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TRABAJO COLABORATIVO 2
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
ESCUELA ECBTI
CEAD DUITAMA
2016
DESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES
1. Construir un cuadro comparativo de las diferencias entre los sistemas lineales y los sistemas NO lineales con al menos un ejemplo. (Debe ser original, no se admiten copias bajadas de internet).
CUADRO COMPARATIVO
TIPO DE ECUACION DIFERENCIAS EJEMPLOS
ECUACIONES LINEALES
Sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo.
Una ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, o mejor dicho es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. En el sistema cartesiano representan rectas.
Los puntos de equilibrio del sistema lineal son los vectores del K er (A): entonces, hay uno solo o infinitos.
En el Almacén Abarrotes realizan una compra de varillas y tubos. Si la suma de una varilla y 2 tubos cuestan $90.000. Cuanto será el valor de cada tubo y de cada varilla. Si para comprar 4 varillas y 6 tubos pago $1.300.000.
Solución
x : varilla
y : tubo
x+2 y=90.000
4 x+6 y=1.300 .000
de1despues x
2 y=90.000−x
Las trayectorias en un sistema lineal siempre están definidas para todo instante de tiempo.
El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones con cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente y a continuación sustituirla en otra ecuación por su valor.
En matemáticas una función lineal es aquella que satisface las siguientes propiedades. ya que en un sistema tiene que poner en conjunto de dos o más ecuaciones.
y=90.000−x2
reemplazode y en2
4 x+6 y=1.300 .000
4 x+6= (90.000−x )2
=1.300 .000
4 x+ 540.000−6x2
=1.300 .000
8 x+540.000−6 x2
=1.300.000
2 x+540.000=2.600 .000
2 x=2.600 .000−540.000
2 x=2.060 .000
x=1.030 .000
ECUACIONES NO LINEALES
Sistemas no lineales representan sistemas cuyo comportamiento no es expresable como la suma de los comportamientos de sus descriptores. Más formalmente, un sistema físico, matemático o de otro tipo es no lineal cuando las ecuaciones de movimiento, evolución o comportamiento que regulan su comportamiento son no lineales. En particular, el comportamiento de sistemas no lineales no está sujeto al principio de superposición,
Un lote cuadrado mide de lado X metros, si la entrada es de Y metros y la suma es de 20m, si la suma del lado del lote con la entrada son iguales a 260m. ¿Cuál es el ancho del lote y la distancia de la entrada?
Solución
como lo es un sistema lineal.
Un sistema no lineal puede no tener puntos de equilibrio, o tener un numero finito o mayor que 1: x=x .(1−x )
En un sistema no lineal, las trayectorias no están definidas para todo instante de tiempo.
Un sistema de ecuaciones es no lineal, cuando al menos una de sus ecuaciones no es de primer grado.
Las ecuaciones no lineales son difíciles de resolver y dan origen a interesantes fenómenos como la teoría del caos.
x2+ y=260
x+ y=20
x=20− y
(20− y )2+ y=260
400−40 y+ y2+ y=260
y2−39 y+400−260=0
y2−39 y+140=( y−35 ) ( y−4 )=0
y=35 y=4
1407035
225
717¿
y=4distancia de la entrada
x+ y=20
x=20− y
x=20−4
x=16ancho del lote
2. Solucione el siguiente ejercicio utilizando los Método de eliminación de Gauss, Gauss-Jordán y Gauss-Seidel. Compare los resultados y haga un pequeño análisis.
Método de eliminación de GAUSS
1 0,1 x1+7 x2+0,3x3=−19,30
2 3,0 x1−0,1 x2−0,2 x3=7,85 Utilizar un ξ = 0.001
30,3 x1−0,2 x2−10 x3=71,40
Se multiplicar por 10
4 1 x1+70 x2−3 x3=−193
Multiplicar la ecuación 4por −3 f 1+ f 2
−3 x1−210 x2+9 x3=579
3 x1−0,1x2−0,2 x3=71,40
5210 x2+8,8 x3=586,85
Multiplicar la ecuación 4 por −0,3+ecuacion3
−0,3 x1−21 x2+0 ,9 x3¿=57,9¿
0,3 x1−0,2 x2−10 x3=71,49
(6 )−21,2x2−9 ,1x3¿=129,3 ¿
Se divide la ecuación 5 en (-210)
−210 x2+8,8 x3=586,85
7x2−0,042x3=−2,793
Se multiplica por 21,2
21,2 x2+0 ,89 x3¿=59,21 ¿
−21,2 x2+9,1 x3¿=129,3 ¿
8−9.99 x3=70,09
0,1 x1+7 x2−0,3x3¿=−1930 ¿
−210,1 x2+8,8 x3=586,85
−9,99 x3=70,09
x3=−7,016
−210,1 x2+8,8 x3=8,8 (−7,016 )=586,85
−210,1 x2−6174=586,85
−210,1 x2=648,59
x2=3,09
0,1 x1+7 (−3,09 )−0,3 (−7,016 )=−19,36
0,1 x1−21,63+210=−19,36
0,1 x1=−19,36++19,53
0,1 x1=0,23
x1=2,3
Método de Gauss Jordan
0,1 x1+7 x2+0,3x3=−19,30
3,0 x1−0,1x2−0,2 x3=7,85
0,3 x1−0,2 x2−10 x3=71,40
[0,1 7 −0,33,0 −0,1 −0,20,3 −0,2 −10
⋮−19,307,8571,40 ]
Dividir F10,1
[ 1 70 −33,0 −0,1 −0,20,3 −0,2 −10
⋮−1937,8571,40]
−3 f 1+ f 2−0,3 f 1+f 3
[1 70 −30 −210 8,86 −212 −9,1
⋮−193586,85129,3 ]
Dividir F2
−210,1
[1 70 −30 1 −0,0420 −21,2 −91
⋮−193586,85129,3 ]
−70 f 2+ f 1
21,2 f 2+f 3
[1 0 −0,60 1 −0,0420 0 −9,99
⋮2,51
−2,79370,09 ]
F3−9,99
[1 −0,06 2,510 −0,042 ⋮−2,7930 1 70,016 ]
Multiplicar 0,042 f 3+ f 2
0,06 f 3+ f 1
[1 0 00 1 00 0 , 1
⋮2,69
−3,09−7,016 ]
F3
−9,99
[1 −0,06 2,510 −0,042 ⋮−2,7930 1 70,016 ]
Multiplicar 0,042 f 3+ f 2
0,06 f 3+ f 1
[1 0 00 1 00 0 , 1
⋮2,09
−3,09−7,016 ]
X1=𝟐.𝟎𝟗X2=−𝟑.𝟎𝟗X3=−𝟕.𝟎𝟏𝟔Método de Gauss Seidel
Se despejan las variables sobre la original
X1=7.85+0.1 x2+0.2x3
3
X2=19.3−0.1x 2+0.3 x3
7
X3=71.4−0.3 x1+0.2x2
10
Tomamos como valores iniciales a X2=0 y X3=0 , Calculamos X1
X 01=7.853
=2.616666
Este valor más el de X3 lo tomamos para calcular X2
X 02=−19.3−0.1(2.616666)
7=2.794523
La primera iteración la completamos sustituyendo los valores de X1 y X2 calculados obteniendo:
X 03=71.4−0.3(2.616666)+0.2(−2.794523)
10=7.005609
Hacemos lo mismo con la segunda iteración
X 11=7.85+0.1(−2.794523)+0.2(7.005609)
3=2.990556
X 12=19.3−0.1(2.990556)+0.3(7.005609)
7=2.499624
X 13=71.4−0.3 (2.990556)+0.2(2.499624)
10=7.000290
Comparando los valores calculados entre la primera y la segunda iteración
X 11−X 0
1=2.990556−2616666=0.373890
X 12−X 0
2=−2.794523−(−2.499524)=0.294899
X 13−X 0
3=7.005609−7.000290=0.005319
No se cumple la condición XIi−X 0
i≤∧parai=1,2,3
Entonces se toman los valores calculados en la última iteración como supuestos para la siguiente iteración.
X 21=7.85+0.1(−2.499624)+0.2(7.000290)
3=3.000031
X 22=19.3−0.1(3.000031)+0.3(7.000290)
7=−2.499988
X 23=71.4−0.3 (3.000031)+0.2(−2.499988)
10=6.999999
Comparando de nuevo los valores obtenidos
X 21−X 1
1=3.000031−2990556=0.009475
X 22−X 1
2=−2.499988−(−2.499624)=0.000364
X 23−X 1
3=6.999999−7.000290=0.000291
No se cumple la condición X2i−X 1
i≤∧parai=1,2,3
X 31=7.85+0.1(−2.499988)+0.2(6.999999)
3=3.000000
X 32=19.3−0.1(3.000000)+0.3(6.999999)
7=−2.500000
X 33=71.4−0.3 (3.000000)+0.2(−2.500000)
10=7.000000
Comparando los valores obtenidos
X 31−X 2
1=3.000000−3.000031=0.000031
X 32−X 2
2=−2.500000−(−2.499988)=0.000012
X 32−X 2
3=7.000000−6.999999=0.000001
Dado que se cumple la condición, el resultado es:
X1=3.0
X2=−2.5
X3=7.0
ANALISIS DE LOS METODOS USADOS
En el análisis que se hizo de los métodos Gauss, Gauss-Jordan y Gauss-Seidel, los cuales fueron usados para la resolver los sistemas de ecuaciones lineales, puedo decir que los métodos Gauss y Gauss-Jordan, tienen una mayor complejidad a la hora de solucionar este tipo de ecuaciones, además sus resultados no son precisos,
6
en cambio el método Gauss-Seidel nos permite una mayor precisión en los resultados obtenidos ya que al desarrollarlo por iteraciones es una forma más fácil de realizar los ejercicios.
3. Solucione el siguiente ejercicio utilizando los Método de eliminación de Gauss, Gauss-Jordán y Gauss-Seidel. Compare los resultados y haga un pequeño análisis.
17 x1−2x2−3x3=500−5 x1+21 x2−2 x3=200−5 x1−5 x2+22 x3=30
Método de eliminación de Gauss
1. 17 x1−2x2−3x3=5002. −5 x1+21 x2−2 x3=2003. −5 x1−5 x2+22 x3=30
1. Se divide en 17
4. x1−0,12 x2−0,18 x3=29,41
Multiplicar 5 f 4+f 25.5 x1−0,6 x2−0,9 x3=147,05−5x1+21 x2−2x3=20020,4 x2−2,9x3=347,05
Multiplicar 5 f 4+f 3
6.
5 x1−0,6 x2−0,9 x3=147,05−5x1−5 x2+22x3=30
−5,6 x2−21,1 x3=177,05
6. Se divide en 20,4
7. x2−0,17 x3=17,01
Multiplicar 5,6 7. + 6.
5,6 x2−0,78 x3=95,25−5 ,6 x2+21,1 x3=177,05
−20,32 x3=272,3
x3=272,320,32
=13,4
5. 20,4 x2−2,9 x3=347,0520,4 x2−2,9(13,4 )=347,0520,4 x2−38,86=347,0520,4 x2=885,91x2=18,92
1. 17 x1−2 (18,92 )−3(13,4)=500
17 x1−37,84−40,2¿=500
x1=500+37,84+40,2
17
x1=34
Solución
x1=34x2=18,92x3=13,4
Método de Gauss Jordan
1.17x1−2 x2−3 x3=5002.−5 x1+21x2−2 x3=2003.−5 x1−5 x2+22x3=30
17 −2 −3−5 21 −2−5 −5 22
50020030
Dividimos f 117
1 −0,12 −0,18−5 21 −2−5 −5 22
29,4120030
5 f 1+ f 2
5 f 1+ f 3
1 −0,12 −0,180 20,4 −2,90 −5,6 21,1
29,41347,05177,05
Dividimos f 220,4
1 −0,12 −0,180 1 −0,140 −5,6 21,1
29,4117,01177,05
0,1 f 2+ f 1
5,6 f 2+ f 3
1 0 −0,200 1 −0,140 0 20,32
29,4131,45272,31
f 320,321 0 −0,200 1 −0,140 0 1
29,4131,4513,40
Multiplicar 0,14 f 3+f 2 y 0,20 f 3+ f 1
1 0 00 1 00 0 1
32,0933,3313,40
Solución
x1=32,09x2=33,33x3=13,40
Método Gauss Seidel
1.17x1−2 x2−3 x3=5002.−5 x1+21x2−2 x3=2003.−5 x1−5 x2+22x3=30
x1=500+2x2+3 x3
17
x2=200+5 x2+2 x3
21
x3=30+5 x1+3 x2
22
Iteración 1
Suponemos x2=0 y x3=0
x1=50017
x1=29,41
Sustituimos x1=29,41 y x3=0en x2
x2=200+5(29,41)
21
x2=347,0521
x2=16,53
Sustituimos x1=29,41 y x2=16,53 en x3
x3=30+5 (29,41 )+5,0(16,53)
22 =259,722
x3=11.80
Iteración 2 x1=29,41 x2=16,53 y x3=11.80
x1=500+2 (16,53 )+3 (11,80)
17 =568,4617
x1=33,44
x2=200+5 (33,44 )+2(11,80)
21 =390,8021
x2=−18,61
x3=30+5 (33,44 )+5(18,61)
22 =290,2522
x3=13,19
Iteración 3
x1=33,44 x2=18,61 y x3=13,19
x1=500+2 (18,61 )+3(13,19)
17 =576,7917
x3=33,93
x2=200+5 (33,93 )+2(13,19)
22 =293,9522
x2=13,36
Solución
x1=53,93x2=18,86x3=13,36
4. Determine el Polinomio de Interpolación de Lagrange para la siguiente tabla.
x 1 3 5 7y -2 1 2 -3
P3 ( x)=f (x0 )(x−x1 ) (x−x2 ) (x− x3 )
(x0−x1 ) (x0−x2 ) (x0−x3 )+ f (x1 )
(x−x0 ) (x−x2 ) (x−x3 )(x1−x0 ) (x1−x2 ) (x1−x3 )
+ f (x0)(x−x1 ) (x−x2 ) (x−x3 )
(x0−x1 ) (x0−x2) (x0− x3 )+ f (x1 )
(x−x1 ) (x−x2 ) (x−x3 )(x0−x1 ) (x0−x2 ) (x0−x3 )
P3 ( x)=−2 ( x−3 ) ( x−5 ) ( x−7 )(1−3 ) (1−5 ) (1−7 )
+1 (x−1 ) ( x−5 ) ( x−7 )(3−1 ) (3−5 ) (−3−7 )
+2( x−1 ) ( x−3 ) ( x−7 )(5−1 ) (5−3 )(5−7)
−3 ( x−1 ) ( x−3 ) ( x−7 )(7−1 ) (7−3 )(7−5)
P3 ( x )=−2 ( x−3 ) ( x−5 ) ( x−7 )−48
+1 ( x−1 ) ( x−5 ) ( x−7 )16
+2 ( x−1 ) ( x−3 ) ( x−7 )−16
−3 (x−1)(x−3)(x−5)48
P3 ( x)= ( x−3 ) ( x−5 ) ( x−7 )
24(x−1 ) ( x−5 ) ( x−7 )
16+2 (x−1 ) ( x−3 ) ( x−7 )
8−3 (x−1)(x−3)( x−5)
16
P3 ( x)=( 116 (x−1 )(x−5)) [ ( x−7 )−( x−3 ) ]+[18 (x−3 )(x−7)][ (x−5)3−( x−1 )]
P3 ( x)=( 116 ( x2−6 x+5 )) [−4 ]+[ 18 (x2−10 x+21 )][ ( x−5 )−(3 x−3)3 ]
P3 ( x)=( 116 (x2−6 x+5)) [−4 ]+[ 18 (x2−10 x+21 )][ x−5−3 x+33 ]
P3 ( x)=( 116 (x2−6 x+5)) [−4 ]+[ 18 (x2−10 x+21 )][−2x−23 ]
P3 ( x)=−14
(x2−6 x+5 )−[ 18 (x2−10 x+21 ) ][ x+13 ](−2)
P3 ( x)=−( 14 (x2−6 x+5))−[ 14 ( x2−10x+21 )] [ x+13 ]
P3 ( x )=−( x24 −3 x2
+ 54 )−¿
P3 ( x)= x2
4+ 3 x2
−54− x3
12+ 5 x
2
6+5 x6
−21 x12
−2112
P3 ( x)=−x3
12+ x
2
2+ 7 x12
−3