CÁLCULO IIUNIDAD III: LA INTEGRAL DEFINIDA

Clase No. 06CATEDRÁTICO: Ing. Marlon

VelásquezFecha: 22 de enero del 2016

SUMAS DE RIEMANN

ESTIMACIÓN DE SUMAS FINITAS. LAS SUMAS DE RIEMANN.Sumas de Riemann =Considere una función f definida en un intervalo cerrado [a, b]. Puede haber valores tanto positivos como negativos en el intervalo; incluso, no necesita ser continua. Su gráfica podría parecerse a la de la figura 1.

SUMA DE RIEMANN

Le llamamos una suma de Riemann para f correspondiente a la partición P. Su interpretación geométrica se muestra en la figura 3.

A la suma

INTEGRAL DEFINIDA

DEFINICIÓN: INTEGRAL DEFINIDA • Sea f una función que está definida en el intervalo cerrado [a,b]. Si

existe, decimos que f es integrable en [a,b]. Además, denominada integral definida(o integral de Riemann) de f de a hacia b, entonces está dada por:

TEOREMA A: TEOREMA DE INTEGRABILIDAD • Si f es acotada en [a,b] y si f es continua, excepto

en un número finito de puntos, entonces f es integrable en [a,b]. En particular, si f es continua en todo el intervalo [a,b], es integrable en [a,b].

TEOREMA B: PROPIEDAD ADITIVA PARA INTERVALOS.

• Si f es integrable en un intervalo que contenga a los puntos a, b y c, entonces

no importa el orden de a, b y c.

TEOREMA C: PROPIEDAD DE ACOTAMIENTOSi f es integrable en [a,b] y m f(x) M para toda x en [a,b], entonces

TEOREMA D: LINEALIDAD DE LA INTEGRAL DEFINIDA• Suponga que f y g son integrables en [a,b] y

que k es una constante. Entonces kf y f+g son integrables y:

TEOREMA E: SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO• Sea f continua (y de aquí integrable) en

[a,b], y sea F cualquier antiderivada de f en [a,b]. Entonces

ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA

UNA REGIÓN POR ARRIBA DEL EJE X• Supóngase que y=f(x) determina una curva en el plano xy y

supóngase que f es continua y no negativa en el intervalo a ≤ x ≤b (como en la figura). Considérese la región R acotada por las gráficas de y=f(x),x=a, x=b y y=0. Nos referiremos a R como la región bajo y=f(x) entre x=a y x=b. Su área A(R) está dada por

UNA REGIÓN DEBAJO DEL EJE X

• El área es un número no negativo. Si la gráfica de y =f(x) está por debajo del eje x, entonces es un número negativo y, por lo tanto, no puede ser un área. Sin embargo, sólo es el negativo del área de la región acotada por y=f(x), x=a, x=b y y=0.

UNA REGIÓN ENTRE DOS CURVAS• Considere las curvas y=f(x) y y=g(x) con g(x) ≤ f(x) en a ≤ x ≤ b. Ellas determinan la región que se muestra en la figura . Utilizamos el método rebane, aproxime, integre para encontrar su área. Asegúrese de notar que f(x) -g(x) da la altura correcta para la tira delgada, aun cuando la gráfica de g está por debajo del eje x. En este caso, g(x) es negativa; de modo que restar g(x) es lo mismo que sumar un número positivo.

EJERCICIOS A RESOLVER(1)Calcule la suma de Riemann que se sugiere en la siguiente figura

EJERCICIOS A RESOLVER(2)Calcule la suma de Riemann para los datos que se dan

EJERCICIOS A RESOLVER (3)Calcule la suma de Riemann que se sugiere en la siguiente figura

Calcule la suma de Riemann para los datos que se dan

EJERCICIOS A RESOLVER (4)

1

2

3

EJERCICIOS A RESOLVER (5)

Dibuje la región acotada por las gráficas de las ecuaciones que se dan, muestre una rebanada representativa, aproxime su área, formule una integral y calcule el área de la región.

1

2

3

4

5

EJERCICIOS A RESOLVER (6)

Encuentre el área de la región R acotada por +1, x=-1; x=2

EJERCICIOS A RESOLVER (7)

Encuentre el área de la región R acotada por - 6x , x=-2; x=3

EJERCICIOS A RESOLVER (8)

Dibuje la región acotada por las gráficas de las ecuaciones que se dan, muestre una rebanada representativa, aproxime su área, formule una integral y calcule el área de la región. • +1, y=0; entre x=0 y x= 3

• -2x, y=

EJERCICIOS A RESOLVER (9)

Encuentre el área de la región R acotada por x + 2 , x=-1; x=2

EJERCICIOS A RESOLVER (10)

Dibuje la región acotada por las gráficas de las ecuaciones que se dan, muestre una rebanada representativa, aproxime su área, formule una integral y calcule el área de la región.

EJERCICIOS A RESOLVER (11)

GRACIAS POR SU ATENCIÓN !!!