Post on 19-Mar-2018
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7. Difracci7. Difraccióón de la luzn de la luz
7.1. La difracci7.1. La difraccióónn
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7. Difracción de la luz. 2
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7. Difracción de la luz. 3
FFíí s
ica A
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a A
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aExperiencia de Grimaldi (1665)Experiencia de Grimaldi (1665)
�Al iluminar una pantalla opaca con una
abertura pequeña, se esperaba que en la
pantalla de observación apareciera un salto
brusco de irradiancia entre la zona iluminada y
la zona de sombra.
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7. Difracción de la luz. 4
FFíí s
ica A
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aExperiencia de Grimaldi (1665)Experiencia de Grimaldi (1665)
�Sin embargo, se observa una zona de
penumbra y, si las dimensiones de la abertura
son muy pequeñas, aparecen incluso zonas
iluminadas en la región que tendría que ser de
sombra según la óptica geométrica.
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7. Difracción de la luz. 5
FFíí s
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aLa difracciLa difraccióónn
�A este fenómeno se le llama
DifracciDifraccióónn
y se observa con todo tipo de aberturas.
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7. Difracción de la luz. 6
FFíí s
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aLa difracciLa difraccióónn
�El fenómeno de la difracción se manifiesta
cuando la luz encuentra en su propagación
obstáculos cuyas dimensiones son
comparables a la longitud de onda.
�En ese caso, después del obstáculo se
observa una variación de irradiancia entre
ciertos valores extremos (Imax e Imin):
análoga a la interferencia
�Desde este punto de vista, la difracción se
explicó como la interferencia de ondas
elementales que parten de la abertura.
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7. Difracción de la luz. 7
FFíí s
ica A
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aLa difracciLa difraccióónn
�Principio de Huygens y Fresnel
� Cada punto de frente de onda se comporta
como un nuevo foco de ondas elementales
(esféricas en los medios homogéneos e
isótropos).
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7. Difracción de la luz. 8
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aComparaciComparacióón: Experiencia de n: Experiencia de YoungYoung
vs. Difraccivs. Difraccióón de una rendijan de una rendija
�Hipótesis:
� Frente de onda plano perpendicular al plano de
las aberturas.
� Plano de observación muy alejado.
Interferencia
de 2 ondas
Interferencia
de N ondas
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7. Difracción de la luz. 9
FFíí s
ica A
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aLa difracciLa difraccióónn
�Con las hipótesis anteriores y geometrías
sencillas:
� una o dos aberturas rectangulares,
�N aberturas rectangulares equiespaciadas
(red de difracción),
simplemente sumando ondas elementales
(Física 2), se obtienen resultados que se
ajustan a lo observado en la práctica.
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7. Difracción de la luz. 10
FFíí s
ica A
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aDifracciDifraccióón de n de FraunhoferFraunhofer de una rendijade una rendija
(campo lejano)(campo lejano)
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7. Difracción de la luz. 11
FFíí s
ica A
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aLa difracciLa difraccióónn
�Sin embargo, si
� la pantalla de observación está cerca de la
abertura,
� el obstáculo presenta una geometría
complicada,
la descripción del fenómeno de la difracción
mediante una suma sencilla de ondas
elementales deja de ser válida y se hace
necesario el empleo de una teoría más
rigurosa.
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7. Difracción de la luz. 12
FFíí s
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aDifracciDifraccióón de n de FresnelFresnel de una rendijade una rendija
(campo cercano)(campo cercano)
Pantalla de observación
cerca de la abertura
Pantalla de observación
lejos de la abertura
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7. Difracción de la luz. 13
FFíí s
ica A
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aLa difracciLa difraccióónn
�Un planteamiento riguroso del problema de la
difracción que permita obtener la expresión del
campo óptico después de sobrepasar un
obstáculo cualquiera requiere resolver la
ecuación vectorial de la onda electromagnética
considerando las condiciones de frontera
adicionales impuestas por la geometría y la
naturaleza del obstáculo.
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7. Difracción de la luz. 14
FFíí s
ica A
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aLa difracciLa difraccióónn
�La resolución este problema para obtener la
expresión vectorial de la onda difractada es
muy complicada.
�No se ha encontrado una solución general.
�Se pueden obtener:
� Soluciones analíticas en contados casos
particulares relativamente simples.
� Soluciones numéricas en situaciones
específicas.
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7. Difracción de la luz. 15
FFíí s
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aLa difracciLa difraccióónn
�La experiencia demuestra que cuando:
� tanto la fuente como la pantalla de observación
se encuentran muy alejados del obstáculo,
� el obstáculo tiene dimensiones transversales
mucho mayores que la longitud de onda,
los efectos de la polarización no son
significativos y el campo de la onda se puede
tratar como una variable escalar que verifica
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7. Difracción de la luz. 16
FFíí s
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aLa difracciLa difraccióónn
�En estas condiciones nos encontramos en el
ámbito de la
TeorTeoríía escalar de la difraccia escalar de la difraccióónn
�Si la onda está linealmente polarizada, la
teoría escalar de la difracción proporciona
resultados exactos.
�En caso contrario permite obtener una solución
aproximada del problema de la difracción.
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7. Difracci7. Difraccióón de la luzn de la luz
7.2. Teor7.2. Teoríía escalar de la difraccia escalar de la difraccióónn
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7. Difracción de la luz. 18
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7. Difracción de la luz. 19
FFíí s
ica A
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aTeorTeoríía escalar de la difraccia escalar de la difraccióón.n.
FFóórmula de rmula de SommerfeldSommerfeld--RayleighRayleigh
�La onda difractada en un punto P es:
Amplitud = 1
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7. Difracción de la luz. 20
FFíí s
ica A
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aTeorTeoríía escalar de la difraccia escalar de la difraccióón.n.
FFóórmula de rmula de SommerfeldSommerfeld--RayleighRayleigh
�La integración se realiza sobre el área de la
abertura A
y
Amplitud = 1
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7. Difracción de la luz. 21
FFíí s
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aTeorTeoríía escalar de la difraccia escalar de la difraccióón.n.
FFóórmula de rmula de SommerfeldSommerfeld--RayleighRayleigh
�Significado de la expresión:
(Principio de Huygens-Fresnel)
onda esférica que, partiendo
de la abertura, llega a P
suma ponderada de ondas
esféricas originadas en A
→ factor de oblicuidad
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7. Difracción de la luz. 22
FFíí s
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aTeorTeoríía escalar de la difraccia escalar de la difraccióón.n.
AproximacionesAproximaciones
�La fórmula de Sommerfeld-Rayleigh se suele
simplificar mediante aproximaciones para
obtener expresiones más sencillas.
�Para todas estas aproximaciones se considera
que la distancia entre el obstáculo y la pantalla
d es mucho mayor que las dimensiones
transversales de la abertura y de la región en
que se observa el patrón de difracción.
�¿Cuanto vale entonces de forma aproximada
?
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7. Difracción de la luz. 23
FFíí s
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aTeorTeoríía escalar de la difraccia escalar de la difraccióón. n.
AproximacionesAproximaciones
Abertura Región de observación
pero
y, por tanto,
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7. Difracción de la luz. 24
FFíí s
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aTeorTeoríía escalar de la difraccia escalar de la difraccióón.n.
AproximacionesAproximaciones
�Veamos un ejemplo en que
Datos:
Amplitud:
Fase:
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nn
7. Difracción de la luz. 25
FFíí s
ica A
van
zad
asic
a A
van
zad
aTeorTeoríía escalar de la difraccia escalar de la difraccióón.n.
AproximacionesAproximaciones
�La fase de las ondas elementales se aproxima
en la cual
y se puede desarrollar en serie de Taylor con
⇒
Un
ive
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Vig
o. D
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to d
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nn
7. Difracción de la luz. 26
FFíí s
ica A
van
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asic
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aTeorTeoríía escalar de la difraccia escalar de la difraccióón.n.
AproximacionesAproximaciones
... de forma que resulta
AproximaciAproximacióón de n de FresnelFresnel
AproximaciAproximacióón de n de FraunhoferFraunhofer
Un
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7. Difracción de la luz. 27
FFíí s
ica A
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aDifracciDifraccióón de n de FresnelFresnel
�Se tiene cuando se puede considerar que
y es despreciable frente a los términos de
menor orden.
�La onda difractada se expresa entonces
Un
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Vig
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nn
7. Difracción de la luz. 28
FFíí s
ica A
van
zad
asic
a A
van
zad
aDifracciDifraccióón de n de FresnelFresnel
�En aproximación de Fresnel, los frentes de las
ondas elementales (el lugar geométrico de los
puntos en que la fase de la onda tiene un
mismo valor) cumplen la ecuación
que, como d = zo–z, se puede interpretar como
una familia de paraboloides de revolución.
�Luego, la aproximación de Fresnel consiste en
tomar ondas elementales parabólicas en vez
de esféricas.
Un
ive
rsid
ad
de
Vig
o. D
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am
en
to d
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ive
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un
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nn
7. Difracción de la luz. 29
FFíí s
ica A
van
zad
asic
a A
van
zad
aDifracciDifraccióón de n de FresnelFresnel
�Ejemplo:
¿Cómo tiene que ser la distancia d desde una
abertura de 1 mm de diámetro a una pantalla
de observación cuadrada de 1 cm de lado para
que al iluminarla con un láser de λ = 633 nm se
pueda estudiar la difracción en aproximación
de Fresnel?
� Se ha de cumplir que
para cualquier combinación de un punto de la
pantalla (xo,y
o) y un punto de la abertura (x,y).
Un
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nn
7. Difracción de la luz. 30
FFíí s
ica A
van
zad
asic
a A
van
zad
aDifracciDifraccióón de n de FresnelFresnel
� Los puntos de la abertura y de la
pantalla más separados entre sí
son los dispuestos como se
muestra en la figura.
� El valor máximo del cuadrado de
la separación entre puntos de la
abertura y de la pantalla es, pues
� Y, despejando, se llega a que ha
de ser
Un
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nn
7. Difracción de la luz. 31
FFíí s
ica A
van
zad
asic
a A
van
zad
aDifracciDifraccióón de n de FresnelFresnel
�Como hemos visto en el ejemplo, la
aproximación de Fresnel se puede aplicar
relativamente cerca de la abertura, por ello se
le suele llamar también:
Aproximación de campo cercano
Un
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Vig
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nn
7. Difracción de la luz. 32
FFíí s
ica A
van
zad
asic
a A
van
zad
aDifracciDifraccióón de n de FraunhoferFraunhofer
�Se tiene cuando se puede considerar, además,
que
y es despreciable frente a los demás términos.
�La onda difractada se expresa
Un
ive
rsid
ad
de
Vig
o. D
ep
art
am
en
to d
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Un
ive
rsid
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Vig
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nn
7. Difracción de la luz. 33
FFíí s
ica A
van
zad
asic
a A
van
zad
aDifracciDifraccióón de n de FraunhoferFraunhofer
�En aproximación de Fraunhofer, los frentes de
las ondas elementales cumplen la ecuación
que, teniendo en cuenta que d = zo–z, se puede
interpretar como una familia de planos.
�Luego, la aproximación de Fraunhofer consiste
en tomar ondas elementales planas en vez de
esféricas.
Un
ive
rsid
ad
de
Vig
o. D
ep
art
am
en
to d
e F
Un
ive
rsid
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Vig
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ica
ci óó
nn
7. Difracción de la luz. 34
FFíí s
ica A
van
zad
asic
a A
van
zad
aDifracciDifraccióón de n de FraunhoferFraunhofer
�Ejemplo:
¿Para qué distancias es válida la aproximación
de Fraunhofer de la difracción producida por
una abertura circular de 1 mm de diámetro
iluminada con un láser de λ = 633 nm?
� Se ha de cumplir que
para cualquier punto de la abertura (x,y).
� El máximo valor de
� Y, al despejar, resulta
Un
ive
rsid
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Vig
o. D
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art
am
en
to d
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Un
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un
ica
ci
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Te
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un
ica
ci óó
nn
7. Difracción de la luz. 35
FFíí s
ica A
van
zad
asic
a A
van
zad
aDifracciDifraccióón de n de FraunhoferFraunhofer
�Como hemos visto en el ejemplo, la
aproximación de Fraunhofer sólo se puede
aplicar muy lejos de la abertura, por ello se le
suele llamar también:
Aproximación de campo lejano
NOTA: para observar la difracción de Fraunhofer sin tener que
alejar tanto la pantalla, se puede colocar una lente convergente
frente a la abertura y observar la difracción en su plano focal, que
es donde convergen los rayos de luz que, de otra manera
coincidirían en un punto del infinito (muy alejado).
Un
ive
rsid
ad
de
Vig
o. D
ep
art
am
en
to d
e F
Un
ive
rsid
ad
de
Vig
o. D
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art
am
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to d
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un
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ci
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Te
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nn
7. Difracción de la luz. 36
FFíí s
ica A
van
zad
asic
a A
van
zad
aDominio de las aproximacionesDominio de las aproximaciones
Teoría general
SommerfeldSommerfeld--RayleighRayleigh
FraunhoferFraunhofer
FresnelFresnel
Campo cercano
Campo lejano
Un
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nn
7. Difracción de la luz. 37
FFíí s
ica A
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a A
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aDominio de las aproximacionesDominio de las aproximaciones
Sommerf
eld
Sommerf
eld--Ra
yleigh
Rayle
igh
Frau
nhofer
Frau
nhofer
Fresn
el
Fresn
el
Un
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nn
7. Difracción de la luz. 38
FFíí s
ica A
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zad
asic
a A
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aInterpretaciInterpretacióón geomn geoméétricatrica
de las aproximacionesde las aproximaciones
�Se toman ondas elementalesondas elementales:
Sommerfeld-Rayleigh
Fraunhofer
Fresnel
EsfEsfééricasricas
ParabParabóólicaslicas
PlanasPlanas
Un
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nn
7. Difracción de la luz. 39
FFíí s
ica A
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a A
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aDifracciDifraccióón de n de FraunhoferFraunhofer
y transformada de y transformada de FourierFourier
�Tenemos que en aproximación de Fraunhofer
�Si se definen las frecuencias espaciales como
la onda difractada se puede expresar
donde se integra sobre la abertura A.
Un
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un
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nn
7. Difracción de la luz. 40
FFíí s
ica A
van
zad
asic
a A
van
zad
aDifracciDifraccióón de n de FraunhoferFraunhofer
y transformada de y transformada de FourierFourier
�Si se define la función de transmitancia de la
abertura como
se puede extender la integral a
todo R2, y resulta
Transformada de
Fourier de t (x,y)
Un
ive
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nn
7. Difracción de la luz. 41
FFíí s
ica A
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zad
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aEjemplos de difracciEjemplos de difraccióón de n de FraunhoferFraunhofer::
Abertura rectangularAbertura rectangular
Un
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nn
7. Difracción de la luz. 42
FFíí s
ica A
van
zad
asic
a A
van
zad
aEjemplos de difracciEjemplos de difraccióón de n de FraunhoferFraunhofer::
Abertura rectangularAbertura rectangular
Un
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nn
7. Difracción de la luz. 43
FFíí s
ica A
van
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a A
van
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aEjemplos de difracciEjemplos de difraccióón de n de FraunhoferFraunhofer::
Abertura rectangularAbertura rectangular
�Abertura rectangular: b > a
Un
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7. Difracción de la luz. 44
FFíí s
ica A
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aEjemplos de difracciEjemplos de difraccióón de n de FraunhoferFraunhofer::
Abertura cuadradaAbertura cuadrada
�Abertura cuadrada: b = a
Un
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nn
7. Difracción de la luz. 45
FFíí s
ica A
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aEjemplos de difracciEjemplos de difraccióón de n de FraunhoferFraunhofer::
Abertura circularAbertura circular
Un
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7. Difracción de la luz. 46
FFíí s
ica A
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a A
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aEjemplos de difracciEjemplos de difraccióón de n de FraunhoferFraunhofer::
Abertura circularAbertura circular
Un
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to d
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7. Difracción de la luz. 47
FFíí s
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aEjemplos de difracciEjemplos de difraccióón de n de FraunhoferFraunhofer::
Abertura circularAbertura circular
�Abertura circular (diámetro intermedio)
Disco de Airy
~90% potencia
Un
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Vig
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7. Difracción de la luz. 48
FFíí s
ica A
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a A
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aEjemplos de difracciEjemplos de difraccióón de n de FraunhoferFraunhofer::
Abertura circularAbertura circular
�Abertura circular (diámetro grande)
Un
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Un
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ci óó
nn
7. Difracción de la luz. 49
FFíí s
ica A
van
zad
asic
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aEjemplos de difracciEjemplos de difraccióón de n de FraunhoferFraunhofer::
Doble abertura circularDoble abertura circular
�Doble abertura circular (diámetro pequeño)
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nn
7. Difracción de la luz. 50
FFíí s
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aEjemplos de difracciEjemplos de difraccióón de n de FraunhoferFraunhofer::
Abertura triangularAbertura triangular
�Abertura triangular equilátera
Un
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nn
51
FFíí s
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7. Difracci7. Difraccióón de la luzn de la luz
7.3. Resoluci7.3. Resolucióón. Criterio de n. Criterio de RayleighRayleigh
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7. Difracción de la luz. 52
FFíí s
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7. Difracción de la luz. 53
FFíí s
ica A
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van
zad
aImagen de un punto limitada por la difracciImagen de un punto limitada por la difraccióón. n.
ResoluciResolucióónn
�La imagen de una fuente de luz puntual a
través de una lente con borde circular no es un
punto, sino un patrón de difracción de Airy.
RAiry =
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7. Difracción de la luz. 54
FFíí s
ica A
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zad
aCriterio de resoluciCriterio de resolucióón de n de RayleighRayleigh
Abertura circular
de diámetro D
Dos fuentes puntuales
incoherentes
Pantalla alejada
de la abertura
�Si dos puntos están angularmente muy
próximos, sus imágenes (patrones de Airy)
puede que se solapen y se vean como una
sola imagen.
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7. Difracción de la luz. 55
FFíí s
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zad
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aCriterio de resoluciCriterio de resolucióón de n de RayleighRayleigh
�El criterio más utilizado, aunque no el único
existente, para decidir si es posible resolver las
imágenes de dos puntos (esto es, si se pueden
distinguir como dos imágenes separadas en
vez de una sola) es el
Criterio de resoluciCriterio de resolucióón de n de RayleighRayleigh
Las imágenes de dos puntos adyacentes
pueden distinguirse (están resueltas) si la
separación entre sus centros es mayor o igual
que el radio del disco de Airy del sistema
óptico que las ha formado.
Un
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7. Difracción de la luz. 56
FFíí s
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aCriterio de resoluciCriterio de resolucióón de n de RayleighRayleigh
RAiry RAiry
S S
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nn
7. Difracción de la luz. 57
FFíí s
ica A
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asic
a A
van
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aCriterio de resoluciCriterio de resolucióón de n de RayleighRayleigh
S < RAiry
⇓
Imágenes
no resueltas
S = RAiry
⇓
Límite de
resolución
S > RAiry
⇓
Imágenes
resueltas