5a- Flexión

Mecánica de Sólidos – Flexión

5a- Flexión Prof. JOSÉ BENJUMEA ROYERO Ing. Civil, Magíster en Ing. Civil

http://www.aulatecnologia.com/ESO/SEGUNDO/teoria/estructuras/ESTRUCTURAS.htm

http://www.aulaestructuras.es/foro/academia-y-clases-particulares-de-estructuras-uned/elasticidad-y-resistencia-de-materiales-ingenieria-mecanica-uned/

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0142941807001304

5. Flexión. 5.1 Diagramas de momento flector y esfuerzo cortante. 5.2 Análisis de esfuerzos en flexión pura. 5.3 Esfuerzos y deformaciones en el rango elástico. Fórmula de la flexión. Módulo de sección elástico. 5.4 Flexión en elementos de dos materiales. Sección transformada. 5.5 Deformaciones plásticas. 5.6 Flexión asimétrica.

Contenido

http://www.youtube.com/watch?v=N0Q_1yvmqT0 http://www.youtube.com/watch?v=owIvg9I37MM

5.1 Diagramas de momento flector y esfuerzo cortante.

Tomado de [Meriam & Kraige, 2002] Engineering Mechanics STATICS, fifht Edition, Jhon Wiley & Sons.

+ Torsion Spring

Fuerzas Internas (Método de los cortes) P

D.C.L.

De la estática se tiene que: Ry= P Rx=0 Mrz= P*L

Si hacemos un corte en la sección a-a:

Cada parte del C.R. se debe mantener en equilibrio…

Las fuerzas internas tienen una magnitud de:

Para el C.R. de la izquierda:

Convención de signos (Según deformación)

Una fuerza cortante positiva actúa en sentido horario contra el material (la cara derecha se mueve hacia abajo con respecto a la izquierda), y una fuerza cortante negativa actúa en sentido anti-horario contra el material

Un momento flector positivo, comprime la parte superior de la viga. Un momento flector negativo comprime la parte inferior de la viga.

Relación Carga-Cortante-Momentos

Si analizamos un elemento diferencial de longitud dx

Las cargas distribuidas y concentradas son positivas si actúan hacia abajo, y negativas cuando actúan hacia arriba dV y dM son incrementos infinitesimales en las fuerzas internas A partir del equilibrio (ΣFy=0 y ΣM=0) del elemento diferencial se tiene que:

M M+dM

W(x) Integrando entre a y b…

Para el caso de una carga puntual P aplicada… V’ y M’ son incrementos finitos en las fuerzas internas A partir del equilibrio (ΣFy=0 y ΣM=0) del elemento diferencial se tiene que:

M M+M’

V+V’

Para el caso de un momento puntual Mo aplicado… V’ y M’ son incrementos finitos en las fuerzas internas A partir del equilibrio (ΣFy=0 y ΣM=0) del elemento diferencial se tiene que:

M M+M’

V+V’

Ejercicio 1 Shear force for simply supported beams at points A and B is shown in Fig, 2. Draw the diagram of beam along its loading and corresponding bending moment diagram.

Ejercicio 2 Dibuje el diagrama de cortante y momento flector en las vigas. Determine los valores máximos.

5.2 Análisis de esfuerzos en flexión pura

Estamos interesados en: - Esfuerzos de flexión - Esfuerzos cortantes - Deformada de la viga

http://www.cougaroffshore.com/Pages/default.aspx

http://www.glockpost.com/forums/showthread.php?t=11351

http://www.strucalc.com/engineering-resources/normal-stress-bending-stress-shear-stress/

https://blogs.lt.vt.edu/esm2204spring2013holmes/2013/01/21/normal-stresses-in-rods/

Asumiendo: - Viga con eje de simetría en el plano Y - Cargas actuando en ese plano… llamado

SI NO SI NO

Y Y Y Y

𝛿 𝛿, deflexión de la viga

(desplazamiento entre punto inicial y punto final)

𝑑𝜃

𝐴′ 𝐵′

𝐵 𝒅𝒙

𝒅𝒔

𝑂 → 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝜌 → 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝜅 → 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝜅 =

𝜌 =𝑑𝑠

𝑑𝜃≈𝑑𝑥

𝑑𝜃

𝜅(+)

𝜅(-)

𝐴′ 𝐵′

𝒅𝒙

Para un tramo sometido a flexión pura…

𝐶 𝐷

𝐷′ 𝐶′

Hipótesis: secciones permanecen planas

𝑠′ 𝑠′

Se acorta

Se alarga

No cambia longitud EJE NEUTRO

OCURREN DEFORMACIONES LONGITUDINALES

𝐴′ 𝐵′

𝐷′ 𝐶′

𝑠′ 𝑠′

𝑂 → 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝜌 → 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝜅 → 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎

𝜌 =𝑑𝑠

𝑑𝜃≈𝑑𝑥

𝑑𝜃

𝑒′ 𝑓′

El alargamiento en la línea e´f´ es: ∆𝒔 = −𝒚𝒅𝒙

La deformación unitaria será: 𝝐𝒙 = −𝒚

𝝆= −𝛋𝒚

𝒅𝒙 + ∆𝒔

𝝐𝒙 = −𝒚

𝝆= −𝛋𝒚

1) Las deformaciones varían con la altura respecto al eje neutro 2)

3) La expresión se obtuvo a partir de geometría. Es válida para cualquier curva esfuerzo-deformación de un material.

4) Debe ocurrir un acortamiento 𝝐𝑧. Por qué? Ocurren esfuerzos en z?

𝜅 − 𝑦 − 𝝐𝒙 → (−)

𝜅 − 𝑦 + 𝝐𝒙 → (+)

Los esfuerzos longitudinales (normales a la sección de la viga) tendrán una variación con la altura medida desde el eje neutro y la curvatura:

𝝈𝒙 = 𝑬𝝐𝒙 =E −𝒚

𝝆= −𝑬𝛋𝒚

eje neutro

(−)𝑴

𝝈𝒙, tensión

𝝈𝒙, compresión

¿Existe una relación entre el momento flector y la fuerza axial y los esfuerzos normales?

¿Dónde está localizado el eje neutro?

eje neutro

(−)𝑴

𝝈𝒙, tensión

¿Cómo relacionamos la fuerza axial interna en la sección y la posición del eje neutro?

Eje Neutro

𝑑𝐴

𝐹 = 0

𝜎𝑑𝐴 = 0

−𝐸𝜅𝑦𝑑𝐴 = 0

𝒚𝒅𝑨 = 𝟎

Indica que la posición del eje neutro coincide con la posición del centroide de la sección.

𝜎𝑥 = −𝐸𝜅𝑦

¿Cómo relacionamos el momento flector interno en la sección y la deflexión?

Eje Neutro

𝑑𝐴

𝑀 = −𝑀

−𝐸𝜅𝑦𝑑𝐴 ∗ 𝑦 = −𝑀

𝑦2𝑑𝐴 = 𝐼

𝑴=𝑬𝑰𝜿

Ecuación Momento-Curvatura

5.3 Esfuerzos y deformaciones en el rango elástico. Ecuación de la flexión. Módulo de sección elástico.

𝜅 =𝑀

𝐸𝐼

𝝈𝒙 = −𝑴𝒚

Fórmula de la Flexión

Rigidez a Flexión

𝑀 − 𝑦 − 𝝈𝒙 → (−)

𝑀 + 𝑦 + 𝝈𝒙 → (−)

1) El esfuerzo en una fibra del elemento es directamente proporcional al momento flector interno e inversamente proporcional a la inercia respecto al eje centroidal.

2) En una sección determinada de la viga, el esfuerzo máximo ocurrirá en la fibra extrema más alejada del eje neutro.

𝝈𝒙, tensión

𝜎𝑥,𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛 =𝑀𝑐1

𝑐2 𝜎𝑥,𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 =

𝑀𝑐2

𝝈𝒙, tensión

𝜎𝑥,𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛 =𝑀𝑐1

𝐼=𝑀

𝜎𝑥,𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 =𝑀𝑐2

𝐼=𝑀

𝑆𝑖 =𝐼

𝑐𝑖

Módulo de Sección

𝜎𝑥 =𝑀𝑐

𝐼=𝑀

1) Vigas prismáticas, simétricas respecto al eje Y, material lineal elástico (cumpla la Ley de Hooke), fuerza aplicada en el plano de flexión.

2) Secciones alejadas de puntos de aplicación de cargas o cambios abruptos en la sección de la viga.

Limitaciones…

Ejercicio 3 Determine el esfuerzo máximo a compresión y a tensión en la viga T mostrada en la figura. Determine el par de fuerzas que resisten el momento flector interno.

Wo= 5 kN/m

2 m 1 m 3,75 kN 11,25 kN

2,5 cm

2,5 5cm 5cm

Ejercicio 4 a) Determine el esfuerzo máximo a compresión y a tensión en la viga H mostrada

en la figura. b) Determine el par de fuerzas que resisten el momento flector interno. c) Elija una viga IPE (http://www.portalplanetasedna.com.ar/perfiles.htm)

adecuada para resistir los esfuerzos normales. Esfuerzo normal admisible = 200 Mpa

Wo= 10 kN/m

2 m 1 m

5.4 Flexión en elementos de dos materiales

http://besser.com/kraft_energy/espanol/intro-porque-curar-concreto.htm

Vigas en concreto reforzado y preesforzado http://www.flickr.com/photos/opaulus/1369271140/

http://www.pilos.com.co/prevencion-de-riesgos/concepto-sobre-sismo-resistencia/

- Vigas reforzadas con polímeros (FRP)

http://rbconspro.wordpress.com/2009/11/14/reforzamiento-estructural-con-fibras-de-carbono/

- Vigas bimetálicas - Vigas tipo sándwich

Material alta resistencia

Material baja resistencia pero es ligero (espumas, plásticos,

panales, corrugaciones)

- Sistema entrepiso STEEL-DECK

- Columnas conmpuestas

Las secciones permanecen planas. Materiales linales-elásticos.

Método Directo

Eje Neutro E1

𝜖𝑥1

𝜖𝑥2 𝜎𝑥2

𝜎𝑥1

𝜖𝑥 = −𝑦

𝜌 𝜎𝑥 = 𝐸𝜖𝑥 = 𝐸

−𝑦

𝜎𝑥1 = 𝐸1𝜖𝑥 = 𝐸1−𝑦

Para determinar la posición del eje neutro:

𝐹 = 0 → 𝜎𝑥𝑑𝐴 = 𝜎𝑥𝑑𝐴1 + 𝜎𝑥𝑑𝐴2

=−𝐸1𝜌 𝑦𝑑𝐴𝐴1

−𝐸2𝜌 𝑦𝑑𝐴𝐴1

𝟎 = 𝑬𝟏𝑨𝟏𝒚𝟏 + 𝑬𝟐𝑨𝟐𝒚𝟐

Relacionando momento flector interno y esfuerzos:

𝑀 = 𝑀 → − 𝜎𝑥𝑦𝑑𝐴 = − 𝜎𝑥𝑦𝑑𝐴1 − 𝜎𝑥𝑦𝑑𝐴2

=𝐸1𝜌 𝑦2𝑑𝐴𝐴1

+𝐸2𝜌 𝑦2𝑑𝐴𝐴1

𝑴𝝆 = 𝑬𝟏𝑰𝟏 + 𝑬𝟐𝑰𝟐 = 𝑬𝑰

I1 e I2 son las inercias de cada sección respecto al eje neutro de la sección

Luego se determinan los esfuerzos:

𝜌= −𝑀𝐸1

𝐸𝐼𝑦

𝜌= −𝑀𝐸2

𝐸𝐼𝑦

𝑬𝟏𝑰𝟏 + 𝑬𝟐𝑰𝟐 = 𝑬𝑰 I1 e I2 son las inercias de cada sección respecto al eje neutro de la sección

Ejercicio 5 Para la viga compuesta, determine los esfuerzos máximos en el aluminio (E=70 Gpa) y en la madera (E=12 Gpa). El momento flector interno es M=-5 kN-m

5 mm 100 mm

100 mm

Ejercicio 6 Una viga de madera (150x 250 mm) se ha reforzado con un perfil C de aluminio de espesor 6 mm. Si 𝜎𝑎𝑑𝑚𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 en la madera es de 8 Mpa y 𝜎𝑎𝑑𝑚𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 en el aluminio es de 40 Mpa, y si Ealuminio/Emadera=1/6, ¿cuál es el momento flector máximo permisible en la viga?

150 mm

162 mm

250 mm

Ejercicio 7 Una viga de madera (E=1500 ksi) será reforzada con una placa metálica de acero (E=30000 ksi). Los esfuerzos admisibles en la madera y el acero son 1 ksi y 12 ksi, respectivamente. Determine el ancho de la lámina de acero a colocar bajo la restricción de que el esfuerzo admisible en el acero y en la madera se alcancen en forma simultánea.

5.5 in

7.5 in

1/2 in

Ejercicio 8 Un oleoducto marino está sometido a un momento igual a 300 kip-in. Este consiste en tubo de acero de diámetro interno di= 10 in, con espesor de 0,375 in. EL tubo está protegido con una camisa de plástico de ¼ in de espesor. Determine los esfuerzos máximos en el tubo y la camisa. Eacero/Eplástico= 70

Método de la Sección Transformada

Eje Neutro E1

𝜖𝑥1

𝜖𝑥2 𝜎𝑥2

𝜖𝑥 = −𝑦

Sección original

𝜎𝑥1

Eje Neutro E1

𝜖𝑥1

𝜖𝑥2 𝜎𝑥2

𝜎𝑥1

Sección transformada

n=E2/E1

ndz dy

𝜎𝑥2 = 𝑛𝐸1𝜖𝑥 = −𝑛𝑀𝑦

𝐼𝑇

𝜎𝑥1 = 𝐸1𝜖𝑥 = −𝑀𝑦

𝐼𝑇

Eje Neutro

Ejercicio 9 Una viga de madera (150x 250 mm) se ha reforzado con un perfil C de aluminio de espesor 6 mm. Si 𝜎𝑎𝑑𝑚𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 en la madera es de 8 Mpa y 𝜎𝑎𝑑𝑚𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 en el aluminio es de 40 Mpa, y si Ealuminio/Emadera=1/6, ¿cuál es el momento flector máximo permisible en la viga?

150 mm

162 mm

250 mm

Ejercicio 10 Para la viga de concreto, determine la carga máxima distribuida que puede aplicarse. Esfuerzos máximos en el concreto y en el acero son 10 Mpa y 200 Mpa, respectivamente. Suponga que el concreto no resiste tensión.

Ejercicio 11 Para la viga de concreto, determine la carga máxima distribuida que puede aplicarse. Esfuerzos máximos en el concreto y en el acero son 10 Mpa y 200 Mpa, respectivamente. Suponga que el concreto no resiste tensión.

5.5 Flexión Asimétrica ¿Qué ocurre si la carga está inclinada? ¿Qué ocurre si la viga está inclinada? Dos casos: (a) Vigas doblemente simétricas (b) Vigas asimétricas Limitaciones:

Flexión en vigas doblemente simétricas

𝑷𝒄𝒐𝒔𝜽

Si analizamos la sección donde ocurre el momento flector máximo (suponiendo que las cargas se aplican en l/2), se tiene:

𝑀𝑦𝑚á𝑥 =𝑃𝐿

4𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑀𝑧𝑚á𝑥 =𝑃𝐿

4𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑴𝒚𝒎á𝒙

𝑴𝒛𝒎á𝒙

𝑷𝒔𝒆𝒏𝜽

El esfuerzo en un punto de la sección es:

𝝈𝒙 =𝑴𝒚𝒎á𝒙𝒛𝒐

𝑰𝒚−𝑴𝒛𝒎á𝒙𝒚𝒐𝑰𝒛

𝑀𝑦𝑚á𝑥 =𝑃𝐿

4𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑀𝑧𝑚á𝑥 =𝑃𝐿

4𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑴𝒚𝒎á𝒙

𝑴𝒛𝒎á𝒙

El esfuerzo normal máximo ocurre en los puntos D y C

z 𝑴𝒛𝒎á𝒙

𝑴𝒚𝒎á𝒙

------ A B C D

My máx

Mz máx

Podemos determinar la posición del eje neutro y confirmar lo anterior:

𝑴𝒚𝒎á𝒙

𝑴𝒛𝒎á𝒙

𝜎𝑥 =𝑀𝑦𝑚á𝑥𝑧

𝐼𝑦−𝑀𝑧𝑚á𝑥𝑦

𝐼𝑧= 0

𝑀𝑦𝑚á𝑥𝑧

𝐼𝑦−𝑀𝑧𝑚á𝑥𝑦

𝐼𝑧= 0

𝑧=𝑀𝑦𝑚á𝑥 𝐼𝑧

𝑀𝑧𝑚á𝑥 𝐼𝑦

𝒕𝒂𝒏𝜷 =𝒚

𝒛=𝑴𝒚𝒎á𝒙 𝑰𝒛

𝑴𝒛𝒎á𝒙 𝑰𝒚

𝑴𝒛𝒎á𝒙

𝑴𝒚𝒎á𝒙 𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍

Existe alguna relación entre el ángulo de aplicación de la carga y la dirección del eje neutro?

𝑡𝑎𝑛𝛽 =𝑦

𝑧=𝑀𝑦𝑚á𝑥 𝐼𝑧

𝑀𝑧𝑚á𝑥 𝐼𝑦

𝑡𝑎𝑛𝛽 =𝑦

𝑃𝐿4𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐼𝑧

𝑃𝐿4𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐼𝑦

𝒕𝒂𝒏𝜷 = 𝒕𝒂𝒏𝜽 𝑰𝒛𝑰𝒚

El eje neutro y la línea de acción de la carga serán perpendiculares si: - 𝜃 = 0°, ∓90°, 180° - 𝐼𝑧 = 𝐼𝑦

Flexión en vigas asimétricas

El análisis se limita a vigas en flexión pura (no hay esfuerzos cortantes). << En vigas asimétricas, si están sometidas a flexión pura, el plano en el que el momento flector actúa es perpendicular al eje neutro si los ejes z y y son ejes centroidales principales de la sección transversal y si el momento flector actúa en los planos principales >>

𝒛𝒑

𝒚𝒑

Producto de inercia

𝐼𝑦𝑧 = 𝑦𝑧𝑑𝐴𝐴

𝐼𝑦𝑧 = 0

𝐲 y 𝐳 son ejes principales (y es un eje de simetría)

𝒚𝒑 y 𝒛𝒑 son ejes principales

centroidales

𝐼𝑦𝑝𝑧𝑝 = 0

Procedimiento general para determinar esfuerzos máximos:

𝑖) Determinar posición del centroide y de los ejes principales centroidales de la sección

𝑴𝟏

𝑖𝑖) Descomponer el momento flector en las direcciones de los ejes centroidales principales

𝑴𝟐

𝑖𝑖𝑖) Determinar posición del eje neutro

𝑖𝑣) Determinar posiciones de los puntos más alejados al eje neutro

𝑣) Determinar esfuerzos normales en esos puntos (los esfuerzos se suman o restan dependiendo del signo)

𝜽𝒑

𝐼𝑧𝑦

𝐼1 𝐼2

𝐼𝑦𝑦

𝐼𝑧𝑧

2𝜃𝑝

𝒕𝒂𝒏𝟐𝜽𝒑 =𝟐𝑰𝒚𝒛

𝑰𝒛𝒛 − 𝑰𝒚𝒚

𝐼𝑦𝑧

−𝐼𝑦𝑧 𝑰𝟏 = 𝑰 + 𝑹

𝑰𝟐 = 𝑰 − 𝑹

Para determinar la posición del punto más alejado:

𝑴𝟏

𝑴𝟐

𝜽𝒑

𝒅𝟏 = 𝒅𝒛 ∗ 𝒄𝒐𝒔(𝜽𝒑) + 𝒅𝒚𝒔𝒆𝒏(𝜽𝒑)

𝒅𝟐 = 𝒅𝒚 ∗ 𝒄𝒐𝒔(𝜽𝒑) − 𝒅𝒛𝒔𝒆𝒏(𝜽𝒑)

Ejercicio 12 Para la viga mostrada, determine los esfuerzos máximos a compresión y tensión.

250 mm

770 mm

𝟓𝟎 𝒌𝑵

z 𝟐𝟎 𝒌𝑵 15 mm

Ejercicio 13 Determine los esfuerzos máximos a compresión y a tensión en la viga Z.

180 mm

𝟓 𝒌𝑵 −𝒎

Ejercicio 14 Para las vigas mostradas, determine los esfuerzos máximos a compresión y a tensión.

𝟓 𝒌𝑵 −𝒎

100 mm

10 grados

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