Calculo de la Matriz Inversa Por El Método de Gauss Jordan

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Calculo de la Matriz Inversa Por El Método de Gauss Jordan

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como  A-1 seguiremos los

siguientes pasos:

1. Construir una matriz de tipo  M = (A | I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz Identidad I en la

derecha.

Consideremos una matriz 3x3 arbitraria

La ampliamos con una matriz identidad de orden 3.

2. Utilizando el método de Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está  a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A-1

       F2 - F1                               F3 + F2

                                       

  

               F2 - F3                                        F1 + F2

                   

      (-1) F2

Método de Gauss

Cambiar el orden de las filas.

Multiplicar una o más filas por un número real distinto de cero.

Sumar a una fila otra multiplicada por un número real.

1) Calcular la matriz inversa de:

por el método de Gauss-Jordan

2)   Halla la inversa de las siguientes matrices aplicando la definición:

3)   Halla, por el método de Gauss-Jordan, la matriz inversa de A:

4)   Dada la matriz A:

a)   Razona si puede existir una matriz B tal que AB = I, siendo I la matriz identidad. En caso afirmativo halla B.b)   ¿Tiene inversa A? Razona la respuesta.

5)   Calcular la matriz inversa de:

por el método de Gauss-Jordan

6)   Calcula por el método de Gauss-Jordan la matriz inversa de las siguientes matrices:

7)   Calcula por el método de Gauss-Jordan la matriz inversa de las siguientes matrices:

8)   Comprueba que la inversa de la siguiente matriz:

es la matriz:

9)   Dadas las matrices:

Calcula   (A-1)-1   y   (B-1)·B

10)   Sean las matrices

a)   Comprueba que   (A·B)-1= B-1·A-1

b)   Calcula   (B2)-1 , de la manera más rápida posible

11)   Dada la matriz

Calcula   (At·A-1)2·A

12)   Considera la matriz:

Prueba que   B = I + A + A2   es la matriz inversa de   I - A  ,  donde   I   es la matriz identidad de orden 3.

13)   Considera la matriz:

donde   m∈IR .   Determina para qué valores de   m   la matriz A es regular (inversible).

14)   Consideremos la matriz A:

a)   Averigua para que valores del parámetro   m   la matriz no tiene inversab)   Calcula, si es posible, la matriz inversa de   A   para   m = 2

15)   Se consideran las matrices:

donde   m   es un número real. Encuentra los valores de   m   para los que A·B   tiene inversa.

16)   Se consideran las matrices:

a)   Estudia, en función de los valores reales de   m ,  si la matriz   B·A   tiene inversab)   Haz lo mismo para la matriz   A·B

La matriz inversa es:

1)   Hallar la inversa de A aplicando la definición:

 

2)   Halla la inversa de las siguientes matrices aplicando la definición:

3)   Halla, por el método de Gauss-Jordan, la matriz inversa de A:

4)   Dada la matriz A:

a)   Razona si puede existir una matriz B tal que AB = I, siendo I la matriz identidad. En caso airmativo halla B.b)   ¿Tiene inversa A? Razona la respuesta.firmativo halla B.b)   ¿Tiene inversa A? Razona

la respuesta.

5)   Calcular la matriz inversa de:

por el método de Gauss-Jordan 

de manera que existe     A-1     siendo:

6)   Calcula por el método de Gauss-Jordan la matriz inversa de las siguientes matrices:

Empezamos calculando la inversa de la matriz A.

Calculamos ahora la inversa de B

7)   Calcula por el método de Gauss-Jordan la matriz inversa de las siguientes matrices:

 

Empezamos calculando la inversa de la matriz A.

 

 

Calculamos ahora la inversa de B

 8)   Comprueba que la inversa de la siguiente matriz

es la matriz:

 

9)   Dadas las matrices:

Calcula   (A-1)-1   y   (B-1)·B

10)   Sean las matrices

a)   Comprueba que   (A·B)-1= B-1·A-1

b)   Calcula   (B2)-1 , de la manera más rápida posible

11)   Dada la matriz

Calcula   (At·A-1)2·A

12)   Considera la matriz:

Prueba que   B = I + A + A2   es la matriz inversa de   I - A  , donde   I   es la matriz identidad de orden 3

Si   B   es la matriz inversa de   (I - A)   entonces:

Es decir,   B   es la matriz inversa de   (I - A)

13)   Considera la matriz:

donde   m∈IR .   Determina para qué valores de   m   la matriz A es regular (inversible)

Para poder calcular la inversa tenemos que dividir entre (1 - m2), luego esta expresión no puede ser cero.

Es decir, la matriz A es inversible cuando:

14)   Consideremos la matriz A:

a)   Averigua para que valores del parámetro   m   la matriz no tiene inversab)   Calcula, si es posible, la matriz inversa de   A   para   m = 2

a)   La matriz   A   tiene inversa si su rango es 3, por lo que transformamos A   en una matriz escalonada:

La matriz   A   no tiene inversa si:

Por lo tanto la matriz   A   tiene inversa para todo número real   m   distinto de   1   y   3

b)   Para   m = 2   la matriz tiene inversa

15)   Se consideran las matrices:

donde   m   es un número real. Encuentra los valores de   m   para los que A·B   tiene inversa.

16)   Se consideran las matrices:

a)   Estudia, en función de los valores reales de   m ,  si la matriz   B·A   tiene inversab)   Haz lo mismo para la matriz   A·B

Como no existe ningún valor de   m   que anule a dicha celda, la matriz   B·A   siempre tiene rango 2, por lo tanto siempre tiene matriz inversa.

Para cualquier valor de   m   existe una fila nula en la matriz   A·B   , es decir, siempre tiene rango 2. Como el rango es menor que la dimensión de la matriz, no existe su matriz inversa sea cual sea el valor de   m .

1)   Calcula los determinantes de las siguientes matrices:

2)   Calcula los determinantes de las siguientes matrices:

3)   Resuelve las siguientes ecuaciones:

4)   Sea A una matriz cuadrada de orden 3.a) Si sabemos que el determinante de la matriz 2A es |2A| = 8. ¿Cuánto vale el determinante de A? Escribe la propiedad de los determinantes que hayas usado para obtener este valor.b) Calcula para qué valores de  x  se cumple que |2A| = 8, siendo A la matriz:

5)   Sean las matrices:

a)   Calcular   A·B + Cb)   ¿Es cierto que   |A·B + C| = |A·B| + |C| ?

6)   Resolver, sin desarrollar, aplicando y justificando las propiedades utilizadas de los determinantes:

7)   Calcular el valor del siguiente determinante:

8)   Calcular el valor del siguiente determinante:

1)   Calcula los determinantes de las siguientes matrices:

2)   Calcula los determinantes de las siguientes matrices:

3)   Resuelve las siguientes ecuaciones:

4)   Sea A una matriz cuadrada de orden 3.a) Si sabemos que el determinante de la matriz 2A es |2A| = 8. ¿Cuánto vale el determinante de A? Escribe la propiedad de los determinantes que hayas usado para obtener este valor.b) Calcula para qué valores de  x  se cumple que |2A| = 8, siendo A la matriz:

(a)

Si en una matriz cuadrada multiplicamos por un mismo número todos los elementos de la matriz, su determinante queda multiplicado por ese número elevado al orden de la matriz, en este caso, orden 3.

(b)

5)   Sean las matrices:

a)   Calcular   A·B + Cb)   ¿Es cierto que   |A·B + C| = |A·B| + |C| ?

(a)

(b)

6)   Resolver, sin desarrollar, aplicando y justificando las propiedades utilizadas de los determinantes:

Sacando  a   factor común de los elementos de la primera fila,  b   de la segunda y   c   de la tercera, obtenemos:

Mediante transformaciones llegamos a:

Desarrollando el determinante por la primera columna tenemos que:

Podríamos haber resuelto el determinante de una manera más fácil considerando un determinante deVandermonde:

Por las propiedades de los determinantes, el valor del determinante es el mismo si trasponemos la matriz, es decir:

El determinante de Vandermonde de orden 4 es:

7)   Calcular el valor del siguiente determinante:

Sacando  5   factor común de los elementos de la primera fila,  3   de la segunda y      de la tercera, obtenemos:

El determinante que nos queda es un determinante de Vandermande, por lo tanto:

Determinante de Vandermonde:

8)   Calcular el valor del siguiente determinante:

Es un determinante de Vandermande, por lo tanto:

 

Determinante de Vandermonde: