GEOSTADÍSTICA

CAPÍTULO 9

El Krigeaje

Ing. Luis E. Vargas R.

2014

EL KRIGEAJE

CAPÍTULO 9

En términos mineros, el krigeaje consiste en encontrar la mejor estimación lineal insesgada de un bloque o zona V considerando la información disponible; es decir, las muestras interiores y exteriores a V.

9.1 El Krigeaje

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xn

x1

x2

V

El krigeaje atribuye un peso λi a la muestra z(xi). Estos pesos λi se calculan minimizando la varianza del error cometido.

El interés del krigeaje proviene de su misma definición: al minimizar σE

2 estamos seguros de obtener la estimación más precisa posible de V, es decir obtener el mejor provecho posible de la información disponible.

El nombre krigeaje proviene de los trabajos de Daniel Krige en las minas de oro sudafricanas de Rand, en los años 50. La teoría fue formalizada una década más tarde por el geomatemático francés Georges Matheron.

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9.2.1 Objetivo

9.2 Estimación local

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En los capítulos anteriores se ha estimado el volumen V y la ley de este yacimiento, proceso llamado estimación global.

En este capítulo consideraremos un volumen elemental v de V y estimaremos su ley z*(v).

La estimación local presenta al menos dos aspectos importantes:

Primero, explotar en lo posible sólo aquellos bloques cuya ley sea superior al “cutoff” (ley de corte zc).

Segundo, programar la explotación, se trata de enviar a la planta mineral cuya ley sea la más constante posible. En tal caso se debe simular el periodo de explotación.

El objetivo de la estimación local es de diferenciar zonas ricas de las pobres, esta estimación es mucho más sensible a los riesgos de sesgo que la estimación.

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Si se escoge para z(v) el valor de z(x) correspondiente, se está cometiendo un error de predicción que corresponde a la diferencia entre la recta de predicción Geoestadística - Ing. Luis E. Vargas

9.2.2 Problema de sesgo

z(v)

z(x)

Primera Bisectriz Sean bloques v definidos

por sondajes x.

x

v

y la primera bisectriz, esto puede dar lugar a subestimar los valores bajos y a sobreestimar los valores altos, por tanto es necesario trabajar con la recta de predicción.

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Sea v el volumen elemental a estimar y vi los diferentes volúmenes conocidos.

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9.3 Ecuación de Krigeaje 9.3.1 Cálculo

Estimaremos z(v) por:

z*(v) = λ1z(v1) + … + λiz(vi) + … + λnz(vn)

Al krigeaje le corresponde calcular los valores de λ.

a) La estimación debe ser sin sesgo, entonces:

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E[z*(v) – z(v)] = 0

E[∑ λiz(vi) – z(v)] = 0 n

i=1

∑ λiE[z(vi)] – E[z(v)] = 0 n

i=1

m(∑λi -1) = 0 n

i=1

∑λi = 1 n

i=1

Var [z(vi) – z(v)] = E[z(vi) – z(v)]2 = mínimo

b) El error debe ser mínimo

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El problema consiste en optimizar los parámetros:

∑λi = 1 n

i=1

Aplicando el formulismo de Lagrange, se demuestra que el problema puede presentarse bajo la forma de un sistema de ecuaciones lineales, llamado “Sistema de Krigeaje”.

El sistema consiste de n+1 ecuaciones con n+1 incógnitas.

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La estructura matricial correspondiente es:

[k][λ] = [M2]

El método que hemos presentado se conoce como krigeaje ordinario y se puede aplicar siempre que la variable regionalizada no presente una deriva en la vecindad de estimación

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Solución del sistema: Se demuestra que el sistema siempre tiene solución (se supone que el modelo de γ(h) es autorizado), salvo el caso en el cual existen dos (o más) muestras diferentes con las mismas coordenadas.

Este caso no debería presentarse en la práctica pero a veces ocurre, lo cual hace necesario una revisión previa de la base de datos.

9.3.2. Observaciones importantes al Krigeaje (Alfaro, 2007)

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Simetría: Si γ(h) es isótropo, entonces datos que son simétricos respecto de V y con respecto a los otros datos tienen pesos iguales.

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En el ejemplo de la figura: λ1 = λ1 λ2 = λ4 = λ6 = λ8 λ3 = λ5 = λ7 = λ9

Composición de krigeaje: Sean dos volúmenes disjuntos V1 y V2; sean z1 y z2 los estimadores de krigeaje respectivos:

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Entonces el krigeaje z de V1 ∪ V2 es:

Es decir una ponderación por volúmenes o por tonelajes.

Vecindad de Estimación: En estricto rigor, el krigeaje de un bloque V debería realizarse consideran-do todos los datos disponibles (krigeaje completo).

Sin embargo, esta situación implica cálculos muy largos; por otra parte, las muestras alejadas tendrían un peso casi nulo.

Por esta razón la práctica recomienda restringirse a una vecindad de estimación que puede ser una esfera o círculo, o bien un elipsoide o elipse (3D y 2D respectivamente).

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Como recomendación práctica, el radio de búsqueda en una cierta dirección no debe ser inferior al alcance en esa dirección.

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Vecindad de estimación. Para el krigeaje no importa la agrupación de datos al lado izquierdo del bloque (el krigeaje desagrupa la información).

Estrategia de búsqueda: Esta estrategia establece los parámetros que hay que utilizar para la búsqueda de compósitos a utilizar en la estimación del bloque.

Estos parámetros son:

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• Radios de búsqueda (Rx, Ry, Rz): En primera aproximación se pueden utilizar los alcances del variograma en las direcciones (x, y, z), en una vecindad con forma de elipsoide.

• Mínimo k de muestras para krigear: Sirve para controlar el caso en que sólo una muestra cae en la vecindad. Si, por ejemplo, se pone k = 2, sólo se krigearán los bloques que tengan dos o más datos en la vecindad.

• Máximo r de muestras para krigear: Si se pone, por ejemplo r = 32, entonces cuando en la vecindad de un cierto bloque existan más de 32 compósitos, sólo se utilizarán en la estimación los 32 compósitos más cercanos al centro del bloque. Este parámetro se usa para mayor velocidad de los cálculos.

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• Máximo l de muestras por octante: Si se pone, por ejemplo l = 2, en cada octante se utilizarán las 2 muestras más cercanas al centro del bloque:

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• Máximo s de compósitos por sondaje: Si se pone, por ejemplo s = 2, en cada sondaje se utilizará un máximo de 2 compósitos, los más cercanos al centro del bloque. El objetivo de este parámetro es forzar la interpolación entre sondajes.

Los parámetros l y s deben ser utilizados con precaución. Para no introducir artefactos, es recomendable que estos valores sean altos, lo que hace que su uso no sea interesante (ver figuras a continuación).

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Existencia de sondaje inclinado: Al usar octantes con l = 1, se utilizan exclusivamente los compósitos 1 y 5.

Al usar un máximo s = 1 de compósitos por sondaje, sólo se usan los compósitos 8 y 3 (casi a la misma cota que el bloque), sin tomar en cuenta la variación vertical.

9.4 Krigeaje Puntual Los factores de ponderación, para obtener el valor de la variable en un punto determinado, se calculan a partir de un sistema de ecuaciones, en donde las incógnitas para resolver el sistema se obtienen a partir del variograma modelado.

Ejemplo: Un conjunto de 4 muestras de un yacimiento de zinc, cuyas leyes son: x1 = 8.2%; x2 = 9.6%; x3 = 13.15%; x4 = 6.3%.

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El variograma a considerar se ajusta a un modelo esférico con alcance de 250 m; C0= 17 y C = 66. Calcular el valor de x0 utilizando el krigeaje..

λ1γ1.1 + λ2γ1.2 + λ3γ1.3 + λ4γ1.4 + µ = γ0.1

λ1γ2.1 + λ2γ2.2 + λ3γ2.3 + λ4γ2.4 + µ = γ0.2

λ1γ3.1 + λ2γ3.2 + λ3γ3.3 + λ4γ3.4 + µ = γ0.3

λ1γ4.1 + λ2γ4.2 + λ3γ4.3 + λ4γ4.4 + µ = γ0.4

λ1 + λ2 + λ3 + λ4 = 1

Calculando los γi-j del Modelo Esférico con la ecuación:

γ(h) = C0 + C [ 1,5(h/a) – 0,5(h/a)3 ], para h < a.

γ(h) = C0 + C, para h > a.

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De esta forma se obtienen los valores Yi-j y sustituyéndolos en las ecuaciones de krigeaje, se obtendría un sistema de 5 ecuaciones con 5 incógnitas.

λ1 = 0,393 + λ2 = 0,022 + λ3 = 0,329 + λ4 = 0,256 1

Por lo tanto el valor de la variable Ley de zinc para el punto x0 será:

z(x0) = 0.393 (8.2) + 0.022(9.6) + 0.329(13.1) + 0.256(6,3)

z(x0) = 3.22 + 0.21 + 4.31 + 1.61

z(x0) = 9.35 %

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9.5 Krigeaje de Bloques

En este tipo de Krigeaje, el valor obtenido se asigna a un bloque y no a un punto. Tener en cuenta que el valor medio de una Función Aleatoria, en un bloque, es el valor medio de todas las variables aleatorias, dentro del bloque.

Función Aleatoria: admite la incertidumbre, por lo tanto van a ser un conjunto de variables, que tienen una localización espacial y cuya dependencia se rige por un mecanismo probabilístico.

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Para determinar el valor del bloque es necesario discretizar el área en un conjunto de puntos de 2x2; 3x3; 4x4, obteniéndose a continuación la media entre los diferentes valores.

Este hecho lleva a resolver decenas o centenares de miles de ecuaciones, lo que sería imposible sin el uso de la informática.

Entonces las ecuaciones del Kriging por bloques serán:

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Ejemplo: se muestra un bloque a estimar discretizado con 4 puntos. El resto del esquema consiste en establecer las estimaciones por Krigeaje Puntual de los 4 puntos discretizados.

Los valores que se obtienen con el krigeaje, llevan los correspondientes valores de la varianza de estimación, lo que permite hacer un estudio de la bondad de estimación.

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a)

b) c) d) e)

336 361 313 339

337

Estos valores pueden ser interpolados y confeccionar un mapa de isovarianzas.

Annels (1991), propone establecer diferentes tipos de reservas en base a los valores de varianza del krigeaje.

Varianza Categoría

0-0,0075 Reservas probables

0,0075-0,0135 Reservas posibles

>0,0135 Reservas inferidas

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El resultado se puede proporcionar por bloques o bien por isolíneas a partir de los bloques.

Para el cálculo de reservas de cada bloque, se deberá multiplicar su superficie x espesor x densidad.

Las reservas totales se pueden determinar:

1. Estimando el tonelaje y el error de estimación.

2. Estimando la ley media y el error de estimación.

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