1/27

DIFERENCIAS FINITAS

PROBLEMA ELIPTICOS

Análisis Numérico II

Diferencias finitas – Problemas Elípticos

• Esquema de los cinco puntos

• Métodos Seudoevolucionarios

• Dominios Arbitrarios

• Ecuación Autoadjunta

• Esquema de integración en caja

• Derivadas cruzadas

• Estabilidad

2/27

Problema Base

Diferencias finitas – Problemas Elípticos

Esquema de los cinco puntos

2 2

2 20, 0 , 0x y

u ux L y L

x y

1( , 0) ( )u x y f x

1( 0, ) ( )u x y g y

2( , ) ( )yu x y L f x

2( , ) ( )xu x L y g y

3/27

Discretización

Diferencias finitas – Problemas Elípticos

Esquema de los cinco puntos

1 1 1 1

2 2

2 20,

0 , 0

i j ij i j ij ij ij

x y

u u u u u u

x y

i N j N

0 1( )i iu f x

0 1( )j ju g y

2 ( )yiN iu f x

2( )xN j ju g y

4/27

Condición de Borde de Neumann

Diferencias finitas – Problemas Elípticos

Esquema de los cinco puntos

2( , ) ( )y

ux y L f x

y

1 1

22

y yiN iN

i

u uf x

y

1 1 1 1

2 2

2 20,

0 , 0

i j ij i j ij ij ij

x y

u u u u u u

x y

i N j N

5/27

Solución

Diferencias finitas – Problemas Elípticos

Esquema de los cinco puntos

Sistema algebraico lineal:

•Métodos directos (Eliminación Gauss)

•Métodos iterativos (Gauss-Seidel)

6/27

Problema Parabólico

Diferencias finitas – Problemas Elípticos

Métodos Seudoevolucionarios

2 2

2 2, 0 , 0 , 0x y

u u ux L y L t

x y t

1( , 0, ) ( )u x y t f x

1( 0, , ) ( )u x y t g y

2( , , ) ( )yu x y L t f x

2( , , ) ( )xu x L y t g y

( , , 0) ( , )u x y t h x y

7/27

Relación

Diferencias finitas – Problemas Elípticos

Métodos Seudoevolucionarios

( , , ) :

u x y t

solucion del problema eliptico

8/27

Solución Numérica

Diferencias finitas – Problemas Elípticos

Métodos Seudoevolucionarios

• La (seudo)evolución temporal funciona como unmétodo iterativo para el problema elíptico, pero conbase física

• No interesa precisión t grande métodosimplícitos adecuados, con técnicas de pasosalternados o de desdoblamiento

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Primera Alternativa:

Rectificación Dominio

Diferencias finitas – Problemas Elípticos

Dominios Arbitrarios

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Segunda Alternativa:

Molécula No Rectangular

Diferencias finitas – Problemas Elípticos

Dominios Arbitrarios

x y h

0E E N N W W S S o ou u u u u

2 EE

E W

s

s s

2 SS

N S

s

s s

2 NN

N S

s

s s

2 WW

E W

s

s s

oE

N

S

W

sS h

sN h

sW h sE h

o E N W S

11/27

Tercera Alternativa:

Coordenadas Adaptadas Al Contorno

Diferencias finitas – Problemas Elípticos

Dominios Arbitrarios

• Definición de

coordenadas

adaptadas al contorno

• Transformación de la

ecuación diferencial

12/27

Problema Base

Diferencias finitas – Problemas Elípticos

Ecuación Autoadjunta

( , ) ( , ) ( , ) ( , ),

, 0, ( , ) 0

u ua x y b x y f x y u g x y

x x y y

a b f x y

13/27

Discretización

Diferencias finitas – Problemas Elípticos

Ecuación Autoadjunta

x y h

2

1 1 1 1E i j N ij W i j S ij o ij iju u u u u h g

1/ 2E i ja 1/ 2N ijb 1/ 2W i ja 1/ 2S ijb

2

o E N W S ijh f

14/27

Distribución

Diferencias finitas – Problemas Elípticos

Ecuación Autoadjunta

2 2

2 2

u a u u b ua b fu g

x x x y y y

Si gradientes de a ó b altos

problemas de estabilidad numérica

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Diferencias finitas – Problemas Elípticos

Esquema de Integración en Caja

( , ) ( , ) ( , ) ( , ),

, 0, ( , ) 0

u ua x y b x y f x y u g x y

x x y y

a b f x y

Ecuación Autoadjunta

16/27

Diferencias finitas – Problemas Elípticos

Esquema de Integración en Caja

Integración

/ 2

/ 2 / 2 / 2

N

S E W

B

s h

s h x s h x s h

ua dxdy

x x

u ua a dy

x x

E

N

S

W

sS h

sN h

sW h sE h

/2

/2E

E

E o

x s hEx s h

u uua a

x s h

17/27

Diferencias finitas – Problemas Elípticos

Esquema de Integración en Caja

Discretización

2

1 1 1 1E i j N ij W i j S ij o ij iju u u u u h g

/ 22 E

N SE i s j

E

s sa

s

/ 22 N

E WN ij s

N

s sb

s

/ 22 W

N SW i s j

W

s sa

s

/ 22 S

E WS ij s

S

s sb

s

2

4

E W N S

o E N W S ij

s s s sh f

18/27

Problema Base

Diferencias finitas – Problemas Elípticos

Derivadas Cruzadas

2 2 2

2 2

2

( , ) 2 ( , ) ( , ) 0,u u u

a x y b x y c x yx x y y

b ac

19/27

Discretización

Diferencias finitas – Problemas Elípticos

Derivadas Cruzadas

4

1

1i

i

E

N

S

W

NE

SE

NW

SW

o

2

2

1[

]

NE NE N E o

NW N NW o W

SW o W S SW

SE E o SE S

u

x y

u u u uh

u u u u

u u u u

u u u u

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Selección de Coeficientes

Diferencias finitas – Problemas Elípticos

Derivadas Cruzadas

Aproximación de

segundo orden:

, 0 :Supongase a c

( ) ( ) 0SE NW NE SW

( ) ( ) 0SE NW NE SW

1) 0 : , 0

2SE NW NE SWI b

1) 0 : 0,

2SE NW NE SWII b

21/27

Problema Base

Diferencias finitas – Problemas Elípticos

Estabilidad

2 2

2 2

u u u uU V

x y x y

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Simplificación

Diferencias finitas – Problemas Elípticos

Estabilidad

2

2, 0 ,

(0) , ( )o L

d u duU x L

dx dx

u u u L u

Solución cerrada:

( ) 1

1

xPe

Lo

Pe

L o

u x u e

u u e

ULPe

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Esquema Centrado

Diferencias finitas – Problemas Elípticos

Estabilidad

1 1 1 1

2

2

2

i i i i iu u u u uU

x x

Solución cerrada:

1 / 21

1 / 2

1 / 21

1 / 2

i

i o

N

L o

Pg

Pgu u

u u Pg

Pg

U xPg

24/27

Estabilidad

Diferencias finitas – Problemas Elípticos

Estabilidad

100

20

5

Pe

N

Pg

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

x

u r

ela

tivo

Analítica Esquema centrado

25/27

Estabilidad

Diferencias finitas – Problemas Elípticos

Estabilidad

100

100

1

Pe

N

Pg

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

x

u r

ela

tivo

Analítica Esquema centrado

26/27

Esquema con Upwinding

Diferencias finitas – Problemas Elípticos

Estabilidad

1 1 1

2

2i i i i iu u u u uU

x x

Solución cerrada:

1 1

1 1

i

i o

N

L o

Pgu u

u u Pg

U xPg

27/27

Estabilidad

Diferencias finitas – Problemas Elípticos

Estabilidad

100

20

5

Pe

N

Pg

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

x

u r

ela

tivo

Analítica Esquema con upwinding