Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones

Análisis de redes de comercio mediante procesosde consenso

Miguel RebolloDirigida por: Javier Galeano y Rosa M. Benito

Trabajo Final de MásterMáster en Física de Stmas. Complejos

Univ. Politécnica de Madrid

Septiembre, 2013

@mrebollo MFSC. UPMAnálisis de redes de comercio mediante procesos de consenso

Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones

Contenidos

1 Introducción

2 Procesos de consenso en redes

3 Consenso en redes dinámicas

4 Caso de estudio: Comtrade

5 Conclusiones

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Consenso

¿qué es el consenso?

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Consenso

¿para qué sirve?

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Algoritmo de consenso

1.cada nodo tiene un valor inicial

1 2

3 4

x1 = 0.4 x2 = 0.2

x3 = 0.3 x4 = 0.9

x1 = 0.4

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Algoritmo de consenso

2.pasa su valor a sus vecinos

1 2

3 4

x1 = 0.4 x2 = 0.2

x3 = 0.3 x4 = 0.9

x1 = 0.4

x1 = 0.4

x1 = 0.4

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Algoritmo de consenso

3.recibe los valores de los vecinos

1 2

3 4

x1 = 0.4 x2 = 0.2

x3 = 0.3 x4 = 0.9

x2 = 0.2

x4 = 0.9x3 = 0.3

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Algoritmo de consenso

4.calcula el nuevo valor con

x(t+1) = x(t)+ε∑j∈Ni

[xj(t)− xi(t)]

< m«ıni1di

1 2

3 4

x1 = 0.45 x2 = 0.425

x3 = 0.325 x4 = 0.6

x1 = 0.4

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Proceso de consenso

0 5 10 15 20 25 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

x = 0.45

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Cálculo de valores agregados. Push-Sum

Limitación del algoritmo de consenso: no funciona para valoresagregados

hay una familia de algoritmos (gossip) que lo haceel proceso de convergencia es más lentosuelen introducir un elemento aleatorio

Eliminar aletoriedad + fórmula matricial + combinación conconsenso

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Algoritmo Push-Sum

1 Sean {(sr , wr )} todos los pares enviados a i en el paso t − 12 si(t)←

∑r sr

3 wi(t)←∑

r wr

4 se escoge un destino fi(t) al azar de manera uniforme5 se envía el par

(12si(t), 1

2wi(t))a fi(t) y a i (sí mismo)

6 si (t)wi (t) es el valor estimado para el paso t

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Eliminar componente aleatorio de Push-Sum

Repartir el valor de un nodo entre TODOS los vecinos

si(t + 1) = si(t)di + 1 +

∑j∈Ni

sj(t)dj + 1

La velocidad de convergencia es equivalente al modelo original

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Formulación matricial

La fórmula de Push-Sum es equivalente a

G = (I + A)(I + D)−1

Con lo que puede calcularse como

s(t + 1) = Gs(t)w(t + 1) = Gw(t)

Que converge a

l«ımt→∞

s(t)w(t) =

∑i s(0)N , l«ım

t→∞s(t)w(t) =

∑i

s(0)

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Consenso usando Push-Sum

0 5 10 15 20 25 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

iter

x

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Combinación Push-Sum + consenso. PageRank

Supongamos que queremos usar el valor de PageRank como peso

PRi =1− d

N + d∑j∈Mi

PRjLi

Problema: N es el tamaño de la red ¿cómo se obtiene?

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Combinación Push-Sum + consenso. PageRankAlgoritmo

s = 1, w = 0, w1 = 1repetir

s = Gs, w = Gwhasta que N = s/w convergePRi = 1/Nrepetir

PRi =1−d

N + d∑

j∈MiPRjLi

hasta que PR se estabilizarepetir

xi = xi +ε

PRi

∑j∈Ni (xj − xi)

hasta que x converge

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Problemática con el consenso

El proceso de consenso asume que la red permanece invariablemientras se completa

cambios en los valores de los nodoscambios en los pesosinserción/borrado de nodosvalor global del factor de aprendizaje ε

cambios en ε por cambios estructurales

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Idea central

Conservación de la suma

s =∑

ixi(0) =

∑i

xi(t) ∀t

los cambios dinámicos alteran la sumabuscamos correcciones locales a esas desviacionesexpresión como matrices de transformación

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Cambio en el valor inicial

Es el caso más simplexi(0) pasa a zi(0)zi(t) = xi(t) + (zi(0)− xi(0))

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Cambio en los pesos

El consenso pesado sigue la fórmula

xi(t + 1) = xi(t) +ε

wi

∑j∈Ni

[xj(t)− xi(t)], ε < m«ın widi

No se puede anular la influencia de i en sus vecinos con el pesoanterior wi

zi(t) = xi(t) +(vi − wi) [xi(0)− xi(t)]

vi

O su expresión matricial

Tw = (v − w)(x0 − x)v−1

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Inserción y borrado de nodosLa inserción es trivial: basta con añadir el nuevo nodo y comenzaráa actualizarseProblemaEn el modelo matricial, afecta a la matriz de adyacencia, luego la Ly P también se ven afectadas

Borrado: Para que se conserve la suma hay que devolver a la red elexcedente

xi(0) +∑j∈Ni

xi(t)− xi(0)di

o de forma matricial

Td =xi(t)− xi(0)

diAi

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Cambio en el factor de aprendizajeEstimación inicial

ProblemaEl algoritmo de consenso asume la existencia de un ε global

Puede resolverse haciendo previamente un consenso por mínimos

εi(t + 1) = m«ın(

εi(t),m«ınj∈Ni

εj(t))

O en su expresión matricial

E = diag(m«ın

jE (I + A)

)como fase previa al consenso

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Cambio en el factor de aprendizajeCorrección por cambios

¿Qué ocurre si cambios estructurales o de peso de los nodos hacenque ε no sea válido?

El algoritmo no converge

Es un problema críticosi no se corrigen las desviaciones anteriores converge a unvalor distinto a la mediasi no se corrige el cambio en ε el algoritmo no acaba nunca

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Cambio en el factor de aprendizajeCorrección por cambios

Solución semejante a la usada en los pesos

xi(t + 1) = xi(t) +1wi

∑j∈Ni

ε[xj(t)− xi(t)]

xi(t + 1) = xi(t) + ε∑j∈Ni

1wi(t)

[xj(t)− xi(t)]

Lo que nos lleva a corregirlo como

z(t) = x(t) +

(1ei− 1

εi

)[xi(0)− xi(t)]

1ei

O con mla expresión matricialTe = (I − DE ′D−1

E )(x0 − x)@mrebollo MFSC. UPMAnálisis de redes de comercio mediante procesos de consenso

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Cálculo de volumen de exportaciones

¿Que hay en Comtrade?Información sobre transacciones comerciales entre países,desglosadas por tipos de productos.

desde 2010 incluye información mensualdatos: exportación de vino entre 2010 y 2012

ObjetivoUsar consenso para poder obtener la misma información de formadescentralizada

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Características de la red

287 países5.582 transacciones (enlaces)4.519 transacciones útilesdensidad de enlaces del 5,58%grado medio 15,74grado máximo 202

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Características de la red

0 50 100 150 200 250

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Partner

Report

er

Wine Trade Export 2010−2012

5

10

15

20

25

30

35

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Cálculo del valor medio

0 20 40 60 80 1000

500

1000

1500

2000

2500Consenso sobre el precio (100 iteraciones)

0 200 400 600 800 10000

500

1000

1500

2000

2500

iter

pre

cio

Consenso sobre el precio (1000 iteraciones)

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Cálculo del valor medio ponderado

0 20 40 60 80 1000

0.5

1

1.5

2

2.5

3Consenso sobre el precio pesado (100 iteraciones)

0 200 400 600 800 10000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

iter

pre

cio

Consenso sobre el precio pesado (1000 iteraciones)

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Consenso incremental con corrección

0 20 40 60 80 100 1200

1

2

3

4

5

x 106

pre

cio

iter

Exportaciones 2010−01 a 2010−02

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Consenso sobre los datos globales

0 10 20 30 40 50 600

1

2

3

4

5

x 106

pre

cio

iter

Exportaciones 2010−01 a 2010−02

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Interrupción antes de estabilizarse

0 10 20 30 40 50 600

1

2

3

4

5

x 106 Exportaciones 2010−01 a 2010−02

iter

pre

cio

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Conclusiones

formulación matricial de Push-Sumcombinación con consensocorrección de desviaciones para redes dinámicas: cambios devalores, pesos y estructuraajuste del factor de aprendizaje ε

aplicación a Comtrade como caso de estudio

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Trabajos futuros

estudio teórico de la convergenciaextensión a redes dirigidasextensión a modelos multivariableaplicación en redes multiplex

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Conclusiones

formulación matricial de Push-Sumcombinación con consensocorrección de desviaciones para redes dinámicas: cambios devalores, pesos y estructuraajuste del factor de aprendizaje ε

aplicación a Comtrade como caso de estudio

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