Post on 01-Feb-2020
APUNTES DE GEOMETRÍA 1º BACHILLER PÁGINA 1
BLOQUE 2 :GEOMETRIA ANALITICA EN EL PLANO.
Lección 1: Vectores.
1.-El conjunto R2
El conjunto R2 está formado por duplas del tipo (x,y) donde x,y son números
reales.
Dos elementos de R2 son iguales si tienen igual su primera y segunda componentes.
En R2 se definen las operaciones:
o Suma en R2: (x,y) +(x’,y’) =( x+x’,y+y’)
o Producto de un número real por un elemento de R2:a(x, y) = (ax, ay)
Los elementos de R2 se representan de forma cartesiana poniendo la 1ª coordenada
en el eje de abscisas y la 2ª coordenada en el eje de ordenadas.
2.- Vectores fijos en el plano
Def: Se llama VECTOR FIJO AB a un segmento orientado que tiene su origen en A y su
extremo en B.
Un vector fijo AB viene definido por cuatro características:
A
B
(a,b)
a
b
APUNTES DE GEOMETRÍA 1º BACHILLER PÁGINA 2
Módulo : Es lo que mide el vector. Se representa por | AB |
Dirección : Es la de la recta que pasa por A y B
Sentido : Es el recorrido de la recta desde A hasta B.
Origen : En este caso sería A.
Def : Se llaman vectores equipolentes a aquellos que tienen el mismo módulo, la misma
dirección y el mismo sentido.
Nota : Gráficamente dos vectores son equipolentes si al unir los extremos y los orígenes
aparece un paralelogramo.
3.- Vectores libres.
Def :Se llama vector libre a cada una de las clases de equivalencia en las que queda
clasificado el conjunto de vectores libres por la relación de equipolencia.
Nota : Un vector libre viene a ser como la flecha del ratón, es decir existe un representante
de cada vector en todos los puntos del plano.
4.- Operaciones con vectores:
En el conjunto de vectores libres del plano al que llamaremos V2 se definen las siguientes
operaciones:
1. Suma de vectores libres: Para sumar dos vectores libres se representa el primero y
con origen en el extremo de éste se dibuja el segundo. El vector suma es el que
tiene como origen el origen del primero y como extremo el extremo del 2º.
v
u
u+v
APUNTES DE GEOMETRÍA 1º BACHILLER PÁGINA 3
2. Producto de un número real por un vector : El producto ku es otro vector que
tiene como:
a. Módulo: |k||u|
b. Dirección: La misma que la de u .
c. Sentido: El mismo que u si k >0 y el opuesto si k<0.
5.- Base .Base canónica .Coordenadas de un vector .
Def : Se llama BASE de V2 a dos vectores no nulos y no proporcionales. La más
importante es la base canónica { i , j} que son dos vectores perpendiculares de módulo
unidad :Sus componentes son i (1,0), j ( 0,1).
Def : Se llama COORDENADAS de un vector w respecto de una base { i , j } a los
números x, y que cumplen que w = x i + y j
u
-0,5 u
2u
X
Y
i
j
X
Y
i
j
w
xi
yj
APUNTES DE GEOMETRÍA 1º BACHILLER PÁGINA 4
6.-Producto escalar de dos vectores libres
Def: Se llama producto escalar de dos vectores u y v al resultado de la siguiente operación:
u v u v cos(u,v) si u ,v son no nulos
0 si u ,v son nulos .
Nota : Si la base utilizada es la canónica { i , j } el producto escalar del vector u ( x, y ) por
el vector v ( x’ , y’ ) se calcula u v = xx’ + yy’.
7.-Módulo de un vector . Ángulo de dos vectores
Ya sabemos que el módulo de un vector representa lo que dicho vector mide, pero para
calcularlo basta aplicar el teorema de Pitágoras. Es decir el módulo del vector u(x,y) se
calcula como u x2 y2
Def : Se llama vector unitario a aquel cuyo módulo es 1 .
Nota :Para conseguir un vector unitario en la dirección y sentido de otro dado basta dividir
por su módulo .
Ejemplo: Dado el vector u ( -3,4), hallar un vector en la dirección y sentido de u que sea
unitario .
Hallamos el módulo de u , u ( 3)2 42 25 5 El vector unitario es
3
5,4
5
Del mismo modo resulta sencillo calcular el ángulo de dos vectores sin más que despejar de
la definición de producto escalar .En efecto : cos(u ,v )u v
u v
Def : Dos vectores u y v se dicen ortogonales si el ángulo que forman es de 90º o
equivalentemente si su producto escalar es 0 .
Nota : Para hallar un vector ortogonal o perpendicular a uno dado basta cambiar las dos
componentes de orden y a una de ellas cambiarla de signo .
Ejemplo : Hallar un vector perpendicular a u ( 2,3 ) . Sería (-3,2)
u(x,y)
x
y
APUNTES DE GEOMETRÍA 1º BACHILLER PÁGINA 5
2.- Ecuación de la recta
1.Sistemas de referencia .Vector de Posición
Def : Se llama SISTEMA DE REFERENCIA al conjunto
formado por { P, u, v} donde P es un punto y {u , v } es una
base de V2.
Nota : En nuestro caso el sistema de referencia estará
formado por {O, i
, j
} donde O (0,0) i
(1,0) , j
( 0,1 )
Def : Se llama VECTOR DE POSICIÓN del punto X a
x
que es el vector que une el origen con X .
Nota : Las componentes del vector x
coinciden con las
coordenadas del punto X .
2.Componentes de un vector dados por dos puntos
Sabemos dos puntos A y B ( que supondremos
distintos de O)
1) Trazamos los vectores de posición a
y b
2) De la figura se deduce que :
a AB b AB b a
3) Entonces si A(x1, y1) , B ( x2,y2 ) entonces a
(x1,
y1) , b
( x2,y2 ).Sustituyendo : AB = (x2-x1,y2-y1)
Nota : Nos referiremos a esta fórmula como extremo – origen .
Ejemplo : Hallar el vector determinado por los puntos A( 1,3) y B( 2, -6)
AB = ( 2,-6) – ( 1,3) = ( 1,-9)
3.-Coordenadas del punto medio
Suponiendo que sabemos las coordenadas de los extremos de un segmento A(x1, y1) , B(
x2,y2 ) vamos a hallar las coordenadas del punto medio M(xm, ym)
Las coordenadas de M serán las mismas que
las del vector m
O
X
x
a
b
A
B
a
b
A
B M
m
APUNTES DE GEOMETRÍA 1º BACHILLER PÁGINA 6
Del dibujo : m a AM
Pero como: AM
1
2AB
Pasamos a coordenadas : (xm, ym)=( x1, y1)+ 1
2( x2-x1,y2-y1)
Con lo que queda tras operar e igualar componente a componente
: xm
x1 x2
2,ym
y1 y2
2
Ejemplo : Dados A(3,-6) ,B(5,8) ,hallar las coordenadas del punto medio del
segmento AB
M
3 5
2,-6 8
24,1
Nota: Para hallar otro punto notable de un segmento ,por ejemplo los que dividen
en tres partes iguales P y Q , lo que habría que hacer es repetir este mismo proceso
cambiando que AP
1
3AB y
AQ
2
3AB
4. Ecuación de la recta en forma vectorial ,paramétrica,
continua , implícita y explícita
Def : Se llama DETERMINACIÓN LINEAL de una recta al conjunto formado por a y u
donde A es un punto de la recta y u es un vector que tiene la misma dirección que la recta.
Entonces :
X r si AX = tu
X r si AX tu
Del dibujo deducimos que :
x a AX SUST a tu y de aquí
aparece la llamada ECUACIÓN
VECTORIAL x a tu con t R
Si tomamos la base canónica :A(x1, y1) , X ( x,y ) entonces a
(x1, y1) , x ( x,y ) y
u (a,b), sustituyendo (x,y) = (x1, y1)+t(a,b). Multiplicando , sumamos , igualamos y
queda :
x x1 ta
y y1 tb ECUACIONES PARAMÉTRICAS.
Ahora despejamos la t en ambas ecuaciones e igualamos :
A
X
u
a x
APUNTES DE GEOMETRÍA 1º BACHILLER PÁGINA 7
tx x1
a
ty y1
b
x x1
a
y y1
b ECUACIÓN CONTINUA
Ahora vamos a obtener la ecuación implícita .Para ello multiplicamos en cruz y pasamos
todo al primer miembro.
bx –bx1 = ay –ay1 bx –ay + ay1-bx1 .Llamamos b =A , -a = B , ay1-bx1 = C quedándonos
Ax +By +C =0 ECUACIÓN GENERAL o IMPLÍCITA.
De la implícita se pasa a la explícita despejando la y .
By =-Ax –C y
A
Bx
C
B.Renombramos y llamamos a
A
B= m PENDIENTE
C
Bn ORDENADA EN EL ORIGEN
y = mx+n. ECUACIÓN EXPLÍCITA
5. Interpretación geométrica de la pendiente (m) y de la
ordenada en el origen (n)
Def : Se llama PENDIENTE de una recta a
la tangente del ángulo que forma dicha recta
con el eje OX.
m=tg =
A
B=
b
a
Def : Se llama ORDENADA EN EL
ORIGEN a la altura a la que la recta (si lo
hace) corta al eje OY.
En efecto si x= 0 ,entonces y = m*0 *n = n
6.Otras ecuaciones de la recta
1) ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR
DOS PUNTOS
r
n
r
Mediante el vector director
Mediante el
vector normal
A
B
APUNTES DE GEOMETRÍA 1º BACHILLER PÁGINA 8
Dos puntos determinan una recta cuya
determinación lineal sería
Punto A ó B
Vector AB
Entonces si A(x1, y1) , B ( x2,y2 ) , AB = (x2-x1,y2-y1),sustituyendo en la ecuación
continua
x x1
x2 x1
y y1
y2 y1
ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS
PUNTOS
2) ECUACIÓN SEGMENTARIA ó CANÓNICA
Esta ecuación es útil para problemas de triángulos :si
conocemos los puntos de corte de una recta con los
ejes A(a,0) y B(0,b) ,aplicando la ecuación de la recta
que pasa por dos puntos quedaría :
x a
0 a
y 0
b 0
x a
a
y
b
x
a
y
b1
3)ECUACIÓN EN FORMA PUNTO PENDIENTE
Partiendo de la ecuación continua
x x1
a
y y1
b ,pasamos b al primer miembro: (y
– y1)=
b
a(x- x1) si recordamos que
b
a=m nos queda : (y – y1)= m(x- x1)
7.Ecuación normal de la recta
Def: Se llama DETERMINACIÓN NORMAL de la recta al conjunto formado por A y n
Donde A es un punto de la recta y n es un vector perpendicular a la misma que se llama
vector normal.
Entonces
X r si AX n
X r si AX no es n .
AX n equivale a decir que
AX n = 0 (x - a ) n = 0
Si tomamos la base canónica :A(x1,
y1) , X ( x,y ) entonces a
(x1, y1) , x (
x,y ) y n (a,b), nos queda
A
B
A
X
n
a x
APUNTES DE GEOMETRÍA 1º BACHILLER PÁGINA 9
(x-x1, y- y1)(A,B)=0 es decir A(x-x1)
+ B(y-y1)=0
Ejemplo : Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1,2) y es
perpendicular al vector n ( 3, 4 ) .
La ecuación sería 3x+4y +K =0 , sustituyendo el punto A: 3*1 +4*2 +K =0 , K = -
11 y la recta es : 3x+4y-11=0 .
8. Haces de rectas
A.-HAZ DE RECTAS SECANTES :Es el conjunto de infinitas rectas que pasan por un
punto .Su ecuación es : (y – y1)= m(x- x1)
Ejemplo : Escribir la ecuación de todas las rectas que pasan por A(4,3) .
(y – 3)= m(x- 4)
B.-HAZ DE RECTAS PARALELAS: Es el conjunto de infinitas rectas paralelas a una
dada .Si la recta es Ax+By+C=0 , su ecuación es Ax+By +K = 0 con K C.
Ejemplo : Hallar la ecuación de todas las rectas paralelas a 2x+5y -119 =0 .
La ecuación es 2x + 5y + K =0 con K -119.
9.- Posiciones relativas de dos rectas en el plano
Dos rectas en el plano pueden ocupar tres posiciones:
La posición relativa de dos rectas se puede averiguar mediante :
A.-SISTEMAS DE ECUACIONES :
Según el nº de soluciones los sistemas se clasifican en
1) Compatibles determinados: (S.C.D) 1 solución Rectas secantes
r
s
r , s
r
s
Secantes (1 pto en común)
(mr ms)
Coincidentes (∞ ptos en común) (mr=ms), (nr=ns)
Paralelas (0 ptos en común)
(mr=ms), (nr ns)
APUNTES DE GEOMETRÍA 1º BACHILLER PÁGINA 10
Ejemplo:
r : 2x y 5
s : x y 3 .La única solución es x=2, y=1.
2) Compatibles indeterminados:(S.C.I) ∞ soluciones Rectas coincidentes.
Ejemplo:
r : 2x 2y 6
s : x y 3 . Soluciones x=3, y=0. x=2,y=1. x=1,y=2………
3)Incompatibles : (S.I) 0 soluciones Rectas paralelas.
Ejemplo:
r : x y 6
s : x y 3 . Dos números no pueden sumar a la vez 3 y 6 .
B.- LA PENDIENTE Y LA ORDENADA EN EL ORIGEN
Dadas dos rectas r : Ax +By +C =0 mr
A
B,nr
C
B
s: A’x +B’y +C’ =0 B’
C’n,
B’
A’m ss Entonces :
1.- Dos rectas son secantes, entonces: B’
B
A’
Amm sr
Demo : mr m s
-A
B
-A'
B'
-A
-A'
B
B'
A
A'
B
B'
Ejemplo:
r : 2x y 5
s : x y 3
2
1
1
1Rectas secantes.
2.- Dos rectas son paralelas entonces:
mr m s
nr n s
A
A'
B
B'
C
C'
Demo : mr m s igual
A
A'
B
B'
nr ns igual
B
B'
C
C'
Ejemplo:
r : x y 5
s : x y 3
1
1
1
1
5
3Rectas paralelas
3.- Dos rectas son coincidentes. entonces:
mr m s
nr n s
A
A'
B
B'
C
C'
Demo : mr m s igual
A
A'
B
B'
nr ns igual
B
B'
C
C'
APUNTES DE GEOMETRÍA 1º BACHILLER PÁGINA 11
Ejemplo:
r : 2x 2y 6
s : x y 3
2
1
2
1
6
3Rectas coincidentes.
APUNTES DE GEOMETRÍA 1º BACHILLER PÁGINA 12
3.Problemas métricos
1.-Nota previa
Todos los conceptos relacionados con distancias , ángulos .. se denominan EUCLIDEOS y
tienen como germen la existencia de un producto escalar
Así mediremos ángulos con:
Y distancias con la definición de módulo:
2.-Ángulo de dos rectas
DEF :Se llama ángulo de dos rectas secantes al menor de los ángulos que se forman
NOTA :Si las rectas son paralelas o coincidentes , el ángulo es 0.
CONSECUENCIA : El ángulo de dos rectas secantes puede variar entre 0 y 90 ( 0 y /2
rad)
Podemos calcularlo de tres maneras:
1) MEDIANTE LOS VECTORES DIRECTORES
2) MEDIANTE LOS VECTORES NORMALES .Para ello basta pensar en como pasar de
un vector director a uno normal
3) MEDIANTE LAS PENDIENTES
APUNTES DE GEOMETRÍA 1º BACHILLER PÁGINA 13
El ángulo que forman las dos rectas es a-b pero como mr=tg y ms= tg queda:
sr
sr
mm
mm
tgtg
tgtgtg
11
CONSECUENCIAS : Si dos rectas son paralelas , su ángulo es 0 , por tanto el numerador
debe ser 0 . ( esto ya lo sabiamos) .
Si dos rectas son perpendiculares , como la
tg90º=
3.-Distancia entre dos puntos
Def: Se llama distancia entre dos puntos A y B al módulo del vector .Por tanto
:
4.-Distancia de un punto a una recta
APUNTES DE GEOMETRÍA 1º BACHILLER PÁGINA 14
Def: La distancia de un punto a una recta es la existente entre dicho punto y su proyección
ortogonal. Es decir, d(A,r) = d(A,A´)= ´AA
Esta distancia se puede obtener calculando el punto
A´ , pero la fórmula que la permite calcular es :
D(A,r ) = 22
11
BA
CByAx
CONSECUENCIAS:
1. Cálculo de simétricos respecto de una recta
a. Calculamos el punto A´ ( proyección ortogonal de A sobre r
b. A´es el punto medio entre A y su simétrico A ´´
2. Distancia entre dos rectas paralelas:
a. Es la distancia de un punto de una de ellas a la otra .Es decir
d(r,s) = d( Ar ,s) = d(As,r).
b. Existe una fórmula que calcula directamente la distancia pero
sólo se puede usar si los coeficientes A y A´ y B y B´ son
IGUALES . Dicha fórmula es d(r,s)= 22
´
BA
CC
5.- Triángulos
En cualquier triángulo hay cuatro rectas notables:
ALTURA: Parte del vértice y es perpendicular al lado
opuesta .Se cortan en el ORTOCENTRO.
BISECTRIZ: Divide al ángulo en dos partes iguales .Se
cortan en el INCENTRO .
APUNTES DE GEOMETRÍA 1º BACHILLER PÁGINA 15
MEDIANA: Une el vértice con el punto medio del lado opuesto
.Se cortan en el BARICENTRO. G3
,3
321321 yyyxxx
MEDIATRIZ: es la perpendicular en el punto medio de
cada lado. se cortan en el CIRCUNCENTRO
Nota : El resto de puntos notables se calculan obteniendo dos de ellos y resolviendo el
sistema
Modo de cálculo :
ALTURA : Se halla el vector perpendicular al lado AB y se calcula la ecuación de la
recta que pasa por el punto C
BISECTRIZ : se calculan los puntos que cumplen que d(P,r)= d(P,s)
MEDIANA: Hallamos el punto medio de AB (M) y hallamos la recta que pasa por
M y C
MEDIATRIZ : Hallamos el punto medio y calculamos la recta perpendicular al
lado AB que pasa por ese punto medio
APUNTES DE GEOMETRÍA 1º BACHILLER PÁGINA 16
4.-Lugares geométricos.
Cónicas
1.- Lugares geométricos
Def : Se llama LUGAR GEOMÉTRICO aun conjunto de puntos que cumplen una
determinada condición
Ejemplos : El lugar geométrico de los puntos del plano cuya
Distancia a A sea igual a B →mediatriz
Distancia al punto C sea r →circunferencia de centro C y radio r
Distancia a la recta r sea igual a la recta s →Bisectriz
Nota : Aplicando esta definición podemos obtener la ecuación
Ejemplo : Conjunto de puntos cuya distancia a A(2,1) sea igual que la distancia a B(6,4)
Sea P(x,y) →d(P,A)=d(P,B)
→
047y6x8y816yx1236x
y21yx44xy816yx1236x
y21yx44x4y6x1y2x
22
2222
222222
miembroprimer al todo Pasamos
cuadradoal Elevando
Que es la ecuación de la recta mediatriz de AB
2.- Cónicas
Def : Es el corte de un plano con una superficie cónica
Def: Una superficie cónica es el resultado de girar una recta móvil llamada generatriz
en torno a una fija llamada eje
NOTA : Si el plano no pasa por el vértice aparecen las llamadas cónicas no
degeneradas que son :
1. Circunferencia
2. Elipse
3. Hipérbola
4. Parábola
APUNTES DE GEOMETRÍA 1º BACHILLER PÁGINA 17
3. La circunferencia Def :Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a un punto llamado
CENTRO es constante e igual a r
Es decir, se cumple : d( P,C)=r → cuadradoal elevandorbyax22
222rbyax
Ejemplo: Hallar la ecuación de la circunferencia de centro C(2,3) y radio 5
222532 yx
Expresión analítica :
Si desarrollamos 022
22
22222
22222222
rbabyaxyx
rbybyaxaxrbyax
22 rb2aF-2b,E-2a,D LLAMAMOS
022 FEyDxyx
¿Cómo pasar de una ecuación a otra?
Hemos visto que : D=-2a , E = -2 b , por tanto a= -D/2 , b = -E/2 . Es decir el centro es
C( -D/2 , - E/2)
También que 22 rb2aF , con lo que r
= FEDFED
Fba 42
1
44
2222
22
Def: Se llama potencia de un punto respecto de una
circunferencia al producto escalar PBPA siendo A
y B los puntos en los que la recta corta a la
circunferencia
Propiedad : PotC(P)=
PBPA == ´´ PBPA = '''' PBPA =CTE
Expresión analítica
Sea la circunferencia de centro C( a, b) y radio r y
P(x0,y0) un punto cualquiera .Trazamos una secante
que pase por C y P
Entonces Pot C(P) = PA PB = ( d-r)( d+r) = d2-r2 =
APUNTES DE GEOMETRÍA 1º BACHILLER PÁGINA 18
(x0 –a)2 + ( y0 – b)2 – r 2
Conclusión : Para calcular la potencia de un punto se sustituye el punto en la
circunferencia
Ejemplo : Halla la potencia del punto P(5,1) respecto de la circunferencia C : x2 + y2 -
3x+5y-3=0
Pot C(P) = 25+1-15+5-3= 13>0
Nota : La potencia indica si el punto está dentro , en o fuera de la circunferencia
Si Pot C(P) >0 →Punto exterior a C
Si Pot C(P) =0 →Punto pert a C
Si Pot C(P) <0 →Punto interior a C
Def : Se llama Eje radical al conjunto de puntos con igual potencia de dos circunferencias
Es decir : Pot C(P) = Pot C’ (P) .Se calcula restando las ecuaciones de las dos circunferencias
Ejemplo : Hallar el eje radical de C1 : x2 + y2 +3x-y-2=0 y C2: x
2 + y2 -2x+5y-3=0
Pot C(P) = Pot C’ (P) x2 + y2 +3x-y-2=x2 + y2 -2x+5y-3→5x-6y+1=0
Def : Se llama centro radical al punto que tiene igual potencia de tres circunferencias
Se calculan primero dos ejes radicales y luego se obtiene su punto de corte
POSICIONES RELATIVAS
1) DE RECTA Y CIRCUNFERENCIA
APUNTES DE GEOMETRÍA 1º BACHILLER PÁGINA 20
4.-La elipse : Def : Es el lugar geométrico de los puntos del plano
cuya suma de distancias a dos puntos llamados focos
es constante e igual a 2a
d(P.F) + d(P,F’ ) = 2a
A la distancia entre los focos se llama
distancia focal y se designa por 2c
Al eje focal (mayor) se le designa 2a
Al eje no focal (menor) , 2b
La excentricidad : e = 1a
c
Expresión analítica
Suponiendo el eje focal horizontal y el centro de la elipse en (0,0)
d(P.F) + d(P,F’ ) = 2a aycxycx 22222 .Elevando dos veces al
cuadrado y dividiendo entre a2b2 se obtiene la ecuación
de la elipse , que es : 12
2
2
2
b
y
a
x
Relaciones entre los elementos
Se cumple que : a2 = b2 +c2
OTROS CASOS DE LA ECUACIÓN DE LA
ELIPSE
Eje focal horizontal y centro en ( , ) :
12
2
2
2
b
y
a
x
Eje focal vertical y centro en (0,0) : 12
2
2
2
b
x
a
y
Eje focal vertical y centro en ( , ) :
12
2
2
2
b
x
a
y
APUNTES DE GEOMETRÍA 1º BACHILLER PÁGINA 21
5.-La hipérbola : Def : Es el lugar geométrico de los puntos del plano
cuya resta de distancias a dos puntos llamados focos es
constante e igual a 2a
|d(P.F) - d(P,F’ ) |= 2a
A la distancia entre los focos se llama distancia
focal y se designa por 2c
Al eje focal se le designa 2a
Al eje no focal , 2b
La excentricidad : e = 1a
c
La ecuación de las asíntotas de la hipérbola es y = xa
b
Expresión analítica
Suponiendo el eje focal horizontal y el centro de la elipse en (0,0)
d(P.F) - d(P,F’ ) = 2a aycxycx 22222 .Elevando dos veces al
cuadrado y dividiendo entre a2b2 se obtiene la ecuación de la hipérbola , que es :
12
2
2
2
b
y
a
x
Relaciones entre los elementos
Se cumple que : c2 = a2 +b2
OTROS CASOS DE LA ECUACIÓN DE LA
HIPÉRBOLA
Eje focal horizontal y centro en ( , ) : 12
2
2
2
b
y
a
x
Eje focal vertical y centro en (0,0) : 12
2
2
2
b
x
a
y
APUNTES DE GEOMETRÍA 1º BACHILLER PÁGINA 22
Eje focal vertical y centro en ( , ) : 12
2
2
2
b
x
a
y
CASO PARTICULAR Si a = b , la hipérbola se llama EQUILÁTERA (
suponiendo eje focal vertical y centro C(0,0) ) , la
ecuación queda : 222
2
2
2
2
1 ayxa
y
a
x
Si tomamos como ejes a las asíntotas ( en este caso
y= x ), la ecuación se transforma en xy= 2
2a o lo que
es lo mismo xy=k
6.- La parábola Def : Es el lugar geométrico de los puntos del que
equidistan de un punto fijo llamado FOCO y de una recta
DIRECTRIZ .Es decir d(P,F)= d(P,dir)
A la distancia del foco a la directriz se designa por p y se
llama parámetro
La perpendicular a la directriz que pasa por el foco se
llama EJE
El corte del eje con la parábola es el VÉRTICE
Expresión analítica
Suponiendo la directriz en el eje OX y el vértice en (0,0) y el centro de la elipse en (0,0)
p=d(F,d) con lo que el foco es (0,p/2) y la directriz es y = -p/2
Por la definición de parábola d(P,F)= d(P,dir)
py
pyp
ypyp
yp
yp
yx
2
4422
22
22
2
2
2
2
xndoSimplifica
x cuadradoal elevando
OTROS CASOS