Clculo ii.clase no. 06

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CLCULO II UNIDAD III: LA INTEGRAL DEFINIDA

CLCULO IIUNIDAD III: LA INTEGRAL DEFINIDA Clase No. 06CATEDRTICO: Ing. Marlon VelsquezFecha: 22 de enero del 2016

Sumas de Riemann

Estimacin de sumas finitas. Las sumas de Riemann.Sumas de Riemann =Considere una funcin f definida en un intervalo cerrado [a, b]. Puede haber valores tanto positivos como negativos en el intervalo; incluso, no necesita ser continua. Su grfica podra parecerse a la de la figura 1.

Suma de RiemannLe llamamos una suma de Riemann para f correspondiente a la particin P. Su interpretacin geomtrica se muestra en la figura 3.

A la suma

Integral definida

Definicin: Integral Definida Sea f una funcin que est definida en el intervalo cerrado [a,b]. Si

existe, decimos que f es integrable en [a,b]. Adems, denominada integral definida(o integral de Riemann) de f de a hacia b, entonces est dada por:

TEOREMA A: Teorema de Integrabilidad Si f es acotada en [a,b] y si f es continua, excepto en un nmero finito de puntos, entonces f es integrable en [a,b]. En particular, si f es continua en todo el intervalo [a,b], es integrable en [a,b].

TEOREMA B: Propiedad aditiva para intervalos.

Si f es integrable en un intervalo que contenga a los puntos a, b y c, entonces

no importa el orden de a, b y c.

TEOREMA C: Propiedad de Acotamiento

Teorema D: Linealidad de la integral definidaSuponga que f y g son integrables en [a,b] y que k es una constante. Entonces kf y f+g son integrables y:

Teorema e: Segundo Teorema Fundamental del ClculoSea f continua (y de aqu integrable) en [a,b], y sea F cualquier antiderivada de f en [a,b]. Entonces

rea de una regin plana

Una regin por arriba del eje xSupngase que y=f(x) determina una curva en el plano xy y supngase que f es continua y no negativa en el intervalo a x b (como en la figura). Considrese la regin R acotada por las grficas de y=f(x),x=a, x=b y y=0. Nos referiremos a R como la regin bajo y=f(x) entre x=a y x=b. Su rea A(R) est dada por

Una regin debajo del eje x

Una regin entre dos curvasConsidere las curvas y=f(x) y y=g(x) con g(x) f(x) en a x b. Ellas determinan la regin que se muestra en la figura . Utilizamos el mtodo rebane, aproxime, integre para encontrar su rea. Asegrese de notar que f(x) -g(x) da la altura correcta para la tira delgada, aun cuando la grfica de g est por debajo del eje x. En este caso, g(x) es negativa; de modo que restar g(x) es lo mismo que sumar un nmero positivo.

EJERCICIOS A RESOLVER(1)Calcule la suma de Riemann que se sugiere en la siguiente figura

EJERCICIOS A RESOLVER(2)Calcule la suma de Riemann para los datos que se dan

EJERCICIOS a resolver (3)Calcule la suma de Riemann que se sugiere en la siguiente figura

Calcule la suma de Riemann para los datos que se dan

EJERCICIOS a resolver (4)

123EJERCICIOS a resolver (5)

Dibuje la regin acotada por las grficas de las ecuaciones que se dan, muestre una rebanada representativa, aproxime su rea, formule una integral y calcule el rea de la regin.

12345EJERCICIOS a resolver (6)

EJERCICIOS a resolver (7)

EJERCICIOS a resolver (8)

EJERCICIOS a resolver (9)

EJERCICIOS a resolver (10)

Dibuje la regin acotada por las grficas de las ecuaciones que se dan, muestre una rebanada representativa, aproxime su rea, formule una integral y calcule el rea de la regin.

EJERCICIOS a resolver (11)

Gracias por su atencin !!!