Post on 30-Apr-2020
Repaso Curvatura Desarrollables Lınea de estriccion
3.3 - 3.4 Curvatura de superficies regladas.Parametro de distribucion. Tipos de superficies
regladas desarrollables. Lınea de estriccion yarista de retroceso.
Sonia L. Rueda
ETS Arquitectura. UPM
Curvas y Superficies, 2015
Repaso Curvatura Desarrollables Lınea de estriccion
Curvas y superficies
1. Curvas
2. Superficies
3. Superficies Regladas
Repaso Curvatura Desarrollables Lınea de estriccion
Superficies regladas en Arquitectura
Interior de La Sagrada Familia. A. Gaudı
Repaso Curvatura Desarrollables Lınea de estriccion
Superficies regladas en Arquitectura
Maquetas de hiperboloide reglado de la Sagrada Familia
Repaso Curvatura Desarrollables Lınea de estriccion
Superficies regladas en Arquitectura
Museo de Arte de Milwaukee. Santiago Calatrava, 2001
Repaso Curvatura Desarrollables Lınea de estriccion
Superficies
3.1 Parametrizacion de una superficie reglada: Directriz ygeneratrices. Superficies regladas de Bezier.
3.2 Curvatura de las superficies regladas. Parametro dedistribucion.
3.3 Tipos de superficies regladas desarrollables. Lınea deestriccion y arista de retroceso.
Repaso Curvatura Desarrollables Lınea de estriccion
Contenidos
Repaso de notacionEjemplos
Curvatura de superficies regladas
Superficies desarrollablesSuperficies desarrollables en arquitecturaTipos de superficies desarrollables
Lınea de estriccionParametrizacion de la lınea de estriccionArista de retroceso
Repaso Curvatura Desarrollables Lınea de estriccion
Repaso de notacionEjemplos
Curvatura de superficies regladas
Superficies desarrollablesSuperficies desarrollables en arquitecturaTipos de superficies desarrollables
Lınea de estriccionParametrizacion de la lınea de estriccionArista de retroceso
Repaso Curvatura Desarrollables Lınea de estriccion
Repaso de notacionDefinicion Una superficie reglada S, es una superficie que contieneal menos una familia uniparametrica de rectas. Admite unaparametrizacion de la forma
α : D ⊆ R2 −→ R3
α(u, v) = γ(u) + vω(u),
donde γ(u) y ω(u) son (en general) parametrizaciones de curvas enR3 (suponemos que ω(u) nunca se anula). Llamaremosparametrizacion reglada a una parametrizacion lineal en uno de losparametros.
La curva parametrizada por γ(u) se denomina directriz o curvabase. Para cada valor del parametro u = u0, tenemos una recta
γ(u0) + vω(u0)
que recibe el nombre de generatriz.
Repaso Curvatura Desarrollables Lınea de estriccion
Hiperboloide de una hojax2
a2 + y2
b2 − z2
c2 = 1. Es una superficie doblemente reglada. Admite
dos parametrizaciones regladas,
α(u, v) = γ(u) + v(±γ′(u) + (0, 0, c)), (u, v) ∈ [0, 2π)× R,
γ(u) = (acos(u), bsen(u), 0) una parametrizacion de la ellipsex2
a2 + y2
b2 = 1.
Si a = 2, b = 3, c = 5 y v ∈ [−1, 1] tenemos:
Shukhov (1853-1939)
Repaso Curvatura Desarrollables Lınea de estriccion
Paraboloide hiperbolicoHiperboloides reglados y paraboloides hiperbolicos son superficiesdoblemente regladas.
Los Manantiales, F. Candela (1990-1997)
Es una superficie de Bezier de bigrado (1, 1), la mas sendilla, 4puntos de control, la malla de cotrol es un cuadrilatero.
Repaso Curvatura Desarrollables Lınea de estriccion
Conoide de PluckerDada por la parametrizacion reglada
α(u, v) = (0, 0, sen(2u)) + v(cos(u), sen(u), 0), (u, v) ∈ [0, 2π)× R.
Si v ∈ [0, 2] tenemos:
Repaso Curvatura Desarrollables Lınea de estriccion
Banda de Mobius
Dada por la parametrizacion reglada
α(u, v) = (cos(u), sen(u), 0)
+ v(cos(u
2
)cos(u), cos
(u2
)sen(u), sen
(u2
)),
(u, v) ∈ [0, 2π)× R.
Si v ∈ [0, 2] tenemos:
u ∈ [0, π/4] u ∈ [0, π] u ∈ [0, 2π] u ∈ [0, 3π] u ∈ [0, 4π]
Repaso Curvatura Desarrollables Lınea de estriccion
Repaso de notacionEjemplos
Curvatura de superficies regladas
Superficies desarrollablesSuperficies desarrollables en arquitecturaTipos de superficies desarrollables
Lınea de estriccionParametrizacion de la lınea de estriccionArista de retroceso
Repaso Curvatura Desarrollables Lınea de estriccion
Curvatura de superficies regladas
La curvatura de Gauss o total de una superficie reglada en unpunto regular P = α(u0, v0) es siempre menor o igual que cero.
K (P) =−f 2
EG − F 2= − [γ′(u0), ω(u0), ω′(u0)]2
||αu(u0, v0) ∧ αv (u0, v0)||4≤ 0.
Definicion Llamamos parametro de distribucion al numero realdado por el producto mixto p(u0) = [γ′(u0), ω(u0), ω′(u0)].
Observamos que:
• Todos los puntos regulares de una generatrizΓu0 ≡ γ(u0) + vω(u0) son del mismo tipo: si p(u0) = 0 sontodos parabolicos y si p(u0) 6= 0 son todos hiperbolicos.
• Toda generatriz Γu0 es una asıntota de la superficie, ya que lacurvatura normal es nula en la direccion de su vector director.
Repaso Curvatura Desarrollables Lınea de estriccion
Repaso de notacionEjemplos
Curvatura de superficies regladas
Superficies desarrollablesSuperficies desarrollables en arquitecturaTipos de superficies desarrollables
Lınea de estriccionParametrizacion de la lınea de estriccionArista de retroceso
Repaso Curvatura Desarrollables Lınea de estriccion
Superficies desarrollables
Definicion Una superficie S (no necesariamente reglada) es unasuperficie plana si su curvatura de Gauss es cero en todo punto(regular). Tales superficies se han llamado tradicionalmentesuperficies desarrollables y se pueden construir doblando una hojade papel.
Una superficie reglada S es
desarrollable⇔ K (P) = 0,∀P ⇔ f = 0⇔ p(u) ≡ 0
En caso contrario diremos que S es no desarrollable o alabeada.
Son superficies regladas desarrollables: cilindros, conos, banda deMobius...
Proposicion Una superficie reglada es desarrollable si, y solo si, elvector normal es constante a lo largo de cualquier generatriz.
Repaso Curvatura Desarrollables Lınea de estriccion
Superficies desarrollables en Arquitectura
Museo Guggenheim de Bilbao. Frank O. Gehry, 1997
Repaso Curvatura Desarrollables Lınea de estriccion
Superficies desarrollables en Arquitectura
Parque del Milenio, Chicago. F.O. Gehry, 2004
Repaso Curvatura Desarrollables Lınea de estriccion
Superficies desarrollables
Proposicion Una superficie reglada es desarrollable si, y solo si, elvector normal es constante a lo largo de cualquier generatriz.
Repaso Curvatura Desarrollables Lınea de estriccion
Tipos de superficies desarrollables
1. S es cilındrica sobre una curva C si
α(u, v) = γ(u) + vw ,
siendo γ : (a, b)→ R una parametrizacion de C y w un vectorfijo de R3.
2. S es conica sobre una curva C si
α(u, v) = Q + vω(u),
siendo Q un punto de R3 llamado vertice y ω : (a, b)→ Runa parametrizacion de C.
Repaso Curvatura Desarrollables Lınea de estriccion
Ejemplo de superficie cilındrica
La superficie reglada S parametrizada porα(u, v) = (2cos(u), 0, 3sen(u)) + v(2, 1,−5) es cilındrica.
El plano tangente a S en los puntos de la generatriz α(Pi , v) es3 + x − 3y = 0.
Repaso Curvatura Desarrollables Lınea de estriccion
Ejemplo de superficie conicaLa superficie reglada parametrizada por
α(u, v) = (2, 0, 3) + v(u3, u, cos(u)),
(u, v) ∈ [0, 4π)× [0, 1] es una superficie conica.
Repaso Curvatura Desarrollables Lınea de estriccion
Tipos de superficies desarrollables
3 S es desarrollable tangencial de la curva C si
α(u, v) = γ(u) + vγ′(u),
siendo Q un punto de R3 y γ : (a, b)→ R unaparametrizacion de C.
Proposicion Las superficies cilındricas, conicas y desarrollablestangenciales son superficies planas (desarrollables).
En general una superficie desarrollable es en cierto sentido la unionde trozos de los tipos anteriores.
Repaso Curvatura Desarrollables Lınea de estriccion
Repaso de notacionEjemplos
Curvatura de superficies regladas
Superficies desarrollablesSuperficies desarrollables en arquitecturaTipos de superficies desarrollables
Lınea de estriccionParametrizacion de la lınea de estriccionArista de retroceso
Repaso Curvatura Desarrollables Lınea de estriccion
Lınea de estriccion
Sea S una superficie reglada no cilındrica (asumimos queω′(u) ∧ ω(u) nunca se anula). Si una generatriz de S no contienepuntos singulares, entonces contiene un punto en el que lacurvatura de Gauss es mınima (maxima en valor absoluto), al quellamamos punto central.
La lınea de estriccion de S contiene a los puntos centrales y a lospuntos singulares de S, los puntos P = α(u, v) que verifican
(αu(u, v) ∧ αv (u, v)) · (ω′(u) ∧ ω(u)) = 0.
Dicha curva divide a la superficie en dos partes que son de algunaforma muy parecidas (en muchos casos existe algun tipo desimetrıa).
Repaso Curvatura Desarrollables Lınea de estriccion
Parametrizacion de la lınea de estriccion
La lınea de estriccion, de una superficie reglada no cilındrica,contiene:
• Los puntos singulares, αu(u, v) ∧ αv (u, v) = 0.
• Los puntos centrales, para los que ω′(u) ∧ ω(u) es ortogonal aαu(u, v) ∧ αv (u, v).
Es la curva parametrizada por:
β(u) = γ(u)−(
(γ′(u) ∧ ω(u)) · (ω′(u) ∧ ω(u))
||ω′(u) ∧ ω(u)||2
)ω(u).
Ejemplos con Maple
Repaso Curvatura Desarrollables Lınea de estriccion
Arista de retrocesoDefinicion La lınea de estriccion de una superficie desarrollabletangencial recibe el nombre de arista de retroceso.
En este caso solo contiene puntos singulares y su nombre se debeal siguiente resultado.
Recordemos que S esta parametrizada por
α(u, v) = γ(u) + vω(u) con ω(u) 6= 0,∀u.
Si γ′(u) ≡ 0 (es identicamente cero), S es conica y si ω′(u) ≡ 0, Ses cilındrica.
Proposicion Sea S una superficie desarrollable para la que γ′(u) yω′(u) nunca se anulan. Se demuestra que S es una superficiedesarrollable tangencial de su arista de retroceso, parametrizadapor β(u). Es decir,
α(u, v) = β(u) + vβ′(u).