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Hormigón Armado

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  • Hormign Armado IN1118C

    Captulo 3 Flexin Claudio Oyarzo V.

    -27- Facultad de Ingeniera UCSC

    Rev: Sem.1/2014

    Captulo 3 Flexin

    1 Prembulo

    En este captulo se tratar el comportamiento, anlisis y diseo de elementos sometidos a flexin, por ejemplo vigas. Se ver en detalle la distribucin de esfuerzos internos generados en una seccin debido a un momento flector, los tipos de falla que se pueden presentar, la determinacin de resistencia de dichos elementos, diseo y recomendaciones.

    Las hiptesis fundamentales utilizadas en el anlisis son las siguientes:

    Los esfuerzos internos, normales y tangenciales, en cualquier seccin del elemento estn en equilibrio con los efectos de las cargas externas aplicadas (Momento, corte, carga axial).

    La deformacin unitaria experimentada por las barras de acero embebidas en el hormign es la misma que se registra en el hormign circundante. Dicho de otra forma, existe una adherencia perfecta entre el hormign y las barras de refuerzo. No existe deslizamiento.

    Las secciones transversales planas antes de la aplicacin de carga, permanece planas bajo la accin de las cargas.

    Debido a que la resistencia a traccin de hormign es apenas una pequea fraccin de la resistencia a compresin, el concreto de la parte de la seccin sometida a traccin por lo general se encontrar fisurado. Aunque para elementos bien diseados dichas fisuras son apenas visibles, estas no permiten que el hormign trasmita carga. De acuerdo con esto, en general, se supone que el hormign no resiste traccin.

    2 Vigas Rectangulares Simplemente Armadas

    Las vigas de hormign simple son ineficientes como elementos sometidos a flexin, pues su resistencia a traccin en flexin es muy baja frente a su capacidad resistente en compresin por flexin. En consecuencia, estas vigas fallan en el lado sometido a traccin a cargas muy bajas, antes de que se desarrolle la resistencia completa del hormign en la cara a compresin. Por esta razn se colocan barras de acero como refuerzo en el lado sometido a traccin, lo ms cerca posible del extremo de la fibra sometida a traccin, slo cuidando de conservar un recubrimiento del hormign que lo proteja de la corrosin y el fuego.

    2.1 Comportamiento

    A modo de ejemplo ilustrativo considere la siguiente viga simplemente apoyada, de seccin rectangular, sometida a un par de cargas puntuales, tal como se muestra en la figura. Las cargas sobre dicha viga se incrementan paulatinamente desde cero hasta alcanzar su punto de falla. Bajo estos supuestos, se puede distinguir claramente los siguientes estados:

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    Captulo 3 Flexin Claudio Oyarzo V.

    -28- Facultad de Ingeniera UCSC

    Rev: Sem.1/2014

    Rango elstico. Seccin no fisurada

    Para cargas bajas, por debajo del mdulo de rotura del hormign ( )rf , toda la seccin

    de hormign acta resistiendo los esfuerzos de traccin y compresin generados por el momento flector a ambos lados del eje neutro. En esta etapa, las deformaciones son pequeas y los esfuerzos son proporcionales a ellas (rango elstico). La distribucin de deformaciones y esfuerzos se ilustra en la siguiente figura:

    En este caso, el anlisis de la seccin se basa en la teora elstica, muy similar a lo realizado en el estudio de secciones sometidas a carga axial, presentado en el captulo 2. Se define una seccin transformada, donde el rea aportada por las barras de acero es reemplazada por un rea equivalente de hormign, determinada por la razn

    modular, ( )cs

    EEn = .

    P P

    (+)

    (+)

    (-)

    M(x)

    Q(x)

    A

    A

    h d

    b

    As

    fct

    fc

    fs

    c

    ct

    s

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    Captulo 3 Flexin Claudio Oyarzo V.

    -29- Facultad de Ingeniera UCSC

    Rev: Sem.1/2014

    Entonces, si la seccin est sometida a un momento flector M, los esfuerzos mximos generados sobre el hormign quedan determinados por las ecuaciones:

    I

    yMfc

    = I

    yhMfct

    )( =

    Los esfuerzos sobre el acero se determinan mediante:

    I

    ydMnf

    s

    )(

    =

    Donde I corresponde al momento de inercia de la seccin transformada respecto al eje neutro, y corresponde a la posicin del eje neutro de la seccin transformada respecto

    a la fibra extrema a compresin (tal como se realiza para encontrar el centroide de una seccin plana). En este caso:

    ( )

    ( )s

    s

    Anhb

    dAnhhby

    )1(

    )1(2

    +

    +

    =

    ( )( ) ( )222

    3

    )1(12

    ydAnyhb

    hbI

    sh ++=

    Por lo tanto el momento mximo que es capaz de resistir el una viga de hormign armado antes de agrietarse corresponde a:

    )(

    yh

    IfM r

    gr

    =

    Rango elstico. Seccin fisurada

    Cuando se aumenta la carga y se supera el mdulo de rotura del hormign en la cara traccionada, se desarrollan grietas se la viga, las que se propagan rpidamente acercndose al eje neutro, el que a su vez tambin se desplaza debido a la perdida de rea efectiva de hormign que resiste la tensin. Es evidente que el hormign est imposibilitado de trasmitir carga a travs del tramo fisurado.

    En vigas bien diseadas, la amplitud de las grietas son por lo general tan pequeas que no es posible detectarlas a simple vista y no revisten un perjuicio desde el punto de vista de la proteccin de las barras contra el fuego y la corrosin.

    h d

    b

    As

    h d

    b

    (n-1)As

    y

    Eje Neutro

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    Captulo 3 Flexin Claudio Oyarzo V.

    -30- Facultad de Ingeniera UCSC

    Rev: Sem.1/2014

    Si la carga aplicada es moderada y genera esfuerzos sobre el concreto menores a 0.5fc, los materiales permanecern en el rango elstico, esto es, los esfuerzos sern proporcionales a las deformaciones unitarias.

    La situacin antes descrita, ocurre por lo general para estructuras bajo condiciones normales de servicio. Para simplificar el anlisis se supone que las grietas alcanzan el eje neutro y que se cumplen la hiptesis de que las secciones planas antes de la aplicacin carga permanecen planas durante la aplicacin de carga.

    Para calcular los esfuerzo internos en el material sometido a un momento flector M, es posible aplicar una metodologa similar a la aplicada con anterioridad a secciones no fisuradas en que los materiales permanecen dentro del rango elstico utilizando la seccin transformada, pero considerando slo el rea transformada de acero actuando en traccin, pues el hormign al encontrarse agrietado ya no resiste tensiones. La seccin transformada corresponder entonces a la que se muestra en la siguiente figura:

    La ubicacin de eje neutro queda determinada a travs del factor kd que representa una fraccin de la altura efectiva d.

    Dado que la seccin se encuentra en equilibrio con las cargas externas se debe comprobar que la resultante de compresin es igual a la resultante de traccin; y adems los momentos generados por estas resultantes son iguales al momento externo M aplicado.

    h d

    b

    As

    fc

    fs

    c

    s

    h d

    b

    As

    h d

    b

    nAs

    kd

    Eje Neutro

    fc

    fs

    d

    kd

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    -31- Facultad de Ingeniera UCSC

    Rev: Sem.1/2014

    Suponiendo que la distribucin de esfuerzos de compresin es triangular tal como se indica en la figura, es posible definir la siguiente ecuacin:

    TC = ss

    c Afbkdf

    2

    =

    Por compatibilidad geomtrica:

    cs

    kd

    kdd

    = c

    s

    E

    En =

    cccEf =

    ccccssssf

    kd

    kddn

    kd

    kddEn

    kd

    kddEEf

    =

    =

    ==

    Por lo tanto:

    ss

    c Afbkdf

    2

    =

    sc

    c Afkd

    kddnb

    kdf

    2

    =

    Reordenando, es posible obtener la siguiente ecuacin para kd :

    ( ) ( ) 02

    2

    =+ dAnkdAnkdb

    ss

    Por otro lado, las ecuaciones de momento corresponde a:

    ( )3

    kddCM = ( )3

    2

    kddbkdf

    M c =

    ( )3

    kddTM = ( )3

    kddAfMss=

    A partir de estas ecuaciones es posible determinar los esfuerzos mximos a los que est sometido el hormign:

    ( )bkddkdM

    fc

    3

    2

    =

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    -32- Facultad de Ingeniera UCSC

    Rev: Sem.1/2014

    Mientras que los esfuerzos registrados por el refuerzo de acero son:

    ( )3

    kddA

    Mf

    s

    s

    =

    Finalmente, la mxima flexin que puede desarrollar esta seccin, antes de perder sus

    propiedades elsticas correspondera al caso en que '5.0ccff = , esto es:

    ( )3

    4

    ' kddkdbf

    M cel

    =

    Rango inelstico. Seccin fisurada

    Si se contina aumentando la carga, los esfuerzos dejan de ser proporcionales a las deformaciones, pues el hormign entra en la zona inelstica de la curva. Por lo tanto, si bien se puede seguir considerando la hiptesis de que las secciones planas antes de la aplicacin de carga permanecen planas durante la aplicacin de carga, la distribucin de esfuerzos a compresin no ser lineal, sino que adoptar la forma de la curva esfuerzo deformacin del hormign.

    El estudio del comportamiento del hormign armado en esta fase es sumamente importante, pues es bajo esta situacin donde se produce la falla de los elementos. Luego, conociendo el comportamiento del hormign fisurado dentro del rango inelstico es posible obtener predicciones adecuadas para la capacidad ltima de la estructura, condicin de diseo de nu