Cálculo ii.clase no. 06
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CÁLCULO IIUNIDAD III: LA INTEGRAL DEFINIDA
Clase No. 06CATEDRÁTICO: Ing. Marlon
VelásquezFecha: 22 de enero del 2016
SUMAS DE RIEMANN
ESTIMACIÓN DE SUMAS FINITAS. LAS SUMAS DE RIEMANN.Sumas de Riemann =Considere una función f definida en un intervalo cerrado [a, b]. Puede haber valores tanto positivos como negativos en el intervalo; incluso, no necesita ser continua. Su gráfica podría parecerse a la de la figura 1.
SUMA DE RIEMANN
Le llamamos una suma de Riemann para f correspondiente a la partición P. Su interpretación geométrica se muestra en la figura 3.
A la suma
INTEGRAL DEFINIDA
DEFINICIÓN: INTEGRAL DEFINIDA • Sea f una función que está definida en el intervalo cerrado [a,b]. Si
existe, decimos que f es integrable en [a,b]. Además, denominada integral definida(o integral de Riemann) de f de a hacia b, entonces está dada por:
TEOREMA A: TEOREMA DE INTEGRABILIDAD • Si f es acotada en [a,b] y si f es continua, excepto
en un número finito de puntos, entonces f es integrable en [a,b]. En particular, si f es continua en todo el intervalo [a,b], es integrable en [a,b].
TEOREMA B: PROPIEDAD ADITIVA PARA INTERVALOS.
• Si f es integrable en un intervalo que contenga a los puntos a, b y c, entonces
no importa el orden de a, b y c.
TEOREMA C: PROPIEDAD DE ACOTAMIENTOSi f es integrable en [a,b] y m f(x) M para toda x en [a,b], entonces
TEOREMA D: LINEALIDAD DE LA INTEGRAL DEFINIDA• Suponga que f y g son integrables en [a,b] y
que k es una constante. Entonces kf y f+g son integrables y:
TEOREMA E: SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO• Sea f continua (y de aquí integrable) en
[a,b], y sea F cualquier antiderivada de f en [a,b]. Entonces
ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA
UNA REGIÓN POR ARRIBA DEL EJE X• Supóngase que y=f(x) determina una curva en el plano xy y
supóngase que f es continua y no negativa en el intervalo a ≤ x ≤b (como en la figura). Considérese la región R acotada por las gráficas de y=f(x),x=a, x=b y y=0. Nos referiremos a R como la región bajo y=f(x) entre x=a y x=b. Su área A(R) está dada por
UNA REGIÓN DEBAJO DEL EJE X
• El área es un número no negativo. Si la gráfica de y =f(x) está por debajo del eje x, entonces es un número negativo y, por lo tanto, no puede ser un área. Sin embargo, sólo es el negativo del área de la región acotada por y=f(x), x=a, x=b y y=0.
UNA REGIÓN ENTRE DOS CURVAS• Considere las curvas y=f(x) y y=g(x) con g(x) ≤ f(x) en a ≤ x ≤ b. Ellas determinan la región que se muestra en la figura . Utilizamos el método rebane, aproxime, integre para encontrar su área. Asegúrese de notar que f(x) -g(x) da la altura correcta para la tira delgada, aun cuando la gráfica de g está por debajo del eje x. En este caso, g(x) es negativa; de modo que restar g(x) es lo mismo que sumar un número positivo.
EJERCICIOS A RESOLVER(1)Calcule la suma de Riemann que se sugiere en la siguiente figura
EJERCICIOS A RESOLVER(2)Calcule la suma de Riemann para los datos que se dan
EJERCICIOS A RESOLVER (3)Calcule la suma de Riemann que se sugiere en la siguiente figura
Calcule la suma de Riemann para los datos que se dan
EJERCICIOS A RESOLVER (4)
1
2
3
EJERCICIOS A RESOLVER (5)
Dibuje la región acotada por las gráficas de las ecuaciones que se dan, muestre una rebanada representativa, aproxime su área, formule una integral y calcule el área de la región.
1
2
3
4
5
EJERCICIOS A RESOLVER (6)
Encuentre el área de la región R acotada por +1, x=-1; x=2
EJERCICIOS A RESOLVER (7)
Encuentre el área de la región R acotada por - 6x , x=-2; x=3
EJERCICIOS A RESOLVER (8)
Dibuje la región acotada por las gráficas de las ecuaciones que se dan, muestre una rebanada representativa, aproxime su área, formule una integral y calcule el área de la región. • +1, y=0; entre x=0 y x= 3
• -2x, y=
EJERCICIOS A RESOLVER (9)
Encuentre el área de la región R acotada por x + 2 , x=-1; x=2
EJERCICIOS A RESOLVER (10)
Dibuje la región acotada por las gráficas de las ecuaciones que se dan, muestre una rebanada representativa, aproxime su área, formule una integral y calcule el área de la región.
EJERCICIOS A RESOLVER (11)
GRACIAS POR SU ATENCIÓN !!!