TRANSFORMACIONES EN EL PLANO -...

Matemática Diseño Industrial Transformaciones en el plano Ing. Avila – Ing. Moll

TRANSFORMACIONES EN EL PLANO Si observamos las figuras siguientes notaremos que para su diseño se ha tomado un dibujo básico, que posteriormente fue rotado, desplazado o bien tomado su imagen en espejo. Decimos entonces que el dibujo ha sufrido una transformación. En este capítulo estudiaremos las distintas transformaciones a las que podemos someter a los objetos.

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TRANSFORMACIONES EN EL PLANO TRANSFORMACIONES DEL PLANO EN SÍ MISMO Algunas transformaciones que se pueden realizar a un objeto plano: 1) Podemos moverlo y cambiarlo de posición: 2) Podemos ampliarlo o reducirlo 3) Podemos proyectarlo en perspectiva

a b a´

b´ d´ c d

c´

a b

c d

a´ b´

c´ d´ a´ b´

c´ d´

d´ c´

a´ b´

d c

b a

2


4) Podemos dibujarlo en una lámina elástica y estirarlo hasta deformarlo arbitrariamente Veremos que:

1. Las longitudes se mantienen solo en el primer caso 2. Los ángulos se mantienen en el primero y el segundo caso 3. La alineación se mantiene en los tres primeros casos 4. El ordenamiento de los puntos se mantiene en todos los casos

MOVIMIENTOS EN EL PLANO Estudiamos los movimientos de una figura en el plano. En un movimientos, la única transformación que se observa es el cambio de posición, es decir, la figura no se deforma. Por eso llamamos a estas transformaciones movimientos rígidos. La figura pasa de una posición inicial a una posición final, llamada transformada de la primera, por el movimiento. Para llegar a la posición final, la figura pasa por una sucesión de posiciones intermedias y las trayectorias recorridas pueden ser distintas. Ejemplo:

a b a´ b´

c´ c d´d

b´´ c´´

a

b c

a´

b´

c´

a´´

b´´ c´´

b b´´´ a´´ c

c´´´

b´ c´ a

a´´´

a´

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Aunque la posición final es la misma, las trayectorias son distintas. No nos interesan las trayectorias ni el tiempo transcurrido, solo nos interesa la posición inicial, final y la correspondencia que puede establecerse entre los puntos de una figura y su transformada. Es decir que consideramos “el movimiento como una correspondencia de puntos”. A cada punto de la figura inicial corresponde uno y solo uno de la segunda, llamada imagen o transformada de la primera. a´ es la imagen o transformada de a

a

b c

P x Q x

c b

a α

c´ b´

a´

a´

b´ c´

P´ x

Q´ x

α Al punto P exterior al triángulo le corresponde el punto P´ . Al punto Q interior al triángulo, le corresponde el punto Q´. Resulta que a todo punto del primer dibujo le corresponde n punto del segundo dibujo, o transformado, pero siempre en el mismo plano, decimos que el plano se transforma en sí mismo, porque es el mismo plano, pero sus puntos han cambiado de posición.

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DISTINTOS TIPOS DE MOVIMIENTOS 1. TRASLACIÓN Si decimos: “trasladamos 3 cm. la figura F”, esto da lugar a infinitos cambios de posición. En todos los casos hemos trasladado la figura 3 cm., pero para indicar una traslación debemos indicar:

a) Distancia b) Dirección c) Sentido

Si quiero trasladar la figura de modo que el punto P ocupe la posición P´ , debo tomar la distancia de P a P´, que será el segmento ´PP . Pero ´PP no es cualquier segmento, sino que tiene dirección y sentido. A esto le llamamos segmento orientado o vector, y se indica ,PP o bien v . P es el origen del vector P´ es el extremo del vector

F F´

F

3 cm

F´

3 cm

F

F´

3 cm

* P´ SR

P Q

P´ v

P

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Dos vectores congruentes, paralelos y del mismo sentido se llaman equipolentes. v

u Por lo tanto para obtener la imagen de una figura F, se trazan vectores equipolentes a PP por cada vértice y se unen ordenadamente los puntos obtenidos. Es decir, la traslación queda determinada por el vector v .

P P´

S Q

Q´ R

R´

v

Definición: Se llama traslación de vector v a la transformación del plano en si mismo, que a cada punto P de éste, hace corresponder como imagen otro punto P´ del mismo plano, tal que ´PP = v . VECTOR NULO – TRASLACIÓN IDÉNTICA Se llama vector nulo al vector cuyo origen coincide con su extremo. La traslación de vector nulo transforma a todo punto en sí mismo. A esta traslación se la llama Traslación idéntica o identidad. Todo punto que se transforma en sí mismo se llama punto doble o unido. COMPOSICIÓN DE TRASLACIONES

Si al segmento ab lo trasladamos a ´´ba con el vector 1v y luego lo trasladamos a

la posición ´´´ b́a con el vector 2v , podemos llegar a la misma posición pero con el vector 21 vvv +=

Es decir que podemos componer traslaciones.

a´ 1v

2v a v a´´

b´

b b´´

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La composición por adición de vectores es: * Conmutativa 1221 vvvvv +=+=

* Asociativa )()( 321321 vvvvvvv ++=++= En otras palabras:

- La adición de vectores es conmutativa, implica que la composición de traslaciones es conmutativa.

- La adición de vectores es asociativa, implica que la composición de traslaciones es asociativa.

* El vector nulo es el elemento neutro para la adición de vectores, implica que la traslación idéntica es el elemento neutro para la composición de traslaciones. * Vector opuesto

v

v− La suma de un vector y su opuesto es el vector nulo. La composición de una traslación y su inversa es la identidad. * Ley de cierre. La composición de dos traslaciones es otra traslación. 2. ROTACIÓN Frecuentemente observamos objetos que giran alrededor de un punto o de un eje fijos. Por ejemplo un disco, una calesita, una rueda, las agujas de un reloj. También hay objetos que tienen un movimiento pendular como el péndulo de un reloj o el limpiavidrios de un auto. Estos ejemplos corresponden a los movimientos que llamamos giros o rotaciones.

a

a´ b

b´

c c´

O

α

α

α

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Analicemos los elementos que determinan una rotación. En este movimiento el punto O permanece fijo. Se llama centro de rotación. Cada punto se mueve sobre un arco de circunferencia de centro O. Es decir que para cada punto la distancia al centro permanece constante. ÓaaO = ÓbbO = ÓccO = El ángulo girado aOa´ = bOb´ = cOc´ = α se llama amplitud de la rotación o ángulo de giro. Vemos que el ángulo no varía, es decir que cada punto del triángulo tiene la misma rotación. Si no fuera así entonces se deformaría el triángulo. ÁNGULO ORIENTADO Si tratamos de aplicar a un punto P una rotación de amplitud α y centro O, se presentan dos posibilidades.

Según el sentido de giro que elijamos obtendremos como transformado el punto P´ o el punto P´´.

P

P´´ P´ O

-α +α Es decir que además de la amplitud debemos conocer el sentido de giro.

Un ángulo provisto de un sentido de giro se llama ángulo orientado. Si el ángulo es orientado, entonces POP´ ≠ POP´´

α

lado extremo

lado origen

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Definición: “Se llama rotación de centro O y ángulo de giro xOy a la transformación del plano en si mismo, que a todo punto P de éste le hace corresponder como imagen otro punto P´ del mismo plano, tal que OP = OP´ y POP´ = xOy Expresado como función:

Se lee: el punto P se transforma en P´ por la rotación de centro O y ángulo de giro xOy.

R(O,xOy) P P´

Por convención se llama sentido positivo al giro antihorario y sentido negativo al giro horario. ÁNGULO NULO - ROTACIÓN IDÉNTICA Se llama ángulo nulo al ángulo cuyos lados coinciden. Esta rotación transforma a un punto en sí mismo y se llama rotación idéntica o identidad. COMPOSICIÓN DE ROTACIONES DEL MISMO CENTRO

b´ a´

a´´

b´´

a

O

Si aplicamos al segmento ab una rotación R1 de centro O y ángulo de giro α1 y a continuación aplicamos a su transformado a´b´ otro rotación R2 del mismo centro y amplitud α2 que transforma a´b´ en a´´b´´, veremos que el mismo resultado se obtiene si aplicamos al segmento ab una única rotación igual a la suma de las rotaciones R1 y R2.

b

La rotación R se llama producto o compuesta de R1 y R2.

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R1 0 R2 = R se lee “R1 por R2” o bien: “R1 cerito R2” o bien: “R1 compuesta con R2” En ella el ángulo de giro de R es la suma de los ángulos α1 y α2 PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE ÁNGULOS ORIENTADOS Y DE LA COMPOSICIÓN DE ROTACIONES DEL MISMO CENTRO PROPIEDAD CONMUTATIVA α1 + α2 = α2 + α1 y R1 o R2 = R2 o R1

• La adición de ángulos orientados es conmutativa • La composición de rotaciones del mismo centro es conmutativa.

PROPIEDAD ASOCIATIVA (α1 + α2) + α3 = α1 + (α2 + α3) y (R1 o R2) o R3 = R1 o (R2 o R3)

• La adición de ángulos orientados es asociativa. • La composición de rotaciones del mismo centro es asociativa.

ELEMENTO NEUTRO α + 0 = 0 + α = α y R o I = I o R = R

• El ángulo nulo es elemento neutro para la adición de ángulos • La rotación idéntica es elemento neutro para la composición de rotaciones.

LEY DE CIERRE La composición de dos rotaciones de un mismo centro es otra rotación.

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ÁNGULOS OPUESTOS α + (-α) = (-α) + α = 0 y R o R-1 = R-1 o R = I

• La suma de dos ángulos opuestos es el ángulo nulo • La composición de dos rotaciones inversas es la identidad.

DETERMINACIÓN DEL CENTRO DE ROTACIÓN

Sabemos que el centro equidista de a y a´, es decir que:

´oaoa =

Entonces o pertenece a la mediatriz de aa´

Y sabemos que el centro equidista de b y b´

b

90º b´

a´ a 90º

O

es decir que: ´obob = Entonces o pertenece a la mediatriz bb´ Donde se intersecan las mediatrices el punto o (centro de giro) 3. SIMETRÍA CENTRAL

Si aplicamos a la figura una rotación de 180º los pares de puntos homólogos (a y a´) (b y b´) aparecen alineados con el centro o.

a b´

o b oa y oa´

ob y ob´ Son semirrectas opuestas

__ __ _a´ _ _ _

es el punto medio de los segmentos aa´ y bb´, es decir que:

__ __

__ __ __ __ ao = oa´ bo = ob´

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Definición: Se llama simetría de centro o a la transformación del plano en sí mismo, que a cada punto p de éste hace corresponder otro punto p´ del mismo plano, tal que las semirrectas op y op´ son opuestas y op = op´. Los puntos a y a´ se llaman simétricos con respecto al centro o. De la definición se deduce que para obtener el simétrico de un punto p respecto a un centro o, se traza la recta op, y sobre la semirrecta opuesta a op se traza op´ = op. COMPOSICIÓN DE SIMETRÍAS CENTRALES Hemos visto que la composición de dos traslaciones es otra traslación, y que la composición de dos rotaciones del mismo centro es otra rotación del mismo centro. Parece natural pensar que la composición de dos simetrías centrales es otra simetría central.

b´

ab // a´´b´´ aa´´ = 2 (O1 O2) El producto de dos simetrías de centros O1 y O2 es una traslación de vector v , de longitud igual al duplo de la distancia de los centros. v = 2 (O1 O2) O sea que NO se cumple la LEY DE CIERRE. Es decir que NO ES CONMUTATIVA

O1 a

b

a´

a´´ O2

b´´ v

__ __ __ __

__ __ __ __

__ ____ ____ ____

____

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Si componemos al segmento ab primero con O1 y luego con O2 obtenemos

a´´ b´´. Si invertimos el orden, es decir, componemos ab primero con O2 y luego con O1, vemos que a´´ b´´ se ubica en una posición totalmente distinta al primer caso.

__

______ __

______

Es decir que la composición de simetrías centrales no es conmutativa. a b´ a´´ O1 O2

*

b´´ a´b

4. SIMETRÍA AXIAL

Se llama simetría axial, de eje E, a la transformación del plano en sí mismo, que a todo punto p de éste, le hace corresponder otro punto p´ del mismo plano, tal que el eje E es la mediatriz del segmento ´pp . Aquí la imagen está en espejo respecto de la original.

COMPOSICIÓN DE SIMETRÍAS AXIALES La composición de dos simetrías axiales no cumple la ley de cierre, es decir que no es otra simetría axial. Para determinar cuál es la transformación resultante de la composición de dos simetrías axiales debemos analizar tres casos:

O2 a

b

b´

a´

O1

a´´

b´´

b E

p b´

a p´ a´

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1º) Eje 1 // Eje 2

El producto de dos simetrías de ejes paralelos es una traslación tal que la longitud del vector es igual al duplo de la distancia entre los ejes. d = m1a´+ a´m2

v = a´´a = am1 + m1a´ +a´m2 + m2a´´

E1 E2

b b´ b´´

a´´

pero am1 = m1a´ y a´m2 = m2a´´

entonces: v = m1a´ + m1a´ + a´m2 + a´m2 v = 2 m1a´ + 2 a´m2 = 2 (m1a´ + a´m2) v = 2 d 2º) E1 oblicuo a E2

El producto de dos simetrías cuyos ejes se cortan en un punto o es una rotación de centro o y cuyo ángulo de giro es el duplo del ángulo formado por los ejes. α = β + γ

β + β + γ +γ = 2 β + 2 γ = 2 (β + γ) = 2 α

a a´

d

dv 2=

m1 m2

a

b

b´ a´

E1

o

β β

α

a´´ b´´

γ

γ E2

____ ____

____ ____ ____ ____ ____

___ ___ ____ ____

____ ____ ____ ____

d

____ ____ ____ ____

^ ^ ^

^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

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3º) E1 perpendicular a E2

El producto de dos simetrías axiales de ejes perpendiculares es una simetría central cuyo centro es el punto de intersección de los ejes.

E1

E2

a

b b´

a´

a´´

b´´

Este problema constituye un caso particular del anterior.

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HOMOTECIA En este caso la figura y su transformada mantienen la forma pero han cambiado la posición y el tamaño.

a a´

c

c´

b´ b

d e d´ e´o

Se puede ampliar la figura o reducirla.

Si hacemos la relación: oaoa´

y la comparamos con:

oeoe

odod

ococ

obob ´;´;´;´

veremos que:

koeoe

odod

ococ

obob

oaoa

=====´´´´´

esto implica que: oa´ = k . oa ob´= k . ob oc´= k . oc od´= k. od oe´ = k. oe __ __ __ __ __ __ __ __ __ __

Estas funciones puntuales se llaman homotecias de centro o y razón k.

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La razón k puede tomar valores positivos o negativos. Si son positivos la figura y su imagen estarán en la misma semirrecta. Si la razón es negativa, estará la figura en una semirrecta y la imagen en la semirrecta opuesta. Ejemplos:

opopkopop .3´3´

=⇒==

opopopop

×=⇒=32´

32´

o opopopop

−=⇒−= ´1´

o p p´

o 1/3 2/3 3/3

P´ P

o P´ P

Definición: Sea o un punto fijo del plano y k un número real distinto de cero. Se llama homotecia de centro o y razón k a la función que a todo punto p del plano, hace corresponder otro punto p´ tal que opkop .´ = Se dice que p´ es el homotético de p por la homotecia dada. PROPIEDADES DE LAS FIGURAS HOMOTÉTICAS La imagen de a es a´ y la imagen de b es b´. Entonces:

kobob

oaoa

==´´

ab // a´b´ (son segmentos paralelos)

a

b b´

m

a´

__ ___

o

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Si por el punto a trazamos una paralela a ob tendremos el punto m. Si consideramos el triángulo oa´b´ tendremos:

´´´´

mbba

oaoa

=

Como amb´b es un paralelogramo, pues sus lados opuestos son paralelos, será entonces: mb´ = ab Reemplazando en la anterior, queda:

ab

baoaoa ´´´

=

y como koaoa

=´

será entonces: kab

ba=

´´

En consecuencia: “La imagen de un segmento ab por una homotecia de centro o y razón k es otro segmento a´b´, tal que:

• a´b´ es paralelo a ab __ • La razón entre a´b´ y ab es igual a la razón de la homotecia

__

__ __

__ ____

__ __

_____

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IMAGEN DE UN VECTOR Análogamente, podemos enunciar que la imagen de un vector ab por una homotecia de centro o y razón k es otro vector a´b´ tal que:

• a´b´ es paralelo al vector ab • La razón de los módulos es igual a la razón de la homotecia

kab

ba=

´´

• Se conserva el sentido, si k es positivo y cambia de sentido se k es negativo.

b´

b

a a´

o Ejercicio: Construye el homotético de los siguientes vectores: a) H(0; -2) ab (homotecia de centro o y razón k = -2 del vector ab)

boobbo

ob×−=⇒−= 2´2´

oaoaoaoa

×−=⇒−= 2´2´

abba //´´ pero de sentidos opuestos.

a

o a´

*

b

b´

__ ___

__

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b) H(o;5/2) cd (homotecia de centro o y razón k = 5/2

odododod

×=⇒== 5,2´5,225´

c´d´ // cd y del mismo sentido

* c) H(a;-1/2) ab (Homotecia de centro a y razón k = -1/2 del vector ab)

baabba

ab21´

21´

−=⇒−=

a = a´ es decir que a´ coincide con a d) H(c;3/2) cd (homotecia de centro c y razón k = 3/2 del vector cd)

cdcdcdcd

×=⇒== 5,1´5,123´

el punto c coincide con c´

* *

*

1/2 2/2

o c

d 3/2

4/2

c´

5/2 d´

*

* a

b

b´

*

*

*

d´ d

c

___ ___

20


IMAGEN DE UNA RECTA La homotética de una recta R con respento a un centro o, es otra recta R´ paralela a ella.

ab

a´

b´

o

R

R´

IMAGEN DE UN ÁNGULO Para determinar la imagen de un ángulo por una homotecia H(o;k) es suficiente hallar el homotético del vértice y el de un punto perteneciente a cada lado, ya que en una homotecia varía solo el tamaño de la figura, pero no sus ángulos. a´v´ // av ⇒ α = α´ b´v´ // bv

a´

α o v

a

α´ v´

b

___ __

___ __

b´

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COMPOSICIÓN DE HOMOTECIAS DEL MISMO CENTRO Como la homotecia es una función puntual, podemos hallar el resultado de la composición de dos homotecias. Sea por ejemplo: a) H(o; 2) a = a´ k1 = 2

H(o; 2) o H(o; 3) = H(o; 6) k = k1 . k2 = 2 x 3 = 6 H(o; 3) a´ = a´´ k2 = 3

a

b

a´

b´ b´´

a´´

o

b) H(o; -2) a = a´ k1 = -2 H(o; -2) o H(o; 3) = H(o; -6)k = k1 . k2 = (-2) x 3 = -6 H(o; 3) a´ = a´´ k2 = 3 b

a o a´´

b´´

b´

a´

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De acuerdo con los resultados concluimos: “La composición de dos homotecias del mismo centro es otra homotecia del mismo centro, cuya razón es el producto de las razones de las homotecias dadas” Se puede demostrar que la composición de homotecias cumple las siguientes propiedades:

• Ley de cierre (es otra homotecia del mismo centro) • Ley asociativa • Existe neutro • Toda homotecia tiene inversa • Ley conmutativa

SEMEJANZA Las homotecias y los movimientos son funciones puntuales y en consecuencia podemos componer una homotecia con un movimiento. Definición: “Se llama semejanza a toda composición de un movimiento con una homotecia” Ejemplo:

a

c b a´

c´ b´ a´´

b´´ c´´

F

F´

F´´ a) T v o H(o; 3) F F´´ (Traslación con homotecia)

v Aquí la homotecia transforma F en F´, luego la traslación transforma F´ en F´´

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b) H(o; -3/2) o SE: F F´´ E

c c´

c´´

b b´

b´´

a a´

a´´ o

(Homotecia con Simetría axial) Aquí la Simetría transforma F en F´, luego la homotecia transforma F´ en F´´ Nota: Observemos que en el primer caso al componer una traslación con una homotecia, hemos realizado primero la homotecia y a su resultado le aplicamos la traslación. Es decir que hemos realizado una traslación de la homotecia. En el segundo caso, donde hemos compuesto una homotecia con una simetría, hemos realizado primero la simetría y luego a su resultado le aplicamos la homotecia . Es decir que hemos realizado una homotecia de la simetría. Es importante tener en cuenta el orden en que se realiza la composición, ya que si invertimos el orden el resultado será totalmente distinto. Recordemos los siguientes conceptos: Congruencia: es una composición de movimiento. Semejanza: es una composición de un movimiento con una homotecia. Observemos que una congruencia no implica semejanza, pero una homotecia si implica una semejanza ya que la homotecia tiene incorporada una traslación. PROPIEDADES DE LA SEMEJANZA

• Es REFLEXIVA: una figura puede dar a sí misma como imagen (si la razón es cero)

• Es SIMÉTRICA: F´ da como imagen F y F puede volver a dar F´ • Es TRANSITIVA: Si F F´ y F´ F´ , entonces F F´´

Decimos que las figuras semejantes tienen la misma forma, no el mismo tamaño.

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Ejemplos de figuras que conservan la forma pero que varíen su tamaño son las fotografías ampliadas o reducida, los planos de una vivienda en distintas escalas, los mapas de un país, etc. Desde el punto de vista matemático, interesa conocer las relaciones entre dos figuras semejantes. En toda semejanza los ángulos son congruentes y los segmentos proporcionales. TEOREMA FUNDAMENTAL DE SEMEJANZA Si se traza la paralela a un lado de un triángulo, ésta determina con las rectas a que pertenecen los otros dos lados, un triángulo semejante al dado. Consideremos los tres casos posibles:

b

a

b´

c

c´

a

b

b´

c

c´

a

b

b´

c

c´ En los tres casos los triángulos abc y ab´c´ son semejantes.

kacac

abab

==´´

En el primer caso: 0 < k < 1 En el segundo caso k > 1

En el tercer caso k < 0

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POLÍGONOS SEMEJANTES Dijimos que mediante la homotecia obteníamos triángulos semejantes; como los polígonos están formados por triángulos, éstos también serán semejantes, es decir que sus ángulos serán congruentes y sus lados proporcionales.

a a´ b b´

c c´

a a´ b b´

c c´ d d´ Los triángulos abc y a´b´c´ son semejantes Los trapecios abcd y a´b´c´d´ son semejantes

´ˆˆ aa ≅ ´̂ˆ bb ≅ ´̂ˆ cc ≅ ´ˆˆ aa ≅ ´̂ˆ bb ≅ ´̂ˆ cc ≅ ´ˆˆ dd ≅

kcaac

bccb

abba

===´´´´´´

kda

adcddc

bccb

abba

====´´´´´´´´

EJERCICIOS DE TRANSFORMACIONES EN EL PLANO TRASLACIÓN 1) Determinar la imagen de R por la traslación Tv

R

v

R

R´

P1

P2

P´1

P´2

α1

α2

a) ¿Cuántos puntos necesitas trasladar para determinar la recta transformada de R?

b)Demuestra que la transformada de R es una rcta R´ paralela a R. a) Transformando dos puntos P1 y P2 a P1´ y

P2´ tengo determinada la recta R´. b) Se forman dos triángulos P1P ´1P´2 y

P2P1P´2 donde: P1P´2 es lado común a los dos triángulos P1P´1 = P2P´2 por construcción (además son paralelos) α1 = α2 por ser alternos internos entre paralelas

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Conclusión: Si los triángulos tienen dos lados congruentes y el ángulo comprendido congruente, el tercer lado P1P2 debe ser igual a P´1P´2 y por lo tanto paralelos. 2) Aplica a la recta R una traslación de vector v paralelo a ella.

a) ¿Cuál es la recta transformada de R? v R

R

R´

P1 * * P´1 * P2

* P´2

b) ¿Existe algún punto unido en la traslación? a) La recta transformada R´ coincide con R. b) Para que exista algún punto unido el vector v

debe ser nulo, por lo tanto no existe en este caso. El punto P1 pasa a P´1 y el punto P2 pasa a P´2.

3) Aplica a la figura la traslación indicada por el vector. b´ c´

a

a´

b c

d

d´

v

4) Aplica a la figura una traslación cuyo vector sea abv =

El vector v tendrá el mismo largo que el lado ab y su sentido será desde a hacia b, por lo que el punto a´ coincidirá con el punto b. v

a a´ b

b´ c

c´

__

27


5) ¿Se puede pasar de F a F´ por una traslación?

No, porque en la traslación los lados se mantienen paralelos y la figura no cambia de sentido, solo se desplaza paralela a sí misma.

F F´

COMPOSICIÓN DE TRASLACIONES 6) Hallar el resultado de las siguientes composiciones: a) T1 o T2 o T1

-1 = T1: a a´ T1

-1: a´ a T2: a a´´ La composición es = T2 b) T o I o T-1 = T: a a´ T1

-1: a´ a I: a a La composición es = I 7) Aplica al triángulo abc la composición de traslaciones Tv1 Tv2 Tv3 v1 v2

v3

v1 v2 v3

v resultante

a a´

b b´

c c´

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ROTACIÓN 8) Demuestra que un segmento y su transformado por una rotación son congruentes. aob

y aób´ ´ˆ´ˆ

´

´

boaboaobob

oaoa

≅≅

≅

Será entonces:

´´

´´

baab

yobaaob

≅

≅

9) Aplica al triángulo abc la rotación R(o; +100º) y demuestra que ´´´ cbaabc ≅ ´´baab ≅ ´´cbbc ≅ ⇒ ´´´ cbaabc ≅ ´´acca ≅ 10) a) Aplica al segmento ab una rotación R(o; +180º) R(o; +180º) : ab a´b´

b) Aplica al segmento ab una rotación R(o; -180º) R(o; -180º) : ab a´´b´´

a

a

´b

b´

o

α

+100º

a a´

b

b´

c

c´

o

Recordar que +100º es un giro antihorario

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c) ¿Qué puedes decir de a´b´ y a´´ b´´ ?

a

b

a´ = a´´

b´ = b´´

o

+180º

-180º Vemos que a´ coincide con a´´ y b´ coincide con b´´, es decir que es indistinto girar 180º en un sentido o en otro.

11) Aplica a la recta S la rotación R(o; -70º). Con o que no pertenece a la recta S. ¿Cuántos puntos necesitas transformar para conseguir la imagen de S?

S

S

* *

-70º

*

P2

P´2 P1

P´1 *

Se necesita transformar 2 puntos para conseguir la imagen de S.

12) Aplica a la recta S la rotación R(o; +50º) con o perteneciente a la recta S. ¿Cuántos puntos se necesita en este caso para conseguir la imagen de S?

Se necesita solo un punto, ya que el otro es el mismo punto o (centro de giro).

*

* P´1

o +50º

P1 *

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COMPOSICIÓN DE ROTACIONES 13) Halla la suma de los siguientes ángulos orientados. a)

+100º +50º

+100º

+50º 100º+50º= 150º

+100º -40º

-40º 100º-40º= 60º

60º

b) 14) Calcula la suma de los siguientes ángulos orientados. a) α1 = + 30º α2 = + 75º 30º + 75º = 105º b) α1 = - 65º α2 = - 80º - 65º - 80º = - 145º c) α1 = - 135º α2 = + 50º - 135º + 50º = - 85º 15) Hallar el resultado de las siguientes composiciones: a) R1 o R2

-1 o I o R2 = R2 se anula con R2

-1, luego queda R1 o I = R1

31


b) R1-1 o (R1

-1)-1 o R2 = R1

-1 se anula con su inversa (R1-1)-1, luego queda la composición igual a R2

16) Completa con una rotación conveniente para que se verifique la igualdad. a) R(+32º) o R(+25º) o _ _ _ _ _ = I Respuesta: R(+32º) o R(+25º) o R(-35º-25º=-57º) = I b) R(-74º) o R(+18º) o _ _ _ _ _ = R(-56º)

Respuesta: como -74º + 18º = -56º la única composición posible es la identidad R(-74º) o R(+18º) o I = R(-56º)

17) Aplica al segmento ab el producto de las rotaciones siguientes: R(o; -65º) o R(o; +140º) La composición de las rotaciones mencionadas es: R(o; -65º+140º) = R(o; +75º)

o

a

b

b´

a´

75º

18) Aplica a la figura abcd el producto de las rotaciones siguientes: R(a; bad) o R(a; bad) o R(a; bad) = La composición de esas tres rotaciones da como resultado = R(a; 3 bad) En este caso particular da: 3 bad = 3 x 60º = 180º

^

32


60º 60º

60º a b

b´ b´´

c

d

d´´

c´´

Nota: si hubiese elegido un ángulo distinto de 60º el resultado hubiera sido distinto de 180º, por lo tanto la posición de la figura transformada sería otra.

19) Aplicar al triángulo abc la composición de rotaciones siguiente: R(o; 90º) o R(o; 90º) o R(o; 90º) o R(o; 90º) = Como gira cuatro veces 90º alrededor del centro o, en realidad ha girado 360º, entonces vuelve el triángulo a su posición original.

o * 360º

a

b

c

SIMETRÍA CENTRAL 20) Construye la figura simétrica de abc con respecto al centro o.

a

a´ b

b´

c

c´

o

33


21) Construya la figura simétrica de abcd con respecto al punto d.

d

a

b

c

c´

b´

a´

22) Construya la figura simétrica de abcd con respecto al punto o

o a

a´ b

b´

c

c´ d

d´ 23) ¿Cuál es tu conclusión? a) Construye la simétrica de la recta S con respecto al centro o no perteneciente a ella.

o

a

a´

b

b´

S S´

Conclusión: “La simétrica de una recta con respecto a un centro no perteneciente a ella es paralela a ella”.

34


b) Construye la simétrica de la recta S con respecto a un centro o que pertenezca a la misma Conclusión: “La simétrica de una recta con respecto a un centro o que pertenezca a la misma es coincidente”. c) ¿Hay puntos unidos en alguna de las dos simetrías? En la recta del punto a) no hay elementos unidos. En el caso b), si bien la recta S y la S´ son coincidentes, el único punto unido es el o. 24) Aplica al segmento ab la siguiente composición de tres simetrías centrales: So1 o So2 o So3 ¿El movimiento M que transforma ab en a´´´b´´´ es una traslación o una simetría central? Es una simetría central, su centro se determina uniendo a con a´´´ y b con b´´´. Donde se cortan es el centro de simetría.(Punto M del dibujo de abajo)

* b

* * a S

* * o a´ b´

S´

a´

a a´´

a´´´ b b´´

b´´´ b´

o1 O2 O3

__

__ ____

a´ b b´´ a´´´

a a´´ b´´´ b´

o1 O2 O3 M

35


¡Ojo! No siempre es una simetría central, a veces es una traslación, por ejemplo si consideramos ab con a´´ b´´ , veremos que allí tenemos una traslación, en otras palabras tenemos que tener en cuenta si el número de veces que hemos compuesto las simetrías es par o impar. 25) Verificar en el siguiente ejemplo, que la composición de simetrías centrales no es conmutativa. Primero hago So1 o So2 Ahora compongo: So2 o So1

b

a b´

b´´

a´

a´´

O2 O1

b´´

O1 O2

a a´´

a´ b

b´

Vemos que el dibujo de la página anterior no tiene nada que ver con el de esta página. El segmento a´´ b´´ cae en una posición totalmente distinta en los dos dibujos. Eso prueba que la composición de simetrías centrales no es conmutativa.

36


26) Aplica a la siguiente figura la composición de simetrías So1 con So2:

b´´

a

O1 = c

a´

b

b´

O2

a´´

c´´

SIMETRÍA AXIAL

27) Construye la figura simétrica de abc con respecto al eje E

c´ c

b´ b

a´ a

E

__ __ __ 28) Construye los simétricos de ab, cd y ef con respecto al eje E. Marca los puntos unidos.

f´

e´

f e

a

b

b´

☻ ☻

c´ punto unido

d = d´

c

a´ E

37


29) Construye la figura simétrica de abcd con respecto al eje E. Marca los puntos unidos Los puntos unidos son los correspondientes al segmento cd 30) Construye la figura simétrica de abcd con respecto al eje E. 31) ¿Cuál es tu conclusión?

a) Construye la simétrica de la recta s con respecto al eje E paralelo a ella. (S//E)

Conclusión: S // E // S´

a b

d=d´ c=c´ E

a´ b´

b

b´

d

d´

c

c´

a´

a E

S´

E S

38


b) Construye la simétrica de S oblicua al eje E

P E

S´

S Conclusión: el único punto unido es el punto P. c) Construye la simétrica de S perpendicular al eje E

E P

S´

S Conclusión: La recta S´ es coincidente con la recta S, pero el único punto unido es el P.

39


32) Demuestra que el producto de dos simetrías de ejes paralelos es una traslación tal que la longitud del vector es igual al duplo de la distancia entre los ejes. Si E1 // E2 ⇒ SE1 o SE2 = Tv con v = 2 a1a2 a1a2 = dist(E1E2)

E1 E2

b1 b

a a1 a´

b´ b2

a2

v dist E1E2

b´´

a´´

´11 aaaa = ´´´ 22 aaaa =

´´´´´´ 2211 aaaaaaaaaa +++=

)´´.(2´.2´.2´´ 2121 aaaaaaaaaa +=+= = 2 (dist 21aa ) = v

33) Demuestra que el producto de dos simetrías cuyos ejes se cortan en un punto o es una rotación de centro o y cuyo ángulo de giro es el duplo del ángulo formado por los ejes.

E2

E1

b´´

b´

b

a

a1

a´ a2

a´´

o

40


SE1 o SE2 = R(o; aoa´´) aoa´´ = aoa1 + a1oa´ + aóa2 + a2oa´´ aoa1 = a1oa´ y aóa2 = a2oa´´ entonces: aoa´´ = 2 a1oa´ + 2. aóa2 = 2 (a1oa´ + aóa2) = 2 (ángulo entre ejes) 34) ¿Cuál es tu conclusión? Aplica al segmento ab la siguiente composición de simetrías de ejes paralelos.

__

SE1 o SE2 o SE3 o SE4 o SE5 o SE6 a1 a2 a3 a5 a4 a6 a

b3 b4 b1 b2 b5 b6 b E2 E1 E3 E4 E5 E6 Si analizamos los resultados de las composiciones efectuadas veremos que: SE1 o SE2 = T1

SE1 o SE2 o SE3 = S1 SE1 o SE2 o SE3 o SE4 = T2 SE1 o SE2 o SE3 o SE4 o SE5 = S3 SE1 o SE2 o SE3 o SE4 o SE5 o SE6 = T3 Conclusión:

41


• El producto de un número PAR de simetrías axiales de ejes paralelos es una

TRASLACIÓN. • El producto de un número IMPAR de simetrías axiales de ejes paralelos es

una SIMETRÍA AXIAL. En otras palabras no cumple la ley de cierre. 35)

a) Aplica al segmento ab el producto de simetrías SE1 o SE2 b) Aplica el producto de simetrías SE2 o SE1

E1

b b´´ b´

a´´ a´

E2

a)

a b)

E1

b´

a´´ a´ a

b´´ b

E2

Conclusión: La composición de simetrías axiales no es conmutativa.

42


HOMOTECIA 36) ¿Cuál es la imagen de o en toda homotecia de razón k?

H(o; k) :o = o Como la homotecia es la distancia desde el punto hasta el centro multiplicada por k y aquí la distancia entre o y el mismo o es cero, resulta que la imagen coincide con el punto o.

37) a) ¿Cuál es la imagen de un punto cualquiera P en la homotecia de centro o y razón k = 1?

H(o; 1) : P = P Al multiplicar la distancia por 1, ésta no varía, por lo tanto la imagen de p coincide con P.

b) ¿Qué puntos del plano son dobles en esta transformación? Todos, ya que al multiplicar las sucesivas distancias por k = 1 todas las imágenes coincidirán con sus respectivos puntos de origen. 38) Determina los homotéticos de los puntos a y b según la razón indicada en cada caso.

a) k = 3

oaoaoaoa

×=⇒= 3´3´

obobobob

×=⇒= 3´3´

●b´ ● a´ ● ● b ● a

o

b) k = 2

oaoaoaoa

×=⇒= 2´2´

obobobob

×=⇒= 2´2´ ● ● ● ●

●

o

a a´

b b´

43


c) k = 31

oaoaoaoa

×=⇒=31´

31´

obobobob

×=⇒=31´

31´

● ● ● ●

●

o a a´

b

b´ 39) Halla el homotético de cada segmento de acuerdo con los datos consignados:

a) H(o; -3/4) ab

oaoa

obob

43´

43´

−=

−=

●

●

a

a´

b

b´

o

Supongamos que: ob = 1,7 cm ⇒ -3/4 x 1,7 cm = - 1,28 cm oa = 2,2 cm ⇒ -3/4 x 2,2 cm = - 1,65 cm b) H(o; -5/2) ab

obob

oaoa

25´

25´

−=

−=

●

●

a

a´ b

b´

o

44


Supongamos: oa = 2,6 cm ⇒ cmcmoa 5,66,225´ −=×−=

ob = 1,8 cm ⇒ cmcmob 5,48,125

´ −=×−=

40) Hallar las imágenes de los vectores ab, bc y ca por las homotecias indicadas. H(o; 3/2) ab H(o; 3/2) bc H(o; 3/2) ca

cmcmoaoa 75,35,223

23´ =×== b´

cmcmobob 85,29,123

23´ =×==

cmcmococ 85,29,123

23´ =×==

a a´

b

c´ c

o

41)construye el homotético de cada vector: a) H(o; -2) ab cmcmobob 60,38,122´ −=×−=−= a cmcmoaoa 40,42,222´ −=×−=−=

x o

a

´

b

b´

45


b) H(o; 5/2) cd

cmcmococ 50,7325

25´ =×==

cmcmodod 50,7325

25´ =×==

x o

a

a´

b

b´

42) Construye el homotético de cada vector: a) H(a; -1/2) ab

cmcmabab 35,17,221

21´ −=×−=−=

´0021

21´ aacmcmaaaa ≅⇒=×−=−= x

a=a´ b´

b

b) H(c; 3/2) cd

cmcmcdcd 75,35,223

23´ =×==

cccmcmcccc ≅⇒=×== ´0023

23´

d d´

c=c´

c) H(o; -2) mn cmcmomom 6,18,022´ −=×−=−= cmcmonon 6,23,122´ −=×−=−=

n´ m´

o m n

46


d) H(o; 2) rs cmcmoror 2122´ =×== cmcmosos 4222´ =×==

r´ r o s s´ De acuerdo a los resultados observados en los ejercicios anteriores podemos afirmar que:

• Dos vectores homotéticos en una homotecia de razón k > 0 tienen el mismo sentido.

• Dos vectores homotéticos en una homotecia de razón k < 0 tienen sentido opuesto.

43) Construye la circunferencia homotética de C(o; R) de acuerdo con la razón dada: a) H(o; 2) {C(o;R)} cmcmoaoa 2,21,122´ =×== R´= 2 . R = 2 x 1,1 cm = 2,2 cm

o a a´ b) H(o; -2) {C(o;R)} cmcmoaoa 2,21,122´ −=×−=−= R´= -2 . R = -2 x 1,1 cm = -2,2 cm

o a a´

47


44) Construye la homotética de la figura dada. H(o; 5/2) abcd

cmcmoaoa 75,35,125

25´ =×==

cmcmococ 75,35,125

25´ =×==

cmcmobob 5,16,025

25´ =×==

o b b´

d

c a a´ c´

d´

cmcmodod 5,16,025

25´ =×==

COMPOSICIÓN DE HOMOTECIAS DEL MISMO CENTRO Recordar que “es otra homotecia del mismo centro, cuya razón es el producto de las razones de las homotecias dadas” 45) Expresa en cada caso la homotecia resultante de la composición: a) H(o; 3) o H(o; -1) = H(o;-3)

b) H(o;- 3/4) o H(o; -5/6) = H(o;5/8) 85)

65()

43( +=−×−

c) H(o; 1/3) o H(o; 3) = H(o; 1)

d) H(o; -2) o H(o; 1/4) o H(-2/5) = H(o;1/5) 51)

52(

41)2( +=−××−

48


46) Hallar la imagen de ab en la composición de homotecias: H(o; - 3) o H(o; 1/2) ab = H(o; -3/2)

cmcmoaoa 05,47,223

23´ −=×−=−=

cmcmobob 15,31,223

23´ −=×−=−=

a´

o

b

b´ a

SEMEJANZA “Semejanza es la composición de un movimiento(traslación, simetría, etc) con una homotecia” 47) Construye la imagen de ab en las siguientes semejanzas. H(O2; 3/2) o So1 ab

cmcmaoao 3223´

23´´ 22 =×==

cmcmbobo 4,56,323´

23´´ 22 =×== o1

o2

a

a´

b

b´

b”

a”

Ojo: Si primero hago la homotecia y luego la simetría, el resultado es distinto. No es conmutativa. La composición indicada es una homotecia de un movimiento, por lo tanto primero se efectúa el movimiento y finalmente se practica la homotecia.

49


48) vT o H(o; -2) ab Aquí tenemos una traslación de una homotecia, por lo tanto primero hago la homotecia y finalmente la traslado.

v

cmcmoaoa 4,37,122´ −=×−=−=

cmcmobob 55,222´ −=×−=−=

a

a´ b

b´

v

v

a”

b”

50


PREGUNTAS DE AUTOEVALUACIÓN

1) ¿Qué similitud encuentra entre realizar una traslación de un punto, un segmento o una figura cualquiera?

2) ¿Cómo realiza la composición de dos traslaciones? 3) ¿Qué similitud encuentra entre realizar una rotación de un punto, un

segmento o una figura cualquiera?

4) ¿Cómo realiza la composición de dos rotaciones del mismo centro?

5) ¿Qué similitud encuentra entre realizar una simetría central de un punto, un segmento o una figura cualquiera?

6) Vimos que la composición de dos traslaciones es otra traslación y que la de

dos rotaciones es otra rotación. ¿Es la composición de dos simetrías centrales otra simetría central?

7) ¿Cómo realiza una simetría axial? 8) ¿Varía el tamaño del objeto o sus ángulos internos al realizar alguno de los

movimientos vistos en las preguntas anteriores?

9) ¿Varía el tamaño del objeto o sus ángulos internos al realizar una homotecia?

10) ¿Cuál es la relación matemática fundamental en la homotecia?

11) Observe las figuras de la primera página del capítulo y determine que

movimientos se utilizaron al crearlas.

51

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