Procesos de consenso en redes dinámicas

Introducción Modelo General Coherencia Comunidades Multivariable Resumen

Procesos de consenso en redes dinámicas

Miguel Rebollo

GSC. Doctorado en Sistemas ComplejosTutores: R. Benito, J.C. Losada, J. Galeano

Enero 2015

@mrebollo GSC. Doctorado en Sistemas Complejos Tutores: R. Benito, J.C. Losada, J. Galeano



Consenso

¿qué es el consenso?




Consenso

¿para qué sirve?




Algoritmo de consenso (Olfati, 2007)

1.cada nodo tiene un valor inicial

1 2

3 4

x1 = 0.4 x2 = 0.2

x3 = 0.3 x4 = 0.9

x1 = 0.4





2.pasa su valor a sus vecinos

1 2

3 4

x1 = 0.4 x2 = 0.2

x3 = 0.3 x4 = 0.9

x1 = 0.4

x1 = 0.4x1 = 0.4





3.recibe los valores de los vecinos

1 2

3 4

x1 = 0.4 x2 = 0.2

x3 = 0.3 x4 = 0.9

x2 = 0.2

x4 = 0.9x3 = 0.3





4.calcula el nuevo valor con

xi(t+1) = xi(t)+!!

j!Ni

[xj(t) ! xi(t)]

siendo ! < 1m«ax di

x(t + 1) =

P" #$ %

(I ! !L) x(t)

1 2

3 4

x1 = 0.45 x2 = 0.425

x3 = 0.325 x4 = 0.6

x1 = 0.4




Proceso de consenso

0 5 10 15 20 25 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

x = 0.45




Limitaciones

red estática: no se permiten cambios envalores inicialespesosestructura

parámetros globales: !

consenso sobre una variable




Conservación de la suma

Concepto clave: la suma de los valores de x permanece constantedurante todo el proceso

!

i

xi(0) =!

i

xi(t) "t




Adaptaciones a la dinámica

0 5 10 150.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

time

x

Consensus with changes in initial values

0 5 10 150.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

time

x

Consensus with changes in weights

0 2 4 6 8 100.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

time

x

Consensus process with node deletion

0 2 4 6 8 100.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

time

x

Consensus process




Modelo general

Dos procesos de consenso en paralelo

1 consenso de mínimos para !i

!t+1i = minj!Nt

i "i!tj

2 consenso general para xi

x t+1i = x t

i + f (x ti ) +

!ti

w ti

!

j!Nti

&

x tj ! x t

i

'

+x t

i

w ti

!

j!Nti

&

!ti ! !t

j

'

Adaptación con información local exclusivamente




Problema de coherencia

red con pesos negativos

encontrar partición en 2grupos C+, C#

i , j pertenecen al mismogrupo si aij > 0

se busca maximizar elvalor de la partición

W =

(

i ,j!C+ aij !(

i!C+,j!C! aij

|E |

1 2

3 4

-0,5

0,5

-0,50,5

0,5

-1




Coherencia mediante consenso

Laplaciana con signo

L̄ = D̄ ! A, cond̄ii =!

j $=i

|aij |

x(t + 1) =

P̄" #$ %

(I ! !L̄) x(t)

Al aplicar el consenso

la red converge a un único valor |x | (en valor absoluto)

el signo de x determina el grupo al que pertenece

si no es completamente separable, xi # 0




Resultados

0 200 400 600 800 10000

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

iterations

Evolution of the consensus

0 200 400 600 800 10000

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000




Comunidades en redes con signo

Generalización del problema de coherencia a n comunidades

caso: tribus NuevaZelanda

detección por valorespropios

3 grupos claramenteseparados

−0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5




Proceso iterativo

1 se aplica consenso (coherencia)

2 los nodos desactivan los enlaces con los vecinos del otro grupo

3 para cada grupo, se vuelve a aplicar consenso

4 si un grupo no se divide más, para

5 el proceso termina cuando no se producen divisiones

6 cada nodo pertenece al mismo grupo que los vecinos con losque al final mantenga un enlace (positivo)




Resultado

0 20 40 60 80 100 120 140 160−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 50 100 150 200 250 300 350−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Original Network Communities Detected




Trabajo actual

consenso multivariable




Representación: Redes multicapa

x1

1

x2

1

capa 1

capa 2w

2

1

w1

1

Cada variable se representa enuna capa. Hay una copia delnodo en cada capa

x!i valor de i en la capa "

w!i importancia que

asigna i a la capa "

(privado)(

! w!i = 1"i

Consenso en cada capa +ascenso por gradiente entrecapas




Función de utilidad local

Función de utilidad: gaussiana

x̄ = xi(0) la media es elvalor inicial (máximo)

# = 1 ! wi la desv.depende del peso

u!i (x

!i ) = e

# 12

)x!

i!x!

i(0)

1!w!

i

*2

Se combinan asumiendo queson independientes

ui(xi) =+

!

u!i (x

!i )




Consenso + ascenso por gradiente

Proceso combinado (Yuan&Yin, 2014)

x!i (t+1) = x!

i +

fi" #$ %

!

w!i

!

j!N!

i

(x!j (t) ! x!

i (t)) +$$ui(x1i (t), . . . , xp

i (t))$ %" #

gi

Al usar la gaussiana como función de utilidad"ui (xi )

"x!

i= !

x!

i (t)#x!

i (0)(1#w!

i )2 ui(xi)

converge si $ % mini1

Lui

Lui (derivada máxima) en x!i ± (1 ! w!

i )

x!i (t + 1) =

x!i + #

w!

i

(

j!N!

i(x!

j (t) ! x!i (t)) ! 1

m«axi ||%ui (xi )||2·

x!

i (t)#x!

i (0)(1#w!

i )2 ui (xi)




Máximos locales

¿Qué ocurre si hay máximoslocales?

hay nodos que el enmáximo absoluto tienenutilidad 0

rompen los enlaces queles llevan a zonas debaja utilidadcrean enlaces connodos cercanos #utilidad semejante

los nodos se reagrupan enmáximos locales

12

34

56

78

910

0123456789100

0.5

1

1.5

2

2.5

3




Trabajo realizado

modelo de consenso general

extensión a redes con signoproblemas de coherenciadetección de comunidades

otras extensionesredes móvilesconsenso solidariodisensoefecto de la memoria (resistencia)combinación con otras técnicas de difusión (gossip)

combinación con gradiente




Trabajo futuro

generalización del modelo completo

modelo asíncrono

cheating: detección de nodos que no siguen el algoritmo

estudio teórico de las propiedades

estudio en el límite de los parámetros ! y $



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