Clases 8, 9 y 10 (Cap 4 Nicholson)
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1 Capítulo 4 MAXIMIZACIÓN DE LA UTILIDAD Y ELECCIÓN
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1
Capítulo 4
MAXIMIZACIÓN DE LA
UTILIDAD Y ELECCIÓN
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Críticas a los Métodos Económicos
• Se dice a veces que ningún individuo real
hace el tipo de cálculos requeridos para una
maximización de la utilidad
• El modelo de maximización de la utilidad
predice muchos aspectos del comportamiento
• Por lo tanto, los economistas asumimos que la
gente se comporta cómo sí en realidad
hicieran tales cálculos
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Críticas a los Métodos Económicos
• El modelo económico de elección es
extremadamente egoísta debido a que
nadie tiene metas tan autorreferentes.
• Nada impide, en el modelo de
maximización de la utilidad, que los
individuos obtengan satisfacción del
“hacer el bien”
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Principio de Optimización
• Para maximizar la utilidad, fado un monto
fijo de ingreso para gastar, un individuo
comprará los bienes y servicios:
– que agoten su ingreso
– por los cuales la tasa física de intercambio
entre bienes (la TMS) es igual a la tasa a la
que los bienes pueden ser intercambiados
unos por otros en el mercado
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Ejemplo Numérico
• Asuma que la TMS del individuo es 1
– está dispuesto a cambiar una unidad de x
por una unidad de y
• Suponga que el precio de x = $2 y que
el precio de y = $1
• El individuo puede estar mejor
– cambia 1 unidad de x por 2 unidades de y
en el mercado
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Restricción Presupuestaria• Asuma que el individuo tiene I dólares
para distribuir entre los bienes x y y
pxx + pyy I
Cantidad de x
Cantidad de y Al individuo solo le alcanza para
escoger las combinaciones de
x y y que se encuentran en el
triángulo gris
Si todo su ingreso se gasta
en y, este es el monto
máximo de y que puede ser
compradoyp
I
Si todo su ingreso se gasta
en x, este es el monto
máximo de x que puede ser
comprado
xp
I
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Condiciones de Primer Orden (CPO) para un Máximo
Podemos agregar el mapa de utilidad del individuo
para mostrar el proceso de maximización
Cantidad de x
Cantidad de y
U1
A
El individuo puede estar mejor que en
El punto A moviendo su presupuesto
U3
C El individuo no puede acceder al
punto C pues no le alcanza
U2
B
El punto B es el punto en donde
se maximiza la utilidad
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Condiciones de Primer Orden (CPO) para un Máximo
La utilidad se maximiza en donde la curva de
indiferencia es tangente a la restricción
presupuestaria
Cantidad de x
Cantidad de y
U2
B
n restricció la de pendientey
x
p
p
constante
iaindiferenc de curva la de pendiente
Udx
dy
TMSdx
dy
p
p
Uy
x constante
-
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Condiciones de Segundo Orden (CSO) para un Máximo
• La regla de tangencia solo es necesaria
pero no suficiente a menos que asumamos
una TMS decreciente
– si la TMS es decreciente, entonces las curvas
de indiferencia son estrictamente convexas
• Si la TMS no es decreciente, debemos
checar las condiciones de segundo orden
para asegurarnos que efectivamente nos
encontramos en un máximo.
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Condiciones de Segundo Orden (CSO) para un Máximo
• La regla de tangencia solo es una condición
necesaria
– Necesitamos que la TMS sea decreciente
Cantidad de x
Cantidad de y
U1
B
U2
A
Hay tangencia en el punto A, pero
el individuo puede alcanzar un nivel más
alto de utilidad en el punto B
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Soluciones de Esquina• En algunas situaciones, las preferencias de los
individuos pueden ser tales que solo pueden
maximizar su utilidad decidiendo consumir solo
uno de los bienes
Cantidad de x
Cantidad de y
En el punto A, la curva de indiferencia
no es tangente a la restricción
presupuestariaU2U1 U3
A
La utilidad se maximiza en el punto A
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n-Bienes
• El objetivo del individuo es maximizar
utilidad = U(x1,x2,…,xn)
sujeto a la restricción presupuestaria
I = p1x1 + p2x2 +…+ pnxn
• Escribiendo el Lagrangeano:
L = U(x1,x2,…,xn) + (I - p1x1 - p2x2 -…- pnxn)
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n-Bienes• Las CPO para un máximo interior:
L/x1 = U/x1 - p1 = 0
L/x2 = U/x2 - p2 = 0
•••
L/xn = U/xn - pn = 0
L/ = I - p1x1 - p2x2 - … - pnxn = 0
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Implicaciones de las Condiciones de Primer Orden• Para dos bienes cualquiera,
j
i
j
i
p
p
xU
xU
/
/
• Esto implica que en el punto de
distribución óptima del ingreso:
j
iji
p
pxxT )por ( MS
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Interpretación del Multiplicador Lagrangeano
• es la utilidad marginal del gasto de
un dólar extra en consumo
– es la utilidad marginar del ingreso
n
n
p
xU
p
xU
p
xU
/...
//
2
2
1
1
n
xxx
p
MU
p
MU
p
MUn ...
21
21
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Interpretación del Multiplicador Lagrangeano
• En el margen, el precio de un bien
representa la evaluación que el
consumidor hace de la utilidad que le
reporta la última unidad consumida
– cuanto está dispuesto a pagar por la última
unidad
ix
i
UMp
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Soluciones de Esquina• Cuando existen soluciones de esquina, las
CPO deben ser modificadas:
L/xi = U/xi - pi 0 (i = 1,…,n)
• Si L/xi = U/xi - pi < 0, entonces xi = 0
• Esto implica que
ixi
i
MUxUp
/
– cualquier bien cuyo precio exceda el valor
marginal que el consumidor le asigna no
será comprado
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Funciones de Demanda Cobb-Douglas
• Función de utilidad Cobb-Douglas:
U(x,y) = xy
• Escribiendo el Lagrangeano:
L = xy + (I - pxx - pyy)
• Condiciones de Primer Orden:
L/x = x-1y - px = 0
L/y = xy-1 - py = 0
L/ = I - pxx - pyy = 0
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Funciones de Demanda Cobb-Douglas
• CPO implica que:
y/x = px/py
• Dado que + = 1:
pyy = (/)pxx = [(1- )/]pxx
• Sustituyendo en la restricción presupuestal:
I = pxx + [(1- )/]pxx = (1/)pxx
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Funciones de Demanda Cobb-Douglas
• Resolviendo para x tenemos
• Resolviendo para y :xp
xI
*
ypy
I*
• El individuo distribuirá un porcentaje
de su ingreso a la compra del bien x y
un porcentaje de su ingreso al bien y
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Funciones de Demanda Cobb-Douglas
• La función de utilidad Cobb-Douglas es
limitada en cuanto a su habilidad para
explicar comportamientos de consumo reales
– Muchas veces, el porcentaje del ingreso
destinado a un bien particular cambia en
respuesta a las condiciones económicas
• Una forma funcional más general puede ser
útil para explicar más decisiones de consumo
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Demanda CES• Asuma que = 0.5
U(x,y) = x0.5 + y0.5
• Escribiendo el Lagrangeano:
L = x0.5 + y0.5 + (I - pxx - pyy)
• CPO:
L/x = 0.5x -0.5 - px = 0
L/y = 0.5y -0.5 - py = 0
L/ = I - pxx - pyy = 0
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Demanda CES• Esto significa qué
(y/x)0.5 = px/py
• Sustituyendo en la restricción
presupuestal, podemos encontrar las
demandas:
]1[
*
y
xx
p
pp
x
I
]1[
*
x
y
yp
pp
y
I
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Demanda CES
• En estas funciones de demanda, el
porcentaje del ingreso gastado ya sea
en x ó en y no es constante
– depende del cociente de precios
• Entre más alto sea el precio relativo de
x (o de y), menor será el porcentaje de
ingreso gastado en x (o en y)
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Demanda CES• Si = -1,
U(x,y) = -x -1 - y -1
• Las CPO implican qué:
y/x = (px/py)0.5
• Las funciones de demanda son:
5.0
1
*
x
y
xp
pp
xI
5.0
1
*
y
xy
p
pp
yI
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Demanda CES• Si = -,
U(x,y) = Min(x,4y)
• La persona escogerá solamente
combinaciones para las cuales x = 4y
• Esto significa qué:
I = pxx + pyy = pxx + py(x/4)
I = (px + 0.25py)x
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Demanda CES
• Por lo tanto, las funciones de demanda
son:
yx ppx
25.0*
I
yx ppy
4*
I
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Función de Utilidad Indirecta
• Muchas veces es posible manipular las
CPO para resolver los valores óptimos
de x1,x2,…,xn
• Estos valores óptimos dependerán de
los precios de todos los bienes, y el
ingreso:
•••
x*n = xn(p1,p2,…,pn,I)
x*1 = x1(p1,p2,…,pn,I)
x*2 = x2(p1,p2,…,pn,I)
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Función de Utilidad Indirecta• Podemos usar los valores óptimos de las x´s
para encontrar la función de utilidad indirecta
Utilidad máxima = U(x*1,x*2,…,x*n)
• Sustituyendo cada x*i, tenemos
Utilidad máxima = V(p1,p2,…,pn,I)
• El nivel óptimo de utilidad dependerá
indirectamente de los precios y del ingreso
– si variasen ya sea los precios o el ingreso, el
monto de máxima utilidad posible también
cambiará
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Principio de Suma Fija
• Los impuestos sobre el poder de
compra de un individuo son superiores
a los impuestos sobre un bien
específico
– Un impuesto al ingreso permite al individuo
decidir libremente cómo distribuir el
ingreso que le queda
– Un impuesto sobre un bien específico
reducirá el poder de compra del individuo y
además distorsionará sus decisiones
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Principio de Suma Fija
Cantidad de x
Cantidad de y
A
U1
• Un impuesto en el bien x cambiaría la
decisión que maximiza la utilidad desde
el punto A hacia el punto B
B
U2
32
• Un impuesto al ingreso que recaude el
mismo monto cambiará la restricción
presupuestaria hasta I’
I’
Principio de Suma Fija
Cantidad de x
Cantidad de y
A
BU1
U2
La utilidad se maximiza ahora en
el punto C sobre U3
U3
C
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Utilidad Indirecta y el Principio de Suma Fija
• Si la función de utilidad es Cobb-Douglas
con = = 0.5, sabemos qué:
xpx
2*
I
ypy
2*
I
• Así que la función de utilidad indirecta es:
5.05.0
5050
2 ),,(
yx
..
yxpp
(y*)(x*)ppVI
I
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Utilidad Indirecta y el Principio de Suma Fija
• Si se pone un impuesto de $1 sobre el
bien x
– El individuo comprará x*=2
– La utilidad indirecta caerá de 2 a 1.41
• Un impuesto que recaude lo mismo
reducirá el ingreso a $6
– La utilidad indirecta caerá de 2 a 1.5
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Utilidad Indirecta y el Principio de Suma Fija
• Si la función de utilidad es de proporciones
fijas con U = Min(x,4y), sabemos qué:
yx ppx
25.0*
I
yx ppy
4*
I
• Así que la función de utilidad indirecta es:
yxyx
yx
yx
ppppy
ppyxMinppV
25.04
4*4
25.0 x**)4*,( ),,(
I
II
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Utilidad Indirecta y el Principio de Suma Fija
• Si se pone un impuesto de $1 sobre el
bien x
– La utilidad indirecta caerá de 4 a 8/3
• Un impuesto que recaude lo mismo
reducirá el ingreso a $16/3
– La utilidad indirecta caerá de 4 a 8/3
• Dado que las preferencias son rígidas, el
impuesto sobre x no distorsiona las
elecciones
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Minimización del Gasto
• Problema dual de minimización para la
maximización de utilidad
– distribuir el ingreso de manera tal que se
logre un nivel dado de utilidad con el gasto
más chico posible
– esto significa que la meta y la restricción se
han revertido
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El nivel de gasto E2 provee lo justo para alcanzar U1
Minimización del Gasto
Cantidad de x
Cantidad de y
U1
El nivel de gasto E1 es muy pequeño para
conseguir U1
El nivel de gasto E3 permitirá al individuo
alcanzar U1 pero no es el menor gasto
requerido para ello
A
• El punto A es la solución del problema dual
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Minimización del Gasto• El problema del individuo es escoger
x1,x2,…,xn para minimizar
Gasto total = E = p1x1 + p2x2 +…+ pnxn
sujeto a la restricción
utilidad = U1 = U(x1,x2,…,xn)
• Las cantidades óptimas de x1,x2,…,xn
dependerán de los precios de los bienes y
del nivel de utilidad requerido
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Minimización del Gasto• La función de gasto muestra el gasto
mínimo necesario para lograr un nivel
dado de utilidad para un conjunto de
precios dado
Gasto mínimo = E(p1,p2,…,pn,U)
• La función de gasto y la función de
utilidad indirecta están inversamente
relacionadas
– ambas dependen de los precios de mercado pero involucran restricciones distintas
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Dos Funciones de Gasto
• La función de utilidad indirecta para el
caso de la función Cobb-Douglas con dos
bienes es:5.05.02
),,(yx
yxpp
ppVI
I
• Si intercambiamos el papel de la utilidad y
del ingreso (gasto), tendremos la función
de gasto
E(px,py,U) = 2px0.5py
0.5U
42
Dos Funciones de Gasto
• Para el caso de proporciones fijas, la
función de utilidad indirecta es:
yx
yxpp
ppV25.0
),,(
I
I
• Si de nuevo cambiamos el papel de la
utilidad por el gasto, tendremos la función
de gasto:
E(px,py,U) = (px + 0.25py)U
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Propiedades de las Funciones de Gasto
• Homogeneidad
– doblar todos los precios doblará
exactamente el valor del gasto requerido
• La función de gasto es homogénea de grado 1
• No decreciente en precios
– E/pi 0 para todos los bienes, i
• Cóncava en precios
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E(p1,…)
Dado que sus patrones
de consumo cambiarán,
los gastos reales serán
menos que Epseudo, por
ejemplo E(p1,…)
Epseudo
Si continua comprando
los mismos bienes a
medida que p*1 cambia,
su función de gasto será
Epseudo
Concavidad de la Función de Gasto
p1
E(p1,…)
En p*1, la persona gasta E(p*1,…)
E(p*1,…)
p*1
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Puntos Importantes
• Para alcanzar un máximo restringido, el
individuo deberá:
– gastar todo su ingreso disponible
– escoger un conjunto de bienes tales que
la TMS entre dos bienes cualquiera sea
igual al cociente de precios de mercado
de dichos bienes
• El individuo igualará los cocientes de la
utilidad marginal al precio de cada bien que
sea consumido
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Puntos Importantes
• Las condiciones de tangencia son solo
condiciones de primer orden
– El mapa de indiferencia del individuo
debe mostrar una TMS decreciente
– La función de utilidad debe ser
estrictamente cuasi cóncava
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Puntos Importantes
• Las condiciones de tangencia también
deben modificarse para permitir
soluciones de esquina
– El cociente de utilidad marginal a precio
estará por debajo del cociente entre
beneficio marginal y costo marginal para
bienes que han sido comprados
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Puntos Importantes
• Las decisiones óptimas del individuo
dependen implícitamente de los
parámetros de su restricción
presupuestaria
– Las selecciones observadas serán
funciones implícitas de los precios y el
ingreso
– La utilidad también será una función
indirecta de los precios y del ingreso
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Puntos Importantes
• El problema dual a la maximización de
la utilidad sujeta a restricción
presupuestaria es minimizar el nivel de
gasto requerido para conseguir un
objetivo dado de utilidad
– Produce la misma solución óptima que el
problema primal
– Produce funciones de gasto in las cuales el
gasto es una función de la meta de utilidad,
y de los precios
