indiferencia

no es tangente a la restricción

presupuestariaU2U1 U3

A

La utilidad se maximiza en el punto A

12

n-Bienes

• El objetivo del individuo es maximizar

utilidad = U(x1,x2,…,xn)

sujeto a la restricción presupuestaria

I = p1x1 + p2x2 +…+ pnxn

• Escribiendo el Lagrangeano:

L = U(x1,x2,…,xn) + (I - p1x1 - p2x2 -…- pnxn)

13

n-Bienes• Las CPO para un máximo interior:

L/x1 = U/x1 - p1 = 0

L/x2 = U/x2 - p2 = 0

•••

L/xn = U/xn - pn = 0

L/ = I - p1x1 - p2x2 - … - pnxn = 0

14

Implicaciones de las Condiciones de Primer Orden• Para dos bienes cualquiera,

j

i

j

i

p

p

xU

xU

/

/

• Esto implica que en el punto de

distribución óptima del ingreso:

j

iji

p

pxxT )por ( MS

15

Interpretación del Multiplicador Lagrangeano

• es la utilidad marginal del gasto de

un dólar extra en consumo

– es la utilidad marginar del ingreso

n

n

p

xU

p

xU

p

xU

/...

//

2

2

1

1

n

xxx

p

MU

p

MU

p

MUn ...

21

21

16

Interpretación del Multiplicador Lagrangeano

• En el margen, el precio de un bien

representa la evaluación que el

consumidor hace de la utilidad que le

reporta la última unidad consumida

– cuanto está dispuesto a pagar por la última

unidad

ix

i

UMp

17

Soluciones de Esquina• Cuando existen soluciones de esquina, las

CPO deben ser modificadas:

L/xi = U/xi - pi 0 (i = 1,…,n)

• Si L/xi = U/xi - pi < 0, entonces xi = 0

• Esto implica que

ixi

i

MUxUp

/

– cualquier bien cuyo precio exceda el valor

marginal que el consumidor le asigna no

será comprado

18

Funciones de Demanda Cobb-Douglas

• Función de utilidad Cobb-Douglas:

U(x,y) = xy

• Escribiendo el Lagrangeano:

L = xy + (I - pxx - pyy)

• Condiciones de Primer Orden:

L/x = x-1y - px = 0

L/y = xy-1 - py = 0

L/ = I - pxx - pyy = 0

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Funciones de Demanda Cobb-Douglas

• CPO implica que:

y/x = px/py

• Dado que + = 1:

pyy = (/)pxx = [(1- )/]pxx

• Sustituyendo en la restricción presupuestal:

I = pxx + [(1- )/]pxx = (1/)pxx

20

Funciones de Demanda Cobb-Douglas

• Resolviendo para x tenemos

• Resolviendo para y :xp

xI

*

ypy

I*

• El individuo distribuirá un porcentaje

de su ingreso a la compra del bien x y

un porcentaje de su ingreso al bien y

21

Funciones de Demanda Cobb-Douglas

• La función de utilidad Cobb-Douglas es

limitada en cuanto a su habilidad para

explicar comportamientos de consumo reales

– Muchas veces, el porcentaje del ingreso

destinado a un bien particular cambia en

respuesta a las condiciones económicas

• Una forma funcional más general puede ser

útil para explicar más decisiones de consumo

22

Demanda CES• Asuma que = 0.5

U(x,y) = x0.5 + y0.5

• Escribiendo el Lagrangeano:

L = x0.5 + y0.5 + (I - pxx - pyy)

• CPO:

L/x = 0.5x -0.5 - px = 0

L/y = 0.5y -0.5 - py = 0

L/ = I - pxx - pyy = 0

23

Demanda CES• Esto significa qué

(y/x)0.5 = px/py

• Sustituyendo en la restricción

presupuestal, podemos encontrar las

demandas:

]1[

*

y

xx

p

pp

x

I

]1[

*

x

y

yp

pp

y

I

24

Demanda CES

• En estas funciones de demanda, el

porcentaje del ingreso gastado ya sea

en x ó en y no es constante

– depende del cociente de precios

• Entre más alto sea el precio relativo de

x (o de y), menor será el porcentaje de

ingreso gastado en x (o en y)

25

Demanda CES• Si = -1,

U(x,y) = -x -1 - y -1

• Las CPO implican qué:

y/x = (px/py)0.5

• Las funciones de demanda son:

5.0

1

*

x

y

xp

pp

xI

5.0

1

*

y

xy

p

pp

yI

26

Demanda CES• Si = -,

U(x,y) = Min(x,4y)

• La persona escogerá solamente

combinaciones para las cuales x = 4y

• Esto significa qué:

I = pxx + pyy = pxx + py(x/4)

I = (px + 0.25py)x

27

Demanda CES

• Por lo tanto, las funciones de demanda

son:

yx ppx

25.0*

I

yx ppy

4*

I

28

Función de Utilidad Indirecta

• Muchas veces es posible manipular las

CPO para resolver los valores óptimos

de x1,x2,…,xn

• Estos valores óptimos dependerán de

los precios de todos los bienes, y el

ingreso:

•••

x*n = xn(p1,p2,…,pn,I)

x*1 = x1(p1,p2,…,pn,I)

x*2 = x2(p1,p2,…,pn,I)

29

Función de Utilidad Indirecta• Podemos usar los valores óptimos de las x´s

para encontrar la función de utilidad indirecta

Utilidad máxima = U(x*1,x*2,…,x*n)

• Sustituyendo cada x*i, tenemos

Utilidad máxima = V(p1,p2,…,pn,I)

• El nivel óptimo de utilidad dependerá

indirectamente de los precios y del ingreso

– si variasen ya sea los precios o el ingreso, el

monto de máxima utilidad posible también

cambiará

30

Principio de Suma Fija

• Los impuestos sobre el poder de

compra de un individuo son superiores

a los impuestos sobre un bien

específico

– Un impuesto al ingreso permite al individuo

decidir libremente cómo distribuir el

ingreso que le queda

– Un impuesto sobre un bien específico

reducirá el poder de compra del individuo y

además distorsionará sus decisiones

31

Principio de Suma Fija

Cantidad de x

Cantidad de y

A

U1

• Un impuesto en el bien x cambiaría la

decisión que maximiza la utilidad desde

el punto A hacia el punto B

B

U2

32

• Un impuesto al ingreso que recaude el

mismo monto cambiará la restricción

presupuestaria hasta I’

I’

Principio de Suma Fija

Cantidad de x

Cantidad de y

A

BU1

U2

La utilidad se maximiza ahora en

el punto C sobre U3

U3

C

33

Utilidad Indirecta y el Principio de Suma Fija

• Si la función de utilidad es Cobb-Douglas

con = = 0.5, sabemos qué:

xpx

2*

I

ypy

2*

I

• Así que la función de utilidad indirecta es:

5.05.0

5050

2 ),,(

yx

..

yxpp

(y*)(x*)ppVI

I

34

Utilidad Indirecta y el Principio de Suma Fija

• Si se pone un impuesto de $1 sobre el

bien x

– El individuo comprará x*=2

– La utilidad indirecta caerá de 2 a 1.41

• Un impuesto que recaude lo mismo

reducirá el ingreso a $6

– La utilidad indirecta caerá de 2 a 1.5

35

Utilidad Indirecta y el Principio de Suma Fija

• Si la función de utilidad es de proporciones

fijas con U = Min(x,4y), sabemos qué:

yx ppx

25.0*

I

yx ppy

4*

I

• Así que la función de utilidad indirecta es:

yxyx

yx

yx

ppppy

ppyxMinppV

25.04

4*4

25.0 x**)4*,( ),,(

I

II

36

Utilidad Indirecta y el Principio de Suma Fija

• Si se pone un impuesto de $1 sobre el

bien x

– La utilidad indirecta caerá de 4 a 8/3

• Un impuesto que recaude lo mismo

reducirá el ingreso a $16/3

– La utilidad indirecta caerá de 4 a 8/3

• Dado que las preferencias son rígidas, el

impuesto sobre x no distorsiona las

elecciones

37

Minimización del Gasto

• Problema dual de minimización para la

maximización de utilidad

– distribuir el ingreso de manera tal que se

logre un nivel dado de utilidad con el gasto

más chico posible

– esto significa que la meta y la restricción se

han revertido

38

El nivel de gasto E2 provee lo justo para alcanzar U1

Minimización del Gasto

Cantidad de x

Cantidad de y

U1

El nivel de gasto E1 es muy pequeño para

conseguir U1

El nivel de gasto E3 permitirá al individuo

alcanzar U1 pero no es el menor gasto

requerido para ello

A

• El punto A es la solución del problema dual

39

Minimización del Gasto• El problema del individuo es escoger

x1,x2,…,xn para minimizar

Gasto total = E = p1x1 + p2x2 +…+ pnxn

sujeto a la restricción

utilidad = U1 = U(x1,x2,…,xn)

• Las cantidades óptimas de x1,x2,…,xn

dependerán de los precios de los bienes y

del nivel de utilidad requerido

40

Minimización del Gasto• La función de gasto muestra el gasto

mínimo necesario para lograr un nivel

dado de utilidad para un conjunto de

precios dado

Gasto mínimo = E(p1,p2,…,pn,U)

• La función de gasto y la función de

utilidad indirecta están inversamente

relacionadas

– ambas dependen de los precios de mercado pero involucran restricciones distintas

41

Dos Funciones de Gasto

• La función de utilidad indirecta para el

caso de la función Cobb-Douglas con dos

bienes es:5.05.02

),,(yx

yxpp

ppVI

I

• Si intercambiamos el papel de la utilidad y

del ingreso (gasto), tendremos la función

de gasto

E(px,py,U) = 2px0.5py

0.5U

42

Dos Funciones de Gasto

• Para el caso de proporciones fijas, la

función de utilidad indirecta es:

yx

yxpp

ppV25.0

),,(

I

I

• Si de nuevo cambiamos el papel de la

utilidad por el gasto, tendremos la función

de gasto:

E(px,py,U) = (px + 0.25py)U

43

Propiedades de las Funciones de Gasto

• Homogeneidad

– doblar todos los precios doblará

exactamente el valor del gasto requerido

• La función de gasto es homogénea de grado 1

• No decreciente en precios

– E/pi 0 para todos los bienes, i

• Cóncava en precios

44

E(p1,…)

Dado que sus patrones

de consumo cambiarán,

los gastos reales serán

menos que Epseudo, por

ejemplo E(p1,…)

Epseudo

Si continua comprando

los mismos bienes a

medida que p*1 cambia,

su función de gasto será

Epseudo

Concavidad de la Función de Gasto

p1

E(p1,…)

En p*1, la persona gasta E(p*1,…)

E(p*1,…)

p*1

45

Puntos Importantes

• Para alcanzar un máximo restringido, el

individuo deberá:

– gastar todo su ingreso disponible

– escoger un conjunto de bienes tales que

la TMS entre dos bienes cualquiera sea

igual al cociente de precios de mercado

de dichos bienes

• El individuo igualará los cocientes de la

utilidad marginal al precio de cada bien que

sea consumido

46

Puntos Importantes

• Las condiciones de tangencia son solo

condiciones de primer orden

– El mapa de indiferencia del individuo

debe mostrar una TMS decreciente

– La función de utilidad debe ser

estrictamente cuasi cóncava

47

Puntos Importantes

• Las condiciones de tangencia también

deben modificarse para permitir

soluciones de esquina

– El cociente de utilidad marginal a precio

estará por debajo del cociente entre

beneficio marginal y costo marginal para

bienes que han sido comprados

48

Puntos Importantes

• Las decisiones óptimas del individuo

dependen implícitamente de los

parámetros de su restricción

presupuestaria

– Las selecciones observadas serán

funciones implícitas de los precios y el

ingreso

– La utilidad también será una función

indirecta de los precios y del ingreso

49

Puntos Importantes

• El problema dual a la maximización de

la utilidad sujeta a restricción

presupuestaria es minimizar el nivel de

gasto requerido para conseguir un

objetivo dado de utilidad

– Produce la misma solución óptima que el

problema primal

– Produce funciones de gasto in las cuales el

gasto es una función de la meta de utilidad,

y de los precios